Giáo án lớp 12 môn Toán - Chương 1: Công thức lượng giác

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. Định nghĩa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđ AM = β với 0 2≤ β ≤ π Đặt k2 ,k Zα = β+ π ∈ Ta định nghĩa: sin OKα = cos OHα = sintg cos αα = α với co s 0α ≠ coscot g sin αα = α với sin 0α ≠ II. Bảng giá trị lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt Góc α Giá trị ( )o0 0 ( )o306π ( )o454π ( )o603π ( )o902π sinα 0 1 2 2 2 3 2 1 cosα 1 3 2 2 2 1 2 0 tgα 0 3 3 1 3 || cot gα || 3 1 3 3 0 III. Hệ thức cơ bản 2 2sin cos 1α + α = 2 2 11 tg cos + α = α với ( )k k Z2 πα ≠ + π ∈ 2 2 1t cot g sin + = α với ( )k k Zα ≠ π ∈ IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π ; phụ chéo) a. Đối nhau: và −α α ( )sin sin−α = − α ( )cos cos−α = α ( ) ( )tg tg−α = − α ( ) ( )cot g cot g−α = − α b. Bù nhau: và α π −α ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tg tg cot g cot g π −α = α π−α = − α π−α = − α π−α = − α c. Sai nhau : và π + π α α ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tg t g cot g cot g π+ α = − α π+α = − α π+α = α π+α = α d. Phụ nhau: và α 2 π −α sin cos 2 cos sin 2 tg cot g 2 cot g tg 2 π⎛ ⎞− α = α⎜ ⎟⎝ ⎠ π⎛ ⎞− α = α⎜ ⎟⎝ ⎠ π⎛ ⎞− α = α⎜ ⎟⎝ ⎠ π⎛ ⎞− α = α⎜ ⎟⎝ ⎠ e.Sai nhau 2 π : α và 2 π + α sin cos 2 cos sin 2 tg cot g 2 cot g tg 2 π⎛ ⎞+ α = α⎜ ⎟⎝ ⎠ π⎛ ⎞+ α = − α⎜ ⎟⎝ ⎠ π⎛ ⎞+ α = − α⎜ ⎟⎝ ⎠ π⎛ ⎞+ α = − α⎜ ⎟⎝ ⎠ f. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + π = − ∈ + π = − ∈ + π = ∈ + π = k k sin x k 1 sin x,k Z cos x k 1 cosx,k Z tg x k tgx,k Z cot g x k cot gx V. Công thức cộng ( ) ( ) ( ) sin a b sin acos b sin b cosa cos a b cosacos b sin asin b tga tgbtg a b 1 tgatgb ± = ± ± = ±± = m m VI. Công thức nhân đôi = = − = − = = − −= 2 2 2 2 2 2 sin2a 2sin acosa cos2a cos a sin a 1 2sin a 2 cos a 1 2tgatg2a 1 tg a cot g a 1cot g2a 2 cot ga − VII. Công thức nhân ba: 3 3 sin3a 3sina 4sin a cos3a 4 cos a 3cosa = − = − VIII. Công thức hạ bậc: ( ) ( ) 2 2 2 1sin a 1 cos2a 2 1cos a 1 cos2a 2 1 cos2atg a 1 cos2a = − = + −= + IX. Công thức chia đôi Đặt at tg 2 = (với a k ) 2≠ π + π 2 2 2 2 2tsin a 1 t 1 tcosa 1 t 2ttga 1 t = + −= + = − X. Công thức biến đổi tổng thành tích ( ) ( ) a b a bcosa cos b 2cos cos 2 2 a b a bcosa cos b 2sin sin 2 2 a b a bsina sin b 2cos sin 2 2 a b a bsina sin b 2 cos sin 2 2 sin a b tga tgb cosacos b sin b a cot ga cot gb sina.sin b + −+ = + −− = − + −+ = + −− = ±± = ±± = XI. Công thức biển đổi tích thành tổng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1cosa.cos b cos a b cos a b 2 1sina.sin b cos a b cos a b 2 1sina.cos b sin a b sin a b 2 = ⎡ + + − ⎤⎣ ⎦ −= ⎡ + − −⎣ ⎦ = ⎡ + + − ⎤⎣ ⎦ ⎤ Bài 1: Chứng minh 4 4 6 6 sin a cos a 1 2 sin a cos a 1 3 + − =+ − Ta có: ( )24 4 2 2 2 2 2sin a cos a 1 sin a cos a 2sin acos a 1 2sin acos a+ − = + − − = − 2 Và: ( )( ) ( ) 6 6 2 2 4 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1 sin a cos a sin acos a 1 1 2sin acos a sin acos a 1 3sin acos a + − = + − + = + − − = − − − = − − Do đó: 4 4 2 2 6 6 2 2 sin a cos a 1 2sin acos a 2 sin a cos a 1 3sin acos a 3 + − −= =+ − − Bài 2: Rút gọn biểu thức ( )221 cosx1 cosxA 1sin x sin x ⎡ ⎤−+= = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Tính giá trị A nếu 1cosx 2 = − và x 2 π < < π Ta có: 2 2 2 1 cosx sin x 1 2 cosx cos xA sin x sin x ⎛ ⎞+ + − += ⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) 2 2 1 cosx1 cosxA . sin x sin x −+⇔ = ( )2 2 3 3 2 1 cos x 2sin x 2A sin x