Giáo án lớp 12 môn Toán - Chủ đề: Hình học không gian

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 1 TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐẠI HỌC: Chủ đề: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Đề 01: ĐH A- 2002 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN), biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Bài giải: Gọi K là trung điểm của BC và I SK MN= ∩ . Từ giả thiết 1 , 2 2 a MN BC⇒ = = //MN BC I⇒ là trung điểm của SK và MN. Ta có SAB SAC∆ = ∆ ⇒ Hai trung tuyến tương ứng AM AN= . AMN⇒ ∆ cân tại A .AI MN⇒ ⊥ Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . SBC AMN SBC AMN MN AI SBC AI SK AI AMN AI MN  ⊥  ∩ = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊂  ⊥ Suy ra SAK∆ cân tại A 3 2 a SA AK⇒ = = . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 2 3 10 2 4 8 4 a a a SK SB BK SK a a a AI SA SI SA = − = − =  ⇒ = − = − = − =    Ta có 21 10 . 2 16AMN a S MN AI∆ = = (đ.v.d.t) Chú ý: Có thể chứng minh AI MN⊥ như sau: ( ) ( )BC SAK MN SAK AI MN⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Đề 02: ĐH B- 2002 Cho hình lập phương 1 1 1 1.ABCD A B C D có các cạnh bằng a . a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng 1A B và 1B D . b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh 1 1 1, , BB CD A D . Tính góc giữa hai đường thẳng MP và 1C N . Bài giải: * Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 1A B và 1B D : Ta có ( )1 1 1 1 1 1 1 1 A B AB A B AB C D A B B D A B AD ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Tương tự ( )1 1 1 1 1 1 .AC B D B D A BC⊥ ⇒ ⊥ Gọi ( )1 1 1 .G B D A BC= ∩ Do 1 1 1 1 1B A B B B C a= = = nên 1 1GA GB GC= = G⇒ là tâm tam giác đều 1 1A BC có cạnh bằng 2.a Gọi I là trung điểm của 1A B thì IG là đường vuông góc chung của 1A B và 1B D , K I S N M A C B G P N M D CB A C1 D1 B1 A1 I E Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 2 nên ( )1 1 1 1 1 1 3 6 d , 3 3 2 6 a A B B D IG C I A B= = = = . * Tính góc giữa hai đường thẳng MP và 1C N : Gọi E là trung điểm của 1CC thì ( )1 1ME CDD C⊥ ⇒ hình chiếu vuông góc của MP trên ( )1 1CDD C là 1ED . Ta có: 01 1 1 1 1 1 1 1 1 190 .C CN D C E C D E C CN D C N D E C N∆ = ∆ ⇒ = = − ⇒ ⊥ Từ đây, theo định lý ba đường vuông góc ta có 1MP C N⊥ . Đề 03: ĐH D- 2002 Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); 4 cmAC AD= = , 3 cmAB = , 5 cmBC = . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Bài giải: Ta có: 2 2 2AB AC BC ABC+ = ⇔ ∆ vuông tại A. Do đó: 3 1 . . 8 cm 6 ABCD V AB AC AD= = . Mặt khác 4 2 cm, 5 cm.CD BD BC= = = Nên BCD∆ cân tại B, gọi I là trung điểm của CD. 21 . 2 34 cm 2 BCD S DC BI∆⇒ = = Ta có: ( )( ) ( )( ) 31 6 34d , . d , cm 3 17 ABCD ABCD BCD BCD V V A BCD S A BCD S ∆ ∆ = ⇔ = = Đề 04: ĐH Dự bị A-1 2002 Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết , , AB a AC b AD c= = = và = = = 060BAC CAD DAB . Bài giải: Đề 05: ĐH Dự bị A-2 2002 Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC a= . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 060 . Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a . Bài giải: Đề 06: ĐH Dự bị B-1 2002 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a= . Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE. Bài giải: Đề 07: ĐH Dự bị B- 2 2002 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi , , α β γ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh rằng: cos cos cos 3α β γ+ + ≤ . Bài giải: Đề 08: ĐH Dự bị D-1 2002 Cho tứ diện đều ABCD, cạnh 6 2a = . Hãy xác định độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC. Bài giải: I A B C D Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 3 Đề 09: ĐH Dự bị D-2 2002 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a , biết rằng 6 2 a SA = . Bài giải: Đề 10: ĐH A- 2003 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [ ], ' ,B A C D . Bài giải: Cách 1: Đặt AB a= . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên A’C, suy ra 'BH A C⊥ , mà ( )' ' ,BD A AC BD A C⊥ ⇒ ⊥ do đó ( )' ' .A C BHD A C DH⊥ ⇒ ⊥ Vậy góc phẳng nhị diện [ ], ' ,B A C D là góc BHD . Xét 'A DC∆ vuông tại D có DH là đường cao, ta có . ' . 2 2 . ' . ' ' 3 3 CD A D a a a DH A C CD A D DH A C a = ⇒ = = = . Tương tự 'A BC∆ vuông tại B có BH là đường cao và 2 3 a BH = . Mặt khác: 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 . .cos 2. .cos 3 3 3 a a a a BD DH BH DH BHD BHD= + − = + − . Do đó 0 1 cos 120 . 2 BHD BHD= − ⇒ = Cách 2: Ta có 'BD AC BD A C⊥ ⇒ ⊥ (Định lý ba đường vuông góc). Tương tự, ( )' ' ' ' .BC A C BC D A C⊥ ⇒ ⊥ Gọi H là giao điểm của A’C và (BC’D). Các tam giác vuông HA’B, HA’D, HA’C’ bằng nhau 'HB HC HD⇒ = = H⇒ là tâm tam giác đều BC’D 0120 .BHD⇒ = Đề 11: ĐH B- 2003 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a , góc = 060BAD . Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minh rằng bốn điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông. Bài giải: * Chứng minh rằng bốn điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng: Ta có ' // ' ' A M NC A MCN A M NC  ⇒ = là hình bình hành, do đó A’C và MN cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường. Mặt khác A’DCB’ là hình bình hành nên trung điểm I của A’C cũng chính là trung điểm của B’D. Vậy MN và B’D cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên B’MDN là hình bình hành. Do đó: B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng (đ.p.c.m) * Tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông: H I A' B' D' C' A B C D I N M 600 A B D C D' C' B'A' Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 4 Mặt khác 2 2 2 2 2 2DM DA AM DC CN DN= + = + = , hay DM DN= . Vậy hình bình hành B’MDN là hình thoi. Do đó, B’MDN là hình vuông 2 2 2 2' ' ' 'MN B D AC B D AC B D B B BD⇔ = ⇔ = ⇔ = = + 2 2 23 ' ' 2 ' 2a B B a B B a AA a⇔ = + ⇔ = ⇔ = Đề 12: ĐH D- 2003 Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆ . Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB a= . Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC BD AB= = . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a . Bài giải: * Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD: Ta có ( ) ( )P Q⊥ và ( ) ( )P Q∆ = ∩ , mà ( )AC AC Q AC AD⊥ ∆⇒ ⊥ ⇒ ⊥ hay 090CAD = . Tương tự, ta có ( )BD P⊥ , do đó 090CBD = . Vậy A và B cùng nằm trên mặt cầu đường kính CD. Bán kính của mặt cầu là: 2 21 2 2 CD R BC BD= = + 2 2 2 1 3 2 2 a AB AC BD= + + = * Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD): Gọi H là trung điểm của BC .AH BC⇒ ⊥ Do ( )BD P⊥ nên ( ).BD AH AH BCD⊥ ⇒ ⊥ Vậy AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) và 1 2 . 2 2 a AH BC= = Đề 13: ĐH Dự bị A-1 2003 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân với AB AC a= = và góc = 0120BAC , cạnh bên 'BB a= . Gọi I là trung điểm của CC’. Chứng minh rằng, tam giác AB’I vuông ở A. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Bài giải: Đề 14: ĐH Dự bị A-2 2003 Cho tứ diện ABCD có AB AC a= = , BC b= . Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc = 090BDC . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b . Bài giải: Đề 15: ĐH Dự bị B-1 2003 Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với đáy một góc bằng ϕ ( 00 90ϕ< < ). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC). Bài giải: Đề 16: ĐH Dự bị B-2 2003 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm điểm M thuộc cạnh AA’ sao cho mặt phẳng (BD’M) cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất. Bài giải: ∆ Q P H A B C D Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 5 Đề 17: ĐH Dự bị D-1 2003 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và , 2AB a BC a= = , cạnh SA vuông góc với đáy và 2SA a= . Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng: tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a . Bài giải: Đề 18: ĐH Dự bị D-2 2003 Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, , , AD a AC b AB c= = = . Tính diện tích S của tam giác BCD theo , , a b c và chứng minh rằng: ( )2S abc a b c≥ + + . Bài giải: Đề 19: ĐH A- 2004 Trong hệ trục Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết (2;0;0), (0;1;0), (0;0;2 2)A B S . Gọi M là trung điểm của cạnh SC. a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM. b) Giả sử mp(ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. Bài giải: Đề 20: ĐH B- 2004 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ 0 0(0 90 )ϕ< < . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo ϕ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ . Bài giải: * Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD): Gọi giao điểm của AC và BD là O thì ( )SO ABCD⊥ , suy ra SAO = ϕ . Gọi trung điểm của AB là M thì OM AB⊥ và SM AB⊥ ⇒Góc giữa hai mặt phẳng ( )SAB và ( )ABCD là SMO . Tam giác OAB vuông cân tại O, nên 2 2 , tan 2 2 2 a a a OM OA SO= = ⇒ = ϕ . Do đó tan 2 tan . SO SMO OM = = ϕ * Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ : Ta có 2 3. 1 1 2 2 . . tan tan 3 3 2 6S ABCD ABCD a V SO S a a= = ϕ = ϕ (đ.v.t.t) Đề 21: ĐH D- 2004 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết ( ) ( ) ( ) ( );0;0 , ;0;0 , 0;1;0 , ' ;0;A a B a C B a b− − , 0, 0a b> > . a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AC’ theo , .a b b) Cho a và b thay đổi, nhưng luôn thoả 4a b+ = . Tìm , a b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AC’ lớn nhất. Bài giải: Đề 22: ĐH Dự bị A-1 2004 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc toạ độ O, ( ) ( ) ( )1;0;0 , 0;1;0 , ' 0;0; 2B D A . ϕ M D S A B C O I Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 6 a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A’, B, C và viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B’D’ lên mp(P). b) Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A’C. Tính diện tích thiết diện của hình chóp A’.ABCD với mặt phẳng (Q). Bài giải: Đề 23: ĐH Dự bị A-2 2004 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết ( ) ( ) ( )− − −2; 1;0 , 2; 1;0 , 0;0;3A B S . a) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh SB, song song với hai đường thẳng AD, SC. b) Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P). Bài giải: Đề 24: ĐH Dự bị B-1 2004 Cho hình chóp S.ABC có 3SA a= và vuông góc với đáy ABC, tam giác ABC có 2AB BC a= = , góc ABC bằng 0120 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Bài giải: Đề 25: ĐH Dự bị B-2 2004 Cho 2 điểm (2;0;0), (1;1;1)A M . a) Tìm toạ độ điểm O’ đối xứng với O qua đường thẳng AM. b) Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua đường thẳng AM, cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại các điểm B, C. Giả sử ( ) ( )0; ;0 , 0;0;B b C c , 0, c 0b > > . Chứng minh rằng: 2 bc b c+ = . Xác định , b c sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. Bài giải: Đề 26: ĐH Dự bị D-1 2004 Cho hình vuông ABCD có cạnh AB a= . Trên các nửa đường thẳng Ax, By vuông góc với mp(ABCD) và nằm về một phía đối với mp(ABCD), lần lượt lấy các điểm M, N sao cho tam giác MNC vuông tại M. Đặt , AM m BN n= = . Chứng minh rằng: ( )− = 2m n m a và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích hình thang ABMN. Bài giải: Đề 27: ĐH B- 2005 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ với ( ) ( ) ( ) ( )0; 3;0 , 4;0;0 , 0;3;0 , ' 4;0;4A B C B− . a) Tìm toạ độ các đỉnh A’, C’. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC’B’). b) Gọi M là trung điểm của A’B’. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC’. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng AC’ tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN. Bài giải: Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 7 Đề 28: ĐH Dự bị A-2 2005 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OAB.O’A’B’ với ( )0;0;0 ,O ( ) ( ) ( ) 2;0;0 , 0;4;0 , ' 0;0;4A B O . a) Tìm toạ độ các điểm A’, B’. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, A’, B’, O’. b) Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O’A và cắt OA, A’A lần lượt tại K, N. Tính độ dài đoạn KN. Bài giải: Đề 29: ĐH Dự bị B-1 2005 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có ( ) ( ) ( )0;0;0 , 2;0;0 , ' 0;2;2 .A B D a) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: Hai mặt phẳng (AB’D’) và (AMB’) vuông góc nhau. b) Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC’ ( )N A≠ đến mặt phẳng (AB’D’) và (AMB’) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. Đề 30: ĐH A- 2006 Cho hình trụ có các đáy là hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a . Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho 2AB a= . Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB. Bài giải: Kẻ đường sinh AA’. Gọi D là điểm đối xứng với A’ qua O’ và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A’D. Do 'BH A D⊥ và 'BH AA⊥ nên ( )' ' .BH AOO A⊥ Suy ra: ' ' ' 1 . . 3OO A A OO A V BH S∆= Ta có 2 2 2 2' ' 3 ' 'A B AB A A a BD A D A B a= − = ⇒ = − = 'BO D⇒ ∆ đều 3 2 a BH⇒ = . Vì AOO’ là tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng a nên 2' 1 2AOO S a∆ = . Vậy thể tích khối tứ diện OO’AB là 2 31 3 3 . . 3 2 2 12 a a a V = = (đ.v.t.t) Đề 31: ĐH B- 2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , AB a= 2, AD a SA a= = , SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mp(SAC) vuông góc với mp(SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. Bài giải: Gọi O là giao điểm của tam giác ABC, do đó: 2 1 3 3 AI AI AO AC = ⇒ = nên 1 1 1 . . 3 2 6 AIMN ACDN V AI AM V AC AD = = = (1) Mặt khác 1 2 ACDN ACDS V NC V SC = = (2) N A S B C D O M I H DA' A B O O' Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 8 Từ (1) và (2) suy ra: 1 12 AIMN ACDS V V = . Mà 3 1 2 . 3 6 SACD ACD a V SA S∆= = . Vậy 3 1 2 . 12 72 AIMN ACDS a V V= = (đ.v.t.t) Đề 32: ĐH D- 2006 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , 2SA a= và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Bài giải: Ta có: . . .S AMN S ABC V SM SN V SB SC = AM và AN lần lượt là đường cao của các tam giác SAB và SAC. Do SAB SAC∆ = ∆ , nên ta có: 2 2 2 2 4 4 4 5 SM SA a SM MB AB a SB = = = ⇒ = . Tương tự: 4 5 SN SC = Do đó: . . . . 4 4 16 9 . . 5 5 25 25 S AMN S ABC A BCNM S ABC V V V V= = ⇒ = Mà 3 . 1 3 . 3 6 S ABC ABC a V SA S∆= = suy ra: 3 . 3 3 50 A BCNM a V = (đ.v.t.t) Đề 33: ĐH Dự bị A-1 2006 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh , AB AD a= = 3 ' 2 a AA = và góc = 060BAD . Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuông góc với mp(BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN. Bài giải: Đề 34: ĐH Dự bị A-2 2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với , AB a= 2AD a= , cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 060 . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho 3 3 a AM = . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM. Bài giải: Đề 35: ĐH Dự bị B-1 2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, = 060BAD , SA vuông góc với mp(ABCD), SA a= . Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’. Bài giải: S A C N M B Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 9 Đề 36: ĐH Dự bị B-2 2006 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB a= , cạnh bên 'AA b= . Gọi α là góc giữa hai mp(ABC) và (A’BC). Tính tanα và thể tích khối chóp A’.BB’C’C. Bài giải: Đề 37: ĐH Dự bị D-1 2006 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Bài giải: Đề 38: ĐH Dự bị D-2 2006 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC’ sao cho = 2 3 CK a . Mặt phẳng ( )α đi qua A, K và song song với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó. Bài giải: Đề 39: ĐH A- 2007 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối CMNP. Bài giải: Ta có: 1 . (1) 4 CMNP CMBD V CN CP V CB CD = = . . 1 (2) 2 CMBD M BCD CSBD S BCD V V MB V V SB = = = Lấy (1) nhân (2) vế theo vế ta có: . . 1 1 8 8 CMNP CMNP S BCD S BCD V V V V = ⇒ = . Gọi H là trung điểm của AD, ta có SH AD⊥ , mà ( ) ( )SAD ABCD⊥ nên ( )SH ABCD⊥ . Do đó: 3 2 . 1 1 3 1 3 . . . 3 3 2 2 12 S BCD BCD a a V SH S a∆= = = . Vậy 3 3 . 96 CMNP a V = * Chứng minh BP vuông góc AM: Ta có ( )⊥ ⇒ ⊥ (1)SH ABCD SH BP Xét hình vuông ABCD ta có (2)CDH BCD CH BP∆ = ∆ ⇒ ⊥ . Từ (1) và (2) suy ra ( ).BP SHC⊥ Vì MN // SC và AN // CH nên (AMN) // (SHC). Suy ra ( )BP AMN BP AM⊥ ⇒ ⊥ (đ.p.c.m) Đề 40: ĐH B- 2007 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC. Bài giải: * Chứng minh MN vuông góc với BD: Gọi P là trung điểm của SA. Ta có MNCP là H P N A S B CD M Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 10 hình bình hành nên MN // (SAC). Mặt khác: ( )BD SAC⊥ nên BD MN⊥ (đ.p.c.m) * Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC: Ta có ( ) ( )( ) ( )( )1 1 2d , d , d , 2 4 4 a MN AC N SAC B SAC BD= = = = . Vậy ( ) 2d , 4 a MN AC = . Đề 41: ĐH D- 2007 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, = = 090 , ABC BAD = = ,BA BC a = 2AD a . Cạnh SA vuông góc với đáy và SA 2a= . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). Bài giải: Ta có: . . S HCD S BCD V SH V SB = . Tam giác SAB vuông tại A và AH là đường cao nên 2 2 2 2 2 2 2 . 3 SH SA a SH HB AB a SB = = = ⇒ = Vậy 2 3 . . 2 2 1 2 . . 2. 3 3 3 2 9 S HCD S BCD a a V V a= = = Mặt khác ( )( ). 1 d , . 3 S HCD SCD V H SCD S∆= ( )( ) ∆ ⇔ = . 3 d , S HCD SCD V H SCD S (*) Ta có SCD∆ vuông tại C do 2 2 2AC CD AD+ = 21 1 . . 2.2 2 2 2 SCD S CD SC a a a∆⇒ = = = . Thay vào (*) ta được: ( )( ) ∆ = = = 3 . 2 3 3 2 d , 39 2 S HCD SCD V a a H SCD S a . Đề 59: ĐH Dự bị A-2007 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có 1, 2 , 2 5AB a AC a AA a= = = và 0120BAC = . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh: MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM). Bài giải: * Chứng minh: MB ⊥ MA1: Ta có: = + =2 2 2 2 1 1 1 1 9A M AC C M a = + − =2 2 2 0 22 . .cos120 7BC AB AC AB AC a = + =2 2 2 212BM BC CM a = + = = +2 2 2 2 2 2 1 1 1 21A B A A AB a A M MB ⇒ MB vuông góc với 1 MA D C A B S H P N E A S B C D M I 1200 M C1 B1 A1 B A C Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 11 * Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM): Hình chóp M.ABA1 và C.ABA1 có chung đáy là tam giác ABA1 và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau. ⇒ = = = = 1 1 3 . . 