Giáo án lớp 12 môn Toán - Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Chuyên đề 4 : Vấn đề 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy: 1) = (a1; a2) = a1 +a2 2) Cho = (a1; a2) , = (b1; b2). Ta có: = (a1b1; a2b2) 3) Cho = (a1; a2), = (b1; b2). Ta có: .= a1b1 + a2b2 = Cos(,) = II. Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy 1) M(xM;yM) = (xM;yM) 2) Cho A(xA;yA), B(xB;yB). Ta có: = (xB-xA; yB-yA) và AB = 3) Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k) thì Đặc biệt khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì Nếu G là trọng tâm ABC thì III. Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương: Cho = (a1; a2), = (b1; b2). Ta có: 1) .= 0 a1b1 + a2b2 = 0 2) cùng phương với a1b2 - a2b1 = 0 B. BÀI TẬP: Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho 3 điểm: A(-2;1), B(-1;-2), C(3;-1) a) Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của ABC c) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Chứng tỏ rằng 3 điểm B, G, D thẳng hàng Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho ABC với A(2;6), B(-3;-4), C(5;0) a) Tính chu vi và diện tích ABC b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với trục hoành và của đường thẳng AC với trục tung. c) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp ABC . Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1;0), B(4;0), C(0;m) với m 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G. (TS 2004-K.D) Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng a) Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng Ax + By + C = 0 (A2+B20) Vectơ pháp tuyến =(A;B),vectơ chỉ phương =(-B;A) b) Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến =(A;B) là: A(x-x0) + B(y-y0)=0 2. Phương trình tham số của đường thẳng: Đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương = (a1;a2) có phương trình tham số là: (t ) 3. Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng: = Chú ý: a) Đường thẳng song song với : Ax+ By+ C = 0 có phương trình dạng Ax + By + C’ = 0 (C’ ¹ C) b) Đường thẳng vuông góc với : Ax+ By+ C = 0 có phương trình dạng –Bx + Ay + C’ = 0 II.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG: Cho 2 đường thẳng: (D1): A1x + B1y + C1 = 0 (1) (D2): A2x + B2y + C2 = 0 (2) Toạ độ giao điểm của (D1) và (D2), nếu có là nghiệm của hệ (1) và (2) Ta có kết quả sau: - Nếu ¹ thì (D1) cắt (D2) - Nếu = ¹ thì (D1) // (D2) - Nếu = = thì (D1) º (D2) Ghi chú: (D1) (D2) A1A2 + B1B2 = 0 * Chùm đường thẳng: Cho 2 đường thẳng (D1) và (D2) cắt nhau Phương trình của chùm đường thẳng đi qua giao điểm của (D1) và (D2) có dạng: l(A1x + B1y + C1) + m(A2x + B2y + C2)=0 ( l2+m2 ¹0) III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG- KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG: 1. Góc giữa hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng (D1) và (D2) cắt nhau, lần lượt có các vectơ pháp tuyến là và Gọi j là góc hợp bởi (D1) và (D2), ta có: Cosj = Ghi chú: j900 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: a) Định lý: Khoảng cách từ 1 điểm M0(x0;y0) đến đường thẳng (D): Ax + By + C = 0 được cho bởi: d(M0,D) = b) Phương trình đường phân giác: Cho hai đường thẳng cắt nhau (D1): A1x + B1y + C1 = 0 (D2): A2x + B2y + C2 = 0 Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (D1) và (D2) là: = ± B. BÀI TẬP: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy: Bài 4: Cho 3 điểm A(-1;3), B(-2;0), C(3;1) a) Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc và phương trình tổng quát của đường thẳng BC b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (D1) qua A và song song với BC c) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (D2) qua A và vuông góc với BC Bài 5: Cho 2 đường thẳng: (D1): 2x – 3y + 15= 0 (D2): x – 12y + 3 = 0 a) Chứng tỏ rằng (D1) và (D2) cắt nhau b) Viết phương trình đường thẳng (d1) đi qua giao điểm của (D1),(D2) và đi qua điểm A(2;0) c) Viết phương trình đường thẳng (d2) đi qua giao điểm của (D1),(D2) và vuông góc với đường thẳng (D3): x – y + 1 = 0 Bài 6: Cho 2 đường thẳng: (D1): x + 2y + 16 = 0 (D2): x – 3y + 9 = 0 a) Tính góc tạo bởi (D1) và (D2) b) Tính khoảng cách từ điểm M(5;3) tới (D1) và (D2) c) Viết phương trình các đường phân giác của các góc hợp bởi (D1)và (D2) Bài 7: Cho 3 đường thẳng (d1), (d2), (d3) có phương trình lần lượt là y = 0, 3x + 4y –24 = 0, 3x –y + 6 =0. Ba đường thẳng này cắt nhau tạo thành tam giác ABC. Tính toạ độ các đỉnh A, B, C b) Viết phương trình các đường thẳng chứa các đường cao AA’, BB’, CC’ và tính toạ độ trực tâm H của DABC. So sánh góc giữa (d1)và (d2) với góc giữa (d2) và (d3) Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;1), B(4;-3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x -2y -1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. (TS 2004-K.B) Vấn đề 3: ĐƯỜNG TRÒN A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Phương trình đường tròn 1. Định lý 1: Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) bán kính R trong hệ toạ độ Oxy là: (x-a)2 + (y-b)2 = R2 2. Định lý 2: Phương trình x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 với A2+B2-C>0 là phương trình đường tròn tâm I(-A;-B), bán kính R = II. Vị Trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn Cho đường thẳng (D) và đường tròn (C) có tâm I và bán kính R Gọi d là khoảng cách từ I đến đường thẳng (D) Nếu d > R thì (D) và (C) không có điểm chung Nếu d = R thì (D) và (C) có một điểm chung duy nhất. Khi đó (D) gọi là tiếp tuyến của đường tròn (C) và điểm chung gọi là tiếp điểm. Nếu d < R thì (D) và (C) có hai điểm chung III. Phương tích, trục đẳng phương: 1. Phương tích: Cho đường tròn (C): F (x;y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 và điểm M0(x0;y0). Ta có: PM0/(C) = F(x0;y0) = 2Axo + 2Byo + C 2. Trục đẳng phương: Cho hai đường tròn không đồng tâm (C1) và (C2) có phương trình: (C1): x2 + y2 +2A1x +2B1y +C1 = 0 (C2): x2 + y2 +2A2x +2B2y +C2 = 0 Phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn (C1) và (C2) là: 2 (A1 –A2)x + 2(B1- B2)y + C1 –C2 = 0 IV. Phương trình tiếp tuyến: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2Ax+ 2By + C = 0 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0;y0) (C) là: xox + yoy + A(xo +x)+ B(yo +y) + C = 0 B. BÀI TẬP: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy: Bài 9: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 +y2 – 4x –2y – 4 = 0 a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C) b) Với giá trị nào của b thì đường thẳng (D): y = x + b có điểm chung với(C). c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 3x – 4y +1 =0 Bài 10: Cho 3 điểm A(-1;0), B(5;0), C(2;1) a) Tìm phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A, B, C. b) Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A c) Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm D(3;-11) Bài 11: a) Tìm phương trình đường tròn (C1) có tâm I1(1;2) và tiếp xúc với trục Ox b) Tìm phương trình đường tròn (C2) có đường kính MN với M(2;+1) và N(6;-+1) c) Tìm phương trình các đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2) d) Tìm phương trình trục đẳng phương của (C1) và (C2) Bài 12: Cho hai đường tròn: (C1): x2 +y2 - 4x +2y –4 =0; (C2): x2 +y2 - 10x - 6y + 30 =0 a) Xác định tâm và bán kính của (C1) và (C2). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua tâm của (C1) và (C2). b) Chứng minh (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài với nhau. Xác định toạ độ tiếp điểm H. Suy ra phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) tại H. (Thi HKI 2004-2005) Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. (TS 2007-K.A).  Vấn đề 4: ELIP VÀ HYPEBOL A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: ELIP HYPEBOL 1) Định nghĩa: (E) = F1F2 = 2c, a > c 2) Phương trình chính tắc: = 1 với b2 = a2 – c2 3) Hình dạng và các yếu tố: Cho elip (E): = 1 a) Hình dạng: b) Các yếu tố: A1A2 = 2a: trục lớn B1B2 = 2b : trục nhỏ Các đỉnh: A1(-a;0),A2(a;0),B1(0;-b),B2(0;b) Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0) Tiêu cự: F1F2 = 2c Bán kính qua tiêu của điểm M : Tâm sai: e = Phương trình đường chuẩn: (D1): x = - ; (D2): x = 4) Phương trình tiếp tuyến: Cho elip (E): = 1 a) Phương trình tiếp tuyến của (E) tại Mo(xo;yo) Î (E) có dạng: b) Đường thẳng (D): Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (E) A2 a2 + B2 b2 = C2 1) Định nghĩa: (H) = F1F2 = 2c, c > a 2) Phương trình chính tắc: = 1 với b2 = c2 – a2 3) Hình dạng và các yếu tố Cho Hypebol (H): = 1 a) Hình dạng: b) Các yếu tố A1A2 = 2a: trục thực B1B2 = 2b : trục ảo Các đỉnh:A1(-a;0), A2(a;0) Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0) Tiêu cự: F1F2 = 2c Bán kính qua tiêu của điểm M + xM > 0 : + xM < 0 : Tâm sai: e = Phương trình đường chuẩn: (D1): x = - ; (D2): x = Phương trình tiệm cận: (d1): y = -; (d2): y = 4) Phương trình tiếp tuyến: Cho Hypebol (H): = 1 a) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại Mo(xo;yo) Î (H) có dạng: b) Đường thẳng (D): Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (H) A2 a2 - B2 b2 = C2 B. BÀI TẬP: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy: Bài 14: Cho elip (E): 16x2 + 25y2 = 100 a) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai và tìm phương trình các đường chuẩn của (E). b) Tìm tung độ các điểm thuộc (E) có hoành độ x = 2 và tính khoảng cách từ điểm đó tới 2 tiêu điểm. c) Tìm các giá trị của K để đường thẳng (d): y = x + k có điểm chung với(E). Bài 15: a) Viết phương trình chính tắc của elip (E) nhận một tiêu điểm là F2 (5;0) và có độ dài trục nhỏ 2b = Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm thứ hai F1 và tính tâm sai của (E) b) Tìm toạ độ điểm M Î (E) sao cho MF2 = 2MF1 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại điểm N Bài 16: a) Viết phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 10, phương trình một đường chuẩn là b) Một đường thẳng đi qua một tiêu điểm của (E), vuông góc với trục Ox, cắt (E) tại M và N. Tính độ dài đoạn thẳng MN. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(5;2). Bài 17: Cho hypebol (H): 24x2 - 25y2 = 600 a) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai và tìm phương trình các đường chuẩn của (H) b) Tìm tung độ của điểm thuộc (H) có hoành độ x = 10 và tính khoảng cách từ điểm đó tới 2 tiêu điểm. c) Tìm các giá trị của K để đường thẳng (d): y = Kx - 1 có điểm chung với(H). Bài 18: a) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có tâm sai e = và (H) đi qua điểm A (; 6) b) Tìm phương trình các đường tiệm cận của (H). Vẽ (H) c) Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ một điểm M tuỳ ý thuộc (H) đến 2 đường tiệm cận của (H) là một số không đổi. Bài 19: a) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm F2(;0) và phương trình một đường tiệm cận là y = 2x. b) Tìm phương trình tiếp tuyến (t) của (H) tại điểm M ( 2, -2) c) Tiếp tuyến (t) của (H) cắt 2 đường tiệm cận của (H) tại P và Q. Chứng tỏ rằng M là trung điểm của đoạn thẳng PQ. Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E): có hai tiêu điểm F , F. Cho điểm M(3;m) thuộc (E), hãy viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M khi m > 0. Cho A và B là hai điểm thuộc (E) sao cho AF + BF = 8. Hãy tính AF + BF. (TN THPT 2004) Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hypebol (H) có phương trình Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và viết phương trình các đường tiệm cận của (H). Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) biết các tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;1). (TN THPT 2006) Vấn đề 5: PARABOL A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường thẳng (D) cố định và điểm F cố định không thuộc D. Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho M cách đều (D) và F được gọi là một parabol F gọi là tiêu điểm (D) gọi là đường chuẩn của parabol Khoảng cách p từ tiêu điểm đến đường chuẩn gọi là tham số tiêu của parabol Với M Î(P); MF gọi là bán kính qua tiêu của điểm M. II. Phương trình chính tắc: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) như trong định nghĩa, trong đó chọn F(; 0) và (D): x = - Phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2 = 2px III. Hình dạng và các yếu tố: Cho Parabol (P): y2 = 2px 1) Hình dạng: 2) Các yếu tố: O(0;0) là đỉnh của parabol Ox là trục đối xứng của parabol Bán kính qua tiêu của điểm M Î (P): MF = + xM IV: Phương trình tiếp tuyến: Cho parabol (P): y2 = 2px Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M0(x0;y0) Î (P) là y0y = p(x0+x) Đường thẳng (D): Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (P) pB2 = 2AC B. BÀI TẬP: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy: Bài 22: Cho parabol (P) có phương trình chính tắc là y2 = 12x a) Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P) b) Một điểm nằm trên (P) có hoành độ x = 2. Hãy tính khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm. c) Qua điểm I (2;0) vẽ một đường thẳng thay đổi cắt (P) tại 2 điểm A và B. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B tới trục Ox là một hằng số. Bài 23: a) Tìm phương trình chính tắc của parabol (P) có trục đối xứng là Ox và tiêu điểm là F (4;0). Viết phương trình đường chuẩn (D) của (P) b) Viết phương trình tiếp tuyến (t) của (P) tại điểm A (1;4), (t) cắt trục Ox tại B. Chứng tỏ D ABF cân. c) Tìm quỹ tích các điểm M mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. Bài 24: Cho parabol (P): y2 = 8x a) Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M thuộc (P) có tung độ bằng 4. c) Giả sử đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x1, x2 Chứng minh: AB = x1 + x2 + 4 (TN THPT 2005)