Giáo án lớp 12 môn Toán - Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3

KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: A. Kiến thức cơ bản · Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình có 2 nghiệm phân biệt. · Hoành độ của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình . · Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm. – Phân tích . – Suy ra . Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: . · Gọi a là góc giữa hai đường thẳng thì B. Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: (hoặc ). 2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng một góc . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: . (Đặc biệt nếu d º Ox, thì giải điều kiện: ) 3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy. – Giải điều kiện . 4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện . 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Gọi I là trung điểm của AB. – Giải điều kiện: . 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: . 6. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị). – Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB. 7. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ thức cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et. 8. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng hoặc . . Đặt . Khi đó: Hàm số có cực trị thuộc Hàm số có cực trị thuộc Hàm số có cực trị trên khoảng có nghiệm trên . có nghiệm t < 0 Hàm số có cực trị trên khoảng có nghiệm trên . có nghiệm t > 0 9. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị thoả: a) b) c) . Đặt . Khi đó: a) Hàm số có hai cực trị thoả có hai nghiệm thoả b) Hàm số có hai cực trị thoả có hai nghiệm thoả c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả có hai nghiệm thoả Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). · . PT có Þ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị . Chia y cho y¢ ta được: Khi đó: ; PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là . Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. · PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: Û (Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox PT (1) có 3 nghiệm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û Û Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. · . (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung Û PT có 2 nghiệm trái dấu Û Û . Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. · TXĐ: D = R ; . Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung Û có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu Û . Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng . · Ta có: . Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt (*) Gọi hai điểm cực trị là Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: Các điểm cực trị cách đều đường thẳng xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng (không thỏa (*)) TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng Vậy các giá trị cần tìm của m là: . Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. · Ta có: ; . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3) A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x Û Û Û Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: . · ; . Hàm số có CĐ, CT Û PT có 2 nghiệm phân biệt Û . Khi đó 2 điểm cực trị là: Þ Trung điểm I của AB có toạ độ: Đường thẳng d: có một VTCP . A và B đối xứng với nhau qua d Û Û Û Câu hỏi tương tự: a) . ĐS: . Cho hàm số (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: . · Ta có Hàm số có cực đại, cực tiểu Û có hai nghiệm phân biệt Ta có: Þ đường thẳng D đi qua các điểm cực trị có phương trình nên D có hệ số góc . d: Þ d có hệ số góc Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^ D Þ Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I Î d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. Vậy: m = 0 Cho hàm số (1) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: . · Hàm số có CĐ, CT Û Ta có Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là , I là trung điểm của AB. ; và: Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là A, B đối xứng qua (d): Û Û . Cho hàm số , với là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với . 2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho . · Ta có + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại PT có hai nghiệm phân biệt PT có hai nghiệm phân biệt là . + Theo định lý Viet ta có Khi đó: (2) + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là và Cho hàm số , với là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với . 2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho . · Ta có: Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt (giả sử ) (*) Hàm số đạt cực trị tại các điểm . Khi đó ta có: Kết hợp (*), ta suy ra Cho hàm số , với là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với . 2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho . · Ta có: . Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt (giả sử ) Û Û (*). Khi đó: . Û Û Û (thoả (*)) Cho hàm số , với là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với . 2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho . · Ta có: Hàm số có cực đại và cực tiểu Û có hai nghiệm phân biệt Û (luôn đúng với "m) Khi đó ta có: Û . Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị thỏa . · . Ta có: Þ hàm số luôn có 2 cực trị . Khi đó: Câu hỏi tương tự: a) ; ĐS: . Cho hàm số (1) (a là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 1. 2) Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị tại, phân biệt và thoả mãn điều kiện: (2) · . Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û (*). Khi đó , . Ta có: Tương tự: Do đó: (2) Û Cho hàm số (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1. 2) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: . · Ta có: Hàm số có CĐ và CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û D = > 0 Û Khi đó: . Dựa vào bảng xét dấu y¢, suy ra Do đó: Û Û . Cho hàm số , m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. · Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương PT có 2 nghiệm dương phân biệt Cho hàm số (1), m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có các điểm cực trị với và . · ; (2) YCBT Û Û . Cho hàm số (m là tham số) (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. · YCBT Û phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: . Û Û . Cho hàm số (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn . · Ta có: ; (1) Hàm số có CĐ ,CT thỏa mãn khi m > 0 và (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1 Đặt Þ , thay vào (1) ta được: (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1 Û (2) có 2 nghiệm âm phân biệt . Cho hàm số (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng . · Ta có: ; (*) Hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc (*) có 2 nghiệm phân biệt và có ít nhất 1 nghiệm thuộc Ta có: Tóm lại các giá trị m cần tìm là: Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. · Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). Xét biểu thức ta có: Þ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: . Do đó MA + MB nhỏ nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của d và AB. Phương trình đường thẳng AB: Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: Þ Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. · Ta có . Hàm số (1) có cực trị Û PT có 2 nghiệm phân biệt có 2 nhiệm phân biệt Khi đó: điểm cực đại và điểm cực tiểu Ta có . Cho hàm số có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: . · Ta có: . Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt (*) Gọi hai điểm cực trị là Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: D // d: (thỏa mãn (*)) Câu hỏi tương tự: a) , ĐS: . Cho hàm số có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 5. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d: . · Ta có: . Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt . (*) Gọi hai điểm cực trị là Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: ; Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: D ^ d: Û Û . Cho hàm số có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: một góc . · Ta có: . Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt (*) Gọi hai điểm cực trị là Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: Đặt . Đường thẳng d: có hệ số góc bằng . Ta có: Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: . Câu hỏi tương tự: a) , , . ĐS: Cho hàm số (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2) Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp xúc với đường tròn (S) có phương trình . · Phương trình đường thẳng D đi qua hai điểm cực trị . (S) có tâm và bán kính R=. D tiếp xúc với (S) Û . Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi . 2) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu củacắt đường tròn tâm , bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích DIAB đạt giá trị lớn nhất . · Ta có . Hàm số có CĐ, CT Û PT có hai nghiệm phân biệt Vì nên đường thẳng đi qua các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có phương trình là: Ta có (vì m > 0) Þ luôn cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt. Với : không đi qua I, ta có: Nên đạt GTLN bằng khi hay DAIB vuông cân tại I (H là trung điểm của AB) Cho hàm số (1), với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng . · Ta có: . Hàm số có 2 điểm cực trị Û PT có 2 nghiệm phân biệt hoặc (*) Khi đó ta có: đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có PT là: Û . Cho hàm số (1), với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng . · Ta có: . Hàm số có 2 điểm cực trị Û PT có 2 nghiệm phân biệt Û (*) Ta có: Þ PT đường thẳng qua 2 điểm cực trị D: Þ Û (thoả (*)) Cho hàm số (1), với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là lớn nhất. · Ta có: . Hàm số có 2 điểm cực trị Û PT có 2 nghiệm phân biệt Û . Ta có: Þ PT đường thẳng qua hai điểm cực trị là: . Dễ dàng tìm được điểm cố định của D là . . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên D. Ta có . Dấu "=" xảy ra Û Û . Vậy khi . Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (Cm) luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là không đổi. · Ta có: ; . Đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu Þ . Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho . · Ta có: . Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û . Khi đó các điểm cực trị là . Û Û (thoả điều kiện). Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . 2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho DOAB vuông tại O. · Ta có: ; Þ , Þ , . DOAB vuông tại O Û Û . Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . 2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vuông tại C, với . · Ta có: . Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û . Khi đó các điểm cực trị là . DABC vuông tại C Û Û Û Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho . · Ta có: ; Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4) . Để thì Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7, với điểm C(–2; 4 ). · Ta có ; Þ Hàm số luôn có CĐ, CT. Các điểm CĐ, CT của đồ thị là: , , Phương trình đường thẳng AB: Û . Câu hỏi tương tự: a) . ĐS: . Cho hàm số (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số m = 0. 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm. · Ta có . Hàm số có hai cực trị Û có hai nghiệm phân biệt Û (*). Khi đó hai cực trị là . DABC nhận O làm trọng tâm Û (thoả (*)). Cho hàm số (). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2. 2) Tìm m để có hai điểm cực trị sao cho các điểmvà B(0; –1) thẳng hàng. · . Û . Hàm số có 2 cực trị Û (*). Chia cho ta được: Þ phương trình đường thẳng M1M2 là: thẳng hàng Û Û (thoả (*)). Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi . 2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và . · Ta có: . . Û . Cho hàm số (1) (m là tham số thực). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (1) nằm về 2 phía (phía trong và phía ngoài) của đường tròn có phương trình (C): . · . . Hàm số có cực trị Û (1) Gọi hai điểm cực trị của đồ thị là: , . (C) có tâm I(2; 0), bán kính R = 1. , . A, B nằm về hai phía của (C) Û Û (2) Kết hợp (1), (2), ta suy ra: . Cho hàm số (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . 2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định. · ; Điểm cực đại chạy trên đường thẳng cố định: Điểm cực tiểu chạy trên đường thẳng cố định: Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là nhỏ nhất. · Ta có: ; có Þ hàm số luôn có hai điểm cực trị . Giả sử các điểm cực trị của (Cm) là . Ta có: Þ ; Do đó: Þ . Dấu "=" xảy ra Û . Vậy khi . Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân. · . Hàm số có 2 cực trị Û có 2 nghiệm phân biệt Û . Ta có: Þ Đường thẳng D đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị có phương trình: . D cắt Ox, Oy tại , (m ¹ 0). Tam giác OAB cân Û OA = OB Û Û . Đối chiếu điều kiện ta có . Cho hàm số : y = (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có cực trị trong khoảng . · Tập xác định D = R. . Đặt ta được : Hàm số(1) có cực trị trong khoảng có nghiệm trong khoảng. có nghiệm Vậy: Với thì hàm số (1) có cực trị trong khoảng Cho hàm số : y = (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có cực trị trong khoảng . · Tập xác định D = R. . Đặt ta được : Hàm số(1) có cực trị trong khoảng có nghiệm trong khoảng. có nghiệm Vậy: Với thì hàm số (1) có cực trị trong khoảng Cho hàm số : y = (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị thoả mãn . · Tập xác định D = R. . Đặt ta được: (1) có hai cực trị thoả có hai nghiệm thoả Vậy: Với thì hàm số (1) có hai cực trị thoả mãn . Cho hàm số : y = (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị thoả mãn . · Tập xác định D = R. . Đặt ta được : (1) có hai cực trị thoả có hai nghiệm thoả . Vậy: Không có giá trị nào của m nào thoả YCBT. Cho hàm số : y = (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị thoả mãn . · Tập xác định D = R. . Đặt ta được : (1) có hai cực trị thoả có hai nghiệm thoả Vậy: Với thì hàm số (1) có hai cực trị thoả mãn . Dạng 2: Cực trị của hàm số trùng phương: A. Kiến thức cơ bản · Hàm số luôn nhận làm 1 điểm cực trị. · Hàm số có 1 cực trị Û phương trình có 1 nghiệm. · Hàm số có 3 cực trị Û phương trình có 3 nghiệm phân biệt. · Khi đồ thị có 3 điểm cực trị thì DABC cân tại A. B. Một số dạng câu hỏi thường gặp 1. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân hoặc tam giác đều. – Tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. – Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra DABC cân tại A. – Giải điều kiện: DABC vuông tại A Û DABC đều Û 2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S cho trước. – Tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. – Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra DABC cân tại A. – Kẻ đường cao AH. – Giải điều kiện: . Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2) Tìm m để đồ thị (C) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất. · ; . Khoảng cách giữa các điểm cực tiểu: d = Þ Û m = . Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. · . Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại Û PT có 1 nghiệm Û Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi . 2) Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của đều nằm trên các trục toạ độ. · Ta có: ; . + Nếu thì đồ thị có 1 điểm cực trị duy nhất . + Nếu thì có 3 điểm cực trị . Để A, B, C nằm trên các trục toạ độ thì B, C Î Ox Û . Vậy: hoặc . Cho hàm số (với là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi . 2) Tìm tất cả các giá trị của để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng lần độ dài cạnh bên. · Ta có: ; . Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị (*). Ba điểm cực trị là: ;; cân tại ; , thoả (*). Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. · Ta có Hàm số có CĐ, CT Û PT có 3 nghiệm phân biệt Û (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: Þ Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi DABC vuông tại A Û (thoả (*)) Cho hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. · Ta có Hàm số có CĐ, CT Û PT có 3 nghiệm phân biệt Û (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: Þ Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi Û Û Û . (Chú ý: Có thể dùng tính chất: DABC đều Û AB = BC = CA). Câu hỏi tương tự: a) . ĐS: b) . ĐS: c) Cho hàm số có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích . · Ta có Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt (*) Với điều kiện (*), phương trình có 3 nghiệm . Hàm số đạt cực trị tại . Gọi là 3 điểm cực trị của (Cm) . Ta có: cân đỉnh A Gọi M là trung điểm của BC Vì cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó: . Vậy . Câu hỏi tương tự: a) , S = 32. ĐS: b) , . ĐS: c) , S = 32. ĐS: d) . ĐS: Cho hàm số có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –2. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng . · Ta có ; (m < 0) Khi đó các điểm cực trị là: ; . DABC cân tại A nên góc chính là . . Vậy . Cho hàm số có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng . · Ta có Hàm số đã cho có ba điểm cực trị PT có ba nghiệm phân biệt và đổi dấu khi đi qua các nghiệm đó . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là: ; Câu hỏi tương tự: a) ĐS: Cho hàm số (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi . 2) Tìm các giá trị của m để (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm . · Ta có: . Hàm số có 3 điểm cực trị Û . Khi đó các điểm cực trị của (Cm) là: . Gọi là tâm của đường tròn (P) ngoại tiếp DABC. Ta có: Û Û . Vậy . Cho hàm số (Cm). 1) K