Giáo án lớp 12 môn Toán - Chủ đề 1: Mặt nón tròn xoay

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 1 Chủ đề 1: MẶT NÓN TRÒN XOAY I- LÝ THUYẾT: 1/ Định nghĩa: Cho đường thẳng ∆ . Một đường thẳng l cắt ∆ tại O và tạo với ∆ một góc α không đổi ( )0 00 90α< < . Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh ∆ gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón). ∆ : trục của mặt nón. l : đường sinh của mặt nón. O : đỉnh của mặt nón. 2α : góc ở đỉnh. 2/ Hình nón và khối nón: a/ Hình nón: Cho mặt nón N với trục ∆ , đỉnh O và góc ở đỉnh là 2α . Gọi ( )P là mặt phẳng vuông góc với ∆ tại I ( )≠I O , cắt mặt phẳng theo thiết diện là đường tròn (C); ( )'P là mặt phẳng vuông góc với ∆ tại O. Khi đó phần của mặt nón N giới hạn bởi hai mặt phẳng ( )P và ( )'P cùng với đường tròn (C) được gọi là hình nón. b/ Khối nón: Là phần không gian giới hạn bởi hình nón, kể cả hình nón đó. Nhận xét: + Thiết diện của hình nón và mặt phẳng qua đỉnh của hình nón là 1 tam giác cân tại đỉnh mặt nón (có cạnh tam giác là l ). + ( ), :M C O R SM l∀ ∈ = : cách xác định 1 đường sinh của hình nón. 3/ Diện tích hình nón và thể tích khối nón: Cho hình nón N có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy R. * Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần: ( ) ( )1 2xq S Rl= = πchu vi ñaùy . ñöôøng sinh 2tp xqS S S Rl R= + = π + π®¸y * Thể tích: ( ) ( ) 21 1 3 3 V R h= = πdieän tích ñaùy . chieàu cao ∆ O l α P' P I α r l O ∆ Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 2 II- BÀI TẬP MINH HỌA: Bài tập 1: Cho hai điểm , A B cố định. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và cách B một đoạn không đổi 2 = AB a . Chứng minh rằng d luôn nằm trên một mặt nón tròn xoay. Bài giải: Xét tam giác AHB vuông tại H: 0 1 sin 60 2 HB AB α = = ⇒ α = . Suy ra đường thẳng d là đường sinh của mặt nón với góc ở đỉnh 02 120α = (không đổi), trục là đường thẳng AB (cố định). Nhận xét: Để chứng minh một đường thẳng đã cho luôn nằm trên một mặt nón tròn xoay, cần chỉ rõ mặt tròn xoay với các thuộc tính không đổi. Bài tập 2: Cho khối nón tròn xoay có đường cao 20=h cm , bán kính đáy 25=R cm . Một mặt phẳng ( )P đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12cm . Hãy xác định thiết diện của ( )P với khối nón và tính diện tích thiết diện đó. Bài giải: 2 2 5 41 cml SO OA= + = Thiết diện tà tam giác SAB cân tại S. Gọi I là trung điểm AB.. Ta có: ( ) OI AB AB SOI SO AB ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ suy ra ( ) ( )SOI SAB⊥ và ( ) ( )SOI SAB SI∩ = . Dựng ( )OH SI OH SAB⊥ ⇒ ⊥ hay ( )( )d ,O SAB OH= . Xét tam giác SOI vuông tại O: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 225OH OS OI OI OH OS = + ⇔ = − = suy ra 15 cmOI = . Xét tam giác OIA vuông tại I: 2 2 20 cm 40 cmAI OA OI AB= − = ⇒ = và 2 2 25 cmSI SA AI= − = . Vậy 2 1 1 . .40.25 500 cm 2 2SAB S SI AB∆ = = = . Bài tập 3: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và 0 0ˆ ˆ30 , 60SAO SAB= = . Tính độ dài đường sinh của hình nón theo a. Bài giải: Đặt SA l= . Gọi I là trung điểm AB OI AB SI AB ⊥ ⇒  ⊥ . Xét tam giác SOA vuông tại O: cos cos 2 SO l SAO SO SA SAO SA = ⇔ = = 300 600 S A B O I I O H B A S H d d α h h B A Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 3 Xét tam giác SAI vuông tại I: 3 sin sin 2 SI SAI SI SA SAI l SA = ⇔ = = Xét tam giác SOI vuông tại O: 2 2 2 2 2 2 3 2 4 4 l l SO OI SI a l a+ = ⇔ + = ⇔ = . Nhận xét: Hoàn toàn chúng ta có thể biểu diễn l theo OA và AI, để áp dụng định lí Pitago trong tam giác AIO. Bài tập 4: Cho khối nón có bán kính đáy 12=r cm và có góc ở đỉnh là 0120α = . Tính diện tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau. Bài giải: Nhận xét: Thiết diện là tam giác cân SAB với .SA SB l= = Xét tam giác SOA vuông tại O: sin sin 2 OA r OSA SA l α = ⇔ = 2 24 cm 3 3sin 2 r r l⇔ = = = α Lúc đó: 2 2 21 1 24 96 cm 2 2 3 SABS l∆   = = =    . Bài tập 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi 1 2 3, , V V V lần lượt là thể tích của khối nón sinh ra khi lần lượt cho tam giác ABC quay quanh AB, AC và BC. CMR: 2 2 2 3 1 2 1 1 1 V V V = + . Bài giải: Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Dễ thấy: 2 1 2 2 1 . 3 1 . 3 V AB AC V AC AB  = π   = π  Nhận xét: Khối tròn xoay nhận được khi quay tam giác ABC quanh BC là hợp của hai khối nón chung đường tròn đáy với bán kính .AH Ta có: ( ) ( )2 23 1 1. . '3 3V BH AH CH A H= π + π ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 . . 3 3 1 1 3 3 BH AH CH AH AH BH CH AH BC = π + π = π + = π Lúc đó: 2 2 2 2 4 2 2 4 1 2 1 1 9 9 . .V V AB AC AC AB + = + π π 600 S A B O C B A A B C H A' B A C Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 4 ( ) ( )2 22 2 2 2 2 1 9 1 1 1 9 1 . . .AB AB AHAB AC AH BC  = + =    π π ( ) 22 2 4 2 32 9 1 1 . 1 3 BC AH V AH BC = = =      (®.p.c.m) π π III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 600. Gọi (T) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích hình nón có đỉnh S và đáy (T). Bài tập 2:Trong mặt phẳng ( )P cho điểm O cố định. Xét những đường thẳng d thay đổi luôn đi qua O và hợp với ( )P một góc 300. Chứng minh rằng d luôn nằm trên một mặt nón xác định. Bài tập 3:Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ' ' ' 'A B C D . Bài tập 4:Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này. Bài tập 5:Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và có góc giữa các mặt bên và mặt đáy là α . Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và α . Bài tập 6:Tính thể tích khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh a? Bài tập 7:Xét tam giác vuông OAB, vuông tại O có 4, 3OA OB= = . Nếu tam giác vuông quay quanh cạnh OA thì mặt nón tạo thành có diện tích xung quanh bằng bao nhiêu? Bài tập 8:Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng α . Tính thể tích khối nón. Bài tập 9:Nếu hình nón có góc ở đỉnh bằng 060 và diện tích đáy bằng 9π thì thể tích hình nón bằng bao nhiêu? Bài tập 10:Tính diện tích thiết diện lớn nhất của hình nón có độ dài đường sinh l , chiều cao h khi cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh hình nón? Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 5 Chủ đề 2: MẶT TRỤ TRÒN XOAY I- LÝ THUYẾT: 1) Định nghĩa: Cho đường thẳng ∆ . Một đường thẳng l song song với ∆ và cách ∆ một khoảng không đổi R. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh ∆ gọi là mặt trụ tròn xoay (hay đơn giản là mặt trụ). ∆ : trục của mặt trụ. l : đường sinh của mặt trụ. R : bán kính của mặt trụ. 2) Hình trụ và khối trụ: a) Hình trụ: Cho mặt trụ có trục ∆ , đường sinh l và bán kính R. Cắt mặt trụ bởi 2 mặt phẳng ( )P và ( )'P cùng vuông góc với ∆ ta được thiết diện là 2 đường tròn ( )C và /( )C . Khi đó phần của mặt trụ giới hạn bởi hai mặt phẳng ( )P và ( )'P cùng với hai đường tròn ( )C và /( )C được gọi là hình trụ. b) Khối trụ: Là phần không gian giới hạn bởi hình trụ, kể cả hình trụ đó. 3) Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ: Cho hình trụ có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy R. * Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần: ( ) ( ) 2 xqS Rl= = πchu vi ñaùy . ñöôøng sinh 22 2tp xqS S S Rl R= + = π + π®¸y * Thể tích: ( ) ( ) 2 V R h= = πdieän tích ñaùy . chieàu cao Nhận xét: + Rõ ràng h l= + Mặt phẳng bất kì song song với trục của trụ (hay qua trục) cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật. + ( ), : // 'M C O R MN OO∀ ∈ : cách xác định 1 đường sinh của hình trụ. II- BÀI TẬP MINH HỌA: Bài tập 1: Cho một đường tròn nằm trên mặt phẳng ( )P . Từ một điểm M nằm trên đường tròn ta kẻ đường thẳng m vuông góc với mặt phẳng ( )P . Chứng minh rằng những đường thẳng m như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Bài giải: Do đường tròn (O) có bán kính R không đổi nên đường thẳng m song song và cách 1 khoảng R với đường thẳng OO’ qua O, vuông góc (P). Từ đây suy ra, đường thẳng m luôn nằm trên mặt trụ với O' O l∆ R P M m m A M O O' R M lh l R O O' Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 6 trục của trụ là đường thẳng OO’ và có h R= (y.c.b.t) Nhận xét: Để chứng minh một đường thẳng đã cho luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay, cần chỉ rõ mặt tròn xoay với các thuộc tính không đổi. Bài tập 2: Cho hình trụ có bán kính đáy 53 cmR = , chiều cao 56h = cm . Một thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục của trụ đến mặt phẳng thiết diện. Bài giải: Gọi thiết diện là hình vuông ABCD và H là trung điểm AB. Ta có: ( ) OH AB OH ABCD OH AD ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ . Do ( ) ( )( ) ( )( )'// d ', d ,OO ABCD OO ABCD O ABCD OH⇒ = = Xét tam giác OAH vuông tại H: 2 2 2 2 2 2 45 cm 2 2 AB h OH OA AH R R    = − = − = − =        Kết luận: ( )( )d ', 45 cmOO ABCD = . Bài tập 3: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ theo R. Bài giải: Gọi thiết diện là hình vuông ABCD. Lúc đó, dễ thấy: 2 2 l AD AB R h l R = = =  = = Vậy 22 4xqS Rl R= π = π (đ.v.d.t) và 2 3. 2V h R R= π = π (đ.v.t.t) Bài tập 4: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao 50 cm=h . a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ được tạo nên. b) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn của đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục của hình trụ. Bài giải: a) 22 5000 cmxqS Rl= π = π và 2 3. 12500 cmV h R= π = π b) Dựng BB’ // OO’ ( )'// 'OO ABB⇒ ( ) ( )( )d ', d ', 'OO AB OO ABB⇒ = Gọi H là trung điểm AB’. Ta có: ( ) ' ' ' OH AB OH ABB OH BB ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Suy ra: ( )( ) ( )( )d ', ' d , 'OO ABB O ABB OH⇒ = = Xét tam giác ABB’ vuông tại B’: 2 2 2 2' ' ' 50 3 cmAB AB BB AB OO= − = − = H O' O D A B C O' O D C A B P K B' B A H O O' Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 7 Xét tam giác OHB’: 2 2 2 2 '' ' ' 25 cm 4 AB OH OB B H OB= − = − = Kết luận: ( )d ', 25 cmOO AB OH= = . Mở rộng: Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng OO’ và AB. + Dựng HK // OO’ + Dựng KP // OH Suy ra, đoạn PK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng OO’ và AB. Bài tập 5: (Khối A- 2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a . Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho 2AB a= . Tính thể tích khối tứ diện OO’AB. Bài giải: Kẻ đường sinh AA’. Gọi D là điểm đối xứng với A’ qua O’ và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A’D. Do 'BH A D⊥ và 'BH AA⊥ nên ( )' ' .BH AOO A⊥ Suy ra: ' ' ' 1 . . 3OO A A OO A V BH S∆= Ta có 2 2 2 2' ' 3 ' 'A B AB A A a BD A D A B a= − = ⇒ = − = 'BO D⇒ ∆ đều 3 2 a BH⇒ = . Vì AOO’ là tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng a nên 2' 1 2AOO S a∆ = . Vậy thể tích khối tứ diện OO’AB là 2 31 3 3 . . 3 2 2 12 a a a V = = (đ.v.t.t) Bài tập 6: Cho hình trụ có bán kính đáy 70 cmR = , chiều cao 20 cmh = . Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy và mặt phẳng hình vuông không song song với trục hình trụ. Tính diện tích hình vuông đó. Bài giải: Gọi H là K lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD của hình vuông ABCD. Ta có: { }// ' 'OH O K HK OO I⇒ ∩ = Dễ thấy: ( ) ' ' c.g.c OI O I OIH O IK HI KI = ∆ = ∆ ⇒  = hay I là trung điểm của OO’ và HK. Đặt ( ) 0 2 140 cmAB x x R= < ≤ = Xét tam giác OHB vuông tại H: 2 2 2 2 4 x OH OB HB R= − = − (1) Xét tam giác OHI vuông tại O, ta có: 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 BC h x h OH HI OI= − = − = − (2) Từ (1) và (2) suy ra: H O' O C A B D K I H DA' A B O O' Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 8 2 22 2 2 2 2 2 2 22 100 cm 4 4 4 4 4 4 4 x x h x x h h R R x R   − = − ⇔ − = − ⇔ = + =    III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Cho mặt phẳng ( )P , một điểm A nằm trên ( )P , một điểm B nằm ngoài ( )P sao cho hình chiếu H của B lên ( )P không trùng với A. Một điểm M di động trong mặt phẳng ( )P sao cho ta luôn có ˆ ˆABM BMH= . Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trục là AB. Bài tập 2: Cho khối trụ có bán kính 5=R cm , khoảng cách hai đáy bằng 7cm . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm . Tính diện tích của thiết diện. Bài tập 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a , chiều cao 3a . Tính diện tích toàn phần mặt trụ nội tiếp, mặt trụ ngoại tiếp lăng trụ. Bài tập 4: Cho khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm . Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lược trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 030 . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện. Bài tập 5: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng. c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho. Bài tập 6: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng 3R ; A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 030 . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. Xác định đoạn vuông góc chung. c) Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B. d) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ. Bài tập 7: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’; ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn tâm O, AA’, BB’ là các đường sinh của hình trụ. Biết bán kính đáy của hình trụ là R và mặt phẳng(A’B’BA) hợp với đáy một góc 600. Tính diện tích tứ giác A’B’CD. Bài tập 8: Cho hình trụ nội tiếp một mặt cầu bán kính R (đường tròn đáy của hình trụ ở trên mặt cầu). a) Cho biết chiều cao của hình trụ bằng h. Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ đã cho. b) Tính giá trị lớn nhất của thể tích hình trụ nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước. Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 9 Chủ đề 3: MẶT CẦU I- LÝ THUYẾT: 1/ Định nghĩa: Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. K/h: ( );S I R ( ) { }; /S I R M IM R⇒ = = 2/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng: Cho mặt cầu ( );S I R và mặt phẳng ( )P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ( )P d IH⇒ = là khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( )P . Khi đó: + Nếu d R> : Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung. + Nếu d R= : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Lúc đó: ( )P đgl mp tiếp diện của mặt cầu. H: tiếp điểm. + Nếu d R< : Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm H và bán kính 2 2 r R IH= − Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mp(P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn. 3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng: Cho mặt cầu ( );S I R và đường thẳng ∆ . Gọi H là hình chiếu của I lên ∆ . Khi đó: + IH R> : ∆ không cắt mặt cầu. + IH R= : ∆ tiếp xúc với mặt cầu. ∆ : Tiếp tuyến của (S) + IH R< : ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt. *Lưu ý: Lúc đó bán kính R của (S) được tính như sau: + Xác định: ( ; ) .d I IH∆ = + Lúc đó: 2 2 2 2 2 AB R IH AH IH  = + = +     4/ Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu: Cho ( );S I R . Khi đó: * Diện tích mặt cầu: 24π= S R * Thể tích khối cầu: 3 4 3 =V Rπ R I ∆ H R I H B A I R ∆ H α I R Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 10 II- BÀI TẬP MINH HỌA: Dạng 1: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Bài tập 1: Cho mặt cầu ( );S O R và một điểm A biết 2OA R= . Qua A kẻ 1 tiếp tuyến với mặt cầu tại B và kẻ 1 cát tuyến cắt ( );S O R tại C, D. Biết 3CD R= . a) Tính độ dài đoạn AB. b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD. Bài giải: a) Tính độ dài đoạn AB: Xét OAB∆ vuông tại B, ta có: 2 2 3AB OA OB R= − = . b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD: Gọi H là trung điểm CD OH CD⇒ ⊥ . Xét OHC∆ vuông tại H, ta có: 2 2 2 2 2 2 3 4 4 2 CD R R OH OC HC OC R= − = − = − = . Bài tập 2: Cho mặt cầu ( );S O R tiếp xúc với mp(P) tại I. Gọi M là 1 điểm nằm trên ( );S O R nhưng không phải đối xứng với I qua O. Từ M kẻ 2 tiếp tuyến với ( );S O R và hai tiếp tuyến này vuông góc, cắt (P) tại A, B. Chứng minh rằng: 2 2 2AB AI BI= + . Bài giải: Do MAB∆ vuông tại M, ta có: 2 2 2MA MB AB+ = (1) Dễ thấy, do ( )OI P⊥ và ( ), A B P∈ nên AI và BI là các tiếp tuyến của ( );S O R Lúc đó, do từ A dựng được 2 tiếp tuyến AM và AI tới ( );S O R với các tiếp điểm M, I nên ta có: AM AI= (2) Tương tự: BM BI= (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2 2 2AB AI BI= + (đ.p.c.m) Bài tập 3: Cho mặt cầu với ( );S O R . Lấy 1 điểm A trên mặt cầu và gọi ( )α là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và ( )α bằng 300. a) Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( )α và hình cầu. b) Đường thẳng ∆ qua A và vuông góc với ( )α cắt mặt cầu tại B. Tính AB. H R D C B A R O R R P B A M O I ∆ B O Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 11 Bài giải: a) Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( )α và hình cầu: Gọi thiết diện của ( )α và ( );S O R là đường tròn tâm H và bán kính AH. Do ( )AH α⊥ ⇒ góc giữa OA và ( )α là góc giữa OA và A, tức là góc 030OAH = . Xét AOH∆ vuông tại H, ta có: 3 cos .cos 2 AH R OAH AH OA OAH OA = ⇔ = = . Lúc đó: 2 2 3 4td R S AH π π= = (đ.v.d.t) b) Tính AB: Gọi I là trung điểm AB OI AB⇒ ⊥ . Vậy tứ giác OHAI là hình chữ nhật. Suy ra: 2AI OH AB OH= ⇔ = . Xét AOH∆ vuông tại H, ta có: sin .sin 2 OH R OAH OH OA OAH OA = ⇔ = = . Kết luận: .AB R= Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có chiều cao SO a= , đáy là tam giác ABC vuông tại A có , 3AB a AC a= = . Tính bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc mp(SBC). Bài giải: Goi mặt cầu là ( );S A R . Do mp(SBC) tiếp xúc với ( ) ( )( ); ,dS A R A SBC R⇔ = . Gọi H là hình chiếu của A trên BC, ta có: ( ) ( )( ),dAH BC AH SBC A SBC AH AH SO ⊥ ⇔ ⊥ ⇔ = ⊥ Xét ABC∆ vuông tại A với đường cao AH, ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 a AH AH AB AC a a = + = + ⇔ = Kết luận: 3 . 2 a R = III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Mặt cầu tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác ABC. Cho biết ba cạnh của tam giác ABC lần lượt là: 13 cm, 14 cm, 15 cm và bán kính của mặt cầu là 5 cm. Tính khoảng cách từ tâm của (S) đến mp(ABC). Bài tập 2: Cho mặt cầu với ( );S O R với 5R = cm . Mặt phẳng (P) cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn có diện tích bằng 9π . Tính ( )d ,mp( )O P . Bài tập 3: Cho mặt cầu với ( );S O R với đường kính AA’. Gọi H là một điểm trên AA’ sao cho 4 3 R AH = . Mặt phẳng (P) qua H và vuông góc với AA’ cắt mặt cầu với thiết diện là một đường tròn (C). Tính diện tích (C). H a 3 a C B O S A Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 12 Bài tập 4: Cho mặt cầu (S) tâm O với 13 cmR = . Thiết diện do mặt phẳng (P) cắt (S) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có các cạnh là 6 cm, 8 cm, 10 cm. Tính ( )d ,mp( )O P . Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có 3 cạnh AB, BC, CD vuông góc từng đôi một. Gọi I là trung điểm của BC. Nếu có 2, AB a BC a= = thì bán kính mặt cầu tâm I, tiếp xúc với mp(ACD) bằng bao nhiêu? Bài tập 6: Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng a . Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Mặt cầu tâm O tiếp xúc cạnh SA có diện tích bao nhiêu? Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với , 2AC a BD a= = và SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi I là trung điểm SA, mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mp(SAB) có bán kính bằng bao nhiêu? Bài tập 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao 38 2 , 3 a SO a V= = . Mặt cầu tâm O tiếp xúc cạnh bên của hình chóp có thể tích bằng bao nhiêu? Bài tập 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , các cạnh bên hợp với đáy một góc 600. Mặt cầu tâm O tiếp xúc cạnh bên của hình chóp có thể tích bằng bao nhiêu? Bài tập 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , các mặt bên hợp với đáy một góc 600. Mặt cầu tâm O tiếp xúc các mặt bên của hình chóp có thể tích bằng bao nhiêu? ------------------------------------------------------------------- Dạng toán: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN Phương pháp: 1. Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện: Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số nhận xét quan trọng sau: - Điểm M thuộc S(O;R) OM R⇔ = . - Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính dưới 1 góc vuông. 2. Điều kiện cần và đủ: - Để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp. - Để một hình lăng có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp. 3. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: Cho đoạn thẳng AB. Mặt phẳng ( )α được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB khi mp ( )α đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Dạng toán: CHỨNG MINH KHỐI ĐA DIỆN NỘI TIẾP MẶT CẦU I- PHƯƠNG PHÁP: Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện: Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số nhận xét quan trọng sau: - Điểm M thuộc S(O;R) OM R⇔ = . - Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính dưới 1 góc vuông. II- BÀI TẬP MINH HỌA: I B A α Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 13 Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và ( )SA ABC⊥ . a) Chứng minh hình chóp S.ABC nội tiếp trong một mặt cầu. b) Cho SA BC a= = và 2AB a= . Tính bán kính mặt cầu nói trên. Bài giải: a) Chứng minh hình chóp S.ABC nội tiếp trong một mặt cầu: Ta có: 090SAC = (1) Mặt khác: ( ) SA BC BC SAB BC SB AB BC ⊥ ⇔ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ hay 090SBC = (2) Từ (1), (2) suy ra điểm A và B cùng nhìn đoạn SC dưới 1 góc vuông. Vậy 4 điểm A, B, C, S cùng thuộc ; 2 SC S I     với I là trung điểm của SC. b) Tính bán kính mặt cầu: Xét ABC∆ vuông tại B, ta có: 2 2 3AC AB BC a= + = . Trong SAC∆ vuông tại A, ta có: 2 2 2SC SA AC a= + = . Kết luận: Bán kính mặt cầu . 2 SC R a= = Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SA ABCD⊥ và 3SA a= . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC. a) Chứng minh hình chóp S.OAKB nội tiếp trong một mặt cầu. b) Xác đinh tâm và bán kính mặt cầu nói trên. Bài giải: a) Chứng minh hình chóp S.OAKB nội tiếp trong một mặt cầu: Ta có: 090SAB = (1) và 090SKB = (2) Mặt khác: ( ) BD AC BD SAC BD SO BD SA ⊥ ⇔ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ hay 090SOB = (3) Từ (1), (2), (3) suy ra điểm A, K và O cùng nhìn đoạn SB dưới 1 góc vuông. Vậy 5 điểm A, B, O, K, S cùng thuộc ; 2 SB S I     với I là trung điểm của SC. b) Tính bán kính mặt cầu: Trong SAB∆ vuông tại A, ta có: 2 2 2SB SA AB a= + = . Kết luận: Bán kính mặt cầu . 2 SB R a= = III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 3: Chứng minh 8 đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu. Tính bán kính của mặt cầu ấy, biết hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c. aa 2 a I S A B C I O a 3 a D S A B C K a Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 14 Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. a