Giáo án lớp 12 môn Toán - Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học

I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác: 0 p sina cosa a 0 Bảng giá trị của các góc đặc biệt: Góc GTLG 00 (0) 300 () 450 () 600 () 900 () Sin 0 1 Cos 1 0 B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản: Hệ quả: · sin2x = 1-cos2x ; cos2x = 1- sin2x · tanx= ; Sin4x + cos4x = 1 - 2sin2x.cos2x Sin6x + cos6x = 1 - 3sin2x.cos2x C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt: “ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch p” D/. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng: cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb tan(a – b) = tan(a + b) = 2. Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa Þ cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a tan2a = 3. Công thức nhân ba: sin3a = 3sina – 4sin3a cos3a = 4cos3a – 3cosa 4.Công thức hạ bậc: cos2a = sin2a = tg2a = 5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan: v sinx = v cosx = tanx = v cotx = 6. Công thức biến đổi tổng thành tích 7. Công thức biến đổi tích thành tổng  II/PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC : 1/ Phương trình lượng giác cơ bản: Chú ý: a/ Nếu cung α thoả thì α gọi là arcsina cung có sin bằng a. Khi đó phương trình sinx = a Û b/ Nếu cung α thoả thì α gọi là arccosa cung có cos bằng a. Khi đó phương trình cos x = a Û c/ Nếu cung α thoả thì α gọi là arctana cung có tan bằng a. Khi đó phương trình tanx = a Û d/ Nếu cung α thoả thì α gọi là arccota cung có cot bằng a. Khi đó phương trình cotx = a Û Một số phương trình đặc biệt: 2/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Phương pháp giải: Đặt đưa phương trình về dạng: rồi tiếp tục giải. Điều kiện có nghiệm 3/Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác. Dạng: a. t2 + b.t + c = 0 trong đó t có thể là một trong các hàm sinx, cosx, tanx, cotx. Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho đưa về phương trình bậc 2 rồi giải tiếp. Chú ý: với t = sinx hoặc t = cosx thì có điều kiện . 4/.Phương trình đẳng cấp bậc 2 theo sinx và cosx: * Dạng:(1) * Cách giải: TH1: Xét xem cosx = 0 Û có là nghiệm của (1) hay không ? TH2: cosx ≠ 0 thay , chia cả 2 vế phương trình cho, sau đó đặt rồi đưa về phương trình bậc 2 theo biến tanx. 5/Phương trình bậc 2 đối xứng dạng: Cách giải: Đặt . Đưa phương trình về phương trình đại số theo t: BÀI TẬP: I – Phương trình lựơng giác cơ bản : Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. 2. 3. 4 . 5. 6. sin 2x = 2cos x 7. 8. 9. ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1 10. Bài 2 : Tìm tất cả các nghiệm của phương trình II - Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lương giác Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. 2. 3. 4. 5. 6. Bài 2 : Giải các phương trình với m = 0 ; m = 1/ 2 ; m = 1 1. cos 2x – ( 4m + 4) cos x +12 m -5 = 0 ( m là tham số ) 2. sin 2x – ( 2m -1) sin x + m 2-1 = 0 ( m là tham số ) Bài 3 : Giải các phương trình 2+cos2x = -5sinx sin3x+2cos2x-2 = 0 (ĐH Đà Nẵng 97) 2+cosx = 2tg (Học viện ngân hàng98) cosx = cos2() (ĐH hàng hải97) tg2x + sin2x = cotgx (ĐH Thương mại 99) 2 + 3tgx – sin2x = 0 (ĐH Thủy lợi 99) =1 (ĐH Mỏ địa chất 97) 3cos4x – 2cos2(3x) = 1 (ĐH Đà nẵng 98) 2sin3x + cos2x = sinx (ĐH Huế 98) 10)4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) (ĐH Luật99) 11)3(tgx + cotgx) = 2(2+sin2x) (ĐH Cần Thơ 99-D) 12)cho phương trình :sin4x + cos4x - sin2(2x) + m = 0 a.Giải phương trình khi m= 2 b.tìm m để phương trình có nghiệm (Trường Hàng không VN 97 13) 3cos6(2x) + sin4(2x) + cos4x = 0 (ĐH CT 99) 14) cos4x + 6sinx.cosx –1 = 0 ( ĐH QG TP.HCM 98) 15) 1 + 3tgx = 2sin2x (ĐH QGHN 2000-D) 16) 4cos3x + 3 sin2x = 8cosx (ĐH SPHN 2000 B+D) 17) sinsinx - cossin2x + 1 = 2cos2() (ĐHSP TP.HCM 2000) 18) (ĐH luật HN 2000) 19) sin4x = tgx (ĐH Y khoa HN 2000) 20) sin3x + sin2x = 5sinx (ĐH Y Hải phòng 2000) 22) 2cos2x – 8cosx + 7 = (ĐH NNgữ HN 2000) 23) (ĐH Thủy lợi 2000) 24) Tìm ngiệm thuộc khoảng (0,2) của phương trình 5(sinx + = cos2x + 3 (KA-2002) 25) cotgx – tgx + 4sin2x = (KB-2003) 26)sin4x + cos4x + cos( ).sin(3x - ) - = 0 III – Phương trình bậc nhất với sin x và cos x Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Bài 2 : Cho 1. Giải phương trình khi y = 0 ; y = 1 ; y = 4 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y Bài 3 : Giải phương trình 1)sin2x + cos2x = ( ĐH Huế 99) 2) 2cos2x + sin2x = 2 3) 3cos3x + 4sinx + = 6 4) sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1) 5) cosx + sinx = 2cos2x 6) Tìm thoả phương trình cos7x - sin7x= – 7) cos7x.cos5x – sin2x = 1 – sin7x.sin5x 8) 2cosx(sinx – 1) = cos2x 9) 3sinx – cos3x = 4sin3x – 1 10) sin(x – ) + sin (x + ) = 2sin2006x 11) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 12) sin2x + 2cos2x = 1+ sinx – 4cosx 13) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 14) 15) 2cos3 x + cos 2x + sinx = 0 16) 17) 1+ sin32x + cos32x = sin4x 18) tgx –3cotgx = 4(sin x+cosx) 19) 20) IV – Phương trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x Bài 1 : Giải các phương trình 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Bài 2 : Giải phương trình : 1)sinx+cosx = (ĐH An ninh 98) 2) sin2x – 3cos2x + 2sin2x = 2 3)sin3x + cos3x = sinx – cosx 4) 2cos3x = sin3x (HV KT Quân sự 97) 5) sin2x(tgx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3 (ĐH NN I HN 99) sinx – 4sin3x + cosx = 0 (ĐH Y Khoa HN 99) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (ĐH YD HCM 97) cos3x – 4sin3x – 3cosx.sin2x + sinx = 0 (ĐH NT 96) cotg x – 1= (ĐHBKA-2003) sin3x + cos3x + 2cosx = 0 V – Phương trình đối xứng với sin x và cos x Bài 1 : Giải các phương trình 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 . 11 . 12 . Bài 2 : Cho phương trình m( sin x+ cos x) + sin x cos x +1 = 0 Giải phương trình với m = - Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số y = 2( sin x – cos x) + 3sin 2x -1 Bài tập 4: 1) (1 + cosx)(1 + sinx) =2 (ĐH An ninh 98-D) 2) cotgx – tgx = sinx –cosx (ĐH Ngoại ngữ HN 97) 3) = 1 (ĐH An ninh 98-A) 3tg3x – tgx + = 0 (Kiến trúc HN 98) sinx+ sin2x+sin3x+sin4x = cosx+cos2x+cos3x+cos4x sin3x+ cos3x = 1 sin3x+ cos3x + sin2x(sinx + cosx) = 1 1 + sin3x+ cos3x = sin2x (ĐH GT VT 99) cos2x +5 = 2(2-cosx)(sinx-cosx) (ĐH Công đoàn 97) Cho phương trình :sinx + cosx = m+sin2x a.Giải khi m= -1 b.Ttìm m để phương trình có nghiệm 10) sin3x+ cos3x = sin2x + sinx + cosx ( ĐH Cảnh sát ND 2000-A) 11) sinx.cosx + 2sinx + 2cosx = 2 (ĐH Huế 2000-D) 12) 2sinx+cotgx = 2sin2x + 1 (ĐH QGHN 200-A) 13) 1 + sin3x- cos3x = sin2x VI – Phương trình lượng giác khác A- phương trình giải bằng cách dặt ẩn phụ Bài 1 : Giải các phương trình 1. 2. B- Sử dụng công thức hạ bậc Bài 2 : Giải các phương trình 1. 3. 2. . C – Phương trình biến đổi về tích Bài 3 : Giải phương trình 1 . 2. 3. 4 . 5 . 6 . 7. 8 . 9 . 10. sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos 2 x D- Phương trình lượng giác có điều kiện Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. 2. 3. 4. 5. Bài 2: Giải các phương trình 1. 2. 3. 4. 5. 6. Bài 3 : Giải các phương trình 1. 2. 3. 4.  5. 6. 7. 8. Bài 4: a) Tìm các nghiệm của phương trình b) Tìm các nghiệm của phương trình c) Tìm các nghiệm thoã mãn điều kiện của ph tr: d) Tìm các nghiệm thoã mãn của ph tr: Phương trình lượng giác có chứa tham số Khi đặt ẩn phụ t = f ( x) ta cần chú ý các yêu cầu sau : * Tìm điều kiện của ẩn phụ t : Thường dùng các cách sau : Cách 1 : Coi t là tham số tìm t để phương trình f(x) = t có nghiệm với ẩn x Cách 2 : Tìm miền giá trị của hàm số f (x) Cách 3 : áp dụng bất đẳng thức * Với x thì t phải thoã mãn điều kiện gì ? Giả sử t * Với mỗi t thì phương trình f(x) = t có mấy nghiệm ẩn x Bài toán 1: Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm x Xác định m để các phương trình sau : Cos 2x – 3 cos x +m = 0 có nghiệm m cos 2x + sin 2x = 2 có nghiệm m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm ( m-1 ) ( sin x – cos x ) –( m+ 2) sin 2x = 0 m cos 2 2x – 4 sin x cos x + m -2 =0 có nghiệm cos 4x - = 2 m có nghiệm m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm Cos 2x = m cos 2x có nghiệm 9. tan2x + cot2x + m( tan x+ cot x) +m = 0 có nghiệm 10. 2 sin x cos 2x sin 3x – 2m + 3 cos 2x = 0 có nghiệm Bài toán 2 : Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0. Tìm m để phương trình có n nghiệm xÎD Tìm m để các phương trình sau thoã mãn : m cos 2x- 4( m-2) cos x +2m -1 = 0 có dúng hai nghiệm phân biệt m sin2 x – 3 sin x cos x – m -1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt x m( sin x – cos x ) + 2 sin x cosx = m có đúng hai nghiệm ( 1- m) tan 2 x - có nhiều hơn một nghiệm (2sin x-1)( cos 2x + m sin x+m+1) = 3- 4cos 2x có đúng hai nghiệm cos 3x – cos 2x + m cos x – 1 = 0 có đúng bảy nghiệm sin 3x – m cos 2x – ( m+1) sin x + m = 0 có đúng tám nghiệm 4 sin 2x + m cos x = cos 3x có đúng ba nghiệm VII Phương trình lượng giác đặc biệt 1.Phương pháp tổng bình phương Sử dụng 1) 2) 3) cos2x– cos6x +4(3sinx -4sin3x + 1) = 0 4) 2. Phương pháp đánh giá Cách giải: Cho phương trình f(x) = g(x) Nếu có số thực a sao cho thì 1) 2) cosx + 3) ln(sin2x) – 1+ sin3x = 0 ( ĐH Huế 99-A) 4) sin3x(cosx –2sin3x) + cos3x(1+sinx –2cos3x) = 0 ( ĐH kiến trúc HN97) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. (Tổng hợp luyện thi đại học) 1/ cos23x.cos2x – cos2x = 0 2/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 3/ cos4x + sin4x + cossin - = 0 4/ 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x 5/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx. 6/ cotx – 1 = sin2x. 7/ cotx – tanx + 4sin2x = 8/ 9/ với 0 < x < 2 10/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 11/ cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 với 0 14 12/ cosx + cos2x + cos3x = sinx + sin2x + sin3x 13/ . 14/ cos3x + sin7x = 2. 15/ sin3x + sinx.cosx = 1 – cos3x 16/ 2 + cos2x = 2tanx 17/ sinx.cosx + cos2x = 18/ 19/ sin3x + cos2x =2 ( sin2x.cosx – 1) 20/ 4cosx – 2cos2x – cos2x – cos4x = 0 21/ 22/ cosx + sin2x = 0 23/ 2(cos4x – sin4x) + cos4x – cos2x = 0 24/ (5sinx – 2)cos2x = 3(1 – sinx)sin2x 25/ (2sinx – 1)(2cosx + sinx) = sin2x – cosx 26/ cos3x + 2cos2x = 1 – 2sinxsin2x 27/ 28/ sin3x + cos3x = sinx – cosx 29/ 30/ 4cos2x – 2cos22x = 1 + cos4x 31/ cos3x.sìnx – cos4x.sinx = . 32/ (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 3) = 4sin2x – 1 33/ cosx.cos7x = cos3x.cos5x 34/ 35/ sinx + sin2x + sin3x = 0 36/ 37/ cos2x.sin4x + cos 2x = 2cosx(sinx + cosx) – 1 38/ 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 39/ cos2x + cosx(2tan2x – 1) = 2 40/ 3cos4x – 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0 41/ = 1 42/ 43/ cotx = tanx + 44/ 45/ 46/ tanx + cosx – cos2x = sinx(1 + tanx.tan 47/ sin( 48/ cos3x – sìnx = (cos2x - sin3x) 49/ 2cos2x - sin2x + sinx – cosx = 0 50/ sin3x + cos2x = 1 + sinx.cos2x 51/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 52/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 53/ cos2x.sin2x + cos2x = 2(sinx + cosx)cosx – 1 54/ 8.sin2x + cosx = .sinx + cosx 55/ 3cos2x + 4cos3x – cos3x = 0 56/ 1 + cosx – cos2x = sinx + sin2x 57/ sin4x.sin2x + sin9x.sin3x = cos2x 58/ 59/ 60/ 61/ 62/ 2sin22x + sin7x – 1 = sinx 63/ 64/ cotx + sinx 65/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 Đề thi đại học và cao đẳng từ năm 2002 đến nay: Giải phương trình . 1/ (Dự bị 1 khối D 2006) :. 2/ (Dự bị 2 khối B 2006) :. 3/ (Dự bị 2 khối B 2007) :. 4/ (Dự bị 2 khối D 2006) :. 5/ (Dự bị 1 khối B 2006) :. 6/ (Dự bị 2 khối A 2006) :. 7/ (Dự bị 1 khối A 2006) :. 8/ (Dự bị 1 khối A 2005) :Tìm nghiệm trên khoảng của phương trình : 9/ (Dự bị 2 khối A 2005) : 10/ (Dự bị 1 khối B 2005) :. 11/ (Dự bị 2 khối B 2005) :. 12/ (Dự bị 1 khối D 2005) :. 13/ (Dự bị 2 khối D 2005) :. 14/ (Dự bị 1 khối B 2007) : . 15/ (Dự bị 2 khối A 2007) :. 16/ (Dự bị 1 khối A 2007) :. 17/(CĐ Khối A+B+D: 2008) :. 18/(ĐH K-D-2008): . 19/(ĐH K-B-2008):. 20/(ĐH K-A-2008):. 21/ (ĐH KB-2007) . 22/( ĐH KD-2007) . 23/(ĐH KA-2007) . 24/(ĐH KA-2003) 25/( ĐH KB-2003) 26/( ĐH KD-2003) 27/(ĐH KA-2002). ; với x. 28/(ĐH KB-2002) 29/(ĐH KD-2002) cos3x - 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 ; x 30/(ĐH KA-2005) . 31/( ĐH KA-2004 ) Cho tam giác ABC không tù thoả điều kiện : . Tính ba góc của tam giác ABC . 32/( ĐH KB-2004) 33/( ĐH KD-2004) 34/(ĐH KB-2005) 35/(ĐH KD-2005) 36/( ĐH KB-2006) 37/( ĐH KD-2006) 38/(ĐH KA-2006) . 39/(ĐH KA-2010) 40/(ĐH KB-2010) (sin2x + cos2x)cosx + 2 cos2x – sinx = 0 41/(ĐH KD-2010) sin2x - cos2x + 3 sinx – cosx -1 = 0 42/(ĐH KA-2009)