Giáo án lớp 12 môn Toán - Chương 2 : Các qui tắc đếm – chỉnh hợp hoán vị và tổ hợp

Chương 2 : Các qui tắc đếm – chỉnh hợp hoán vị và tổ hợp A. Tổng quát Bài 1. Các qui tắc đếm I. Qui tắc nhân 1) Phát biểu qui tắc Một công việc H được thực hiện lần lượt qua k giai đoạn H1, H2, H3,, Hk; Trong đó : Giai đoạn H1 có n1 cách thực hiện Giai đoạn H2 có n2 cách thực hiện Giai đoạn H2 có n3 cách thực hiện .0 Giai đoạn Hk có nk cách thực hiện Khi đó để hoàn thành công việc H phải thực hiện đồng thời k giai đoạn, suy ra có (n1, n2, n3, , nk) cách để hoàn thành công việc H 2) Các ví dụ Ví dụ 1: Đề thi cuối khoá môn toán của khối 12 ở một trường trung học gồm hai loại đề tự luận và trắc nghiệm. Một học sinh dự thi phải thực hiện hai đề: 1 tự luận và 1 trắc nghiệm, trong đó đề thi tự luận có 12 đề; đề trắc nghiệm có 15 đề. Hỏi một học sinh có bao nhiêu cách chọn đề thi ? Giải Một học sinh dự thi phải làm đồng thời 1 đề thi tự luận và 1 đề thi trắc nghiệm; Trong đó : Có 12 cách chọn đề thi tự luận và 15 cách chọn đề thi trắc nghiệm Vậy một học sinh có 12.15 = 180 cách chọn đề dự thi Ví dụ 2: Muốn đạt được chứng chỉ B môn Tiếng Anh thì một thí sinh phải thi đồng thời 4 môn writing, speaking, listening, reading và phải trên 5 điểm. Trong đómôn writing có 12 đề thi; môn speaking có 14 đề thi; môn listening có 9 đề thi và môn reading có 18 đề thi. Hỏi một thí sinh có bao nhiêu cách chọn đề thi (đủ 4 môn) ? Giải Để đạt được chứng chỉ B tiếng Anh thì một thí sinh phảit hi đủ 4 môn và môn nào cũng trên 5 điểm; với mỗi môn chọn một đề thi, trong đó : + Môn writing có 12 cách chọn đề thi + Môn Speaking có 14 cách chọn đề thi + Môn Listening có 9 cách chọn đề thi + Môn Reading có 18 cách chọn đề thi Vậy có 12.14.9.18 = 27216 cách chọn đề của 1 thí sinh Ví dụ 3: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 5, 7, 9}. a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau ? b) Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau ? Giải a) Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là: Để có số ta phải chọn đồng thời 4 chữ số a1, a2, a3, a4 trong đó + a1 có 6 cách chọn + a2 có 5 cách chọn + a3 có 4 cách chọn + a4 có 3 cách chọn Vậy có : 3.4.5.6 = 360 số cần tìm b) Trong tập hợp A chỉ có 1 chữ số nên số chẵn có 5 chữ số cần tìm là Để có số ta phải chọn đồng thời 4 chữ số a1, a2, a3, a4 trong đó + a1 có 5 cách chọn + a2 có 4 cách chọn + a3 có 3 cách chọn + a4 có 2 cách chọn Vậy có : 2.3.4.5 = 120 số cần tìm Ví dụ 4 Cho tập hợp A = . Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau được lấy ra từ tập A ? Giải Gọi số cần tìm là : Trong đó : + a1 có 9 cách chọn + a2 có 9 cách chọn + a3 có 8 cách chọn + a4 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn Vậy có : 9.9.8.7.6 = 27216 số cần tìm Ví dụ 5 : Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8} a) Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau và các số này lẻ chia hết cho 5 b) Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng cuối chia hết cho 4 Giải a) Gọi số cần tìm là Số n lẻ; chia hết cho 5 Trong đó : + a1 có 5 cách chọn + a2 có 5 cách chọn + a3 có 4 cách chọn + a4 có 3 cách chọn + a5 có 2 cách chọn Vậy có : 5.5.4.3.2 = 300 số cần tìm b) Gọi số cần tìm là Vì chữ số đứng cuối trong số chia hết cho 4 nên : a6 = 8 hoặc a6 = 0. Xét hai trường hợp : TH1: a6 = 8 : + a1 có 5 cách chọn + a2 có 5 cách chọn + a3 có 4 cách chọn + a4 có 3 cách chọn + a5 có 2 cách chọn có 5.5.4.3.2 = 600 số TH2: a6 = 0 : + a1 có 6 cách chọn + a2 có 5 cách chọn + a3 có 4 cách chọn + a4 có 3 cách chọn + a5 có 2 cách chọn có 6.5.4.3.2 = 720 số Vậy có tất cả 600 + 720 = 1320 số cần tìm Ví dụ 6. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau và > 50.000 ? b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng ở vị trí thứ 3 chia hết cho 5 và chữ số đứng cuối lẻ ? Giải a) Gọi số cần tìm là số > 50.000 nên a1 có thể chọn từ các chữ số {5, 6, 8, 9} + a1 có 4 cách chọn + a2 có 6 cách chọn + a3 có 5 cách chọn + a4 có 4 cách chọn + a5 có 3 cách chọn có 4.6.5.4.3 = 1440 số b) Gọi số cần tìm là Vì chữ số đứng ở vị trí thứ 3 chia hết cho 5 và chữ số đứng cuối lẻ nên xét hai trường hợp : TH1: a3 = 0 a6 = {5, 9} + a6 có 2 cách chọn + a1 có 5 cách chọn + a2 có 4 cách chọn + a4 có 3 cách chọn + a5 có 2 cách chọn có 2.5.4.3.2 = 240 số TH2: a3 = 5 a6 = 9 + a3 và a6 có 1 cách chọn + a1 có 4 cách chọn + a2 có 4 cách chọn + a4 có 3 cách chọn + a5 có 2 cách chọn có 4.4.3.2 = 96 số Vậy có tất cả : 240 + 96 số cần tìm Ví dụ 7: Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm có 5 chữ số khác nhau đôi một sao cho các số này không bắt đầu bằng 16 và chữ số đứng cuối không chia hết cho 5 b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm có sáu chữ số khác nhau tong đôi một sao cho các số này đề lớn hơn 600001 Giải a) Gọi số cần tìm là Theo đề bài : Như vậy : + a1 có 6 cách chọn + a2 có 5 cách chọn + a5 có 4 cách chọn + a3 có 4 cách chọn + a4 có 3 cách chọn có 6.5.4.4.3 = 1440 số cần tìm b) Gọi số cần tìm là số > 600001 a1 = {6, 7, 9} và + a1 có 3 cách chọn + a6 có 5 cách chọn + a3 có 5 cách chọn + a4 có 4 cách chọn + a5 có 3 cách chọn + a6 có 2 cách chọn Vậy có : 2.3.4.5.5.3 = 1800 số cần tìm Ví dụ 8: Cho A = . Từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 luôn có mặt ? Giải Gọi số cần tìm là : Để có số ta tiến hành chọn theo 2 bước : + B1: Chọn vị trí cho chữ số 2 : có 5 vị trí + B2 : Sau khi chọn vị trí của chữ số 2 thì ta xem như một chữ số nào đó, trong số đã nhận được chữ số 2. Như vậy chỉ cần chọn thêm 4 chữ số nữa. Do vai trò của 5 chữ số này là như nhau nên ta có thể giả sử a1 = 2 khi đó : + a2 có 8 cách chọn + a3 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn + a5 có 5 cách chọn Vậy có tất cả 5(8.7.6.5) = = 8400 số cần tìm Ví dụ 9 : Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này không bắt đầu bằng 246 b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 1 có mặt đúng 1 lần Giải a) Gọi số cần tìm là : Ta có : + a1 có 6 cách chọn + a2 có 6 cách chọn + a3 có 5 cách chọn + a4 có 4 cách chọn + a5 có 3 cách chọn + a6 có 2 cách chọn Có 6.6.5.4.3.2 = 4320 số có 6 chữ số đôi một khác nhau Bây giờ ta tính số các số có 6 chữ số đôi một khác nhau bắt đầu bằng 256. Gọi số đó là : + a4 có 4 cách chọn + a5 có 3 cách chọn + a6 có 2 cách chọn Có 2.3.4 = 24 số Vậy có 4320 – 24 = 4296 số cần tìm theo yêu cầu bài toán b) ) Gọi số cần tìm là : Nhận xét : Do tập hợp A có chữ số 0 và chữ số luôn có mặt chữ số 1 đúng 1 lần nên khi a1 = 1 và a1 1 sẽ làm cho việc lựa chọn các chữ số còn lại sẽ khác nhau Vì vậy ta chia bài toán theo hai trường hợp TH1: Nếu a1 = 1 số có dạng : + a2 có 6 cách chọn + a3 có 5 cách chọn + a4 có 4 cách chọn + a5 có 3 cách chọn Có 6.5.4.3 = 360 số TH1: Nếu a1 1 số có dạng : + a1 có 5 cách chọn + có 4 vị trí cho chữ số 1, giả sử a2 = 1 + a3 có 5 cách chọn + a4 có 4 cách chọn + a5 có 3 cách chọn Có 5.4..5.4.3 = 1200 số Ví dụ 10 : Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho hai chữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhau b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này chia hết cho 9 ? Giải a) Gọi số cần tìm là : Ta đếm các số có năm chữ số đôi một khác nhau bất kỳ rồi trừ đi các số có năm chữ số mà chữ số 2 và chữ số 5 luôn đứng cạnh nhau + a1 có 6 cách chọn + a2 có 6 cách chọn + a3 có 5 cách chọn + a4 có 4 cách chọn + a5 có 3 cách chọn Có 6.6.5.4.3 = 2100 số Khi chữ số 2 và 5 luôn đứng cạnh nhau, có thể xem chữ 2 và 5 là một chữ số a. Ta thành lập một số có 4 chữ số mà a luôn có mặt Như vậy có : 5.4.3 + 3.4.4.3 = 204 số Do đó có : 2100 – 204 = 1956 số cần tìm b) Gọi số cần tìm là : Số chia hết cho 9 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5) chia hết cho 9 Ta có : a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 18 Từ tập A ta chọn bộ (a1, a2, a3, a4, a5) có tổng bằng 18 là : (a1, a2, a3, a4, a5) = {(0, 3, 4, 5, 6}; (1, 2, 4, 5, 6)} TH1: Nếu (a1, a2, a3, a4, a5) = (0, 3, 4, 5, 6) + a1 có 4 cách chọn + a2 có 4 cách chọn + a3 có 3 cách chọn + a4 có 2 cách chọn + a5 có 1 cách chọn Có 4.4.3.2.1 = 96 số TH2 Nếu (a1, a2, a3, a4, a5) = (1, 2, 4, 5, 6) + a1 có 5 cách chọn + a2 có 4 cách chọn + a3 có 3 cách chọn + a4 có 2 cách chọn + a5 có 1 cách chọn Có 5.4.3.2.1 = 120 số Vậy có tất cả : 96 + 120 = 216 số cần tìm Ví dụ 11 : Tìm tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau sao cho a1 + a6 = 10; a2 + a5 = 10 và a3 + a4 = 10 Giải Nhận xét : số 0 và số 5 có trong không thoả mãn bài toán Vậy chỉ còn 8 số: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 + a1 có 8 cách chọn a6 có 8 cách chọn + a2 có 6 cách chọn a5 có 6 cách chọn + a3 có 4 cách chọn a4 có 4 cách chọn có tất cả : 8.6.4.4.6.8 = 36864 số II/ Qui tắc cộng 1) Phát biểu qui tắc Một công việc H bao gồm k công việc H1, H2,, Hk; mỗi công việc Hi độc lập với Hj Trong đó : + Công việc H1 có n1 cách thực hiện + Công việc H2 có n2 cách thực hiện + Công việc H3 có n3 cách thực hiện + Công việc Hk có nk cách thực hiện Khi đó để làm thành công việc H ta có thể thực hiện k công việc Hi , suy ra số cách thực hiện công việc H là : (n1 + n2 + n3 + + nk) 2) Các ví dụ : Ví dụ 1: Một nữ sinh trung học, khi đến trường có thể chọn một trong hai cách trang phục là quần trắng áo dài hoặc quần xanh áo sơ mi Nữ sinh có 7 quần trắng, 5 áo dài, 4 quần xanh và 6 áo sơ mi thì cô có bao nhiêu bọ trang phục ? Giải Khi đến trường cô nữ sinh đó chọn một trong hai cách trang phục : TH1: Quần trắng + áo dài : + quần trắng có 7 cách chọn + áo dài có 5 cách chọn có 7.5 = 35 bộ trang phục ( với 1 quần trắng và 1 áo dài) TH2 : Quần xanh + áo sơ mi + quần xanh có 4 cách chọn + áo sơ mi có 6 cách chọn có 4.6 = 24 cách chọn Vậy có 35 + 24 = 59 bộ trang phục khi đến trường Ví dụ 2 : Cho tập A = a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau ? b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số 6 chữ số khác nhau, sao cho các số này chia hết cho 5 ? Giải a) Gọi số cần tìm là : số lẻ nên a5 = {1, 3, 5, 7, 9} + a5 có 5 cách chọn + a1 có 9 cách chọn + a2 có 8 cách chọn + a3 có 7cách chọn + a4 có 6 cách chọn Có 5.9.8.7.6 = 15120 số cần tìm b) Gọi số cần tìm là : Số chia hết cho 5 nên a6 = {0, 5} TH1 : a6 = 0 : + a1 có 9 cách chọn + a2 có 8 cách chọn + a3 có 7cách chọn + a4 có 6 cách chọn + a5 có 5 cách chọn Có 9.8.7.6.5 = 15120 số cần tìm TH1 : a6 = 5 : + a1 có 8 cách chọn + a2 có 8 cách chọn + a3 có 7cách chọn + a4 có 6 cách chọn + a5 có 5 cách chọn Có 8.8.7.6.5 = 13440 số cần tìm Vậy có tất cả 15120 + 13440 = 18560 số cần tìm Ví dụ 3: Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm năm chữ số mà không chia hết cho 5? b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm sáu chữ số,biết chữ số thứ ba luôn lẻ c) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm năm chữ số sao cho chữ số 5 luôn có mặt trong các số đúng 1 lần và chữ số đầu tiên lẻ ? Giải a) Gọi số cần tìm là : Do số lẻ và không chia hết cho 5 nên a5 = {1, 9} + a5 có 2 cách chọn + a4 có 6 cách chọn + a3 có 5 cách chọn + a2 có 4 cách chọn + a1 có 3 cách chọn Vậy có 2.6.5.4.3 = 720 số cần tìm b) Gọi số cần tìm là : Theo đề bài thì a3 = {1, 5, 9} a3 có 3 cách chọn và a6 = {2, 4, 6, 8} a6 có 4 cách chọn + a1 có 5 cách chọn + a2 có 4 cách chọn + a3 có 3 cách chọn + a5 có 2 cách chọn Vậy có tất cả 3.4.5.4.3.2 = 1440 số cần tìm c) Gọi số cần tìm là : TH1 : a1 = 5 : + a2 có 6 cách chọn + a3 có 5 cách chọn + a2 có 4 cách chọn + a5 có 3 cách chọn có 6.5.4.3 = 360 số TH2 : a1 5 : Chữ số đầu tiên lẻ a1 = {1, 9} a1 có 2 cách chọn Chọn vị trí cho chữ số 5 : có 4 vị trí Chọn 3 chữ số còn lại : 5.4.3 cách chọn có 2.4.5.4.3 = 480 số Vậy có tất cả : 360 + 480 số cần tìm Ví dụ 4 : Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a) Từ tập A có thê lập được bao nhiêu số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 có mặt đúng một lần ? b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng ba chữ số sau một đơn vị ? c) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có năm chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng giữa và đững cuối đều lẻ ? Giải a) Gọi số cần tìm là : Do số lẻ và luôn có mặt đúng một lần nên có hai trường hợp sau : TH1: a4 = 2 : + a1 có 5 cách chọn + a2 có 4 cách chọn + a3 có 3 cách chọn có 3.4.5 = 60 số TH2 : a4 = {4, 6} a4 có 2 cách chọn Chọn vị trí cho chữ số 2: có 3 vị trí Chọn vị tí cho chữ số còn lại có : 4.3 cách chọn có 2.3.4.3 = 72 số Vậy có tất cả 60 + 72 = 132 số cần tìm b) Gọi số cần tìm là : Theo đề ta có: a1 + a2 + a3 + 1 = a4 + a5 + a6 Mà a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 21 Nên 2(a1 + a2 + a3 ) + 1 = 21 a1 + a2 + a3 = 10 Từ tập A ta chọn bộ ba số ( a1, a2, a3) sao cho a1 + a2 + a3 = 10 bộ ba (a1, a2, a3) có thể có là : {(1, 3, 6); (2, 3, 5); (1, 4, 5)} Để có số theo yêu cầu bài toán, ta tiến hành chọn theo hai bước: B1: Chọn bộ ba (a1, a2, a3) có 3.2.1 = 6 cách B2: Chọn bộ ba (a4, a5, a6) có 3.2.1 = 6 cách Vậy với ba bộ (a1, a2, a3) sẽ có tất cả : 3.6.6 = 108 số cần tìm c) Gọi số cần tìm là : Chữ số đứng giữa và cuối đều lẻ nên a3, a5 = {1, 3, 5} ; nếu a3 có 3 cách chọn thì a5 có 2 cách chọn + a1 có 4 cách chọn + a2 có 3 cách chọn + a4 có 2 cách chọn Vậy có tất cả : 3.2.4.3.2 = 144 số cần tìm Ví dụ 5: Cho tập hợp A = gồm 10 số tự nhiên a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau ? b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu chữ số lẻ gồm sáu chữ số đôi một khác nhau biết chữ số 2 luôn có mặt đúng 1 lần ? c) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm năm chữ số đôi một khác nhau biết chữ số 3 luôn có mặt đúng một lần ? Giải a) Gọi số cần tìm là : Xét 2 trường hợp TH1 : a5 = 0 : + a1 có 9 cách chọn + a2 có 8 cách chọn + a3 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn Có 9.8.7.6 = 3024 số TH2 : + a5 có 4 cách chọn + a1 có 8 cách chọn + a2 có 8 cách chọn + a3 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn Có 4.8.8.7.6 = 10572 số Vậy có tất cả : 3024 + 10572 =13776 số cần tìm b) Gọi số cần tìm là : Số lẻ nên a6 = {1, 3, 5, 7, 9} có 5 cách chọn Xét 2 trường hợp : TH1 : a1 = 2 : + a2 có 8 cách chọn + a3 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn + a5 có 5 cách chọn Có 5.8.7.6.5 = 8400 số TH2 : : Chọn vị trí cho chữ số 2: có 4 vị trí + a1 có 7 cách chọn + Chọn ba chữ số còn lại có : 7.6.5 = 210 cách Có : 5.4.7.210 = 29400 số Vậy có tất cả : 8400 + 29400 = 37800 số cần tìm c) Gọi số cần tìm là Xét các trường hợp sau: TH1 : a5 = 3 : + a1 có 8 cách chọn + a2 có 8 cách chọn + a3 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn TH2: a5 có 4 cách chọn Trong TH2 ta chia thành 2 trường hợp con : Th a: a1 = 3 : + a2 có 8 cách chọn + a3 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn Có 8.7.6.4 = 1344 Th b : : + a1 có 7 cách chọn Chọn vị trí cho chữ số 3 : có 3 vị trí Chọn hai chữ số còn lại có : 7.6 = 42 cách chọn có 7.3.42.4 = 3528 số Do đó TH2 có : 1344 + 3528 = 4872 số Vậy có tất cả : 2688 + 4872 = 7560 số cần tìm Ví dụ 6: Cho tập hợp A = gồm có 10 chữ số . a)Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng ở vị trí thứ ba không chia hết cho 5 b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số sau 15 đơn vị Giải a) Gọi số cần tìm là : Chữ số đứng ở vị trí thứ ba không chia hết cho 5 Xét các trường hợp sau : TH1 : a6 = 0 : + a1 có 9 cách chọn + a2 có 7 cách chọn + a3 có 5 cách chọn + a4 có 7 cách chọn + a5 có 6 cách chọn Có 9.8.6.7.6 = 18144 số TH1 : + a6 có 4 cách chọn + a1 có 8 cách chọn + a2 có 7 cách chọn + a3 có 5 cách chọn + a4 có 6 cách chọn + a5 có 4 cách chọn Có 4.8.7.5.6.4 = 26880 số Vậy có tất cả : 18114 + 26880 = 45024 số cần tìm b) Gọi số cần tìm là : Theo đề ta có : 2(a6 + a7 + a8 + a9 + a10) + 15 = 45 a6 + a7 + a8 + a9 + a10 = 15 Từ đó ta chọn bộ năm chữ số (a6, a7, a8, a9, a10) có tổng bằng 15 là : Dựa vào các bộ năm số của (a6, a7, a8, a9, a10) ta có hai trường hợp sau : TH1 : Bộ năm số không chứa chữ số 0 : bộ (1, 2, 3, 4, 5) + a6 có 4 cách chọn + a7 có 4 cách chọn + a8 có 5 cách chọn + a9 có 2 cách chọn + a10 có 1 cách chọn + a1 có 4 cách chọn + a2 có 4 cách chọn + a3 có 3 cách chọn + a4 có 2 cách chọn + a5 có 1 cách chọn Có : (5.4.3.2.1).(4.4.3.2.1) = 11520 số TH2 : Bộ năm số có chứa số 0 +a6 có 5 cách chọn + a7 có 4 cách chọn + a8 có 3 cách chọn + a9 có 2 cách chọn + a10 có 1 cách chọn + a1 có 5 cách chọn + a2 có 4 cách chọn + a3 có 3 cách chọn + a4 có 2 cách chọn + a5 có 1 cách chọn Có : (5.4.3.2.1).(5.4.3.2.1) = 14400 số Vậy có tất cả : 11520 + 14400 = 25920 số cần tìm Ví dụ 7 : Cho tập A = gồm 10 chữ số a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng đầu và cuối đều chẵn ? b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 1 và 3 luôn đứng cạnh nhau ? Giải a) Gọi số cần tìm là : Xét hai trường hợp sau : TH1: Nếu a6 = 0 + a1 có 4 cách chọn + a2 có 8 cách chọn + a3 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn + a5 có 5 cách chọn có 4.8.7.6.5 = 6720 số TH2 : nếu a6 0 a6 = {2, 4, 6, 8} + a6 có 4 cách chọn + a1 có 3 cách chọn + a2 có 8 cách chọn + a3 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn + a5 có 5 cách chọn có 4.3.8.7.6.5 = 20160 số Vậy có tất cả : 6720 + 20160 = 26780 số cần tìm b) Gọi số cần tìm là : Cách 1: Xét các trường hợp sau : TH1 : a1 = 1 và a2 = 3 + a3 có 8 cách chọn + a4 có 7 cách chọn + a5 có 6 cách chọn Có 8.7.6 = 336 số TH2 : a2 = 1: Th a: a1 = 3 : + a3 có 8 cách chọn + a4 có 7 cách chọn + a5 có 6 cách chọn Có 8.7.6 = 336 số Th b: a3 = 3 : + a1 có 7 cách chọn + a4 có 7 cách chọn + a5 có 6 cách chọn có 7.7.6 = 294 số TH3 : a3 = 1, khi đó chữ số 3 có hai vị trí (a2 hoặc a4) + a1 có 7 cách chọn + a2 có 7 cách chọn + a5 có 6 cách chọn có 7.7.6.2 = 588 số TH4 : a4 = 1: tương tự như TH3 có 588 số TH5 : a5 = 1 a4 = 3: + a1 có 7 cách chọn + a2 có 7 cách chọn + a3 có 6 cách chọn có 294 số Vậy có tất cả : 336 + 336 + 294 + 588 + 588 =294 = 2436 số cần tìm Cách 2: B1: Đếm số các số có năm chữ số mà (1, 3) luôn có mặt : + Xem (1, 3) là một chữ số a chữ số a này có 4 vị trí + Số cách chọn ba chữ số còn lại là 8.7.6.5 cách có 2.4.8.7.6.5 = 2688 số B2 : Đếm số các số có năm chữ số mà (1, 3) luôn có mặt và chữ số 0 đứng đầu : + Xem (1, 3) là chữ số b b có 3 vị trí + Số cách chọn hai chữ số còn lại là 7.6 = 42 cách có 2.3.4.2 = 252 số Vậy có : 2688 – 252 = 2436 số cần tìm Ví dụ 8: Cho tập hợp A = gồm 10 chữ số. a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm năm chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng đầu lẻ và chữ số đứng giữa chia hết cho 5 ? b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm các chữ số sao cho a1 + a6 luôn chia hết cho 5 ? Giải a) Gọi số cần tìm là : Xét các trường hợp sau : TH1 : a5 = 5 a3 = 0 + a1 có 4 cách chọn + a2 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn Có 4.7.6 = 168 số TH2: Th a: nếu a1 = 5 a3 = 0 : + a5 có 4 cách chọn + a2 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn có 4.7.6 = 168 số Th b: nếu : + a1 có 5 cách chọn + a3 có 2 cách chọn + a5 có 5 cácch chọn + a4 có 7 cách chọn + a2 có 6 cácch họn có 4.2.3.7.6 = 1008 số Vậy có tất cả : 168 + 168+ 1008 = 1344 số cần tìm b) Gọi số cần tìm là : Theo đề (a1 + a6) luôn chia hết cho 5 a1 + a6 = {5, 10, 15} bộ hai số (a1, a6) thoả mãn : Xét hai trường hợp : TH1: Bộ hai số (a1, a6) không chứa số 0 + a1 có 4 cách chọn + a6 có 1 cách chọn + a2 có 8 cách chọn + a3 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn + a5 có 5 cách chọn có 6 bộ (a1, a6) nên có 6(2.1.8.7.6.5) = 20160 số TH2: Bộ hai số (a1, a6) là (0, 5) : + a1 có 1 cách chọn + a6 có 1 cách chọn + a2 có 8 cách chọn + a3 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn + a5 có 5 cách chọn có 6.5.8.7 = 1680 sô Vậy có tất cả 1680 + 20160 = 21840 số cần tìm Ví dụ 9: Cho tập hợp A = a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng đầu và chữ số cuối đều chẵn, còn chữ số đứng ở vị trí thứ ba chia hết cho 5 b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm có năm chữ số đôi một khác nhau sao cho (a1 + a5) chia hết cho 6. Giải a) Gọi số cần tìm là : Xét các trường hợp sau : TH1: a3 = 0 : + a1 có 4 cách chọn + a6 có 3 cách chọn + a2 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn + a5 có 5 cách chọn có 4.3.7.6.5 = 2520 số TH2: + a1 có 4 cách chọn + a6 có 4 cách chọn + a2 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn + a5 có 5 cách chọn có 4.4.7.6.5 = 3360 số Vậy có tất cả : 2520 + 3360 = 5780 số cần tìm b) Gọi số cần tìm là : Theo đề (a1 + a5 ) chia hết cho 6 a1 + a5 = {6, 12} bộ hai số (a1, a5) = Do số chẵn nên ta xét các trường hợp sau : TH1: Nếu (a1, a5) = (0, 6) + a1 có 1 cách chọn + a5 có 1 cách chọn + a3 có 3 cách chọn + a2 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn có3.7.6 = 126 số TH2: Nếu (a1, a3) = (2, 4) : + a1 có 2 cách chọn + a3 có 1 cách chọn + a2 có 8 cách chọn + a4 có 7 cách chọn + a5 có 3 cách chọn có 2.8.7.3 = 224 số TH3 : nếu (a1, a3) = + a1 có 2 cách chọn + a3 có 1 cách chọn + a5 có 5 cách chọn + a2 có 7 cách chọn + a4 có 6 cách chọn có 2.5.7.6 = 420 số với 3 bộ số có 3.420 = 1260 số Vậy có tất cả : 126 + 224 + 1260 = 1610 số cần tìm Ví dụ 10. Cho tập A = a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm có sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho (a1 + a2 + a3) chia hết cho 7. b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm có 7 chữ số sao cho (a1 + a2 + a3 + a4) chia hết cho 9. Giải a) Gọi số cần tìm là : Số lẻ nên a6 = {1, 3, 5, 7, 9} (a1 + a2 + a3) chia hết cho 7 (a1 + a2 + a3) = {7, 14, 21} TH1: bộ ba số (a1, a2, a3) có a1 + a2 + a3 = 7 : (a1 + a2 + a3 ) = Th a: bộ ba số (a1, a2, a3) có chứa số 0 + a1 có 2 cách chọn + a2 có 2 cách chọn + a3 có 1 cách chọn + Trong bộ này, bộ nào cũng chứa số lẻ nên a6 có 4 cách chọn + a4 có 6 cách chọn + a5 có 5 cách chọn với ba bộ số nên có : 3.(2.2.4.6.5) = 1440 số Th b: Chỉnh hợp : 1. định nghĩa và công thức . 2. Dạng toán : Cho tập hợp A có n phần tử đôI một khác nhau và một số tự nhiên thành lập một dãy số gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử sao cho : *. Các phần tử trong dãy k phần tử đôI một khác nhau . *. K phần tử này sắp xếp theo một thứ tự nhất định . 3. Phương pháp : đối tượng nghiên cứu chủ yếu là các chữ số tự nhiên ta có các bước thực hiện như sau : * Gọi số cần tìm có dạng : * liệt kê các tính chất mà số tự nhiên cần thoã mãn . * Xử lý tính chất bằng cách chọn các chữ số trong số thoã mãn tính chất . * đếm lại số phần tử còn lại trong tập hợp A Các dạng toán : Dạng 1 Bài 1 : Cho tập hợp A = Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôI một khác nhau . Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 6 chữ số đôI một khác nhau . Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôI một khác nhau sao cho tổng hai chữ số đầu và cuối chia hết cho 10 . HD : Gọi số cần tìm là : trong đó : . Năm số này được lấy ra từ tập A có đôI một khác nhau và sắp xếp theo một thứ tự nhất định nên các số cần tìm là chỉnh hợp : phần tử . Do đó : =2520 số . b. Gọi số cần tìm là : =. Do só n chẵn nên : =có 3 cách chọn . Chọn 5 chữ số còn lại từ A có 7-a6 =6 phần tử tức là : Theo quy tắc nhân ta được số các số cần tìm là : 3số . c. Gọi số cần tìm là : =.theo giả thiết chia hết cho 10 Do đó bộ hai chữ số có thể là : Suy ra : * có 2 cách chọn và có 1 cách chọn . Khi đó chọn bốn chữ số còn lại trong A là : . Do đó số các chữ số cần tìm là : 2.2.1.số Bài 2 : Cho tập hợp A = Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôI một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẽ . HD : Gọi số cần tìm là : =. * Chọn 3 chữ số chẵn có : cách chọn * Chọn 3 chữ số lẽ có : cách chọn . Do đó theo quy tắc nhân có .= 1440 cách Bài 3 : Cho tập hợp A = a.Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôI một khác nhau và không bắt đầu từ 345 ? b, Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôI một khác nhau và sao cho chữ số 2 luôn có mặt đúng một lần