Giáo án lớp 12 môn Toán - Chủ đề 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số ( 8 tiết)

CHƯƠNG I : KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ( 8 tiết) DẠNG 1: Xét tính đơn điệu và tìm cực trị (nếu có) của hàm số y = f(x). 1. Phương Pháp: - Tìm TXD Tính đạo hàm cấp một y’, giải pt y’= 0. Lập bảng biến thiên và kết luận. 2. Ví dụ: Xét tính đơn điệu và tìm cực trị (nếu có) của hàm số sau. a) b) c) Giải – TXD - - Bảng biến thiên X 0 1 y’ - 0 + 0 - Y 3 2 + Kết luận: hàm số đồng biến trên khoảng nghịch biến trên khoảng . Hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại . b) + TXD + Bảng biến thiên X -1 0 1 y’ - 0 + 0 - 0 + Y 2 1 1 + Kết luận: hàm số đồng biến trên khoảng nghịch biến trên khoảng + Hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại . c) + TXD + + Bảng biến thiên X y’ + + Y Kết luận: Hàm số đồng biến trên . Hàm số không có cực trị. 3. Bài tập rèn luyện: Xét tính đơn điệu và tìm cực trị (nếu có) của hàm số sau. 1. 4. 8. . DẠNG 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. 1.Phương Pháp: * Hàm số (1) có có + hàm số (1) đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi + hàm số (1) nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi *Hàm số (2). Có + Hàm số (2) đồng biến trên từng khoảng xác định khi + Hàm số (2) nghịch biến trên từng khoảng xác định khi 2. Ví dụ: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số sau: a) nghịch biến trên tập xác định. b) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Giải a) + TXD , ta có + Để hàm số đồng biến trên khi + Do a = -2 < 0 nên hàm số nghịch biến trên khi + Vậy là kết quả cần tìm. b) . + TXD . + Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi + Vậy là kết quả cần tìm. 3. Bài tập rèn luyện: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó. 2. nghịch biến trên tập xác định của nó. 3. đồng biến trên tập xác định của nó. 5. đồng biến trên tập xác định 7. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đồng biến DẠNG 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y =f(x) đạt cực trị tại điểm x0. 1.Phương Pháp: + Tìm tập xác định + Tính , và . Để hàm số đạt cực trị tại x0 thì Để hàm số đạt cực đại tại x0 thì Để hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì Chú ý: tùy yêu cầu bài toán mà ta chon một trong ba trường hợp ở trên 2.Ví dụ: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số a) đạt cực trị tại điểm x = -1. Giải + TXĐ + + Để hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì + Vậy là kết quả cần tìm. 3. Bài tập rèn luyện: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số 1. đạt cực đại tại điểm x = . 2. . Đạt cực tiểu tại x = 2. 3. có cực đại và cực tiểu 4. có ba cực trị; 5. có một cực trị. 6. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu 7. Cho hàm số a) Tìm m để hàm số có cực trị; b) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. (4 tiết) DẠNG 1: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên một khoảng, một nửa khoảng. 1.Phương Pháp: + Tìm khoảng xác định nếu đề chưa cho khoảng xác định + Tình đạo hàm cấp một rồi lập bảng biến thiên + Từ bảng biến thiên suy ra kết luận. 2.Ví dụ: Tìm GTLN, GTNH( nếu có) của hàm số sau: trên + TXD . + + Bảng biến thiên X -2 0 2 y’ + 0 - - 0 + Y 0 8 Từ bảng biến thiên ta có . Hàm số không có GTNN trên . 3.Bài tập rèn luyện: Tìm GTLN, GTNN ( nếu có) của các hàm số sau. 1. 3. , 4. DẠNG2: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên một đoạn . 1.Phương Pháp: + hàm số liên tục trên đoạn + tính rồi so sánh đưa ra kết luận. 2. Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số sau a) trên đoạn Giải Hàm số liên tục trên đoạn vậy Bài tập rèn luyện: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau. 1. 5. 2. trên 6. 3. 7. -2cos2x + cosx -3 4. . 8. y = x(lnx – 2) 9. 10. CHỦ ĐỀ 3: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ (12 tiết) Sự tương giao của hai đồ thị Phương pháp chung. Hàm số y = f(x) có đồ thị ( C ) và y = g(x) có đồ thị ( C’ ) Phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ( 1 ) Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của ( C ) và ( C’ ) và ngược lại. Dạng 1: Bằng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình f ( x, m ) = 0 (*) 1. Phương Pháp: + Đưa phương trình (*) về dạng f(x) = m (1) + số nghiệm của phương trình (1) là số gia điểm của đồ thị ( C ): y = f(x) và đường thẳng (d) y = m + Dựa vào số giao điểm của ( C ) và ( d ) suy ra số nghiệm của phương trình. 2. Ví dụ: 1. Cho hàm số a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) b) Bằng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình Giải Câu a) hs tự giải. b) số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của ( C ) và đường thẳng y = m + 1 Từ đồ thị ta có Nếu thì phương trình có một nghiệm Nếu thì phương trình có hai nghiệm Nếu thì phương trình có ba nghiệm. Ví dụ 2 Khảo sát và vẽ ( C) Xác định tham số m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt Giải Học sinh tự làm số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C) và đường thẳng .Từ đồ thị ta có thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt. 3. Bài tập rèn luyện: 1. Cho hàm số a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Từ đồ thị hàm số biện luận số nghiệm của phương trình c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn -1. 2. Cho hàm số a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm nhỏ hơn 2 3. Cho hàm số a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Từ đồ thị hàm số biện luận số nghiệm của phương trình c) Tìm m để phương trình có số nghiệm nhiều nhất Dạng 2: Xác định số giao điểm của hai đồ thị. 1.Phương Pháp: + Lập phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ( 1 ) + Số nghiệm củ pt (1) là số giao điểm của hai đồ thị. 2. Ví dụ: Ví dụ 1. Cho hàm số a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ). b) Xác định tọa độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng y = x + 2. Giải a) Học sinh tự làm b) Phương trình hoành độ giao điểm điều kiện Vậy ( C ) cắt đường thẳng y = x + 2 tại hai điểm Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị ( C) và đường thẳng ( d) y = kx Xác định k để ( C ) cắt ( d) tại ba điểm phân biệt Giải Phương trình hoành độ giao điểm Để ( C ) cắt ( d) tại ba điểm phân biệt thì pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Khi đó vậy là kết quả cần tìm. 3. Bài tập rèn luyện. 1. Cho hàm số có đồ thị ( C ) và đường thẳng ( d ) y = -x + m. a) Chứng minh rằng với mọi m, ( d ) cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt b) Giả sử ( d ) cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để độ dài AB ngắn nhất. 2. Cho hàm số có đồ thị ( C ) và đường thẳng ( d ) y = 2mx -3 Tìm m để ( C ) cắt ( d ) tại bốn điểm phân biệt. Tiếp tuyến của đường cong. Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại M(x0; y0) 1. Phương pháp. + Tính đạo hàm cấp một , + Phương trình tiếp tuyến cần tìm với + Làm gọn phương trình trên về dạng y = ax + b. 2.Các ví dụ. Ví dụ 1. Cho hàm số ( C ) a) Khảo sát và vẽ ( C ); b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M( -1; -2); c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ 2. Giải a) Học sinh tự giải b) Ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm là c) Giả sử M ( 2 ; y0) là tiếp điểm khi đó ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm là Ví dụ 2. Cho hàm số ( C ) a) Khảo sát và vẽ ( C ) b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có tung độ là 6 Giải a) Học sinh tự làm b) Gọi M ( x0; 6) là tiếp điểm khi đó ta có + Với M ( -1; 6) ta có suy ra pttt là + Với M (4; 6) ta có suy ra pttt là Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = -5x + 1 và y = 5x – 14. Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f(x) khi biết hệ số góc k 1. Phương pháp. Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm khi đó giải phương trình suy ra x0 suy ra y0. Đưa bài toán về dạng 1 Chú ý: + Phương trình tiếp tuyến tại M( x0; y0) có hệ số góc k = f’(x0) + Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = cx + d khi a = c và b khác d + Đường thẳng y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = cx + d khi ac = -1 2.Ví dụ Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1. Giải + Gọi M ( x0; y0) là tiếp điểm với + ta có + Với = 0 suy ra = 1 ta có phương trình tiếp tuyến y = 1( x – 0 ) + 1 hay y = x + 1. + Với = - 2 suy ra = 3 ta có phương trình tiếp tuyến y = 1( x + 2 ) + 3 Hay y = x + 5. Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu y = x + 1 và y = x + 5. Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị ( C ). Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2012 Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2x + 16y – 2013 = 0. Giải a) Gọi M ( x0; y0) là tiếp điểm + + đường thẳng y = x + 2012 có hệ số góc k = 1. Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2012 nên + Với = 0 suy ra = - 3 ta có phương trình tiếp tuyến y = 1(x – 0) - 3 hay y = x – 3 + Với suy ra ta có phương trình tiếp tuyến y = 1( x – )- hay y = x Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = x – 3 và y = x . b) Gọi M ( x0; y0) là tiếp điểm + + đường thẳng 2x + 16y – 2013 = 0 hay có hệ số góc k = + Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2x + 16y – 2013 = 0 nên + Với = -1 suy ra = -7 ta có phương trình tiếp tuyến y = 8( x + 1) – 7 hay y = 8x + 1. + với ta có phương trình tiếp tuyến . Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = 8x + 1 và . 3. Bài tập rèn luyện: 1. Cho hàm số có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) trong các trường hợp sau a) Tại M ( 3; -12); b) giao điểm của ( C ) với trục hoành c) Tại điểm có hoành độ là -5.; d) song song với đường thẳng 2x -3y + 4 = 0 e) Vuông góc với đường thẳng 3x + 5y – 7 = 0. 2. Cho hàm số có đồ thị ( C ) a) khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp đó song song với đường thẳng y= -4x + 2015 c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp đó vuông góc với đường thẳng y = 4x + 5 --------------------------------------------------