sin x sin x −⇔ = = = (với sin x 0≠ ) Ta có: 2 2 1 3sin x 1 cos x 1 4 4 = − = − = Do: x 2 π Vậy 3sin x 2 = Do đó 2 4 4A sin x 33 = = = 3 Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x: a. 4 4 2 2A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x= − + + 2 b. 2 cot gxB tgx 1 cot gx 1 += +− − 1 a. Ta có: 4 4 2 2A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x= − + + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 24 2 2 2 2 4 2 4 2 4 A 2 cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x A 2 cos x 1 2 cos x cos x cos x cos x 3 3cos x ⇔ = − − + − + − ⇔ = − − + + − + − 2 A 2⇔ = (không phụ thuộc x) b. Với điều kiện sin x.cosx 0,tgx 1≠ ≠ Ta có: 2 cot gxB tgx 1 cot gx 1 1+= +− − 1 t+ 1 1 1 A B C A B Ctg tg tg cot g co g cot g sin A sinB sinC 2 2 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤+ = + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ A B C A Bcot g cot g cot g cot g .cot g .cot g 2 2 2 2 2 + + = Ta có : C 2 (Xem chứng minh bài 19g ) Mặt khác : sin cos 2tg cot g cos sin sin2 α αα + α = + =α α α 1 A B C A B Ctg tg tg cotg cotg cotg 2 2 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ Do đó : 1 A B C 1 Acotg⎡ +⎢ B Ctg tg tg cotg cotg 2 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤ ⎤= + + + +⎢ ⎥ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 1 A A 1 B B 1 C Ctg cot g tg cot g tg cot g 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= + + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎦ 1 1 1 sinA sinB sinC = + + BÀI TẬP 1. Chứng minh : a/ 2 1cos cos 5 5 π π− = 2 b/ o o o o cos15 sin15 3 cos15 sin15 + =− 2 4 6cos cos cos 7 7 7 π π π+ + = c/ 1 2 − d/ 3+ =3 3sin 2xsin6x cos 2x.cos6x cos 4x o o o otg20 .tg40 .tg60 .tg80 3= e/ π π π π+ + + =2 5 π3tg tg tg cos 6 9 18 3 3 9 8tgf/ 7 2 3 4 5 6 7 1os .cos .cos .cos .cos .cos .cos 15 15 15 15 15 15 15 2 π π π π π π = c πg/ h/ tgx.tg x .tgπ⎡ ⎤−⎢ ⎥ x tg3x3 3 π⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ k/ o o o otg20 tg40 3tg20 .tg40 3+ + = o o o 3sin 20 .sin 40 .sin 80e/ 8 = m/ o o o otg5 .tg55 .tg65 .tg75 1= ( ) 2. Chứng minh rằng nếu ( ) (x y 2k 1 k z 2 π+ ≠ + ∈⎪⎩ ) x y+ thì sin x 2sin=⎧⎪⎨ sin( ) cos ytg x y y + = − 2 3. Cho có 3 góc đều nhọn và A B C≥ ≥ ABCΔ a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC b/ Đ Chứng minh (p-1)(q-1) ặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q 4 4. Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc x : a/ ≥ ( ) ( )4 2 4 2 2 2A sin x 1 sin x cos x 1 cos x 5sin x cos x 1= + + + + + ( ) ( )8 8 6 6B 3 sin x cos x 4 cos x 2sin x 6sin x= − + − + b/ 4 c/ ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2C cos x a sin x b 2cos x a sin x b sin a b= − + − − − − − ) 5. Cho , chứng minh : ABCΔ cosC cosBcota/ gB cot gC sinBcosA sinCcosA + = + b/ 3 3 3 A B CC 3cos cos cos co 3A 3B 3Cs cos cos 2 2 2 2 2 2 = + sin A sin B sin+ + A B C B A CsinA sinB sic/ nC scos .co cos .cos 2 2 2 2 − −+ + + = C Acos .co B 2 2 −s+ otgAcotgB + cotgBcotgC + cotgC otgA = 1 s C 1 2cosA cosBcosC= − in3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 0 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của : d/ c c e/ 2 2cos A cos B co+ + 2 f/ s 1 1y sin x cos x = + với 0 x 2 π< < a/ π= + +9y 4x sin x x với 0 x< < ∞ b/ 2y 2sin x 4sin x cos x 5= + + c/ 7. Tìm giá trị lớn nhất của : a/ y sin x cos x cos x sin x= + b/ y = sinx + 3sin2x c/ 2y cos x 2 cos x= + − TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn