Giáo án lớp 12 môn Toán - Chương I: Phương pháp tiên đề

Chương I : PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Hệ tiên đề của một lí thuyết toán học Để xây dựng một lí thuyết toán học nào đó bằng phương pháp tiên đề, chúng ta phải tiến hành theo trình tự sau đây: a. Nêu ra các “khái niệm cơ bản”. Đó là những khái niệm không được định nghĩa, ta có thể hiểu thế nào cũng được, miễn là cách hiểu đó phù hợp với tiên đề mà sau đó sẽ nêu ra. Bởi vậy, các tiên đề về thực chất là các định nghĩa gián tiếp của các khái niệm cơ bản. Các khái niệm khác, không phải là khái niệm cơ bản đều phải định nghĩa thông qua các khái niệm cơ bản. b. Nêu ra một hệ thống tiên đề. Đó là những mệnh đề phát biểu về các khái niệm cơ bản, được thừa nhận là đúng mà không chứng minh. Cố nhiên hệ thống các tiên đề phải thõa mãn một số yêu cầu mà dưới đây chúng ta sẽ đề cập đến. Các mệnh đề khác không phải là tiên đề đều phải được chứng minh. Hệ thống các khái niệm cơ bản và các tiên đề về chúng gọi là một hệ tiên đề. Mô hình của hệ tiên đề Giả sử H là hệ tiên đề của một lí thuyết toán học T. Chúng ta gán cho các khái niệm cơ bản một nội dung cụ thể nào đó, sao cho các tiên đề của H đều thoả mãn. Khi đó ta có một mô hình của hệ tiên đề H. Các yêu cầu của một hệ tiên đề Bất kì một hệ tiên nào cũng phải thoả mãn một yêu cầu cơ bản là không mâu thuẫn. Ngoài ra còn có yêu cầu về tính độc lập và tính đầy đủ. + Sự phi mâu thuẫn của một tiên đề Một hệ tiên đề gọi là phi mâu thuẫn nếu từ các tiên đề của nó không thể chứng minh được hai định lí phủ định nhau (mâu thuẫn nhau). Để chứng minh sự phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề ta dùng phương pháp xây dựng mô hình. Nếu ta đã xây dựng được một mô hình của hệ tiên đề H bằng những khái niệm của một lí thuyết toán học có sẵn L, thì mỗi định lí suy ra từ H sẽ trở thành một định lí trong L. Như vậy nếu lí thuyết L phi mâu thuẫn thì hệ tiên đề H cũng phi mâu thuẫn. Vậy: Hệ tiên đề H phi mâu thuẫn nếu có thể tím thấy mô hình của H trong một lí thuyết toán học T đã biết là phi mâu thuẫn. + Sự độc lập của hệ tiên đề Tiên đề A của một hệ tiên đề phi mâu thuẫn H gọi là độc lập đối với H nếu A không thể chứng minh được từ những tiên đề còn lại của H. Hệ tiên đề H gọi là độc lập nếu mọi tiên đề của H đều độc lập đối với H. Nếu A là một hệ tiên đề của H, ta thành lập hệ tiên đề mới gồm các tiên đề của H nhưng thay tiên đề A bằng tiên đề phủ định của hệ tiên đề A. Rõ ràng là: tiên đề A độc lập đối với H khi và chỉ khi hệ tiên đề phi mâu thuẫn. + Sự đầy đủ của hệ tiên đề Một hệ tiên đề phi mâu thuẫn H gọi là đầy đủ nếu một mệnh đề A nào đó nói về các khái niệm của H đều có thể chứng minh được hoặc bác bỏ được. Nói khác đi, từ hệ tiên đề H có thể chứng minh được mệnh đề A hay chứng minh được mệnh đềphủ định của A. Nếu tiên đề H không đầy đủ, nghĩa là có mệnh đề A và mệnh đềphủ định nó đều không chứng minh được từ H, thì khi thêm tiên đề A hoặcvào H ta được cả hai hệ tiên đề phi mâu thuẫn. 2. Hệ tiên đề hình học trong trường phổ thông a. Hệ tiên đề hình học Ơ-clit trên mặt phẳng Khái niệm cơ bản: Điểm, đường thẳng (đường thẳng được hiểu là một tập hợp điểm, nên có thể nói về điểm thuộc đường thẳng hay không thuộc đường thẳng, đường thẳng di qua hay không di qua điểm), quan hệ ở giữa hai điểm, độ dài đoạn thẳng, số đo góc. Các tiên đề: Tiên đề 1: Đường thẳng là một tập hợp chứa nhiều điểm. Có nhiều đường thẳng. Tiên đề 2: Có một và chỉ một đưòng thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước. Tiên đề 3: Trong ba điểm thẳng hàng ( Nghĩa là cùng nằm trên một đường thẳng ) và phân biệt, có một và chỉ một điểm ở giữa hai điểm còn lại. Tiên đề 4: Mỗi điểm O của một đường thẳng chia các điểm còn lại của đường thẳng thành hai tập hợp điểm không rỗng, không giao nhau, sao cho: Hai điểm phân biệt thuộc cùng một tập hợp khi và chỉ khi điểm O không nằm giữa chúng. Hai điểm thuộc hai tập hợp khac nhau khi và chỉ khi điểm O nằm giữa chúng. Tiên đề 5: Mỗi đường thẳng a chia các điểm không thuộc nó thành hai tập hơp không rỗng, không giao nhau, sao cho: Hai điểm A, B phân biệt thuôc cùng một tập hợp khi và chỉ khi đoạn thẳng AB và đường thẳng a không có điểm chung. Tiên đề 6: Mỗi đoạn thẳng có một độ dài xác định là một số dương. Kí hiệu: Độ đài đoạn thẳng AB cũng được kí hiệu là AB. Tiên đề 7: Nếu điểm M ở giữa hai điểm A và B thì độ dài đoạn thẳng AB bằng tổng độ dài hai đoạn thẳng AM và MB, tức là: AB =AM + MB. Tiên đề 8: Trên một tia Ox cho trước, với một số dương bất kì m, bao giờ cung có duy nhất một điểm M sao cho OM =m. Tiên đề 9: Mỗi góc đều có một số đo xác định, tính bằng độ. Góc - không có số đo bé nhất và bằng 00, góc bẹt có số đo lớn nhất và bằng 1800. Kí hiệu: Số đo của góc xOy đươc kí hiệu là . Tiên đề 10: Nếu tia Ot nằm trong góc xOy thì số đo góc xOy bằng tổng số đo của hai góc xOt và tOy: . Tiền đề 11: Cho tia Ox nằm trên bờ của một nửa mặt phẳng xác định. Khi đó bất kì số m sao cho 0< m <180 , trong nửa mặt phẳng đó bao giờ cũng có duy nhất tia Oy sao cho =m . Tiền đề 12: Hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau nếu AB = A'B', AC = A'C', và . Tiền đề 13: Nếu điểm A không thuộc đường thẳng b thì qua A có không quá một đường thẳng song song với đường thẳng b. b. Hệ tiền đề của hình học Ơ- clit trong không gian Hệ tiền đề hình học Ơ-clit trong không gian bao gồm các tiền đề của Hình học phẳng và bổ sung một khái niệm cơ bản là “mặt phẳng” và 6 tiên đề sau đây: Tiên đề 14 : Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Tiên đề 15 : Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước. Tiên đề 16 : Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước. Tiên đề 17: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng cùng có một điểm chung khác nữa. Tiên đề 18: Trên mỗi mặt phẳng các tiên đề của Hình học phẳng đều đúng. Tiên đề 19: Mỗi đoạn thẳng trong không gian đều có một độ dài xác định. 3. Hệ tiên đề của Vây (Weyl) Không gian afin n-chiều: Giả sử ta có một tập hợp A không rỗng mà mỗi phần tử của nó được gọi là điểm (khái niệm cơ bản) và một không gian vectơ n-chiều V. Tập hợp A được gọi là không gian afin n-chiều liên kết với không gian vectơ n-chiều V nếu các tiên đề sau đây được thỏa mãn: Tiên đề 1: Với bất kì cặp điểm có thứ tự A, B của A có thể xác định được một véc tơ của V mà ta sẽ ký hiệu là véc tơ . Tiên đề 2: Với mỗi điểm A cho trước của A và mỗi vectơ cho trước của V, có duy nhất một điểm B của A sao cho . Tiên đề 3: Với bất kì ba điểm A, B, C của A ta có: Không gian afin 2-chiều được gọi là mặt phẳng afin. Không gian vectơ Ơ-clit: Không gian vectơ n-chiều V, trên đó có xác định phép toán tích vô hướng: với hai vectơ bất kì của V ta cho tương ứng với một số thực, kí hiệu là , sao cho các tiên đề dưới đây được thỏa mãn, được gọi là không gian vectơ Ơ-clit n-chiều; Các tiên đề đó là: 1. Với mọi hai vectơ của V, có: . 2. Với mọi hai vectơ của V và một số thực tùy ý k, có: . 3. Với mọi ba vectơ của V, có: . 4. Với mọi vectơ khác của V, có: . Với vectơ tùy ý, tích vô hướng được kí hiệu là . Chú ý rằng , Số được gọi là độ dài của vectơ và kí hiệu là tức . Không gian Ơ-clit n-chiều: Nếu V là một không gian vectơ Ơ-clit n-chiều (xem định nghĩa ở trên) thì không gian afin A liên kết với V gọi là không gian Ơ-clit n chiều. Không gian Ơ-clit thường được kí hiệu là E. Không gian Ơ-clit 2 chiều được gọi là mặt phẳng Ơ-clit. Trong hệ tiên đề Weyl, “điểm” là khái niệm cơ bản, còn các khái niệm khác như: đường thẳng, mặt phẳng, ở giữa, độ dài đoạn thẳng, số đo góc đều được định nghĩa. Định nghĩa: Giả sử A là không gian afin liên kết với không gian vectơ V. Cho điểm A thuộc A và vectơ khác vectơ không của V. Tập hợp các điểm M của A sao cho với mọi số thực k, gọi là một đường thẳng. Điểm B được gọi là nằm giữa hai điểm A và C nếu có số k < 0 sao cho Độ dài đoạn thẳng AB trong không gian Ơ-clit E là độ dài của vectơ Số đo góc giữa hai vectơ và là số thực j được xác định bởi biểu thức. . B. BÀI TẬP 1.1. Nêu ra một vài mô hình của hệ tiên đề H đã nói trong phần lý thuyết. Tìm một mô hình của hệ tiên đề H sao cho mô hình đó có đúng n véc tơ, với n là số nguyên dương cho trước. 1.2. Hệ tiên đề K gồm: Khái niệm cơ bản: Điểm, đường, thuộc Các tiên đề: 1. Có ít nhất một điểm 2. Qua hai điểm phân biệt có không quá một đường 3. Mỗi đường có ba điểm phân biệt 4. Mỗi điểm nằm trên ba đường phân biệt a. Chứng minh các định lý sau ĐL 1: Hai đường thẳng phân biệt có không quá một điểm chung. ĐL 2: Có ít nhất là bảy điểm, có ít nhất là bảy đường. b. Xây dựng một mô hình của K gồm 7 điểm và 7 đường. c. Có 9 viên bi ( đánh số từ 1 đến 9) và 9 sợi dây căng thẳng ( đánh số từ 1 đến 9). Hãy sắp xếp một mô hình sao cho mỗi sợi dây đi qua đúng 3 viên bi. 1.3. Hệ tiên đề P gồm: Khái niệm cơ bản: Điểm, đường thẳng, điểm thuộc đường thẳng Các tiên đề: 1. Bất kỳ hai điểm phân biệt nào đều thuộc một và chỉ một đường thẳng. 2. Bất kỳ hai đường thẳng phân biệt nào đều thuộc một và chỉ một điểm. 3. Có ít nhất bốn điểm trong đó bất kỳ ba điểm nào cũng không cùng thuộc một đường thẳng. a. Hãy xây dựng các mô hình của P. b. Chứng tỏ rằng hệ tiên đề P phi mâu thuẫn nếu số học phi mâu thuẫn. Trong các bài tập 1.4, 1.5, 1.6, dùng hệ tiên đề của hình học phẳng ở trường phổ thông để chứng minh. 1.4. Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng. 1.5. Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt và thẳng hàng. Nếu C nằm giữa A và B, còn D nằm giữa B và C thì D nằm giữa A và B còn C nằm giữa A và D. 1.6. Định lý Pat: Trên mặt phẳng cho đường thẳng a và ba điểm A, B, C không thuộc a. Nếu đường thẳng a có một điểm ở giữa A và B thì nó cũng có một điểm ở giữa A và C hoặc ở giữa B và C. Trong các bài tập 1.7, 1.8, 1.9, dùng hệ tiên đề của hình học không gian ở trường phổ thông để chứng minh. 1.7. Ngoài mặt phẳng cho trước còn có nhiều điểm khác. 1.8. Cho mặt phẳng (P) và ba điểm phân biệt không nằm trên ( P). Nếu mặt phẳng (P) cắt đoạn thẳng AB thì nó còn cắt đoạn thẳng BC hoặc đoạn thẳng CA. 1.9. Mỗi mặt phẳng chia tập hợp các điểm không thuộc nó thành hai tập hợp không rỗng, không giao nhau sao cho: hai điểm A, B phân biệt thuộc cùng một tập hợp khi và chỉ khi đoạn thẳng AB và mặt phẳng không có điểm chung. Trong các bài tập 1.10, 1.11, 1.12, dùng hệ tiên đề của hình học không gian ở trường phổ thông để chứng minh. 1.10. Nếu và có =, BC = NP, thì . 1.11. Nếu có CA = CB thì 1.12. Nếu ABC và MNP có AB = MN, AC = MP, BC = NP thì ABC = MNP . Trong các bài tập 1.13, 1.14, dùng 12 hệ tiên đề của hình học phẳng ở trường phổ thông( không dùng tiên đề 13) để chứng minh. 1.13. Góc ngoài tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó. 1.14. Nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song. 1.15. Xét không gian véctơ Ơclit 3 chiều R3 với tích vô hướng chính tắc: , với x = (, , ), y = (,,) thuộc R3. (Đã biết trong đại số tuyến tính) . Hãy xem mỗi véctơ là một "điểm" và bất kì hai điểm u = (,,), v = () ta cho tương ứng với véctơ = (). Chứng minh rằng R3 là một không gian Ơclit 3 chiều . 1.16. Cho V là một không gian véc tơ Ơ-clit n chiều trên trường số thực. Gọi mỗi véc tơ của V là một điểm, và với bất kỳ hai điểm và của V ta cho tương ứng với véc tơ - của V. Chứng minh rằng V là một không gian Ơ- clit n chiều. C. HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN 1.1. Hướng dẫn: . Hệ tiên đề H nói trong phần lý thuyết là hệ tiên đề về nhóm (cộng) aben. Sinh viên có thể lấy những ví dụ về nhóm aben đã được học trong học phần Đại số đại cương dùng làm mô hình của hệ tiên đề H. Chẳng hạn là một mô hình của H vì nó nghiệm đúng các tiên đề của H. . Mô hình của (H) có đúng n véc tơ với n là một số nguyên dương cho trước: Có thể lấy nhóm aben (), mô hình này có đúng n véc tơ. 1.2. Hướng dẫn: a) Chứng minh định lý ) “ Hai đường thẳng phân biệt có không quá một điểm chung” Gợi ý: Dùng phương pháp phản chứng Gỉa sử rằng hai đường thẳng phân biệt a, b có quá một điểm chung, chẳng hạn 2 điểm chung thì có mâu thuẫn gì xảy ra không? ) “ Có ít nhất là 7 điểm, có ít nhất là 7 đường” Hình 1 Theo tiên đề i, có một điểm A. Theo tiên đề iv, có 3 đường thẳng a, b, c phân biệt từng đôi qua A. Theo tiên đề iii, trên a có phân biệt, , Trên b có , phân biệt, , Trên c có C1, C2 phần biệt , Vậy có ít nhất là 7 điểm : A1, B1, C1, A2, B2, C2, A. Hai điểm A1, B1 phân biệt (nếu không thì ab) cho ta đường thẳng A1B1. Hai điểm B1, C1 phân biệt (nếu không thì bc) cho ta đường thẳng B1C1. Hai điểm A2, B2 phân biệt (nếu không thì ab) cho ta đường thẳng A2B2. Hai điểm B2, C2 phân biệt(nếu không thì bc) cho ta đường thẳng B2C2. Dễ thấy A1B1, B1C1, A2B2, B2C2 là các đường thẳng phân biệt và phân biệt với a, b, c. Vậy ta có ít nhất là bảy đường thẳng a, b, c, A1B1, B1C1, A2B2, B2C2 b) Xây dựng một mô hình của (K) gồm 7 điểm, 7 đường . Trên tập hợp { 0, 1} ta định nghĩa phép cộng như sau: 0 + 0 = 0 1 + 1 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 Ta gọi điểm là một trong các bộ số sau: A(1, 0, 0); B(0, 1, 0); C(0, 0, 1); D(1, 1, 0); E(1, 0, 1); F(0, 1, 1); G(1, 1, 1). Ta gọi đường thẳng là một trong các phương trình sau: ; ; ; ; Một điểm được gọi là thuộc đường thẳng nếu bộ số thỏa mãn phương trình. Dễ dàng nghiệm được mọi tiên đề của (K) đều thỏa mãn. Trong mô hình này, ta thấy có đúng 7 điểm và 7 đường. c. Giới thiệu một mô hình ( Hình 2) Hình 2 1.3. Hướng dẫn a) Xây dựng các mô hình của . a1) Mô hình véc tơ: Giả sử V3 là một không gian véc tơ 3 chiều trên trường . Ký hiệu chỉ tập hợp các không gian con một chiều của . Với không gian con hai chiều V2 của V3, ta kí hiệu để chỉ tập hợp các không gian con một chiều của V2. Khi đó: Điểm là một không gian con một chiều của V3 Đường thẳng là (một) của một không gian con hai chiều V2 nào đó của V3 Điểm V1 thuộc đường thẳng nếu và chỉ nếu V1V2. Dùng những kiến thức của Đại số tuyến tính ta kiểm nghiệm được các tiên đề của P được thỏa mãn (sinh viên hoàn chỉnh). a2) Mô hình số thực : Ta xét các bộ phận gồm 3 số thực (a1; a2; a3) không đồng thời bằng không và với mỗi bộ ba số thực như thế, ta kí hiệu (a1: a2 : a3) là lớp. Kí hiệu R là tập hợp các lớp như thế. Điểm : là một phần tử của R . Đường thẳng : là tập hợp các phần tử của R thõa mãn một phương trình bậc nhất ba ẩn : u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0, trong đó u1, u2, u3 không đồng thời bằng không (gọi tắt là đường thẳng ). Điểm (a1: a2: a3) thuộc đường thẳng khi và chỉ khi u1a1 + u2a2 + u3a3 = 0 Nghiệm lại rằng các tiên đề của P thõa mãn (sinh viên hoàn chỉnh). b) Gợi ý: Ta thấy rằng số học các số thực phi mâu thuẫn nên hệ tiên đề P phi mâu thuẫn. 1.4. Hướng dẫn Chứng minh “Có ít nhất 3 điểm không thẳng hàng” Hình 2 Theo tiên đề 1, ta có hai đường thẳng a, b phân biệt. Nếu a, b không có điểm chung thì trên a có hai điểm A, B phân biệt và trên b có một điểm C ( Xem Hình 2 ). Khi đó A, B, C không thẳng hàng (vì nếu ngược lại thì a, b có điểm chung C hoặc A, B) Nếu a và b có điểm chung I thì trên a lấy hai điểm phân biệt A, B khác I và trên b lấy điểm C khác I ( Xem hình 3). Hình 3 Khi đó , ta có: A, B, C không thẳng hàng. Vì nếu ngược lại thì a, b ngoài việc có điểm chung I còn có điểm chung C nên trùng nhau. Như vậy, trong cả hai trường hợp ta đều có 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. 1.5. Hướng dẫn: Hình 4 Chứng minh D ở giữa A và B: C ở giữa A và D AC + CB = AB, (1) D ở giữa C và B CD + DB = CB, (2) Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được: AC + CB + CD + DB = AB + CB AC + CD + DB = AB AD + DB = AB (vì AC + CD = AD) Suy ra D ở giữa A và B. Chứng minh C ở giữa A và D: C ở giữa A và B AC + CB = AB (1) D ở giữa C và B CD + DB = CB (2) Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được: AC + CD + DB = AB AC + CD = AB- DB AC + CD = AD (vì D ở giữa A và B nên AB - DB = AD) Suy ra C ở giữa A và D. 1.6. Hướng dẫn ( Xem hình 5 ) Theo tiên đề 5, đường thẳng a chia mặt phẳng α thành hai nửa mặt phẳng: một nửa chứa điểm A và một nửa chứa điểm B ( vì đoan thẳng AB cắt đường thẳng a ). Điểm C phải thuộc một trong hai nửa mặt phẳng đó. Hình 5 Nếu C thuộc nửa mặt phẳng chứa A thì a cắt đoạn BC; Nếu C thuộc nửa mặt phẳng chứa B thì a cắt đoạn AC. 1.7. Hướng dẫn Hình 6 Theo tiên đề 4, có ít nhất một điểm D không thuộc mặt phẳng α chứa ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Trên đoạn thẳng AD lấy được điểm M1 sao cho M1 ở giữa A và D. Điểm M1 không thuộc α ( vì nếu ngược lại thì D thuộc α !! ). Trên đoạn AM1 có điểm M2 sao cho M2 ở giữa A và M1. Điểm M2 không thuộc α ( vì nếu ngược lại thì M1, D thuộc α !! ). Tiếp tục quá trình này và làm tương tự đối với các đoạn DB, DC ta thu được vô số điểm không thuộc mặt phẳng α . 1.8. Hướng dẫn ( Xem hình 7 ) Gọi là mặt phẳng chứa ba điểm A, B, C ( tiên đề 16 ). Nếu α cắt đoạn AB theo giao điểm I thì α và cắt nhau theo giao tuyến g đi qua I ( suy ra từ tiên đề 17). Trong áp dụng định lý Pát cho đường thẳng g và ba điểm A, B, C ta suy ra g cắt đoạn BC hoặc đoạn AC. Suy ra α cắt đoạn BC hoặc đoạn AC. Hình 7 1.9. Lời giải Hình 8 Ta lấy một điểm P bất kỳ không thuộc α ( vì ngoài mặ phẳng α có vô số điểm ) và chia các điểm của không gian (trừ các điểm trên α) làm hai lớp theo tiêu chuẩn sau: Lớp thứ nhất, ( I ), gồm mọi điểm A của không gian sao cho đoạn PA không chứa điểm nào của α. Điểm P thuộc lớp này. Lớp thứ hai, (II), gồm mọi điểm B của không gian (trừ các điểm trên α) sao cho đoạn PB chứa một điểm của α. Khi đó, chúng ta chứng minh 5 điều sau: 1, Mỗi lớp đều không rỗng 2, Bất kỳ một điểm M nào của không gian ( trù các điểm trên α ) đều thuộc một lớp và chỉ một mà thôi. 3, Bất kỳ một cặp điểm A, A’ thuộc lớp ( I ) thì đoạn AA’ không có điểm chung nào với α. 4, Bất kỳ một cặp điểm B, B’ thuộc lớp ( II ) thì đoạn BB’ không có điểm chung nào với α. 5. Mọi cặp gồm hai điểm A, B thuộc hai lớp khác nhau xác định đoạn AB chứa một điểm nào đó của α. Thật vậy. 1, Lớp thứ nhất khác rỗng vì có P thuộc lớp này. Lớp thứ hai khác rỗng vì lý do sau: Lấy một điểm Q thuộc α. Trên PQ lấy điểm R sao cho Q ở giữa P và R ( theo tiên đề 4 ). Vậy điểm R thuộc lớp thứ hai. 2, Mỗi điểm M bất kỳ của không gian không thuộc α có thể thuộc một đoạn thẳng bất kỳ và đoạn thẳng này hoặc chứa một điểm của α hoặc không chứa điểm nào của mặt phẳng α cả. 3, Mỗi cặp điểm A, A’ của lớp ( I ) xác định đoạn thẳng AA’ và đoạn thẳng AA’ không chứa điểm nào của α cả. Thật vậy, nếu P, A, A’ không cùng thuộc một đường thẳng và đoạn AA’ chứa một điểm của α thì theo định lý trong bài tập 1.8, một trong hai đoạn PA hoặc PA’ phải chứa một điểm của α là điều trái với giả thiết. Còn nếu P, A, A’ cùng thuộc một đường thẳng thì ta xét hai trường hợp: Nếu P không ở giữa A và A’, ta giả sử A ở giữa P và A’, khi đó nếu điểm M của α ở giữa A và A’ ( Hình 9), thì theo định lý trong bài tập 1.5, điểm M cũng ở giữa A và A’. Điều này trái với giả thiết. Hình 9 Nếu P ở giữa A và A’ ( Hình 10) thì một điểm M thuộc đoạn AA’ sẽ hoặc thuộc đoạn PA hoặc thuộc đoạn PA’. Điều nàu tái với giả thiết. Hình 10 4, Mỗi cặp điểm B, B’ thuộc lớp thứ hai xác định một đoạn thẳng không chứa chứa điểm nào của α . Nếu P, B, P’ không thẳng hàng thì các đoạn thẳng PB, PB’ lần lượt chứa các điểm M, M’ của mặt phẳng α ( Hình 11 ). Hình 11 Mặt phẳng α cắt đường thẳng BB’ tại N. Điểm N phải nằm ngoài đoạn MM’. Thật vậy, nếu N ở giữa M và M’ thì theo định lý Pat đối với ba điểm P, M, M’ đường thẳng BB’ phải cắt PM tại B, nghĩa là B ở giữa P và M. Điều này trái với giả thiết là M ở giữa P và B. Chứng minh tương tự, ta có điểm M ở ngoài đoạn NM’ và điểm M’ cũng ở ngoài đoạn MN. Như vậy là trong ba điểm M, N, M’ không có điểm nào ở giữa hai điểm kia. Điều này mâu thuẩn với tiên đề 3. 5, Mọi cặp gồm hai điểm A, B thuộc hai lớp khác nhau xác định đoạn AB chứa một điểm nào đó của α. Thật vậy, theo giả thiết đoạn PB chứa một điểm M của mặt phẳng α ( Hình 12). Hình 12 Nếu P, A, B không thuộc một đường thẳng thì theo định lý Pát, hoặc là PA hoặc là AB phải chứa một điểm của α . Do PA không chứa nên AB chứa điểm của α ( hình 9). Nếu P, A, B thẳng hàng thì điểm M của α phải ở giữa P và B ( Hình 13 ). Hình 13 Mặt khác, theo tiên đề 4, điểm M của α chia tất cả các điểm còn lại của đường thẳng AB thành hai lớp, mỗi lớp nằm về hai phía đối với M. Do đó, điểm A phải nằm về phía điểm P đối với M, nghĩa là đoạn AB chứa điểm M của α . 1.9. Hướng dẫn: Nếu và có =, BC = NP, thì . Giả sử NPBC. Theo tiên đề 8, trên tia NP tồn tại duy nhất một điểm Q sao cho NP = BC. Khi đó: ( Tiên để 12 ). (1). Hình 14 Mặt khác, theo giả thiết ta có (2). Từ (1), (2) và tiên đề 11, suy ra MQ MP, tức là Q P. 1.10. Hướng dẫn Nếu có CA = CB thì . Hình 15 Xét có CA = CB thì , ta có: CA = CB, CB = CA, Theo tiên đề 12 suy ra Do đó suy ra: . 1.11. Hướng dẫn Nếu ABC và MNP có AB = MN, AC = MP, BC = NP thì ABC = MNP . Hình 16 Theo giả thiết : AB = MN, AC = MP nên muốn chứng minh ABC = MNP, ta chỉ cần chứng minh . Xét hái góc : theo tiên đề 11, có tia MQ duy nhất về phía MN đối với tia MP sao cho . Trên tia MQ theo tiên đề 8, có điểm duy nhất sao cho M = MN = AB. Theo tiên đề 12. ta có MP = ACB. Do đó , P =NP = CB. Ta dựng MPN2 nằm khác phía với MNP đối với đường thẳng MP thỏa: và M = M. Khi đó , theo tiên đề 12, ta có MP= MP nên suy ra P= P . M cân tại M nên (1) P cân tại P nên (2) Hay . Mặt khác , ta lại có MNP = MP nên suy ra . Mà theo cách dựng ở trên, ta có : . Theo tiên đề 11, suy ra tia MQ phải trùng với tia MN , nghĩa là . Vậy ABC=MNP 1.12. Hướng dẫn: (Hình 17 ) Hình 17 Ta chứng minh mỗi góc ngoài, chẳng hạn , lớn hơn mỗi góc trong, chẳng hạn góc . Gọi O là trung điểm của đoạn BC . Trên tia đối của OA lấy điểm D sao cho OD = OA. OAD = ODC (c.g.c) . Vì D thuộc miền trong của góc tạo bởi hai tia CB và CA' nên . . 1.13. Hướng dẫn: (Hình 18 ) *1 Giả sử ABC có AB > AC, ta chứng minh Trên tia AB lấy điểm C' sao cho AC'= AC. Tam giác ACC' là tam giác cân tại A nên Đối với tam giác BCC', góc là góc ngoài tại C' nên hay (1). Điểm C' ở giữa A và B nên ' (2). Từ (1), (2) và tích chất bắc cầu suy ra . Hình 18 *2 Giả sử ABC có . Ta chứng minh AB > AC Thực hiện ngược lại với *1, ta có kết quả . (S/v hoàn chỉnh phần này) 1.14. Hướng dẫn: ( Xem hình 19) Hình 19 Giả sử rằng a, b cắt nhau tại C. Khi đó là ngóc ngoài của CAB, nên . ( Định lý trong bài tập 1.12). Điều này mâu thuẩn với giả thiết . Vậy a, b song song. 1.15. Hướng dẫn: Ta sẽ chứng tỏ rằng các tiên đề của không gian Ơ- lít được thỏa mãn i, Mỗi điểm U(,,) R3 , mỗi véctơ = () R3 , ta chỉ ra rằng có một điểm V của R3 để cho =. Thật vậy, điểm V được xác định như sau: V = U + = (). Khi đó = V- U = (-, -,-) = () =. ii, Với bất kì 3 điểm U, V , R R3 , ta chứng minh : Thật vậy , ta có : = R-U = R-V + V-U = Vậy, R3 là một không gian afin liên kết không gian véc tơ Ơ- clit R3 nên nó là một không gian Ơ- clit. 1.16. Hướng dẫn : i, Mỗi U V, mỗi V, có V = U+ sao cho =. ii, Mỗi ba điểm U, V, R thuộc V ta có : R - U = V- U + R -V Vì vậy , V là một không gian afin n chiều liên kết với không gian véctơ Ơ- clit V. Do đó , V là không gian Ơclit n chiều .