Giáo án lớp 12 môn Toán - Chủ đề 1: Nguyên hàm

CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM 1.ĐỊNH NGHĨA: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x(a;b),ta có: F’(x) = f(x) *Nếu thay khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải thêm F’(a+)=f(a) và F’(b-)=f(b) 2.ĐỊNH LÍ: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) thì F(x) + C là họ nguyên hàm của f(x) trên (a;b) Ta viết :f(x)= F’(x) 3.CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM : a) b) ,(a0) c) [f(x)+g(x)]dx= f(x)dx+g(x)dx d) f(t)dt= F(t) + Cf(u)du= F(u) +C 4.SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM : ĐỊNH LÍ :Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó 5.BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp 1.dx= x+C 2. +C 3. = ln+C 4. exdx= ex+ C 5. axdx = +C , (0 < a1) 6. cosx dx= sinx +C 7. sinxdx = -cosx +C 8.= tgx +C 9.=-cotgx+C 10.+C 11.+C 12. tgxdx= -ln+C 13. cotgxdx= ln+C 14.+C 15.+C 16. +C 17. 18. 19. 1.du= u+C 2. +C 3. = ln+C 4. eudu= eu+ C 5. audu = +C , (0 < a1) 6. cosudu= sinu +C 7. sinudu = -cosu +C 8.= tgu +C 9.=-cotgu+C 10.+C 11.+C 12. tgudu= -ln+C 13. cotgudu= ln+C 14.+C 15.+C 16. +C 17. 18. 19. Chứng minh một số công thức cơ bản : 10.+C 11.+C Chứng minh : 10. Ta có : 11.Ta có :cosx= sin(x+)=kết quả 14.+C Ta có : Do đó :I= 15.+C Ta đặt : 16. +C Ta đặt: VẤN ĐỀ 1 :TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH DẠNG 1 : I= *Sử dụng đồng nhất thức :x= Hoặc : * VD1 :Tính I= Cách 1 :Sử dụng cách đồng nhất thức :x=1-(1-x) Cách 2 :Đổi biến số : Đặt t=1-x VD2 :Tính J= Tương tự : VD3 : Tính K= HD : Ta có : Cách 2 : Ta có : VD4 : Tính J = HD : Sử dụng đồng nhất thức : x= VD 5 :Tính K= HD : Sử dụng đồng nhất thức : VD 6 : Tính H = HD : Sử dụng đồng nhất thức : ( đã về dạng công thức ; nếu tích phân xác định thì ta đặt x= tgt với x thoả đk ...) VD 7 : Tính A= HD : Cách 1 :Sử dụng đồng nhất thức :x3= ((x-1)+1)3=(x-1)3-3(x-1)2+3(x-1)-1 Cách 2 : Dặt t= x-1 ta có : x= t+1 nên dx= dt VD8 : Tính B= HD : Cách 1 :Sử dụng đông nhất thức : x2= [(1-x)-1]2=(1-x)2-2(1-x)+1 Cách 2 : Đặt : t= 1-x VD 9 :Tính C = HD : Cách 1 :Sử dụng dồng nhất thức :1= x2+1-x2 VD 10 : Tính D= HD : Sử dụng dồng nhất thức :1= x2+1-x2 VD 11 : Tính E = HD : Ta phân tích : Đặt : t= VẤN ĐỀ 2 :NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC DẠNG 1 : Cách giải : Bước 1 :Đồng nhất thức : Bước 2 :Biến đổi đưa về kết quả °Lưu ý :Dạng Ta sử dụng : Ta sử dụng : VD 1 : Tính HD : Cách 1 : Ta có Cách 2 : Dựa vào đặt thù của hàm số đã cho ta có : DẠNG 2 : Cách giải :-Sử dụng công thức :sinx +sin= -Đưa về dạng 1 để giải °Lưu ý :Dạng Làm tương tự. VD 1 : Tính HD : Ta có : Sử dụng đồng nhất thức : VD 2 : Tính K= HD : Ta có : Do : DẠNG 3 : Cách giải : Ta biến đổi : Đưa về dạng 1 để giải. VD 1 : Tính HD : Cách 1 : Ta có : Khi đó xét : Sử dụng đồng nhất thức : Cách 2 : DẠNG 4 : I= Cách giải : Sử dụng công thức : asinx +bcosx= Cách 2 : Ta có Cách 3 : Có thể sử dụng phương pháp đại số hoá đặt :t= tgx/2 VD 1 : Tính HD : Ta có : DẠNG 5 : Cách giải : Sử dụng đồng nhất thức :a1sinx+b1cosx= A(a2sinx+b2cosx)+B(a2cosx+b2sinx) Để ý :a2sinx+b2cosx= Kết hợp dạng 3-4 để giải. VD 1: Tính HD: Biến đổi: Phân tích : Đồng nhất đẳng thức : VD 2: Tính HD: Ta có: Đồng nhất thức :sinx= A(sinx+cosx)+B(cosx-sinx)= (A-B)sinx+(A+B)cosx DẠNG 6 : I= HD : TH1 : Ta biến đổi : TH2 : Ta biến đổi : TH3 : Ta thực hiện phép đặt : Sau đó thực hiện tính nguyên hàm bằng các biểu thức đại số VD 1 : Tính HD : Ta thấy : (vì : ) Đặt : VD 2 : Tính HD : Ta thấy : (vì :) Ta biến đổi : VD3 : Tính HD :Tương tự VD2 DẠNG 7 : I= Cách giải : Biến đổi :a1sinx+b1cosx+c1= A(a2sinx+b2cosx+c2)+B(a2cosx-b2sinx)+c Sau đó đưa về dạng quen thuộc để giải. VD 1: Tính HD: Ta phân tích :5sinx= A(2sinx-cosx+1)+B(2cosx+sinx)+C =(2A+B)sinx+(2B-A)cosx+A+C Tính : Đặt : Vậy : DẠNG 8 : I= HD : Biến đổi :a1sin2x+b1cosxsinx+c1cos2x= (Asinx+Bcosx)(a2sinx+b2cosx)+c(sin2x+cos2x) Đưa về dạng quen thuộc để giải. VD 1:Tính HD: Ta phân tích :4sin2x+1= 5sin2x+cos2x= VD2 : Tính I= HD : Ta phân tích :cos2x= (Asinx+Bcosx)(sinx+cosx)+C(sin2x+cos2x)= = (B+C)cos2x+(B+A)sinxcosx+(A+C)sin2x Tính : DẠNG 9 : I= Cách giải : Biến đổi : I= Đặt : t=tgx Dạng quen thuộc giải được VD1 : Tính I= HD : Ta có : 3sin2x-2sinxcosx-cos2x = cos2x(3tg2x-2tgx-1) Đặt :t=tgx Ta phân tích : Vậy : DẠNG 10 : Cách giải : Để ý rằng : TH 1 : TH2 : VD 1 :Tính HD : Ta phân tích : VD 2 :Tính HD : Ta phân tích : DẠNG 11 : SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC NHAU RỒI MỚI ĐỔI BIẾN SỐ VD 1 :Tính HD : Ta biến đổi : VD2 : Tính HD : Ta biến đổi : = Đặt : t=sinx dt= cosxdx VD3 :Tính HD : Ta biến đổi : = Đặt : t= tgx VD3 :Tính HD : Ta biến đổi : Đặt : t= tgx