Giáo án lớp 12 môn Toán - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm

Chương I: ứng dụng đạohàm A/ Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Kiến thức cần nhớ: Nhắc lại khái niệm h/số đbiến, nbiến H/số y=f(x) đbiến (tăng) trên (a; b) nếu: - H/số y=f(x) nbiến (giảm) trên (a; b) nếu: Dấu hiệu đơn điệu của hàm số: Cho h/số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên (a; b). f’(x)=0 hoặc không xác định tại 1 số điểm trên (a; b). H/số đồng biến nếu H/số nghịch biến nếu Điểm tới hạn: Cho h/số y=f(x) xác định trên (a; b) và . x0 là điểm tới hạn của hàm số nếu f’(x0)=0 hoặc f’(x0) không xác định. Các bước để xét tính đơn điệu. B1: Tìm TXĐ B2: Tính y’. Tìm các điểm tới hạn B3: Lập BBT và xác định dấu của y’ B4: Dựa vào dấu hiệu để kết luận chiều biến thiên của h/số. Bài tập: Dạng 1: Xét sự đbiến, nbiến của hàm số B1: Xét sự đbiến, nbiến của các hàm số sau: a. b c. d. e. B2: Tìm các khoảng đơn điệu của các h/số sau: a. b. c. d. e. BTVN: Tìm các khoảng đơn điệu của các h/số sau: a. b. c. d. e. f.y= sin x g. h. i. j. Dạng 2: Tìm ĐK của tham số để h/số đbiến, nbiến trên các khoảng đã cho B3:Xác định m để hàm số a, y=x2+mx+1 đbiến trên (1; +∞) b, y= mx2 –(m +6)x +3 nbiến trên (-1; +∞) B4: Xác định m để hàm số đbiến a, trên (-∞; +∞) b, trên (-∞; 1) B5: Xác định m để hàm số a, nbiến trên từng khoảng xác định b, đbiến trên từng khoảng xác định B6: CMR: với , h/số đbiến trên từng khoảng xác định B7: Xác định m để hàm số a, Đồng biến trên TXĐ của nó b, Đồng biến trên (2; +∞) c, Nghịch biến trên (0; 3) B8: Xác định m để hàm số a, Đồng biến trên TXĐ của nó b, Đồng biến trên (-∞; 0) B9: a, CMR h/số đbiến trên từng khoảng xác định của nó b, Tìm cácgiá trị của tham số m sao cho h/số đbiến trên từng khoảng xác định của nó B10:Tìm các giá trị của tham số a để h/số a, Nghịch biến trên R b, Nghịch biến trên (0; +∞) B11: Cho h/số . Với những giá trị nào của m thì h/số nghịch biến trong khoảng B12: CMR h/số f(x)= 2x+ sinx + cosx luôn luôn đồng biến với mọi x B13: Cho h/số .Tìm a để h/số luôn đồng biến B14: Cho h/số a, Xác định m để hàm số đồng biến trên (2; +∞) b, Xác định m để hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1), (2; +∞) Dạng 3: Chứng minh BĐT dựa vào xét tính đơn điệu của hàm số B15: CMR: a, b, c, d, x > sinx với x > 0 Chú ý: Nếu h/số y=f(x) ltục / [0; +∞) thì h/số sẽ đbiến /[0; +∞) B/cực trị của hàm số và các bài toán liên quan Kiến thức cần nhớ: a.Quy tắc tìm cực trị: Quy tắc 1: B1: Tìm TXĐ B2: Tính y’. Tìm các điểm tới hạn B3: Lập BBT và xác định dấu của y’ B4: Từ BBT suy ra các điểm cực trị của h/số.(cực đại và cực tiểu) b. Quy tắc 2: B1: Tìm TXĐ B2: Tính y’. Giải phương trình y’=0 được các nghiệm xi B3: Tính y’’ và y’’(xi) B4: Nếu y’’(xi)>0 thì xi là điểm cực tiểu. Nếu y’’(xi)< 0 thì xi là điểm cực đaị 2.Bài tập: B1: Tìm cực trị của các h/số sau: a, b, c, d, B2: Xác định các hệ số a, b, c, d của h/số biết rằng đồ thị của nó có hai điểm cực trị là (0; 0) và (1; 1) B3: Với giá trị nào của m thì h/số sau có cực đại và cực tiểu: B4:Cho h/số Với giá trị nào của m, h/số đạt cực tiểu tại x=1? B5: Cho h/số . Xác định m sao cho: a, H/số có cực trị b, H/số có 2 cực trị và 2 cực trị đó trái dấu nhau B6: Cho h/số . Xác định m sao cho: a, H/số có cực trị b, H/số có 2 cực trị và 2 cực trị đó cùng dấu B7: Với giá trị nào của k thì h/số có cực tiểu? B8: Tìm m để đồ thị h/số sau có cực trị a, b, B9: Cho . Gọi x1, x2 là hoành độ 2 điểm cực trị. Tìm m để c/GTLN và GTNN của hàm số Kiến thức cần nhớ: Khái niệm GTLN, GTNN Cho h/số y=f(x) xác định trên D. + Số M gọi là GTLN của h/số nếu và K/h: + Số m gọi là GTNN của h/số nếu và K/h: Có 2 cách thông thường để tìm GTLN, GTNN của 1 h/số C1: Dùng các đánh giá để tìm miền giá trị của h/số C2: dùng đạo hàm để khảo sát h/số đó. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của h/số trên 1 khoảng (a; b) Lập BBT của h/số trên (a; b) rồi từ đó tìm ra GTLN, GTNN Phương pháp tìm GTLN, GTNN của h/số trên 1 đoạn [a; b] B1: Tìm TXĐ B2: Tính y’. Tìm các điểm tới hạn x1, x2, .,xn trên [a; b] B3: Tính các giá trị f(a), f(x1), f(x2),.,f(xn), f(b). B4: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số trên. 2. Bài tập B1: Tìm GTLN và GTNN của các h/số sau trên các khoảng đã chỉ ra: a, trên (0; +∞) b, c, d, trên (0; +∞) e, trên (0; +∞) B2: Tìm GTLN và GTNN của các h/số: a, trên [-4; 4] b, trên [-2; 2] c, trên [-1; 1] d, e, f, trên [0; 2] g, trên [-10; 10] h, y=sin2x –x trên B3: Tìm GTLN và GTNN của các h/số: a, trên [-1; 1] b, trên khoảng (-1; 1) c, trên [0; 2] d, trên R e, trên R B4: Tìm GTNN của h/số: B5: Gọi y là nghiệm lớn của phương trình: (m là tham số) Hãy tìm GTLN và GTNN của y tuỳ theo m B6: Cho h/số , m là tham số a, Tìm GTLN và GTNN của h/số trên [-1; 1] trong mỗi trường hợp 1, 2, 3, b, Tìm giá trị của m sao cho GTNN của h/số trên [-1; 1] là không âm. B7: Cho h/số (với b là tham số).Tìm giá trị lớn nhất của h/số trên [-2; 1] B8: Tìm GTLN và GTNN của các h/số: a, b, c, d, HD: Cho h/số y=f(x) có miền xác định D. Nếu xác định được miền giá trị f(D) của h/số thì có thể suy ra được GTLN, GTNN của h/số. D/Tiệm cận Kiến thức cần nhớ: Tiệm cận ngang: Nếu có số y0 sao cho hoặc hoặc cả hai giới hạn trên đều xảy ra thì đường thẳng y=y0 là một tiệm cận ngang của đồ thị h/số Chú ý: Muốn tìm tiệm cận ngang ta tìm giới hạn của hàm số tại vô cùng.Nếu giới hạn không tồn tại thì không có tiệm cận ngang Tiệm cận đứng: Đường thẳng x=x0 là 1 tiệm cận đứng nếu ít nhất 1 trong các điều kiện sau được thoả mãn: Chú ý: x0 thường là giá trị làm cho mẫu thức(nếu có) của f(x) bằng 0 Tiệm cận xiên: Đường y=ax+ b là tiệm cận xiên nếu ít nhất 1 trong các điều kiện sau được thoả mãn: Chú ý: Cách tìm phương trình của tiệm cận. Ta tính hệ số a, b theo công thức sau: hoặc hoặc Nếu biểu thức hàm số có biến số ở mẫu thì chú ý các giới hạn trong đó mẫu thức dần tới 0 Nếu biểu thức hàm số có biến số ở căn thức bậc chẵn thì cần chú ý các giới hạn Bài tập: B1:Tìm các tiệm cận của các đồ thị h/số sau: a, b, c, d, e, f, g, h, i, B2: Cho h/số (a là tham số).Xác định a để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm (2; 0) E/Bài toán về số giao điểm của 2 đồ thị Kiến thức cần nhớ Cho 2 h/số y=f(x) và y=g(x). Gọi các đồ thị tương ứng của chúng là F và G. Khi đó giữa F và G có thể xảy ra các khả năng sau: F và G không cắt nhau: Phương trình f(x)= g(x) vô nghiệm F và G tiếp xúc với nhau tại điểm A có hoành độ x= x0: Phương trình f(x)= g(x) có nghiệm kép là x0(chỉ áp dụng với các phương trình đại số) F và G cắt nhau tại các điểm có hoành độ là x1, x2,, xn. Phương trình f(x)= g(x) có n nghiệm đơn là x1, x2,, xn. Tóm lại: Việc khảo sát sự tương giao giữa 2 đồ thị của 2 hàm số y=f(x) và y=g(x) tương đương với việc khảo sát sự có nghiệm của phương trình f(x)= g(x). Phương trình f(x)= g(x) có bao nhiêu nghiệm đơn thì F và G có bấy nhiêu giao điểm Bài tập: B1: CMR đồ thị 2 h/số và y=2x -1 không cắt nhau B2: Tìm m để và y = - x+m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt B3: Cho h/số . Xác định a để đường thẳng y= ax +3 không cắt đồ thị h/số B4: Cho Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1 B5: Cho h/số: Xác định m để đồ thị của h/số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt với các hoành độ lập thành cấp số cộng. B6: Cho h/số: Xác định m để đồ thị của h/số đã cho cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt với các hoành độ lập thành cấp số cộng. B7: Cho h/số a, Tìm quỹ tích giao điểm của đồ thị với trục Ox khi m thay đổi. b, Tìm quỹ tích giao điểm của đồ thị với trục Oy khi m thay đổi. B8: Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị 2 h/số sau: và y=x- m B9: Tìm k để đường thẳng y= kx – k+ 2 cắt đồ thị h/số tại 2 điểm phân biệt. B10: Tìm k để đường thẳng y= kx +1 cắt đồ thị h/số tại 2 điểm phân biệt. B11: Tìm m để đồ thị h/số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương B12: Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị h/số tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho độ dài đoạn AB=1 B13: Tìm m để đồ thị cắt đường thẳng y= 1 tại 3 điểm phân biệt B14: Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt B15: Tìm a để đường thẳng y= a(x+1)+1 cắt đồ thị h/số tại 2 điểm có hoành độ trái dấu nhau F/Ba bài toán cơ bản về phương trình tiếp tuyến Cho h/số y= f(x) có đồ thị (C) Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M(x0; y0) cho trước. Khi đó phương trình tiếp tuyến với đồ thị (*) tại điểm M(x0; y0) là: y- y0= f’(x0)(x- x0) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(x0; y0) cho trước. - Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0) cho trước với hệ số góc k là: y- y0= k(x- x0) (*) Điều kiện để đường thẳng (*) tiếp xúc xới đồ thị (C) là hệ phương trình sau phải có nghiệm: hoặc phương trình f(x) = k(x- x1)+ y1 có nghiệm kép Xác định được k ta sẽ xác định được phương trình tiếp tuyến. Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k Giải phương trình f’(x)=k tìm được các hoành độ tiếp điểm x0, x1, .. Từ đó viết được các phương trình tiếp tuyến cần tìm. Bài tập: B1:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị h/số biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 4) B2:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị h/số biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(1; 1) B3: Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng và tiếp xúc với đồ thị h/số B4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị h/số biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y= - 9x+1 B5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị h/số biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y= - x B6: Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị h/số . Viết phương trình các tiếp tuyến đó B7: Cho h/số có đồ thị là (C) a, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các điểm mà tại đó y’’= 0 b, Tìm tiếp tuyến của (C) đi qua điểm B8: Cho h/số có đồ thị là (C). CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của 2 tiệm cận của đồ thị đó B9: Cho h/số có đồ thị là (C). CMR trên (C) tồn tại những cặp điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau B10: Cho h/số có đồ thị là (C) Giả sử tiếp tuyến tại cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng MP= MQ B11: Cho h/số có đồ thị là (C). Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C). B12: Tìm a để đồ thị có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= x B13: Tìm m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành B14: Tìm m để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y= m B15: Tìm a để tiệm cận xiên của đồ thị tiếp xúc với parabol G/ Một số bài tập tổng hợp: B1: a, Khảo sát h/số . Gọi (C) là đồ thị của nó. b, CMR qua điểm M(0; 1) có 3 tiếp tuyến của (C). Viết phương trình các tiếp tuyến đấy B2: a, Khảo sát h/số . Gọi (C) là đồ thị của nó. b, Dùng đồ thị (C) hãy biện luận số nghiệm của phương trình (m là tham số) c, Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm B3:Xét h/số a, Tính các hệ số a, b, c biết f(0)=-1 và h/số có 2 cực trị là x=1 và x=3. b, Với a, b, c đã tính được ở câu a, hãy khảo sát h/số. c, Tại điểm nào thuộc đồ thị h/số thì tiếp tuyến của đồ thị tại đó có hệ số góc nhỏ nhất. B4:Cho h/số , a là tham số a, Khảo sát h/số với a=3 b, Tìm a để h/số đồng biến trên khoảng c, Tìm các giá trị của a biết h/số không có cực trị B5:a, Khảo sát và vẽ đồ thị (G) của h/số . Gọi A là điểm thuộc đồ thị (G) và có hoành độ x=2. b, Viết phương trình tiếp tuyến của (G) tại điểm A c, Viết phương trình các tiếp tuyến của (G) đi qua điểm A d, Tìm m nếu đường thẳng y=m cắt (G) tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng B6: Cho h/số , m là tham số khác 0 a, CMR với mọi m khác 0, đồ thị của h/số luôn tiếp xúc với đường thẳng y= x+1 b, CMR giao điểm I của 2 tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của nó. Tìm quỹ tích của I c, Khảo sát và vẽ đồ thị của h/số khi m=1 d, Tìm trên đồ thị các điểm có tổng khoảng cách đến 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất B7: Kí hiệu (G) là đồ thị của h/số , a là tham số a, Tính a biết rằng tiếp tuyến của (G) tại giao điểm của (G) với trục hoành vuông góc với đường thẳng y=x b, CMR với mọi a thuộc R, (G) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng y= -x-2 và y= -x+6 c, Khảo sát và vẽ đồ thị của h/số khi a=1 d, Dựa vào đồ thị vừa vẽ và kết quả của phần b, hãy biện luận số nghiệm của phương trình sau tuỳ theo tham số m: B8: Cho h/số với tham số m a, Khảo sát và vẽ đồ thị của h/số khi m=2. Gọi (G) là đồ thị của nó. b, Dựa vào đồ thị (G), biện luận số nghiệm của phương trình (a là tham số) c, Viết phương trình các tiếp tuyến qua gốc toạ độ của (G) Từ kết quả đó, dựa vào đồ thị (G), hãy biện luận số nghiệm của phương trình (k là tham số) d, Tìm các giá trị của m để h/số có cực trị. e, Tìm các giá trị của m sao cho h/số nghịch biến trên khoảng 1, 2, B9: a, Khảo sát h/số . Gọi (C) là đồ thị của h/số đã cho b, CMR đường thẳng y= 2x+ m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M và N c, Xác định m sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất d, Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt 2 đường tiệm cận của (C) tại P và Q. CMR S là trung điểm của đoạn PQ. B10: a, Khảo sát h/số . b, Giả sử M(x0; y0) là một điểm tuỳ ý trên đồ thị (G) của h/số. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (G) tại điểm M. c, Gọi A và B là giao điểm của tiếp tuyến nói trên với tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (G). CMR M là trung điểm của đoạn AB. d, Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận. CMR tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên (G)