Giáo án lớp 12 môn Toán - Chuyên đề lượng giác

Chuyên đề: LG 1 Chuyên đề LƢỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC 1. Hệ thức LG cơ bản 2 2 2 2 sin cos 1 sin tan cos 2 1 tan 1 2cos k k                                    2 2 tan .cot 1 cos cot sin 1 cot 1 sin k k                  2. Công thức LG thường gặp Công thức cộng:       sin sinacosb sinbcosa cos cosa cos b sinasinb tan tan tan b 1 tan tan a b a b a b a a b         Công thức nhân: 2 2 2 2 3 3 3 2 sin 2 2sin .cos cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin 3tan tan tan 3 = 1 3tan a a a a a a a a a a a a a a a a a a              Tích thành tổng: cosa.cosb = 1 2 [cos(ab)+cos(a+b)] sina.sinb = 1 2 [cos(ab)cos(a+b)] sina.cosb = 1 2 [sin(ab)+sin(a+b)] Tổng thành tích: sin sin 2sin cos 2 2 a b a b a b     sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b     cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b     cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b      sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b    Công thức hạ bậc: cos2a = 1 2 (1+cos2a) sin2a = 1 2 (1cos2a) Chuyên đề: LG 2 Biểu diễn các hàm số LG theo tan 2 a t  2 2 2 2 2 1- 2 sin ; cos ; tan . 1 1 1 t t t a a a t t t       3. Phương trìng LG cơ bản * sinu=sinv 2 2 u v k u v k           * cosu=cosvu=v+k2 * tanu=tanv  u=v+k * cotu=cotv  u=v+k  Zk  . 4. Một số phương trình LG thường gặp 1. Phƣơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG.. 2. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2a b c  . Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt tan b a  , ta được: sinx+tancosx= cos c a  sinx cos + sin cosx= cos c a   sin(x+ )= cos c a  sin ñaët . Cách 2: Chia hai vế phương trình cho 2 2a b , ta được: 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b      Đặt: 2 2 2 2 cos ; sin a b a b a b      . Khi đó phương trình tương đương: 2 2 cos sin sin cos c x x a b     hay   2 2 sin sin c x a b      ñaët . Cách 3: Đặt tan 2 x t  . 3. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*). Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với 2 x k    . + Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0. Chú ý: 2 2 1 tan 1 2cos x x k x            Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. 4. Phƣơng trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx cosx. Điều kiện  t  2 . sin cos 2 sin 2 cos 4 4 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x x x x x                                      Löu y ù caùc coâng thöùc : Chuyên đề: LG 3 Phần 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1). Giải Phương trình (1) tương đương với: 1 cos 2 1 cos6 1 cos4 1 cos8 2 2 2 2 x x x x        cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0  2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0  2cos5x(cos3x+cosx) = 0  4cos5x.cos2x.cosx = 0 5 10 52cos5 0 cos 2 0 2 , ( , , ) 2 4 2 cos 0 2 2 π kππ xx kπ x π π lπ x x kπ x k l n x π π x kπ x nπ                               Ví dụ 2. Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2). Giải Ta có (2)  cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)  cos2x(sin6x–cos6x) = 0  cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0  cos2x = 0  2 , ( ) 2 4 2 π π kπ x kπ x k      Ví dụ 3: Giải phương trình: 6 3 48 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x    (3). Giải Ta có: 3 3 3 2 2 2 (3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0 2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2 (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2 2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2 2 cos 2 (1 cos 4 ) 2 2 cos 2 .cos 2 4 2 cos 2 2 8 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π x x                             , ( )kπ k  Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: 8 8 17 sin cos 32 x x  (4). Giải Ta có (4) 4 4 4 21 cos 2 1 cos 2 17 1 17(cos 2 6cos 2 1) 2 2 32 8 32 x x x x                    Chuyên đề: LG 4 Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có 2 2 1 17 13 2 6 1 6 0 134 4 2 t t t t t t                Vì t[0;1], nên 2 1 1 cos 4 1 1 cos 2 2 2 2 2 x t x       cos4x = 0  4 , ( ) 2 8 4 π π π x kπ x k k      Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5) Giải Ta có (5)  2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0  (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0  (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 cos 1 2 ,( ) 2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*) x x k π k x x x x           Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | 2t  , khi đó phương trình (*) trở thành: 2t + t2 – 1 + 1 = 0  t2 + 2t = 0 0 sin -cos ,( ) 2 ( 4 t π x x x nπ n t lo            ¹i) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 4 π x nπ   ; 2 , ( , ) x k π n k  Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. Ví dụ 6. Giải phương trình: |sin | cosxπ x (6). Giải Điều kiện: x ≥ 0 Do | sin | 0,x  nên |sin | 0 1xπ π  , mà |cosx| ≤ 1. Do đó 2 2 2 0| sin | 0 , ( ) (6) 0| cos | 1 , ( ) k nx k π k π nx x kπ k xx nπ x nπx x nπ n                            (Vì k, n  Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số. Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 2 1 cos 2 x x  . Giải Đặt 2 ( )=cos 2 x f x x  . Dễ thấy f(x) = f(x), x  , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0. Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0  f(x) đồng biến với x≥0 . Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0; 2 π      thoả mãn phương trình: 2 2sin cos 2 n n nx x    . Giải Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x. = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x) Chuyên đề: LG 5 Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0; 2       , ta có minf(x) = f 4       = 2 22 n Vậy x = 4  là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. BÀI TẬP Giải các phƣơng trình sau: 1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2 2 x k x n      2. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: ; 2 4 3 x k x n          3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thƣơng Mại) ĐS: 7 ; ; . 4 4 12 12 x k x n x m              4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: 2 x k   . 5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội) ĐS: 2 ; 2 ; 2 ; 2 x k x n x l              với 1 sin 4    . 6. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: 4 x k    . 7. sin 3 sin 2 .sin 4 4 x x x                ; (Học Viện BCVT) ĐS: 4 2 x k     8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: 12 x k   . 9. 1 1 7 4sin 3sin 4 sin 2 x x x                 ĐS: 4 8 5 8 x k x k x k                    10. 3 3 2 2sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x   HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = 3 k    , 4 x k     11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: 2 2 ( ) 4 3 x k x k k           12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). Giải (1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. 2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. 2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK 1t  , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. =(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.    1 1 2 cos 2 sin - 2 t x t x       loaïi (biết giải) Chuyên đề: LG 6 13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0. Đặt t=sinx, ĐK 1t  . 2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 =(4cosx–1)2. 14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp 15. Giải phƣơng trình lƣợng giác:  2 cos sin1 tan cot 2 cot 1 x x x x x     Giải Điều kiện:  cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0 cot 1 x x x x x x     Từ (1) ta có:  2 cos sin1 cos .sin 2 2 sin sin cos 2 cos cos 1 cos sin 2 sin x x x x x x x x x x x x       2sin .cos 2 sinx x x    2 2 4 cos 2 2 4 x k x k x k                 So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là  2 4 x k k      16. Giải phƣơng trình:   4 4sin cos 1 tan cot sin 2 2 x x x x x    Giải   4 4sin cos 1 tan cot sin 2 2 x x x x x    (1) Điều kiện: sin 2 0x  211 sin 2 1 sin cos2(1) sin 2 2 cos sin x x x x x x          2 2 1 1 sin 2 1 12 1 sin 2 1 sin 2 0 sin 2 sin 2 2 x x x x x         Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 17. Giải phƣơng trình: 2 22sin 2sin tan 4 x x x         . Giải Pt 2 22sin 2sin tan 4 x x x         (cosx )0 21 cos 2 cos 2sin .cos sin 2 x x x x x               (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0  sin2x = 1 hoặc tanx = 1. 18. Giải phƣơng trình:    3sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x       . Giải 3 2 3 2 sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0 2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0 x x x x x x x x x x x x x x                 0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2 2  xxxxxxxx Chuyên đề: LG 7 2 2 ( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0 tan 3 3 cos sin 0 cos 1 cos 3cos 4 0 cos 4 ( ai) x x x x x x x x x x x                       lo ,3 2 x k k x k          Z 19. Giải phƣơng trình: cosx=8sin3 6 x       Giải cosx=8sin3 6 x       cosx =   3 3 sin cosx x  3 2 2 33 3sin 9sin cos 3 3sin cos cos cos 0x x x x x x x     (3) Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3)  3 23 3 tan 8tan 3 3 tan 0x x x   tan 0 x x k    20. Giải phƣơng trình lƣợng giác:  2 cos sin1 tan cot 2 cot 1 x x x x x     Giải Điều kiện:  cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0 cot 1 x x x x x x     Từ (1) ta có:  2 cos sin1 cos .sin 2 2 sin sin cos 2 cos cos 1 cos sin 2 sin x x x x x x x x x x x x       2sin .cos 2 sinx x x    2 2 4 cos 2 2 4 x k x k x k                 So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là  2 4 x k k     Z 21. Giải phƣơng trình: cos2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x    Giải Phương trình  (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 cos sin 1 cos sin 5 ( cos sin 2) x x x x loai vi x x              2 22 sin 1 sin sin ( ) 4 4 4 2 x k x x k Z x k                     22. Giải phƣơng trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 Giải 3 sin cos 2cos3 0x x x    sin 3  sinx + cos 3  cosx = – cos3x. Chuyên đề: LG 8  cos cos3 3 x x         cos cos( 3 ) 3 x x            3 2 ( ) 3 k x k x k             Z  x = 3 2 k   (kZ) 23. Giải phƣơng trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2 8  Giải Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2 8   cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 2 8    2 2 2 3 2 cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin 3 sin 2 x x x x x x       2 cos 4 , 2 16 2 x x k k Z         . 24. Định m để phƣơng trình sau có nghiệm 24sin3 sin 4cos 3 cos cos 2 0 4 4 4 x x x x x m                           Giải Ta có: *  4sin3 sin 2 cos2 cos4x x x x  ; *  4cos 3 cos 2 cos 2 cos4 2 sin 2 cos4 4 4 2 x x x x x x                              *  2 1 1 cos 2 1 cos 4 1 sin 4 4 2 2 2 x x x                      Do đó phương trình đã cho tương đương:   1 1 2 cos 2 sin 2 sin 4 0 (1) 2 2 x x x m     Đặt cos 2 sin 2 2 cos 2 4 t x x x          (điều kiện: 2 2t   ). Khi đó 2sin 4 2sin 2 cos2 1x x x t   . Phương trình (1) trở thành: 2 4 2 2 0t t m    (2) với 2 2t   2(2) 4 2 2t t m    Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ) : 2 2D y m  (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): 2 4y t t  với 2 2t   . x 2 2 y’ + y 2 4 2 2 4 2 Trong đoạn 2; 2   , hàm số 2 4y t t  đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2 tại 2t   và đạt giá trị lớn nhất là 2 4 2 tại 2t  . Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2 2 4 2m     2 2 2 2m    . o0o Chuyên đề: LG 9 PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A 1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) của phương trình: cos3 sin 3 5 sin cos 2 3 1 2sin 2 x x x x x         (Khối A_2002). Giải ĐS: 5 ; 3 3 x x     . 2. Giải phương trình: 2 cos 2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x x      (Khối A_2003) Giải ĐS:   4 x k k    Z 3. Giải phương trình: 2 2cos 3 cos2 cos 0x x x  (Khối A_2005) Giải Chuyên đề: LG 10 ĐS:   2 k x k   Z 4. Giải phương trình:  6 62 cos sin sin cos 0 2 2sin x x x x x     (Khối A_2006) Giải ĐS:   5 2 4 x k k    Z 5. Giải phương trình:    2 21 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x     (Khối A_2007) Giải ĐS:  , 2 , 2 4 2 x k x k x k k           Z 6. 1 1 7 4sin 3sin 4 sin 2 x x x                 (Khối A_2008) Giải Chuyên đề: LG 11 ĐS:   5 , , , 4 8 8 x k x k x k k               Z 7. Giải phương trình:       1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x     . (Khối A_2009) Giải ĐS:   2 , 18 3 x k k      Z KHỐI B 8. Giải phương trình 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x   (Khối B_2002) Giải ĐS:  ; , 9 2 x k x k k     Z 9. Giải phương trình 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x    (Khối B_2003) Giải Chuyên đề: LG 12 ĐS:  , 3 x k k     Z 10. Giải phương trình   25sin 2 3 1 sin tanx x x   (Khối B_2004) Giải ĐS:   5 2 ; 2 , 6 6 x k x k k        Z 11. Giải phương trình 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x     (Khối B_2005) Giải ĐS:   2 2 3 x k k     Z 12. Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x         (Khối B_2006) Giải Chuyên đề: LG 13 ĐS:   5 ; , 12 12 x k x k k        Z 13. Giải phương trình: 22sin 2 sin 7 1 sinx x x   (Khối B_2007) Giải ĐS:   2 5 2 ; , 18 3 18 3 x k x k k         Z 14. Giải phương trình 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x   (Khối B_2008) Giải ĐS:  ; , 4 2 3 x k x k k         Z 15. Giải phương trình:  3sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x    . (Khối B_2009) Giải ĐS:   2 , 2 , 42 7 6 k x x k k         Z KHỐI D Chuyên đề: LG 14 16. Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0 (Khối D_2002) Giải ĐS: 3 5 7 ; ; ; 2 2 2 2 x x x x         17. 2 2 2sin tan cos 0 2 4 2 x x x         (Khối D_2003) Giải ĐS:  2 , , 4 x k x k k         Z 18. Giải phương trình   2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x    (Khối D_2004) Giải ĐS:  2 , , 3 4 x k x k k          Z 19. Giải phương trình: 4 4 3cos sin cos sin 3 0 4 4 2 x x x x                   (Khối D_2005) Giải Chuyên đề: LG 15 ĐS:  , 4 x k k    Z 20. Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0 (Khối D_2006) Giải ĐS:   2 2 , 3 x k k     Z 21. Giải phương trình 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x         (Khối D_2007) Giải ĐS:  2 , 2 , 2 6 x k x k k         Z 22. Giải phương trình sin 3 3 cos3 2sin 2x x x  (CĐ_A_B_D_2008) Giải Chuyên đề: LG 16 ĐS:   4 2 2 , , 3 15 5 x k x k k        Z 23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008) Giải ĐS:   2 2 , , 3 4 x k x k k         Z 24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009) Giải ĐS:   5 , , 12 12 x k x k k        Z 25. Giải phương trình 3 cos 5 2sin 3 cos 2 sin 0x x x x   (Khối D_2009) Giải ĐS:  , , 18 3 6 2 x k x k k          Z Hết