1 1 1 . 15 3 3 M ABA C ABA ABC V V V AA S a ( )( ) ∆ ⇒ = = = 1 1 1 3 6 5 d ,( . 3 MBA V V a a MBA S MB MA Đề 43: ĐH Dự bị A-2 2007 Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 060 , với ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a . Tính theo a khoảng cách từ B đến mp(SAC). Bài giải: Gọi M là trung điểm của BC thì SM ⊥ BC, ( )⊥ ⇒ = =, 60oAM BC SMA SBC ABC Suy ra ∆SMA đều có cạnh bằng 3 2 a Do đó = 1 . . .sin60 2 o SMA S SM AM = = 2 2 1 3 3 3 3 . . 2 4 2 16 a a Ta có = = . . 1 2 2. . . 3 S ABC S BAM SAM V V BM S 3 = = 2 3 1 3 3 . . 3 16 16 a a a Gọi N là trung điểm của đoạn SA. Ta có CN ⊥ SA ⇒ = 13 4 a CN (vì ∆SCN vuông tại N) ⇒ = = = 2 1 1 3 13 39 . . . . 2 2 2 4 16 SCA a a a S AS CN Ta có ( )( ) ( )( )= = = 3 2 . 3 1 1 39 . .d , . .d , 16 3 3 16 S ABC SCA a a V S B SAC B SAC ⇒ ( )( ) = =3 2 3 3 d , 3. 39 13 a B SAC a a Đề 44: ĐH Dự bị B-1 2007 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho = =, 2AB a SA a . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh: ( )SC AHK⊥ và tính thể tích hình chóp O.AHK. Bài giải: * Chứng minh: ( )SC AHK⊥ : Ta có: BC⊥ (SAB) ⇒ BC⊥AH Mặt khác: AH⊥SB⇒AH⊥ (SBC) ⇒AH⊥SC (1) Tương tự AK⊥SC (2) Từ (1) và (2) ⇒SC⊥ (AHK ) * Tính thể tích hình chóp O.AHK: Ta có: = + = ⇒ =2 2 2 23 3SB AB SA a SB a . N 600 S C B A Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 12 6 2 3 2 3 . . 3 3 3 a a a AH SB SA AB AH SH SK= ⇒ = ⇒ = ⇒ = (do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A) Ta có HK // BD nên = ⇒ = 2 2 3 HK SH a HK BD SB . Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có: = − = ⇒ = 2 2 2 2 4 2 9 3 a a AM AH HM AM . Lúc đó: = = = 3 . 1 1 2 1 2 . . . 3 3 2 2 27 O AHK AHK a a V OA S HK AM (đ.v.t.t) Đề 45: ĐH Dự bị B-2 2007 Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính 2AB R= và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC R= . Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mp(SAB) và (SBC) bằng 060 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Chứng minh: Tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp S.ABC. Bài giải: * Chứng minh tam giác AHK vuông: Ta có: AS ⊥ CB ( ) SA BC BC SAC BC AK AC BC ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Mặt khác: AK ⊥ SC ⇒ AK ⊥ (SCB) ⇒ AK ⊥ HK ⇒ ∆AHK vuông tại K. * Tính thể tích khối chóp S.ABC: Kẻ CI ⊥ AB. Do giả thiết ta có: AC R OA OC AOC= = = ⇒ ∆ đều ⇒ = = 2 R IA IO Ta có SA ⊥ (ABC) nên (SAB) ⊥ (ABC) ⇒ CI ⊥ (SAB) Suy ra hình chiếu vuông góc của ∆SCB trên mặt phẳng (SAB) là ∆SIB Vì = 3 4 BI AB . Suy ra = = 3 3 . . 4 4 SIB SAB S S R SA (∗) Ta có: = = +2 2 1 1 . 3. 2 2 SBC S BC SC R SA R Theo định lý về diện tích hình chiếu ta có: = = = +2 2 1 3 .cos60 2 4 o SIB SBC SBC R S S S SA R (∗∗) Từ (∗), (∗∗) ta có: = 2 R SA . Lúc đó: ∆= = 3 . 1 6 . 3 12 S ABC ABC R V SA S (đ.v.t.t) Đề 46: ĐH Dự bị D-1 2007 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông với AB AC a= = , =' 2AA a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA’ và BC’. Tính thể tích khối chóp M.A’BC’. Bài giải: H O D CB S A K I S K H C BA Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 13 Đề 47: ĐH Dự bị D-2 2007 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a . M là trung điểm của đoạn AA’. Chứng minh: 'BM B C⊥ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B’C. Bài giải: Đề 48: ĐH A- 2008 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2 a , đáy ABC là tam giác vuông tại A, = =, 3AB a AC a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng