Giáo án lớp 12 môn Toán - Các phép biến hình afin trong mặt phẳng

CHƯƠNG II : CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1. CÁC PHÉP BIẾN HÌNH AFIN TRONG MẶT PHẲNG A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Phép biến hình afin 1.1. Đại cương về phép biến hình trong mặt phẳng Cho mặt phẳng P, ta cũng kí hiệu P là tập hợp các điểm của mặt phẳng P. Mỗi tập hợp con của P được gọi là một hình của mặt phẳng P. Định nghĩa: Phép biến hình f của mặt phẳng P là một song ánh của P lên chính nó. Kí hiệu f: Với mỗi điểm M của P, điểm M' = f(M) gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f, còn điểm M gọi là tạo ảnh của điểm M'. Ta cũng nói: phép biến hình f biến điểm M thành điểm M'. Cho H là một hình nào đó, tập hợp H' = f(H) gồm ảnh của tất cả các điểm của H gọi là ảnh của hình H. Ta cũng nói: phép biến hình f biến hình H thành hình H'. Tích hai phép biến hình của mặt phẳng P là một phép biến hình của mặt phẳng P; Mỗi phép biến hình f của P là song ánh của P, có phép đảo ngược cũng là một song ánh của P, ta gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f và . Tập hợp tất cả các phép biến hình của mặt phẳng P với phép toán tích hai phép biến hình làm thành một nhóm. 1.2 Tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng Định nghĩa: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và đôi một phân biệt. Khi đó ta có với k là một số thực và số k được gọi là tỉ số đơn của ba điểm A, B, C và kí hiệu là: (A, B,C) theo đúng thứ tự đã xác định. Chú ý 1: C là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi (A, B, C) = -1. Chú ý 2 : Gọi là vectơ đơn vị chỉ phương của đường thẳng AB, ta có , , trong đó là các số thực. Để tiện dùng về sau, ta kí hiệu . Từ ta có Vậy tức là ta có tỉ số đơn Lưu ý rằng ở đây, ta xét trên mặt phẳng afin, nên kí hiệu và để chỉ các số thực và sao cho và mà không phải là độ dài đại số của đoạn thẳng. Phép biến hình afin Định nghĩa : Phép biến hình f: PP được gọi là phép biến hình afin (hoặc phép afin) nếu f biến ba điểm thẳng hàng bất kì thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi tỉ số đơn của ba điểm đó. Có nghĩa là, qua phép biến hình afin, bất kì ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ảnh của chúng A’ = f(A), B’ = f(B), C’ = f(C) cũng thẳng hàng và tỉ số đơn được bảo toàn: (A’, B’, C’) = (A, B, C). Các tính chất của phép afin a. Phép biến hình afin biến đường thẳng thành đường thẳng b. Phép afin biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng cắt nhau, biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song. c. Phép afin biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng, biến tia thành tia, biến nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng, biến tam giác thành tam giác, biến miền tam giác thành miền tam giác. d. Gỉa sử phép biến hình f biến bốn điểm A, B, C, D lần lượt thành bốn điểm A’, B’, C’, D’. Khi đó nếu thì = . Hệ quả : Qua một phép afin, ảnh của một hình bình hành là một hình bình hành, ảnh của một hình thang là một hình thang, ảnh của trung điểm cuả một đoạn thẳng là trung điểm của đoạn thẳng ảnh, ảnh của trọng tâm tam giác là trọng tâm của tam giác 1.4. Phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin. Ta kí hiệu là tập hợp tất cả các véctơ nằm trong mặt phẳng afin P, tức là không gian véctơ hai chiều trên trường số thực liên kết với mặt phẳng afin P. Định nghĩa : Cho f: P P là một phép afin. Phép biến đổi tuyến tính đặt tương ứng mỗi véctơ với một một véc tơ, trong đó M’ = f(M), N’ = f(N) với M, N là hai điểm tùy ý sao cho , được gọi là phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin f. 1.5. Xác định phép afin Định lí: Cho hai điểm I và của mặt phẳng afin P và cho phép biến đổi tuyến tính : . Khi đó tồn tại phép biến hình afin duy nhất f liên kết với và f(I) =. Hệ quả: Cho hai tam giác bất kì ABC và thì bao giờ cũng tồn tại một phép afin duy nhất f của P biến A thành , biến B thành , biến C thành . 1.6. Biểu thức tọa độ của phép biến hình afin. Cho phép afin , liên kết với phép biến đổi tuyến tính . Chọn một mục tiêu afin (O;,) nào đó của mặt phẳng P. Biểu thức tọa độ của phép afin f đối với mục tiêu là: Ma trận A = gọi là ma trận của phép afin f đối với mục tiêu đã chon. 1.7. Phép thấu xạ afin Định nghĩa Phép afin f được gọi là phép thấu xạ afin nếu có đường thẳng d sao cho mọi điểm của d đều là điểm bất động. Đường thẳng d gọi là trục của phép thấu xạ f. Phép thấu xạ f được xác định nếu biết trục d của nó và biết hai điểm tương ứng A và , trong đó A không nằm trên d (do đó cũng không nằm trên d và nếu A và trùng nhau, phép thấu xạ là phép đồng nhất). Tính chất của phép thấu xạ Giả sử cho phép thấu xạ afin f không phải là phép đồng nhất. a. Phương thấu xạ Nếu điểm M và ảnhkhông trùng nhau thì đường thẳngluôn có phương cố định. Phương của các đường thẳng đó gọi là phương thấu xạ. b. Trục thấu xạ Hai đường thẳng tương ứng m và m’= hoặc cùng song song với phương thấu xạ, hoặc cắt nhau tại một điểm nằm trên trục thấu xạ d. c , Tỉ số thấu xạ Nếu M không phải là điểm bất động và đường thẳng MM’ cắt d tại điểm thì (M’, M, M0) = k, trong đó k là một số không đổi khác 0 và không phụ thuộc M . Số k gọi là tỉ số thấu xạ. d. Phép thấu xạ trượt Hình 21 Định nghĩa : Nếu tồn tại điểm A có ảnh A’ = sao cho đường thẳng AA’ song song với trục thấu xạ d, thì phép thấu xạ f được gọi là phép thấu xạ trượt. Khi đó, với mọi điểm M và ảnh M’ = ta có MM’ song song với trục thấu xạ d. 1.8. Phân tích một phép afin thành tích của các phép thấu xạ Định lý: Mọi phép afin trên mặt phẳng P đều có thể phân tích thành tích của không quá ba phép thấu xạ . Nói khác đi, mọi phép afin được xem là tích của nhiều nhất ba phép thấu xạ afin. 2. Nhóm afin và hình học afin 2.1. Nhóm afin Ta xét tập Af(P) gồm các phép biến hình afin của mặt phẳng P. Khi đó Af(P) làm thành một nhóm đối với phép lấy tích hai phép afin, vì i, Tích của hai phép afin là một phép afin. ii, Đảo ngược của mộ phép afin cũng là một phép afin. iii, Phép đồng nhất e cũng là một phép afin. 2.2. Tương đương afin Định nghĩa Hình H gọi là tương đương afin với hình H’ nếu có một phép afin f biến hình H thành hình H’. Khi đó ta ký hiệu H H’. Quan hệ tương đương afin có các tính chất: Phản xạ, đối xứng, bắc cầu. 2.3. Bất biến afin Định nghĩa - Một tính chất nào đó của hình H gọi là tính chất afin nếu mỗi hình H’ tương đương afin với H đều có tính chất đó. Nói khác đi, tính chất afin của một hình được bảo toàn qua một phép afin bất kỳ. - Một khái niệm được gọi là khái niệm afin nếu nó không bị thay đổi qua bất kỳ phép afin nào. - Các tính chất afin và các khái niệm afin được gọi chung là những bất biến afin. B. BÀI TẬP 2.1. Cho song ánh f; có tính chất: f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng. Chứng minh: f biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng. f biến đường thẳng thành đường thẳng. f biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song. f biến bốn đỉnh của một hình bình hành thành bốn đỉnh của một hình bình hành. 2.2. Cho phép afin f và hai điểm A, B phân biệt. Chứng minh rằng nếu f(A) = B, f(B) = A và I là trung điểm AB thì f(I) = I. 2.3. Cho tứ giác ABCD. Gọi f là phép afin sao cho f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D, f(D) = C. Chứng minh: a. Nếu d là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và trung điểm của đoạn CD thì f biến mọi điểm của d thành chính nó. Tứ giác ABCD là hình thang. 2.4. Chứng minh rằng nếu phép afin f biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a’ song song hoặc trùng với a thì f là phép tịnh tiến hoặc là phép vị tự. 2.5. Có bao nhiêu phép afin biến đổi một tam giác đã cho thành chính nó ? 2.6. Cho hai hình bình hành tùy ý ABCD và MNPQ. Chứng minh rằng có duy nhất phép afin f biến hình bình hành ABCD thành hình bình hành MNPQ. 2.7. Xét hai hình thang tùy ý ABCD (có cặp cạnh đáy AB, CD) và MNPQ (có cặp cạnh đáy MN, PQ) . Tìm điều kiện để tồn tại phép afin f biến hình thang này thành hình thang kia. 2.8. Cho hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’. Với điều kiện nào thì có phép afin f biến các đỉnh A, B, C, D lần lượt thành các đỉnh A’, B’, C’, D’ ? Các bài tập từ 8 đến 18 được xét trong mặt phẳng với hệ tọa độ afin 2.9. Tìm biểu thức tọa độ của phép afin biến các điểm A(1, 0), B(0, 2), C(-3, 0) lần lượt thành các điểm A’(2, 3), B’(-1, 4), C’(-2, -1). 2. 10. Tìm biểu thức tọa độ của phép đảo ngược của phép afin sau đây: f : 2. 11. Cho hai phép afin: f : g : Tìm biểu thức tọa độ của và . 2.12. Cho phép afin: f : Tìm ảnh của đường thẳng d: 2x + y -1 = 0. Tìm tạo ảnh của đường thẳng : 3x + y + 2 = 0. Tìm trên dường thẳng m: 7x – 2y - 24 = 0 một điểm sao cho ảnh của nó cũng nằm trên đường thẳng m đó. Tìm đường thẳng, tức là tìm phương trình của, đi qua điểm A(1, 1) sao cho ảnh của đường thẳng cũng đi qua A(1, 1). 2. 13. Tìm điểm bất động và đường thẳng bất động (tức là đường thẳng biến thành chính nó) của các phép afin sau đây: a. f : b. g : 2.14. Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp sau đây: Mọi điểm của trục tọa độ Ox đều là điểm bất động và điểm B(2, 6) biến thành điểm C(-1, -4). Mọi điểm của đường thẳng : x + 2y -1 = 0 đều là điểm bất động và điểm C(1, 2) biến thành điểm D(2, 2). 2.15. Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp: Các đường thẳng d: x + y + 1 = 0 và: x + 2y -1 = 0 biến thành chính nó, còn điểm A(1, 1) biến thành điểm B(2, 1). Các đường thẳng : 5x - 6y -7 = 0 và : 3x - 4y = 0 lần lượt biến thành các đường thẳng : 2x + y – 4 = 0 và : x – y +1 = 0, còn điểm A(6, 4) biến thành điểm B(2, 1). 2.16. Các phép afin sau đây có phải là phép thấu xạ hay không? Nếu có, hãy tìm tỉ số thấu xạ, nếu không phải là thấu xạ trượt: a) f : b) g : c) h : d) k : e) m : 2. 17. Với giá trị nào của k và l, các phép iến đổi sau đây là thấu xạ : a) f : b) g : 2.18. Chứng minh rằng mọi phép afin biến tam giác ABC đã cho thành chính nó đều có thể phân tích thành tích của không quá hai phép thấu xạ. 2. 19. Có hay không các phép thấu xạ biến một hình bình hành ABCD đã cho thành chính nó và thỏa mãn một trong các điều kiện sau: Biến A thành B; D thành C ? Biến A thành B; C thành D ? Biến A thành C; C thành A ? 2.20. Chứng minh rằng tập hợp các phép vị tự và các phép tịnh tiến làm thành một nhóm, tập hợp các phép tịnh tiến làm thành một nhóm. Xét quan hệ giữa các nhóm đó với nhau và nhóm các phép afin Af(P). 2.21. Chứng tỏ rằng hai hình bình hành bất kỳ tương đương afin. 2.22. Tìm điều kiện để hai hình thang tương đương afin. 2.23. Chứng minh rằng với mỗi đường kính AB của e- líp (E) luôn có duy nhất đường kính CD sao cho mỗi dây cung của e-líp song song với một trong hai đường kính đó đều bị đường kính kia chia thành hai đoạn bằng nhau. Hai đường kính như vậy được gọi là hai đường kính liên hợp. 2.24. a. Chứng tỏ rằng khái niệm đường kính liên hợp là khái niệm afin. b. Chứng tỏ rằng khái niệm đường tiệm cận của đường bậc hai là một khái niệm afin. c. Chứng tỏ rằng khái niệm tiếp tuyến với đường bậc hai là một khái niệm afin. 2.25. Cho tam giác ABC nội tiếp e- líp (E). Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và O là tâm của e- líp (E). Chứng minh rằng các đường thẳng lần lượt đi qua A, B, C và lần lượt song song với OA’, OB’, OC’ đồng qui. 2.26. Một đường thẳng d song song với cạnh AB của hình bình hành ABCD cắt AD, BC lần lượt tại hai điểm P, Q. Trên DC lấy hai điểm phân biệt M, N không trùng với D, C; trên đường thẳng d lấy hai điểm phân biệt E, F khác P, Q sao cho ME không song song với NF. Gọi S, T, U lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AM và BN, AE và BF, ME và Chứng minh ba điểm S, T, U thẳng hàng. 2.27. Cho hình bình hành ABCD và một điểm I nằm trong hình bình hành đó. Qua I kẻ hai đường thẳng a, b tương ứng song song với AB và BC: a lần lượt cắt BC và DA tại E và F, b lần lượt cắt AB và DC tại G và H. Chứng minh rằng các đường thẳng AC, EG, FH đồng qui hoặc song song. 2.28. Cho một đường thẳng d không đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD và N là một điểm tùy ý trên đường thẳng d. Qua các điểm A, B, C tương ứng dựng các đường thẳng a, b, c sao cho: a // NC, b // ND, c // NA. Chứng minh rằng: Các đường thẳng a, b, c đồng qui tại một điểm M. Tìm quỹ tích các điểm M khi N di động trên d. C. HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN 2.1. Hướng dẫn a. Chứng minh f biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng. Hình 22 Gợi ý: Giả sử ngược lại rằng f biến ba điểm không thẳng hàng A, B, C thành ba điểm thẳng hàng Suy ra được f biến các điểm trên ba đường thẳng AB, BC, CA thành các điểm trên đường thẳng Từ đó suy ra được f không phải là song ánh. Điều này mâu thuẫn với giả thiết f là một song ánh. b. Chứng minh f biến đường thẳng thành đường thẳng. (Sinh viên tự chứng minh). c. Chứng minh f biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song. Gợi ý: Giả sử a, b là hai đường thẳng song song và là ảnh của chúng qua f mà hoặc * Nếu thì gọi I là điểm mà Suy ra và tức là Điều này mâu thuẫn với a song song với b. * Nếu thì suy ra f không phải là một đơn ánh (trái với giả thiết f song ánh). Vậy a // b. d. Chứng minh f biến bốn điểm của một hình bình hành thành bốn điểm của một hình bình hành. (Sinh viên tự chứng minh). 2.2. Gợi ý: Hình 23 Giả sử Khi đó có: là trung điểm của BA. Nghĩa là 2.3. Hướng dẫn a. Gợi ý (xem hình 24). Hình 24 Gọi I, J là trung điểm AB, DC, khi đó d là đường thẳng IJ. Dường thẳng d chứa hai điểm bất động I, J phân biệt nên mọi điểm của d đều bất động. b) Gợi ý Theo câu a) suy ra f là phép thấu xạ afin có trục thấu xạ là đường thẳng d. Vì nên AB, CD cùng phương với phương thấu xạ. Suy ra AB // CD. Þ Tứ giác ABCD là hình thang. 2.4. Hướng dẫn Phép tịnh tiến và phép vị tự đều là những phép afin có tính chất biến một đường thẳng a tùy ý thành đường thẳng song song với a hoặc trùng với a. Đối với phép tịnh tiến, khi phương của a cùng phương với véctơ tịnh tiến; đối với phép vị tự, khi đường thẳng a đi qua tâm vị tự I của phép vị tự. Nếu f là phép afin không phải là phép vị tự thì ta suy ra phép afin f không có điểm bất động nào. Do đó f là phép tịnh tiến. 2.5. Gọi ý Áp dụng định lí về sự xác định một phép afin để suy ra có 3! = 6 phép afin biến D ABC thành chính nó. 2.6. Hướng dẫn ( xem hình 25 ) Hình 25 Với DABC và DMNP, có duy nhất phép afin f thỏa mãn f(A) = M, f(B) = N, f(C) = P. Khi đó ta suy ra f(D) = Q (do . Vậy phép afin f biến hình bình hành ABCD thành hình bình hành MNPQ ( f là duy nhất) 2.7. Hướng dẫn ( xem hình 26 ) Hình 26 Giả sử ABCD, MNPQ là hai hình thang (AB // CD, MN // PQ). Điều kiện để có phép afin f biến hình thang ABCD thành hình thang MNPQ là Thật vậy: Đường thẳng qua B song song với AD cắt DC tại E cho tứ giác ABED là hình bình hành. Tương tự, đường thẳng qua N song song với MQ cắt QP tại R cho tứ giác MNRQ là hình bình hành. Có phép afin f biến A, B, E, D thành M, N, R, Q tương ứng. 2.8. Hướng dẫn Gợi ý: Xem lại 2.6 và 2.7. 2.9. Hướng dẫn Biểu thức tọa độ của phép afin f có dạng cần tìm a, b, c, d, p, q. Sử dụng các điều kiện: để thu được hệ phương trình bậc nhất gồm sáu phương trình, sáu ẩn. Chẳng hạn, điều kiện cho hai phương trình sau: Hay Giải hệ phương trình để có được a, b, c, d, p, q. Đáp số: 2.10. Hướng dẫn Chú ý đến mối liên hệ giữa afin f và phép afin đảo ngược f: P ® P Từ biểu thức của f : Rút x, y theo x’, y’ và được: Vậy, ta được biểu thức tọa độ của phép như sau : : 2.11. Hướng dẫn a. Tìm biểu thức tọa độ của g.f Tính theo sơ đồ : P P P (x,y (x’,y’) (x’’,y’’) M’(x’, y’) M’’(x’’, y’’) : (I) M(x, y) M’(x’, y’) : (II) Tính tọa độ của M’’ theo tọa độ của M bằng cách thay (II) vào (I) : Vậy g.f có biểu thức tọa độ là g.f : b. Tìm biểu thức tọa độ của f.g . Tương tự trên, ta có được f.g 2.12. Hướng dẫn : Xét phép afin f : a, Tìm ảnh của đường thẳng d : 2x + y – 1= 0 qua f. Cách 1 : Lấy hai điểm A(x1, y1) , B(x2, y2) d. Gọi A’ , B’ là ảnh của A, B qua f . Dựa vào biểu thức tọa độ của f tính được tọa độ của A’, của B’. Viết phương trình đường thẳng d’ qua A’, B’ _ Đó chính là ảnh của đường thẳng d qua f. Cách 2 : Từ biểu thức tọa độ của f, rút x, y theo x’, y’ được: Thay x, y vào phương trình của d và biến đổi đại số đơn giản ta được phương trình sau : 2x’ + y’ + 13 = 0 Đây chính là là phương trình của d’ . (SV chứng minh) Đáp số: d’ : 2x + y + 13 = 0 b. Tìm tạo ảnh của đường thẳng : 3x + y + 2 = 0 Ta tìm phương trình của đường thẳng d sao cho f(d) =. Cách 1 : Theo kí hiệu thông thường của ảnh thì: 3x’ + y’ + 2 = 0 Lấy M(x, y) tuỳ ý thuộc d và gọi M’(x’, y’) là ảnh của M qua f . Ta có : Thế x’, y’ vào phương trình của , ta được 3(3x + 4y – 12) + 4x – 3y + 6 +2 = 0 13x + 9y – 28 = 0 Đây chính là phương trình của đường thẳng d – tạo ảnh của qua f. Cách 2 : Lấy hai điểm M, N trên . Dựa vào biểu thức tọa độ của f để tính được tọa độ của hai điểm A, B là tạo ảnh của M, N qua f. Viết phương trình đường thẳng d qua A, B . Đó chính là tạo ảnh của qua f. Đáp số: d : 13x + 9y - 28 = 0 c. Hướng dẫn Gỉa sử M(a, b) d: 7x – 2y – 24 = 0 Gọi M’(a’, b’) là ảnh của M qua f. Ta có : M d 7a – 2b – 24 = 0 M’d 7a’ – 2b’ – 24 = 0 7(3a + 4b – 12) – 2(4a – 3b + 6) – 24 = 0 13a + 34b – 120 = 0 Vậy a, b là nghiệm của hệ phương trình Vậy, M(4, 2) d, Hướng dẫn : Đường thẳng đi qua A(1, 1) có phương trình dạng : y = k(x – 1) + 1 hay : kx – y +1 – k = 0 ( cần tìm k ! ) Ảnh của là có phương trình là: : Áp đặt cho đi qua A(1, 1) suy ra được Đáp số: : 443x – 294y – 149 = 0. 2.13. Hướng dẫn: a. Hướng dẫn: *1 Tìm điểm bất động được hiểu là tìm tọa độ của điểm bất động đối với một hệ tọa độ nào đó. Ở đây chúng ta sẽ tìm tọa độ của điểm bất động đối với hệ tọa độ dùng để viết biểu thức tọa độ của phép afin. *2 Tọa độ (x, y) của điểm bất động M là nghiệm của hệ phương trình Đáp số : Điểm bất động là : b. Hướng dẫn : *1 Tọa độ của điểm bất động là nghiệm của hệ phương trình *2 Tuỳ theo giá trị của a mà phép afin đó cho có điểm bất động hay không + Với a = 4, đường thẳng chưa toàn điểm bất động là r : 2x + y - 4 = 0. + Với a 4, không tồn tại điểm bất động. 2.14. Hướng dẫn : a. Biểu thức tọa độ tổng quát của phép afin là : f : Sử dụng điều kiện mọi điểm của trục Ox đều bất động và B(2, 6) biến thành C(-1,-4) để tìm được a, b, c, d, p, q. Cụ thể : O(0, 0) O(0, 0) (1) A(1, 0) A(1, 0) (2) B(2, 6) C(-1, -4) (3) Với (1) ta có p = 0, q = 0 Với (2) và p = 0, q = 0 suy ra được a = 1, b = 0 Với (3) và p = 0, q = 0, a = 1, b = 0 suy ra được Đáp số: f : b. Biểu thức tọa độ của phép afin là: f : Sử dụng các điều kiện sau đây để xác định a, b, c, d, p, q: là điểm bất động (thuộc đường thẳng ∆: ) là điểm bất động ( thuộc đường thẳng ∆: ) biến thành Cụ thể hơn: bất động suy ra bất động suy ra biến thành suy ra Tóm lại, ta được hệ 6 phương trình, 6 ẩn sau: Đáp số: f : 2.15. Hướng dẫn: a. Biểu thức tọa độ tổng quát của phép afin là: f : Cần tìm a, b, c, d, p, q từ hệ điều kiện sau: bất động bất động Hai đường thẳng d và ∆ đều bất động suy ra giao điểm I của d và ∆ là điểm bất động Tính được Vậy, ta xác định a, b, c, d, p, q từ điều kiện bất động và điều kiện biến thành . bất động biến thành Tóm lại, ta có được hệ sồm 4 phương trình bậc nhất, 6 ẩn sau: Giải hệ, ta thu được: Chọn p = 5, q = 5, ta có . Ta được biểu thức tọa độ là: b, Gọi I là giao điểm của và Gọi J là giao điểm của và Khi đó, phép afin sẽ biến I thành J Tìm được tọa độ của I và J Tọa độ cuả I là nghiệm của hệ phương trình Tọa độ của J là nghiệm của hệ phương trinh Như vậy, ta xác định phép afin f thỏa và . Thực hiện tương tự như a, để có đáp số. (Sinh viên hoàn chỉnh bài giải) 2.16. Hướng dẫn: Tìm tập hợp các điểm bất động của mỗi phép rồi dựa vào đó mà đưa ra kết luận. a. Đáp số: Là một phép thấu xạ; Trục thấu xạ là đường thẳng Ox; Tỉ số thấu xạ bằng k. b. Đáp số: Là một phép thấu xạ; Trục thấu xạ là đường thẳng . Tỉ số thấu xạ k = -1. Chú ý: Để tìm tỉ số thấu xạ, ta lấy một điểm M tùy ý. Qua g điểm M biến thành . Tìm giao điểm của và ∆. Tính tỉ số đơn . Tỉ số đơn này chính là tỉ số thấu xạ. Cụ thể: Lấy ta tính được và giao điểm của ∆ và là . Tính được . c. Xét h không có điểm bất động nào h không phải là một phép thấu xạ. d. Xét Điểm bất động của k là nghiệm của hệ phương trình(*) Hệ (*) có vô số nghiệm KVCK * Nếu thì phép afin là phép đồng nhất. * Nếu một phép thấu xạ l : Trực thấu xạ là đường thẳng : Tỉ số thấu xạ k = - 1 e, xét phép m: Đáp số : Là một thấu xạ mà trục thấu xạ là đương thẳng : y = 0 Không có tỉ số thấu xạ (vì m là phép thấu xạ trượt ) 2.17. Hướng dẫn *1 Từ biểu thức tọa độ cua phép biến đổi afin lập nên hệ phương trình tìm tọa độ điểm kép ( hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y ) *2 Các giá trị của k, l làm cho phép biến đổi afin là phép thấu xạ cũng là giá trị làm cho hệ phương trình tìm điểm bất động có vô số nghiệm. *3 Tính *4 Hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi = 0 Từ đây có giá trị của k và l. 2.18. Hướng dẫn Sử dụng phương pháp chứng minh như đã dùng chứng minh trong định lý về phân tích một phép afin thành tích của phép thấu xạ (giáo trình trang 47) 2.19. Sử dụng định nghĩa thấu xạ để xem xét. 2.20 . Gợi ý Tập hợp các phép vị tự và tịnh tiến lập thành một nhóm ( Chỉ ra : Phép toán tích các phép biến hình có tính chất kết hợp, chỉ ra phần tử trung lập là phép đồng nghất, chỉ ra phép nghịch đảo của mỗi phép trong tập ) Tập hợp T các phép tịnh tiến ( Tương tự trên ) Ta có: T Af(P) 2.21. Hướng dẫn: Sử dụng bài tập 2.6 và định nghĩa của quan hệ tương đương afin để suy ra điều phải chứng minh. 2.22. Hướng dẫn: Sử dụng bài tập 2.7 và định nghĩa của quan hệ tương đương afin để suy ra điều kiện phải tìm. 2.23. Lời giải ( Xem hình 27) Xét e-lip (E) tâm O và AB là một đường kính đường kính tùy ý. Chọn một hệ tọa độ afin sao cho phương trình của (E) có dạng chính tắc: x2 + y2 = 1. Khi đó, giả sử đường thẳng AB có phương u = (a, b). Gọi MN là một dây cung thay đổi có phương u, tức là đường thẳng MN có véc tơ chỉ phương u = (a, b). Gọi I(x0, y0) là trung điểm của đoạn MN. Nếu thì hay M(x0 + at, y0 + bt), N(x0 - at, y0 - bt). Hình 27 Vì M và N đều thuộc (E) nên: (x0 + at)2 + (y0 + bt)2 = 1 và (x0 – at)2 + (y0 - bt)2 = 1. Suy ra: 4(ax0 + by0)t = 0. Vì t 0 nên suy ra: ax0 + by0 = 0. Như vậy, I nằm trên đường thẳng có phương trình ax + by = 0 đi qua tâm O của e-lip. Tuy nhiên, I phải nằm trong hay nằm trên (E) nên quĩ tích I là một đường kính CD của (E). Rõ ràng là đường kính CD chia đôi các dây cung song song với đường kính AB. Tương tự, cũng suy ra rằng đường kính AB là quĩ tích các trung điểm của các dây cung song song với đường kính CD nên đường kính AB chia đôi các dây cung song song với đường kính CD. 2.24. Hướng dẫn a. ( Xem lại bài tập 2.23) Vì qua mỗi phép afin, trung điểm của đoạn thẳng biến thành trung điểm của đoạn thẳng, các đường thẳng song song biến thành các đường thẳng song song, đường bậc hai biến thành đường bậc hai nên suy ra khái niệm cặp đường kính liên hợp là khái niệm afin. b. ( SV tự giải) c. ( SV tự giải ) 2.25. Hướng dẫn (xem hình 28) Hình 28 Sử dụng tương đương afin để giải bài toán này: Dùng một phép afin f biến e-líp (E) và tam giác ABC thành đường tròn (C) và tam giác MNP. Giải bài toán trong mặt phẳng Ơ- clit đối với đường tròn (C) và tam giác MNP ( hoàn toàn đơn giản) để suy ra kết quả cho e-líp (E) và tam giác ABC ( nhờ tương đương afin ). 2.26. Lời giải: ( Xem hình 29) Hình 29 Xét phép vị tự Vì và M N nên và . Theo định lý Ta- lét, do MN // AB nên có , tức là Xét phép vị tự Tương tự trên, ta có ,( và . Tích là một phép vị tự tâm T, tỉ số k.h, trong đó, T là điểm chia đoạn SU theo tỉ số , tức là . Vậy, ba điểm S, T, U thẳng hàng. 2.27. Lời giải : ( Xem hình 29 ) Gọi K, L tương ứng là giao điểm của các cặp đường thẳng DA và EG, AC và HG. Rõ ràng LHC và LGA có HC// AG nên KAG và EBG có AK// BE nên Hình 30 Suy ra , hay . Xét phép co- dãn về đường thẳng AC theo phương BC với tỉ số k = < 0: Ta có: , , suy ra: , Theo tính chất của phép co- dãn, đường thẳng GK và ảnh HF của nó hoặc song song với trục AC của phép co-dãn hoặc cắt nhau tại một điểm J trên AC. 2.28. Lời giải ( Xem hình 31 ) Hình 31 a. Hai đường thẳng a, c tương ứng song song với NC và NA nên cắt nhau tại một điểm M. Ta chứng minh đường thẳng b cũng đi qua M. Tứ giác AMCN là hình bình hành nên các đường chéo AC và MN cắt nhau tại trung điểm I của chúng. Nhưng ABCD là hình bình hành( giả thiết) nên I cũng là trung điểm của BD. Do đó: BM // ND hoặc BM ND, nên BM trùng với b. Vậy, a, b, c đồng qui tại M. b. Theo câu a., ta có: M là giao điểm của a, b, c ,( I là trung điểm của BD, I cố định ) M thuộc quỹ tích , ( SI là phép đối xứng tâm I ) Vậy, quĩ tích của M khi N di động trên đường thẳng d là đường thẳng , ảnh của d qua phép đối xứng tâm SI . §2. CÁC PHÉP ĐẲNG CỰ CỦA MẶT PHẲNG Ơ - CLÍT A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa và tính chất của phép đẳng cự của mặt phẳng Ơ-clit 1.1. Định nghĩa Định nghĩa : Phép biến hình f: PP của mặt phẳng Ơ-clit P được gọi là phép đẳng cự nếu nó không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì của