Giáo án lớp 12 môn Toán - Chuyên đề về ứng dụng của đạo hàm

1 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, ĐắcLắc Giáo viên: Lê Văn Tiến LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Chuyên đề ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Phần: Hàm số đơn điệu I. PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1) Tính đạo hàm y’ = f’(x) 2) Tìm nghiệm của f’(x) hoặc các điểm tại đó f’(x) không xác định. 3) Lập bảng xét dấu f’(x) (bảng biến thiên) để kết luận. BÀI TẬP: 1) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: a) y = x3 – x +1 b) y = - x3 – 3x + 5 c) y = x4 – 2x2 + 3 d) y = x1 13x − + e) y = 1 2 − − x x 2 x g) y = 2 2 3 1 x x x − + + h) ( )2 1 5 y x = − k) 100 x y x = + l) 3 2 6 x y x = − m) y = x – sinx n) y = x + 2cosx, x 5; 6 6 pi pi  ∈    o) y = 3 26x x− 2) Xác định m để hàm số y = (m – 3)x - sinx nghịch biến trên ℝ HD: Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ y’ = m – 3 – cosx 0 x≤ ∀ ∈ℝ . Đặt t = cosx, điều kiện | t| ≤ 1 Ta cần tìm m để f(t) = - t + m – 3 0 [ 1; 1]t≤ ∀ ∈ − Ta có f(t) = - t + m – 3 0 [ 1; 1] f( 1) 0 m 2 0 m 2t≤ ∀ ∈ − ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ 3) Tçm m âãø haìm säú : y = - 3 1 x3 + (m - 1)x2 + (m + 3)x - 4 âäưng biãún trãn (0, 3) . HD: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3) ⇔ y’= - x2 + 2(m – 1)x + m +3 0 x (0; 3)≥ ∀ ∈ ⇔ y’ có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 ≤ 0≤ 3≤ x2⇔ 1f(0) 0 m -3 0 12m 1f(3) 0 12 - 7m 0 7 − ≤ − ≤  ⇔ ⇔ ≥  − ≤ ≤  4) Tçm m âãø haìm säú y = - 3 1 mx3 - (m +1)x2 + 3(m + 2)x + 3 1 luôn luôn âäưng biãún trên ℝ . HD: Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y’ = -mx2 -2(m +1)x + 3(m + 2) 0 x≥ ∀ ∈ℝ + Trường hợp m = 0 ta có y’ = -2x + 6 không thể lớn hơn bằng 0 với mọi x. + Trường hợp m ≠ 0 ta có y’ 0 x≥ ∀ ∈ℝ 2 m < 0m 0 2 3 2- 3m - ' 0 2 24m 8m + 1 0 − >  + ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ ∆ ≤ + ≤  5) Tçm m âãø y = 1x mx3x2 2 − +− âäưng biãún trãn (3, +∞). HD: Ta có y = 2x -1 + m 1 x 1 − − Hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞) ⇔ 2 2 2(x - 1) (m 1)y' = 0 x (3; + ) (x - 1) − − ≥ ∀ ∈ ∞ ⇔ 22 0 1 2 x 1 0 ' 0 2 4 3 0 3 9 32(x-1) (m -1) 0 x > 3 x x m x m VTcó hai n thỏa x x − ≠ ∆ ≤  ⇔ − + − ≥ ∀ > ⇔ ⇔ ≤  ≤ ≤ − ≥ ∀  II. Aùp dụng tính đơn điệu giải toán: 1) Chứng minh BĐT f(x) > g(x) trên khoảng (a; b) Phương pháp: Ta xét hàm h(x) = f(x) – g(x) trên (a; b) - Nếu hàm h(x) đồng biến trên (a; b) thì h(x) > h(a) với mọi x thuộc khoảng (a; b) - Nếu hàm h(x) nghịch biến trên (a; b) thì h(x) > h(b) với mọi x thuộc khoảng (a; b) Bài tập: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 1) tgx > sinx, 0 < x < 2 pi . HD: Xét hàm số f(x) = tgx – sinx trên khoảng (0; 2 pi ). Có f’(x) = 2 1 cos cos x x − > 0 ⇒ f(x) là hàm đồng biến trên (0; 2 pi )⇒ f(x) > f(0) = 0 ⇒ tgx > sinx 2) ln(1+ x) 0, HD: Xét hàm số f(x) = ln(1 + x) – x trên (0; + )∞ 3) cosx > 1- 2 x2 với ∀x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = cosx + 2 x2 - 1 trên (0; + )∞ 4) xα - 1 > α (x – 1) với α ≥2, x > 1. HD: Xét hàm số f(x) = xα -α (x – 1) – 1 trên (1; + )∞ 5) x - 6 x3 0, HD: Xét hàm số f(x) = x - 6 x 3 - sinx trên (0; + )∞ 6) ex > 1 + 2 x2 với x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = ex - 2 x2 - 1 trên (0; + )∞ 2) Giải pt trình f(x) = 0, bpt f(x) > 0 Phương pháp: - Xét tính đơn điệu của hàm số f(x). - Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì ta có: 1) f(x1) = f(x2) ⇔ x1 = x2 2) f(x1) f(x2) ) ⇔ x1 x2) Bài tập: Giải các phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau: 1) 2x < 3 2 x + 1. HD: BPT ⇔ 3 1 1 2 2 x x    + >        . Xét hàm số f(x) = 3 1 2 2 x x    +        là hàm NB trên ℝ Có f(2) = 1 ( ) (2) 2. Tập nghiệm bpt T = (- ; 2)f x f x⇒ > ⇒ < ∞ 2) 2x = 6 – x. HD: Xét hai hàm số ( ) 2 ( ) 6 xf x g x x  =  = − . Ta có ( ) đồng biến trên ( ) nghịch biến trên f x g x    ℝ ℝ và (2) 4 (2) 4 f g =  = x = 2 là nghiệm duy nhất⇒ 2 2 2 2 2 1 1 12x y : Xét pt 2x 2 1.Tương tự: ta có y 1. Xét hàm số f(t) = t + . y t 3) 1 12y x '( ) 0 1, [1; ) x HD y x y t có f t t nên hàm số đồng biến trên t  = + = + ≥ ⇒ ≥ ≥  − = + = ≥ ∀ ≥ +∞  Nếu x > y thì f(x) > f(y) ⇒ 2y2 > 2x2⇒ y > x vô lí. Tương tự nếu y > x thì f(y) > f(x) ⇒ x > y vô lí Vậy x = y . Thay x = y vào một trong hai phương trình ta có x = y = 1. cot cot (1) 4) , ; (0; ). 5 8 2 (2) gx gy x y x y x y pi pi − = − ∈ − = HD: pt(1) cotgx -x = cotgy - y. Xét hsố f(t) = cotgt - t trên (0; ) pi ⇔ 5) , ; (0; ) 2 tgx tgy x y x y tgx tgy pi − = − ∈ + = . HD: Xét f(t) = tgt – t. 6) Chứng minh rằng phương trình x3 -3x + c = 0 không thể có hai nghiệm trong đoạn [0; 1] 3) Aùp dụng định lí Lagrange: Hàm f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại một số c ∈ (a; b) sao cho ( ) ( ) '( )f b f a f c b a − = − 1) Cho 0 < a < b. Chứng minh rằng: lnb a b b a b a a − − < < . HD: xét hàm số f(x) = lnx trên [a; b] 2) Cho 0 < a < b < 2 pi . Chứng minh rằng: 2 2cos cos b a b a tgb tga a b − − < − < . HD: xét hàm f(x) = tgx trên ( 0; ) 2 pi 3) Hãy tìm trên đồ thị hàm số f(x) = x3 – x những điểm tại đó tiếp tuyến song song với dây cung nối các điểm có hoành độ là 10 và 12. HD: Áp dụng ĐLí Lagrăng ta có 3 f f f c với c ĐS c − = ∈ = − (12) (10) 364'( ), (10; 12). : 12 10 3 Phần: Cực trị hàm số I. PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ SỐ y= f(x) Cách 1: - Tìm TXĐ của hàm số và tính y’. Tìm các điểm x0 mà y’bằng 0 hoặc không xác định. - Lập bảng biến thiên - Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0 thì x0 là điểm cực đại. - Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu. Cách 2: - Tìm TXĐ của hàm sốvà tính y’, y’’ - Tìm nghiệm x0 của phương trình y’= 0 - Nếu f’’(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại - Nếu f’’(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu II. BÀI TẬP 1) Tìm cực trị của các hàm số sau: a) y = 2x3 +3x2 -36x -10 ; b) y = x4 + 2x2 – 3 ; c) y = x + x 1 ; d) y = x3(1 – x)2; e) y = 2 2 3 1 x x y x − + = − ; f) 3 22 3y x= + ; g) 3(7 ) 5y x x= − + ; h) 210 x y x = − ; 2) Tìm cưc trị của các hàm số sau: sử dụng dấu hiệu II a)y = x3 + 4x ; b) y = xe-x ; c) y = x2lnx; d) y = 2x 54xx2 + ++ ; e) y= cos2x -1 ; f) y = sinx + cos2x ; g) y = 2 xx ee −+ . 1) Tçm m âãø haìm säú y = 3 1 x3 + mx2 + (m + 6)x - (2m + 1) cọ cực đại, cực tiểu. 2) Tçm m âãø haìm säú y = x3 - 3mx2 - (m - 1)x + 2 âảt cỉûc tiãøu tải x = 2. HD: HS đạt CT tại 2 , (2) ,, (2) 0 1 0 y m y  = ⇔ ⇔ = > 3) Xác định a để hàm số y = asinx + 3 1 x đạt cực trị tại x = 3 pi . 4) Xác định p và q để hàm số y = x2 +px +q đạt cực tiểu tại x = 1. Bài tập trắc nghiệm 1. Biết rằng có hai giá trị của m để hàm số y = x3 -(m + 2)x2 + (1 -m)x + 3m - 1 đạt cực trị tại x1, x2 mà |x1 - x2| = 2. Tổng hai số đó là: A. -5 B. -14 C. -7 D. 7 2. Điểm cực tiểu của hàm số 2 ln xy x = là: A. 2 1 e B. 1 e C. e D. H.số không có điểm cực tiểu 3. Biết đồ thị hàm số 3 21f(x) x 2x mx 3 3 = − + + có hai điểm cực trị thẳng hàng với điểm O, thì m thuộc khoảng: A. (-1; 1) B. (3; 1) C. (-3; -5) D. (-1; -3) 4. Đồ thị hàm số 2x 3x 5f(x) x 2 − + + = + có hai điểm cực trị nằm trên đường thẳng y = ax + b ta có a.b bằng: A. -2 B. -8 C. -6 D. 5 5. Biết rằng đồ thị hàm số 2x 2x m 3y x m − + + = + có một điểm cực trị thuộc đt y = x + 1, điểm cực trị còn lại là: A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 4 6. Biết hàm số f(x) = asinx + bcosx +x ( )0 x 2 đạt cực trị tại x = và 3 pi < < pi pi thì a + b bằng: A. 3 1+ B. 3 1− C. 3 1 3 + D. 3 3 7. Điểm cực đại của hàm số 2xy xe−= gần nhất với số nào dưới đây: A. 0,7 B. 0,6 C. 0,8 D. 0,5 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mln(x + 2) + x2 - x có hai điểm cực trị trái dấu A. 3 B. 2 C. Không tồn tại m D. 1 9. Giá trị của m để hàm số y = x4 + mx3 - 2x2 - 3mx + 1 có ba điểm cực trị là: A. 3m 4 ≠ ± B. Với mọi m C. m 1≠ ± D. 4m 3 ≠ ± 10. Biết hàm số y = eax.sinx ( )0 x đạt cực trị tại x = 4 pi < < pi thì điểm cực tiểu của hàm số là: A. 4 pi B. 3 4 pi C. 4 pi − D. 3 pi 11. Hàm số 2x 4x 1f(x) x 1 − + = + có hai điểm cực trị x1 và x2, ta có x1 + x2 bằng: A. 5 B. -2 C. -5 D. -1 12. Cho hàm số x 2 ey x 1 = + . Mệnh đề nào sau đây đúng A. Hàm số đồng biến với x > 1 B. Hàm số đồmg biến trên ℝ C. Hàm số nghịch biến với x < 1 D. Các kết luận A, B, C đều sai 13. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên khoảng (1; 2) A. y= x2 - 4x + 5 B. x 2y x 1 − = − C. 2x x 1y x 1 + − = − D. 3 21y x 2x 3x 2 3 = − + + 14. Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định: 2 2 3 1 x 2x 4 1(I) y ln x ; (II) y ; (III) y x 1 x 1 x x − + = − = = − − − + A. Cả (I), (II) và (III) B. Chỉ (I) và (II) C. Chỉ có (I) và (III) D. Chỉ có (II) 15. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên ℝ . A. y= cotgx B. y = - x4 - x2 - 1 C. x 5y x 2 + = + D. x 1y 2 = 16. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định: 2x 5 1(I) y ; (II) y ; (III) y x x 4 x 1 cosx + = = = − + A. Chỉ có (I) B. Chỉ có (II) C. Cả (I), (II) và (III) D. Chỉ (I) và (II) 17. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên ℝ . A. y = x3 + 1 B. y= tgx C. 4x 1y x 2 + = + D. y = x4 + x2 + 1 18. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên khoảng (1; 3) A. 21y x 2x 3 2 = − + B. 3 22y x 4x 6x 9 3 = − + + C. 2x x 1y x 1 + − = − D. 2x 5y x 1 − = − 19. Cho hàm số f(x) = -2x3 + 3x2 + 12x - 5. Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề sai A. Hàm số giảm trên khoảng (-3; -1) B. Hàm số tăng trên khoảng (-3; -1) C. Hàm số giảm trên khoảng (2; 3) D. Hàm số tăng trên khoảng (-1; 2) 5 20. Bất đẳng thức a b lna ln b > đúng với mọi a, b thoả mãn a < b và a, b thuộc khoảng: A. (0; 1) B. (e; 4) C. (2; 3) D. (0; 3) 21. Hàm số f(x) = x4 - 6x2 + 8x + 1 cóù bao nhiêu điểm cực trị A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 22. Hàm số 3 2a 1y x ax (3a 2)x 3 − = + + − luôn luôn đồng biến khi A. 1a 2 a 2 ≥ ∨ ≤ B. 1 a 2 2 ≤ ≤ C. a 2≥ D. 1 a 2< ≤ 23. Hàm số f(x) = x3 có bao nhiêu điểm tới hạn A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2 4. Giá trị m để hàm số f(x) = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x đạt cực đại tại x = 1 là A. m = 2 B. Không tồn tại m C. m = 0 D. m = 0 hoặc m = 2 25. Cho hàm số f(x) = xlnx. Hàm số f(x) đồng biến trong các khoảng nào sau đây A. ( )0; + ∞ B. ( ); 0−∞ C. ( )0; 1 D. ( )1; + ∞ 26. Cho hàm số 3x+1f(x) = 1 - x . Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề đúng A. Tăng trên ℝ B. Tăng trên hai khoảng ( ) ( ); 1 ; 1;−∞ + ∞ C. Giảm trên khoảng (0; 2) D. Giảm trên khoảng ℝ 27. Hàm số f(x) = |x| có bao nhiêu điểm cực trị A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 28. Cho hàm số 2x + x + 1f(x) = x + 1 . Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề sai A. Giá trị cực đại bằng -3 B. Điểm M(0; 1) là điểm cực tiểu C. Điểm N(-3; -2) là điểm cực đại D. Hàm số đạt cực đại tại x = -2 29. Giá trị m để hàm số 2x 2x mf(x) x 1 + + = − đạt một cực đạivà một cực tiểu là: A. m= -3 B. m -3 D. m khác -3 30. Hàm số 4 2xf(x) 2x 6 4 = − + có bao nhiêu điểm cực tiểu A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 31. Xét hàm số f(x) = 2x2 - 5x + 3 trên [0; 4]. Số c thoả mãn định lí Lagrange áp dụng vào hàm số là: A. 1 B. 1,5 C. 0,5 D. 2 32. Hàm số 2x + x - 1f(x) = x + 1 có bao nhiêu điểm cực trị A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 Phần: Giá trị lớn nhất, gía trị nhỏ nhất I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN,GTNN 1. Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng (a; b): trong đó a có thể là ∞− , b có thể là ∞+ . Ta thực hiện: - Tính đạo hàm y’ - Lập bảng biến thiên: Nếu trên (a; b) hàm số chỉ có một cực đại (cực tiểu) duy nhất thì giá trị cực đại (cực tiểu) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) . • Chú ý: Nếu trên khoảng (a; b) hàm số luôn luôn đồng biến hoặc luôn luôn nghịch biến thì không có GTLN, GTNN trên khoảng đó. Bài tập áp dụng: 1) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 6 a) y = 4 - x2 b) y = 4x3 – 3x4 c) y = x4 + 2x2 – 2 d) y = 2xx 2 ++ e) y = x 1xx 2 ++ với x > 0 g) y = 2x +3x 1 x -1 + với x < 1. 2) Tìm kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết rằng chu vi bằng 16 cm. HD: - Gọi một kích thước là x, điều kiện 0 < x < 8 ⇒ Diện tích là S(x) = x( 8 – x). - Tìm x∈(0; 8) để S(x) lớn nhất. ĐS: x = 4 cm 3) Hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất, biết diện tích bằng 48cm2. HD: - Gọi x là một kích thước của hình chữ nhật, điều kiện x > 0. - Chu vi của hình chữ nhật là 48( ) 2( )P x x x = + . - Tìm x∈(0; +∞ ) để P(x) nhỏ nhất. ĐS: Hình vuông có cạnh bằng 4 3m 4) Người ta dùng tấm kim loại để gò một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy với thể tích V cho trước. Hãy xác định kích thước của hình trụ để vật liệu ít tốn nhất. HD: - Gọi bán kính đáy hình trụ là x, x > 0 ⇒ Chiều cao hình trụ là 2 V xpi - Diện tích toàn phần của hình trụ là S(x) = 2 22 Vx x pi + . ĐS: x = 3 2 V pi 2. Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng [a; b] Ta thực hiện: - Tính đạo hàm y’ - Tìm các cực trị thuộc [a; b] của hàm số. Giả sử các điểm cực trị là x1, x2,xn - Tính f(x1), f(x2).f(xn) và f(a), f(b), so sánh. Rồi kết luận. • Chú ý: - Nếu hàm số f(x) tăng trên [a; b] thì Maxy = f(b) và miny = f(a). - Nếu hàm số f(x) giảm trên [a; b] thì Maxy = f(a) và miny = f(b). Bài tập áp dụng: 1) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số a) y= 2x3 + 3x2 – 12x + 1 trên đoạn [-1; 5] b) y = 1 + 4x + x2 trên đoạn [-1; 3]; c) y= 4x5− trên đoạn [-1; 1] d) y= sin2x – x trên [ ] 2 ;0 pi e) y= 3416x4x 2 +− trên đoạn [-1; 4] g) y= sin2x - 2sinx trên đoạn [- ]; 2 pi pi h) y = x + cos2x trên đoạn [0; ] 4 pi k) y = 2x + 2x5 − l) y= cos2x + x trên đoạn [ ] 2 ; 2 pipi − m) y = 2005x12005x1 −++ n) y = x xln 2 trên đoạn [1; e3] 2) Tìm GTLN, GTNN hàm số 3 6 (3 )(6 )y x x x x= + + − − + − . ĐS: miny = 93 2 2 − , maxy = 3. 3) Tìm GTNN hàm số 2 2 3 2 1y x x x= − − + + . ĐS: miny = -1 tại x = -1 II. SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỂ TÌM GTLN, GTNN Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trê n [a; b]bằng điều kiện có nghiệm của phuơng trình: Ta thực hiện: - Xem phương trình f(x) – y = 0 là phương trình ẩn x - Tìm điều kiện để phương trình ẩn x có nghiệm trên [a; b]. 1) Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 2 1) ; 1 x a y x x + = − + 2 2 3) . 2 x b y x x + = − + 2) Tìm a, b để hàm số : 2 2) 5 1.1 x ax b a y có GTLN bằng và GTNN bằng x + + = − + : 4 2, 3;ĐS a b= ± = 2) 4 1.1 ax b b y có GTLN bằng và GTNN bằng x + = − + : 4, 3ĐS a b= ± = 7 3) Tìm GTLN, GTNN hàm số y= 2xcosx ++ + sin cosx 2 ( Đề thi vào Cao Đẳng Kinh tế Kỹ thuật 2005). 4) Tìm GTLN, GTNN hàm số y= 1sinxsin 1sinx 2 ++ + x . Bài tập trắc nghiệm 1. Hàm số 2 2y 4 x 2x 3 2x x= − + + − đạt GTLN tại hai giá trị x1, x2. Ta có x1.x2 bằng: A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 2. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 x 1y x x 1 + = + + . Thì M - m gần nhất với số nào: A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 3. Giá trị lớn nhất của hàm số y = sinx + cosx là: A. 2 B. 1 C. 2 D. 2 2 4. Gọi M là GTLN và m là GTNN của hàm số 2 2 2x 4x 5y x 1 + + = + , trong các mệnh đề sau hãy tìm mệnh đề đúng: A. M = 2; m = 1 B. M = 0, 5; m = - 2 C. M = 6; m = 1 D. M = 6; m = - 2 5. Hàm số y = 2ln(x+1) - x2 + x đạt GTNL tại x bằng: A. e B. 1 C. 2 D. Không có GTLN 6. Hàm số f(x) = 2cos2x + x, với 0 x 2 pi≤ ≤ đạt GTNL tại x bằng: A. 12 pi B. 5 12 pi C. 5 6 pi D. 6 pi 7. Phương trình x3 + tgx = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc [ ; ]−pi pi : A. 1 B. 2 C. 3 D. vô số nghiệm 8. Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R. Chu vi hình chữ nhật lớn nhất khi tỉ số MN MQ bằng: A. 2 B. 4 C. 1 D. 0,5 9. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên đoạn [-4; 4] là: A. GTLN bằng 15; GTNN bằng 8 B. GTLN bằng 15; GTNN bằng -41 C. GTLN bằng 40; GTNN bằng -41 D. GTLN bằng 40; GTNN bằng 15 10. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 1 ay = tg x- +2, 0< x < là một phân số tối giản . cosx 2 b pi      Ta có a + b bằng: A. 30 B. 40 C. 50 D. 20 11. Trong hệ toạ độ Oxy cho parabol (P): y = 1 - x2. Một tiếp tuyến của (P) di động có hoành độ dương cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại A và B. Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi hoành độ của điểm M gần nhất với số nào dưới đây: A. 0,9 B. 0,7 C. 0,6 D. 0,8 12. Cho hàm số y = sin4x - cos2x. Tổng GTLN và GTNN của hàm số là: A. 5 4 − B. 1 4 − C. 2 D. 0 13. Xét lập luận sau: Cho hàm số f(x) = ex(cosx - sinx + 2) với 0 x≤ ≤ pi (I) Ta có f'(x) = 2ex(1 - sinx) (III) Hàm số đạt GTLN tại x 2 pi = (II) f'(x) = 0 khi và chỉ khi x 2 pi = (IV) Suy ra ( )2f(x) e , x 0; pi ≤ ∀ ∈ pi Q P NM 8 Lập luận trên sai từ đoạn nào: A. (IV) B. (II) C. (III) D. Các bước trên không sai 14. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx + cosx là: A. GTLN bằng 2; GTNN bằng 0 B. GTLN bằng 2; GTNN bằng -2 C. GTLN bằng 2; GTNN bằng - 2 D. GTLN bằng 1; GTNN bằng -1 15. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3(x - 4) là: A. -9 B. -27 C. -18 D. Không tồ tại GTNN 16. Giá trị lớn nhất của hàm số 2y 3 2x x= − − là: A. 3 B. 1 C. 4 D. 2 17. Hàm số 3 23 2 1 1 1y x x 2 x , x 0 x x x     = + − + − + >        có GTLN là: A. -2 B. -4 C. 5 D. -1 18. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích S, chu vi hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là: A. 2 S B. 4S C. 4 S D. 2S 19. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |- x3+3x2 - 3| trên đoạn [1; 3]. Thì M + m gần nhất với số nào: A. 4 B. 0 C. 2 D. 3 20. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) 2x 2 y trên khoảng 0;+ x + = ∞ là: A. 2 B. −∞ C. 8 D. Không có kết quả nào đúng Phần: Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị I. Tóm tắt lý thuyết Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) xác định trên khoảng (a; b) 1) Đồ thị (C) lồi trên khoảng (a; b) ⇔ f’’(x) < 0 với b)(a;x∈∀ 2) Đồ thị (C) lõm trên khoảng (a; b) ⇔ f’’(x) > 0 với b)(a;x∈∀ 3) Điểm M0(x0; f(x0)) là điểm uốn ⇔ f’’(x) đổi dấu khi x qua x0. II. Bài tập 1) Tìm khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số sau: a) y = x3 + 6x – 4 b) y = x4 – 6x2 + 3 c) y = x 4xx2 +− d) y= 2x1+ e) y= ln(1+ x2) e) y = x + sinx 2) Chứng minh rằng hàm số y = 3x2 – x3 lõm trong khoảng ( ;∞− 1) lồi trong khoảng (1; )∞+ và điểm uốn có hoành độ bằng 1. 3) Xạc âënh a vaì b âãø âiãøm I(2; - 6) laì âiãøm uäún cuía âäư thë haìm säú: y = ax3 + bx2 + x - 4. 4) Xạc âënh m âãø âiãøm M(- 1; 2) laì âiãøm uäún cuía âäư thë haìm säú y = mx3 + 3mx2 + 4. 5) Cho haìm säú: y = x3 - 3(m - 1)x2 + 3x - 5. Âënh m âãø: a) Âäư thë haìm säú läưi trãn khoaíng (- 5; 2) b) Âäư thë haìm säú cọ âiãøm uäún våïi hoaình âäü x0 > m 2 - 2m - 5. 6) Tçm a âãø âäư thë haìm säú y = x4 - ax2 + 3 a) Cọ hai âiãøm uäún b) Khäng cọ âiãøm uäún naìo. 7) Chỉïng minh ràịng trong táút caí cạc tiãúp tuyãún våïi âäư thë haìm säú y = x3 + 3x2 - 9x +5 tiãúp tuyãún tải âiãøm uäún cọhãû säú gọc nhoí nháút. 8) Chỉïng minh ràịng âäư thë haìm säú y = 2 2x 1 x x 1 + + + cọ ba âiãøm uäún thàĩng haìng. Viãút phỉång trçnh âỉåìng thàĩng qua cạc âiãøm uäún. 9) Xạc âënh a vaì b âãø âäư thë haìm säú: y= x4 + 8ax3 +3(1+ 3a)x2.- 4 cọ hai âiãøm uäún maì hoaình âäü thoía maỵn báút 9 phỉång trçnh 0< −− − 2 2 x4x5 2xx . Bài tập trắc nghiệm 1. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 - mx2 + 3 có hai điểm uốn ta có: A. m 0 C. m = 0 D. m khác 0 2. Giá trị m để đồ thị hàm số y = mx3 - 6x2 +1 nhận điểm I(1; - 3) là điểm uốn là: A. 3 B. 1 C. 7 D. 2 3. Cho hàm số y = x3 - 2x2 - x + 9, có đồ thị (C). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai: A. Điểm uốn là trung điểm của đoạn nối cực đại và cực tiểu của (C) B. Đồ thị (C) luôn luôn lồi C. Đồ thị (C) có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu D. Đồ thị (C) có một điểm uốn 4. Đồ thị hàm số 2x 1y x + = có bao nhiêu điểm uốn: A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 5. Cho hàm số y = lnx. Trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề sai: A. Đồ thị hàm số không có điểm uốn B. Phương trình f'(x) = 0 vô nghiệm C. Hàm số có một điểm cực trị D. Đồ thị hàm số lồi trên (1; e) 6. Cho hàm số y = f(x) = 2x4 + x2 - 1. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng: A. Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (1; 5) B. Đồ thị lõm trên khoảng (-2; 1) C. Đồ thị hàm số có một điểm uốn D. Đồ thị hàm số có hai điểm uốn 7. Trong các đồ thị của các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có khoảng lồi lõm nhưng không có điểm uốn: A. 2 x 1y x 1 + = + B. y = x3 +3x2 + 2x + 1 C. x 2y x 3 + = + D. y = x4 - 2x2 + 1 8. Đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 + 9 có bao nhiêu điểm uốn? A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 9. Đồ thị hàm số y = x4 + 4x2 + 1 có bao nhiêu điểm uốn? A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 10. Điểm nào sau đây là điểm uốn của đồ thị hàm số y = - x3 + 3x2: A. (2; 4) B. (2; 1) C. (-1; 2) D. (1; 2) Phần: Tiệm cận của đồ thị I. Lý thuyết cơ bản 1) Đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) 0xLim f(x) y→∞⇔ = 2) Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) 0x x Lim f(x) → ⇔ = ∞ 3) Đường thẳng y = ax + b, a 0≠ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) ( ) x Lim f(x) ax b 0 →∞ ⇔ − + =   Chú ý: - Cách tìm các hệ số a và b: x f(x)a Lim x→∞ = [ ] x b Lim f(x) ax →∞ = − - Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 2ax bx cy a'x b' + + = + ta thực hiện: + Chia tử cho mẫu. Hàm số viết lại là Cy Ax B , A 0 a'x b ' = + + ≠ + + Ta có y = Ax + B là tiệm cận xiên II. Bài tập 1) Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau a) 2x 1y x 2 − = − b) 5y 2 3x = − c) 2x 3x 3y 1 x − + = − d) 3y x x 2 = − + + 2) Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số a) 2y x x 1= + + b) 22x x 1y x 2 + + = + c) 3y x 2 x 2 = − + + + d) sin xy x x = + 10 3) Cho hàm số 3y x m m x = + + + − . Xác định m để để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số qua điểm A(1; 2) 4) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số 2 2 2x x 1y x 2 + + = + 5) ) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số 2 2 x x 1y 2x 3x 1 + + = − + Bài tập trắc nghiệm 1. Phương trình các tiệm cận của đồ thị hàm số 3y 5x 1 2x 3 = + = − là: A. 5x - y + 1 = 0 và 2y - 3= 0 B. 5x - y + 1 = 0 và 2y + 3 = 0 C. 5x - y + 1 = 0 và 2x + 3= 0 D. 5x - y + 1 = 0 và 2x - 3 = 0 2. Cho đồ thị (C): 3 3 2y x 3x= − + . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng A. (C) Có tiệm cận đứng B. (C) Có tiệm cận xiên C. (C) Có tiệm cận ngang D. (C) Không có tiệm cận 3. Cho đồ thị (C): 22x 3x my x m − + = − . Với giá trị nào thì đồ thị (C) không có tiệm cận đứng? A. (C) luôn có tiệm cận đứng với mọi m B. m = 0; m = 1 C. m = 1 D. m = 0 4. Cho ba hàm số (I): 5xy 2 x = − ; (II): 2xy x 1 = + ; (II): 2 x 2y x 3x 2 − = − + . Hàm số nào có đồ thị nhận đường thẳng x = 2 làm tiệm cận: A. (I) và (II) B. Chỉ có (I) C. Chỉ có (II) D. (I) và (III) 5. Đồ thị hàm số y = x4 - x2 + 1 có