Giáo án lớp 12 môn Toán - Các bài toán liên quan đến khoảng cách và diện tích

Các bài toán liên quan đến khoảng cách và diện tích . Chú ý : Khoảng cách giữa hai điểm . Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng . Khoảng cách giữa đường thẳng và đường cong : Định nghĩa : Cho đường cong (C) và đường thẳng () . Lấy bất kỳ và khi đó Phương pháp : Cho (C) : y=f(x) và . Tìm Cách 1 : Lấy bất kỳ . Suy ra : . Tính và tìm Min. Khi đó Min Cách 2 : ?Viết phương trình tiếp tuyến (d) của ( C) và //. Suy ra toạ độ tiếp điểm ? Công thức tính diện tích của : S = ?Diện tích với thì Ví dụ 2 : Cho hàm số : (H) Tìm trên H những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. HD : Gọi M0 (x0; y0). Ta thấy : x=-1 là tiệm cận ddướng của (H) Y=2 là tiệm cận ngang của (H) xét : ; Suy ra : . Do đó : . đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi : . Vậy ta tìm được hai điểm thoả mãn bài toán . Ví dụ 2: Cho hàm số : (H) Tìm trên H những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. ĐS : Vậy ta tìm được hai điểm thoả mãn bài toán . Ví dụ 3 : Cho hàm số : có đồ thị (C) . Tìm điểm M để tổng khoảng cách từ điểm M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất . HD : Ta có TCX : x-y+1 =0 và x+2=0Là TCĐ Gọi M. Tổng khoảng cách từ điểm M đến hai Tiệm cận là : d(M)= Min d(M)=. Ví dụ 4 : 1) Khảo sát và vẽ Đồ thị (C) : y = 2) TìmM (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) là nhỏ nhất HD :2) y = = Gọi M(x, y) = M (C). Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là d = d1 + d2 = Min d = 2 Dấu “=” xảy ra Ví Dụ 5 1) Khảosát và vẽ (C) : y = 2) Tìm M (C) để khoảng cách từ M đến đường thẳng : y + 3x + 6 = 0 nhỏ nhất Giải: 1) f(x) = (x + 2) + 2) Lấy M (C) ; y = f(x) Khi đó: = Min = xảy ra Ví dụ 6 : Cho hàm số : có đồ thị (C) khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C) và (d ) . Với (d) là một tiếp tuyến của (C) tại một điểm M tuỳ ý trên (C) . đường thẳng (d) cắt hai tiệm cận của (C) tại A,B . chứng minh rằng M là trung điểm của AB và tam giác IAB có diện tích không đổi . HD : b. Gọi M . Phương trình tiếp tuyến của đường thẳng (d) tại M có dạng : (d) . Gọi B là giao điểm của (d) và tiệm cận đứngnên toạ đọ là nghiệm của hệ : Vậy B( -2 ; ) Gọi A là giao điểm của (d) và tiệm cận xiên nên toạ độ của A là nghiệm của hệ pt suy ra : x=2x0 +2. Vậy xA = 2x0+2. Ta có : . Do vậy M là trung điểm củ AB. , với H là hình chiếu vuông góc của A xuống tiệm cận đứng của (C) . Suy ra : =. Do vậy : =const. Ví dụ 7 : Cho đồ thị (C) : y = và điểm M bất kỳ (C) Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B 1) CMR : M là trung điểm AB 2) CMR : Tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là không đổi 3) CMR : Diện tích (IAB) không đổi M (C) 4) Tìm điểm M (C) để chu vi (IAB) nhỏ nhất HD: y = f(x) = = - 1 + I Gọi M (C) với xM = m, yM = - 1 + Đạo hàm : Phương trình Tiếp tuyến của (C) tại M là (t): y = (x – m) + y(m) (t) : y = (x – m) + - 1 + (t)(TCĐ: x = 1) = A (t)(TCX: y = - 1) = B 1) Do A, M, B thẳng hàng và = m = xm M là trung điểm của AB 2) Khoảng cách từ M đến TCĐ : x = 1 là d1 = Khoảng cách từ điểm M đến TCX : x – 2y – 2 = 0 là d2 = Ta có : d1.d2 = (đpcm) 3) kẻ BH AI dt(IAB) = .AI.BH = = (đvdt) 4) Gọi góc giữa 2 tiệm cận là , góc giữa tiệm cận xiên với chiều dương Ox là Do TCX: y = - 1 có hệ số góc là nên tg = , Chu vi (IAB) = IA + AB + IA = IA + IB + = = 2. Dấu “=” xảy ra IA = m = 1 Bài 1: 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) Lấy M (C) với xM = m. tiếp tuyến của (C) tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Gọi I là giao điểm của các tiệm cận. CMR : M là trung điểm của AB và diện tích không đổi m Bài 21) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) TìmM (C) để khoảng cách từ M đến tiệm cận đúng bằng khoảng cách từ M đến được tiệm cận ngang của (C) Bài 3 : 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) TìmM (C) cách đều hai trục toạ độ Ox, Oy 3) Viết tiếp tuyến đi qua A(-6, 5) đến (C) Bài 5 Cho (Cm): y = 1) Với m = 2 a) Khảo sát và vẽ (C) b) TìmM (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất 2) CMR : m 1, Đồ thị (Cm) luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định Bài 61) Khảosát và vẽ (C) : y = f(x) = 2) Tìm M (C) để tổng khoảng cách từ M đến 2 Tiệm cận là nhỏ nhất Bài7) Khảosát và vẽ y = với m =2 2) CMR : Tích các khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ (C2) (m = 2) tới 2 Tiệm cận là 1 hằng số 3) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ.yCt > 0 Bài 81)Khảosát và vẽ y = (C) 2) Tìm A(x1, y1) (C) để khoảng cách từ A đến giao điểm 2 Tiệm cận min Bài 91)Khảosát và vẽ y = 2) Tìm M trên Đồ thị hàm số để khoảng cách từ M đến giao điểm của 2 đường Tiệm cận là min Bài 10 : 1)Khảosát và vẽ y = 2) CMR : tích các khoảng cách từ 1 điểm M bất kỳ (C) đến các Tiệm cận là 1 hằng số 3) tìm trên mỗi nhánh của (C) một điểm khoảng cách giữa chung min Bài 121)Khảosát và vẽ (C): y = 2) Tìm trên Đồ thị điểm M để tổng khoảng cách từ M đến Ox, Oy là min Bài 13:1) Khảosát và vẽ (C) : y = 2) Tìm M (C) để khoảng cách từ M đến Ox gấp 2 khoảng cách từ M đến Oy Bài 1) Khảosát và vẽ (C) : y = 2) Tìm M (C) để khoảng cách từ M đến 2 Tiệm cận có tổng min Bài 14 : 1) Khảosát và vẽ (C) : y = 2) (d) qua I(-1, 0) có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của (d) và (C) 3) Gọi M0(x0, y0) (C). CMR : tích khoảng cách từ M0 đến 2 đường Tiệm cận của (C) là const Quỹ tích Dạng 1 : Để tìm quỹ tích của điểm M (x;y) di động trên mặt phẳng (do t/s m tác động làm điểm M di động ) ta làm như sau : Xác định toạ độ điểm M theo m : Khử tham số giữa (*) và (**) ta được hệ thức : F(x;y) =0. Suy ra M thuộc đường (Z) : F(x,y)=0 Giứi hạn quỹ tích (nếu có ) Kết luận : Quỹ tích điểm M là một phần đường (Z) ứng với hoành độ hay tung độ ở phần giới hạn . *. Đặc biệt : - Nếu M :thì M chạy trên đường thẳng (d) có Phương trình : x=a - Nếu M Thì M chạy trên đường thẳng (D) có Phương trình : y=b. Ví dụ 1: Cho hàm số : (C) và đường thẳng (d) : y=-2x+m Khi (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N . tìm quy tích trung điểm I của MN . HD :*. Phương trình hoành độ điểm chung của (C) và (d) : . Để (C) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì Phương trình (a) phải có 2 nghiệm phân biệt .Gọi xM; xN là nghiệm của Phương trình (*). Vì I là trung điểm của M, N nên Từ (1) suy ra : m= 4xI +4 . Thay vào (2) ta được : yI= 2xI +4. Vậy I chạy trên đường thẳng : y=2x+4. */Giới hạn : để thì phải */Kết luận : Vậy quỹ tích điểm I là phần đường thẳng : y=2x+4 với Ví dụ 2 : Cho hàm số : (C) xác định m để đồ thị hàm số không suy biến thành đường thẳng . Tìm quỹ tích tâm đối xứng I của (C) . HD : 1. Ta có :. ĐS : 2.Với thì (C) có hai tiệm cận : ; . Khi đó toạ đọ giao điểm I là nghiệm của hệ Phương trình : Từ (*) suy ra : thế vào (**) ta được : Giới hạn : Để có I . Kết luận : Quỹ tích tâm đối xứng I là đường thẳng : với Ví dụ 3 : Cho hàm số : (C) Chứng minh rằng và (C) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của m . Tìm quy tích trung điểm I của đoạn thẳng AB. HD : Phương trình hoành độ điểm chung của (C) và là : (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt m. Vậy và (C) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B . Gọi xA ; xB là nghiệm của Phương trình (1) . Ta có : Vì I là trung điểm của AB nên : Suy ra Thay m=-2xI ta được : Vậy quỹ tích đường cong (C) : Ví dụ 4 : Cho hàm số : có đồ thị (C) Tìm quỹ tích các điểm nằm trong mặt phẳng mà từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau . HD : Gọi và (d) là đường thẳng đi qua M0 có hệ số góc là k có dạng : .Khi đó Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là : Do (d) tiếp xúc với (C) Phương trình (*) có nghiệm kép (2) Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt k1; k2 1 sao cho : Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn : bỏ đi 2 giao điểm của với đường thẳng x=1và 2 giao điểm của với đường thẳng y=x-1. Ví dụ 5 : Cho hàm số : (Cm) Tìm quỹ tích điểm cực đại , cực tiểu của đường cong (Cm) HD : TXĐ: D=R\ Ta có : Hàm số có cực đại và cực tiểu gx có hai nghiệm phân biệt khác -2 m<0 Với m<0 hàm số có hai điểm cực trị : và Lập bảng biến thiên : ta được điểm cực đại I Từ (*) suy ra : Thay vào (**) ta được : Vậy quỹ tích điểm I chạy trên (P) : Giới hạn Kết luận : Quỹ tích các điểm cực đại I là một phần của (P) : Với . ý luận tương tự : Quỹ tích các điểm cực tiểu H là một phần của (P) : Với . Ví dụ 6 : Cho hàm số : . Tìm quỹ tích các điểm cực đại của đồ thị HD: TXĐ: D=R\Hàm số đạt cực đại , cực tiểu Với m>0 hàm số có điểm cực đại . Suy ra : m= =2xM2 với xM 1. Vậy điểm cực đại nằm trên (P) : y =2x2 Giới hạn : .Kết luận : Quỹ tích điểm M là phần đường cong : y=2x2với x<1