Giáo án lớp 12 môn Toán - Đường bậc hai và phân loại xạ ảnh

CHƯƠNG IV: ĐƯỜNG BẬC HAI TRÊN MẶT PHẲNG XẠ ẢNH §.1 ĐƯỜNG BẬC HAI VÀ PHÂN LOẠI XẠ ẢNH A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa đường bậc hai trên mặt phẳng xạ ảnh Định nghĩa: Trong mặt phẳng xạ ảnh P, với một mục tiêu xạ ảnh đã chọn, tập hợp (S) gồm những điểm X có tọa độ (x1 : x2 : x3) thỏa mãn phương trình: (1) được gọi là một đường bậc hai. Phương trình (1) gọi là phương trình của đường bậc hai (S) đối với hệ tọa độ đã chọn. Ma trận A = được gọi là ma trận của đường bậc hai (S) đối với mục tiêu đã chọn. Nếu detA ≠ 0 thì (S) gọi là đường bậc hai không suy biến. Trong trường hợp ngược lại (S) gọi là đường bậc hai suy biến. Chú ý: Nếu hai đường bậc hai (S) và (S’) có ma trận tương ứng là A và A’ thì chúng được xem là trùng nhau khi và chỉ khi có số k khác không sao cho A = kA’. Nói một cách khác, khi và chỉ khi các hệ số tương ứng trong phương trình (S) và (S’) tỉ lệ với nhau. Định lí: Khái niệm “đường bậc hai” là một bất biến xạ ảnh. Tính chất suy biến hay không suy biến của đường bậc hai cũng là bất biến xạ ảnh. Giao của đường bậc hai và đường thẳng Trong mặt phẳng xạ ảnh P, với mục tiêu xạ ảnh đã chọn, cho đường bậc hai (S) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình: (S) = (d) = Khi đó có thể xảy ra một trong các trường hợp sau đây: hoặc (d) nằm trên (S), hoặc (d) cắt (S) tại hai điểm phân biệt, hoặc (d) cắt (S) tại một điểm kép, hoặc (d) cắt (S) tại hai điểm ảo liên hợp. 2. Điểm liên hợp – Điểm kì dị - Tiếp tuyến 2.1. Điểm liên hợp. Định nghĩa: Trong mặt phẳng xạ P cho đường bậc hai (S) phương trình và hai điểm U(u1:u2:u3), V(v1:v2:v3). Hai điểm U, V gọi là liên hợp với nhau đối với (S) nếu (1). Viết rõ ra, điều kiện (1) là: a11u1v1 + a22u2v2 + a33u3v3 + a12(u1v2 + u2v1) + a23(u2v3 + u3v2) + a13(u1v3 + u3v1) = 0 (2) Điểm U liên hợp với chính nó đối với đường bậc hai (S) khi và chỉ khi U nằm trên (S). Nếu (S) cho bởi phương trình ma trận (X)tA(X) = 0; và giả sử (U) và (V) là ma trận cột tọa độ của U và V thì điều kiện (1) hoặc (2) có thể viết: (U)1A(V) = 0 Định lí: Giả sử hai điểm phân biệt U và V liên hợp với nhau đối với đường bậc hai (S). Khi đó: Nếu đường thẳng (d) đi qua U, V cắt (s) tại hai điểm phân biệt M, N thì (U,V, M, N) = -1. Nếu (d) cắt (s) tại một điểm (kép) thì điểm đó là U hoặc là V. 2.2 Cực tuyến và cực điểm, điểm kì dị Định lí: Cho đường bậc hai (S) và điểm U. Quỹ tích những điểm X liên hợp với U đối với (S) là một đường thẳng, hoặc là toàn bộ mặt phẳng P. Định nghĩa : Cho đường bậc hai (S) và một điểm U Nếu quỹ tích những điểm liên hợp với U đối với (S)là một đường thẳng u thì u gọi là cực tuyến hay đối cực của điểm U. Điểm U gọi là cực điểm của đường thẳng u. Nếu quỹ tích những điểm liên hợp với U là toàn bộ mặt phẳng thì U gọi là điểm kì dị của (S) .(chú ý rằng điểm kì dị của (S) luôn nằm trên (S)). Định lý : Chỉ có điểm bậc hai suy biến mới có điểm kì dị . Tiếp tuyến của đường bậc hai Định nghĩa : Cho đường bậc hai (S) và một điểm U . Nếu điểm U nằm trên đường bậc hai (S) và không phải là điểm kì dị của (S) thì cực tuyến của U gọi là tiếp tuyến của (S) tại U ( U được gọi là điểm tiếp xúc) Nếu U là điểm kì dị của (S) thì mọi đường thẳng đi qua U đều gọi là tiếp tuyến của (S) tại U . Định lý: Nếu u là tiếp tuyến của đường bậc hai (S) tại điểm U thì hoặc u nằm trên (S) hoặc u cắt (S) tại điếm kép U . 3. Phương trình chính tắc của đường bậc hai. Phân loại xạ ảnh 3.1. Tam giác tự liên hợp đối với đường bậc hai Định nghĩa : Tam giác A1A2A3 gọi là tam giác tự liên hợp đối với đường bậc hai (S) nếu ba đỉnh của nó đôi một liên hợp với nhau đối với (S). Định lí: Luôn luôn có tam giác tự liên hợp đối với đương bậc hai (S) cho trước. Phương trình chính tắc của đương bậc hai Trên mặt phẳng x ạ ảnh (P) cho đ ường bậc hai (S). Chọn một mục tiêu xạ ảnh thích hợp, ta có thể đưa phương trình của đường bậc hai (S) về một trong năm dạng sau: x12 + x22 + x32 = 0 ( I) x12 + x22 - x32 = 0 (II) x12 + x22 = 0 (III) x12 - x22 = 0 (IV) x12 = 0 (V) Các phương trình trên gọi là phương trình chính tắc của đường bậc hai. Các mục tiêu tương ứng gọi là mục ti êu chính tắc của đường bậc hai . Nếu phương trình (S) có dạng (I) thì (S) gọi là đường ôvan ảo (nó không có điểm thực nào ) Nếu phương trình (S) có dạng (II) thì (S) được gọi là đường ôvan, nó có vô số đểm thực. Nếu phương trình của (S) có dạng (III) thì (S) chỉ gồm một điểm duy nhất (0:0:1). Tuy nhiên có thể xem (S) là hợp của hai đường thẳng ảo có phương trình x1 + ix2 = 0 và x1 – ix2 = 0, chúng cắt nhau tại điểm thực (0:0:1). Nếu phương trình (S) có dạng (IV) thì (S) là hợp của hai đường thẳng x1 + x2 = 0 và x1 - x2 = 0. Nếu phương phương trình (S) có dạng (V) thì (S) là hai đường thẳng trùng nhau x1 = 0 và x1 = 0. 3.3. Phân loại xạ ảnh của các đường bậc hai Định lí: Hai đường bậc hai tương đương xạ ảnh với nhau khi và chỉ khi chúng có phương trình chính tắc giống nhau (tức là có cùng dạng). 3.4. Liên hệ giũa đường ôvan của mặt phẳng xạ ảnh và đường cônic của mặt phẳng afin Cho mặt phẳng xạ ảnh P và mặt phẳng afin A=P\. Xét một đường ô van (S) của P. Nếu (S') = (S)\ thì trong mặt phẳng afin đó (S') là elip nếu (S) không cắt , là hypebol nếu (S) cắt tại hai giao điểm, là parabol nếu (S) tiếp xúc với . Chú ý: Trong mặt phẳng afin A=P\ ta đã gọi những điểm thuộc là những điểm vô tận. Bởi vậy có thể nói: Elip là ôvan không có điểm vô tận, hypebol là ôvan có hai điểm vô tận, parabol là ôvan có một điểm vô tận. B. BÀI TẬP 4.1. Cho đường thẳng bậc hai trong mặt phẳng xạ ảnh có phương trình: = 0 Tìm các giá trị của k R sao cho đường bậc hai suy biến. 4.1. Cho đường thẳng bậc hai trong mặt phẳng xạ ảnh có phương trình: = 0 Tìm các giá trị của k R sao cho đường bậc hai suy biến. 4.2. Lập phương trình của đường bậc hai suy biến trong hệ tọa độ , đi qua các điểm A1, A2, A3 , E. 4.3. Chứng minh đường bậc hai có phương trình là không suy biến và đi qua A1, A2, A3. 4.4. Lập phương trình ảnh (S’) của phương bậc hai (S) có phương trình qua phép biến đổi xạ ảnh: 4. 5 . Tìm các giao điểm của bậc hai (S) có phương trình với các đường thẳng A1A3, A2A3, A1A2, A3E, A1E trong hệ tọa độ xạ ảnh . 4.6. a) Chứng minh rằng nếu điểm U liên hợp điều hòa với hai điểm V1 và V2 đối với đường bậc hai không suy biến (S) thì cực tuyến của U là đường thẳng qua V1, V2. b) Cho S không suy biến, U không thuộc S. Dựng cực tuyến của điểm U đối với S. 4.7. Hai tiếp tuyến tại V1, V2 với đường bậc hai không suy biến (S) cắt nhau tại U. Tìm cực tuyến của U đối với (S). 4.8*. Cho đương bậc hai không suy biến (S) và ba điểm U1, U2, U3 có các cực tuyến lần lượt là d1, d2, d3. Chứng minh rằng U1, U2, U3 thẳng hàng khi và chỉ khi d1, d2, d3 đồng quy. Dựng cực điểm của một đường thẳng d đối với một đường bậc hai không suy biến. 4.9. Cho đường bậc hai (S) có phương trình: = 0. a) Tìm phương trình các cực tuyến của các điểm A1, A2, A3 đối với (S) trong hệ tọa độ xạ ảnh đã cho . b) Tìm tọa độ cực điểm của đường thẳng d: đối với (S). 4.9. Cho đường bậc hai (S) có phương trình: = 0. a) Tìm phương trình các cực tuyến của các điểm E1, E2, E3 đối với (S) trong hệ tọa độ xạ ảnh đã cho . b) Tìm tọa độ cực điểm của đường thẳng d: đối với (S). 4.10. Cho đường bậc hai (S) có phương trình: Tìm phương trình cực tuyến đối với (S) của các điểm A(1: 2: -1), B(1: 1: -1) và tọa độ cực điểm của đường thẳng AB. 4.10. Cho đường bậc hai (S) có phương trình: Tìm phương trình cực tuyến đối với (S) của các điểm A(-1: -2: 1), B(1: -1: 1) và tọa độ cực điểm của đường thẳng AB. 1.11. Cho đường thẳng bậc hai (S) có phương trình: . Lập phương trình các tiếp tuyến với ( S) đi qua mỗi điểm A1, A2, A3 , E. 1.12*. Chứng minh rằng hình bốn đỉnh toàn phần có bốn đỉnh A, B, C, D thuộc đường bậc hai khôngsuy biến ( S) thì ba đường chéo của nó tạo thành một tam giác tự đối cực đối với (S). Phát biểu bài toán đối ngẫu. Bài 13. Viết phương trình chính tắc của các đường bậc hai sau: a. x + x + x - 2xx- 2xx + 2xx = 0 b. x + 4x + 5x + - 4xx- 2xx = 0. c. 5x + 5x + 2x + 4xx = 0. d. 2x + x + x + 2xx- 2xx = 0. 4.14. Cho đường cônic (S) và U là cực điểm của đường thẳng d đối với (S) với giả thiết U không thuộc (S). Chứng minh rằng điểm U là tâm đối xứng của thể hiện afin của (S) khi coi d là đường thẳng vô tận. 4.15. Cho a, b là hai tiếp tuyến của đường cônic (S) trong mặt phẳng xạ ảnh P, và I là giao điểm của a, b. Xác đinh thể hiện afin của (S) khi coi cực tuyến d của điểm I là đường thẳng vô tận. 4.16. Chứng minh rằng trong mặt phẳng afin, đoạn tiếp tuyến bị chặn giữa hai đường tiệm cận củahyperpol có trung điểm là điểm tiếp xúc. 4.17. Một cát tuyến bất kì cắt hyperpol và hai đường tiệm cận tại các điểm A, B, C, D. Chứng minh AC = BD. 4.18. Chứng minh rằng nếu đường elip nội tiếp trong một hình bình hành thì giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành là tâm của elip. 4.19*. Cho hai tiếp tuyến a, b tại các đểm A, B với parapol. Chứng minh rằng đường thẳng nối giao điểm I của a, b với trung điểm M của AB thì song song với trục của parapol. 4.20*. Trong mặt phẳng Ơ-clit, từ một điểm P kẻ một đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm A, B và kẻ đường thẳng d vuông góc OP. Hai tiếp tuyến với đường tròn tại các tiếp điểm A, B cắt đường thẳng d tại M, N tương ứng. Chứng mnh rằng P là trung điểm của MN. C. HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN 4.1. Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa: Đường bậc hai được gọi là suy biến nếu ma trận A của đường bậc hai suy biến (│A│= 0).Từ đó thực hiện giải như sau : - Lập ma trận A của đường bậc hai ( có tham số k ) - Lập định thức│A│ của A và buộc cho có │A│= 0 để rút ra k. Đáp số : 4.2. Hướng dẫn Phương trình của đường bậc hai có dạng (S) : Sử dụng điều kiện A1, A2, A3, E thuộc (S) , nghĩa là tọa độ của A1, A2, A3, E thỏa mản phương trình (1) để tìm ra . Đáp số : , với . 4.3. Hướng dân Lập ma trận A của phương trình của đường bậc hai đã cho, ta có: Tính │A│và có │A│≠ 0 . Suy ra (S) không suy biến Nghiệm thấy tọa độ của A1, A2, A3 thỏa mản phương trình của (S) nên kết luận (S) đi qua A1, A2, A3 . 4.4 . Hướng dẫn Từ phương trình của phép biến đổi xạ ảnh f : Rút theo được: Thay vào phương trình và thực hiện tính toán ta được phương trình của (S’ ) . Đáp số : 4.5. Hướng dẫn Trước hết viết phương trình của các đường thẳng và được: Để tìm tọa độ giao điểm của (S) và ta giải hệ phương trình: Hệ này không có nghiệm thực khác (0,0,0 ) nên Tương tự Để tìm tọa độ giao điểm của (S) và A3A1 giải hệ phương trình Để tìm tọa độ giao điểm của (S) và A2E, ta giải hệ phương trình Tương tự , tìm được tọa độ của (S) với các đường còn lại Đáp số : (S) không giao với A1A2 (S) giao với A1A3 tại hai điểm A (1: 0: 1) ; B(-1: 0: 1) (S) giao với A2A3 tại hai điểm A ( 0: 1: 1) ; B ( 0: 1:-1) (S) giao với A1E tại điểm A(0: 1:1) (S) giao với A2E tại điểm A(1: 0: 1) (S) giao với A3E tại điểm A(1: 1: ) ; B (1: 1: -) 4.6. Hướng dẫn a) Cần phải nhớ tới : định nghĩa cực tuyến của điểm U đối với đường bậc hai (S) là tập hợp tất cả các điểm V liên hợp điều hòa với U đối với đường bậc hai (S); ngoài ra cực tuyến của U là một đường thẳng . Vì U liên hợp điều hòa với nên cưc tuyến U đi qua Qua chỉ có một đường thẳng, nên cực tuyến của U là b) ( Xem hình 104) Hình 104 - Dựng hai tiếp tuyến với (S) qua U với hai tiếp điểm là T1, T2. - Dựng đường thẳng u qua T1, T2 . Đường thẳng u là cực tuyến của U . 4.7. Hướng dãn ( Xem hình 105 ) Hình 105 U liên hợp điều hòa với V1đối với (S); U liên hợp điều hòa với V2 đối với (S). Sử dụng a) của bài tập 4.6 suy ra cực tuyến của U là đường thẳng V1V2. 4.8. Hướng dẫn ( Xem hình 106) Giả sử cực điểm của d1, d2 , d3 theo thứ tự là: U1, U2, U3 . () Nếu U1, U2, U3 thẳng hàng thì d1, d2 , d3 đồng quy . Thật vậy, gọi K là giao điểm của d1 và d2 thì cực tuyến của K là đường thẳng qua U1, U2 . Vì U3 U1U2 nên K d3, nghĩa là d1, d2 ,d3 đồng quy tại K . () Nếu d1, d2 , d3 đồng quy tại K, thì U1, U2, U3  thẳng hàng Thật vậy vì d1, d2 , d3 đồng quy tại K nên U1U2, U2U3, U3U1 đều là cực tuyến của K . Suy ra U1U2 ≡ U2U3≡ U3U1, tức là U1, U2, U3 thẳng hàng. Hình 106 Dựng cực điểm của một đường thẳng d đối với một đường bậc hai (S). a) Nếu d tiếp xúc với (S) tại T thì T là cực điểm của d.( Xem hình 107) Hình 107 b) Nếu d cắt (S) tại hai điểm V1, V2 thì cực điểm của d là giao điểm D của hai tiếp tuyến với (S) tại V1, V2. ( Xem hình 108 ) Hình 108 c) Nếu d và (S) không có điểm chung thì trên d ta lấy hai hai điểm P, Q. Gọi p là cực tuyến của P, q là cực tuyến của Q, giao điểm D của p và q là cực tuyến của d.( Xem hình 109) Hình 109 4.9. Hướng dẫn Xét (S): x12 + 2x22 -2x32 + 4x1x2 - 6x2x3 = 0 Ma trận của phương trình bậc hai là: A= a) *1 Bộ hệ số của cực tuyến M của A1 cho bởi: (u)* = (A1)*A = = Vậy, phương trình cực tuyến của A1 là : x1 - 2x2 = 0. *2 Làm tương tự *1 để tìm phương trình của cực tuyến của A2, A3, E. Đáp số: Cực tuyến của A1 là: x1 - 2x2 = 0 Cực tuyến của A2 là: 2x1 + 2x2 - 4x3 = 0 Cực tuyến của A3 là: 3x2 + 2x3 = 0 Cực tuyến của E là: 3x1 + x2 - 5x3 = 0 b) Lấy hai điểm A(0: 1: 1) và B(1: 0: 1) trên d Đường cực tuyến của A là: 2x1 - x2 - 5x3 = 0 Đường cực tuyến của B là: x1- x2 - 2x3 = 0 Do đó toạ độ của cực điểm của d là nghiệm của hệ phương trình: Đáp số: Cực điểm của d là D(3: 1: 1) 4.10. Hướng dẫn: Thực hiện tương tự 4.9. Đáp số: a) Đối cực của A là a: 3x1 - 2x2 - 3x3 = 0 Đối cực của B là b: x1- x3 = 0 b) Cực điểm của AB là U(1: 0: 1) 4.11. Hướng dẫn: - Lập ma trận A của đường bậc hai (S): A = - Chú ý rằng A1, A2, A3 nằm trên S còn E thì không. *1 Theo phương pháp tìm phương trình đường cực tuyến ta tìm được ( như bài tập 4.9): Tiếp tuyến tại A1 là: x2 + x3 = 0 Tiếp tuyến tại A2 là: x1 + x3 = 0 Tiếp tuyến tại A3 là: x1 + x2 = 0 *2 Để tìm tiếp tuyến xuất phát từ E ta tìm đường cực tuyến của E, bằng cách đã biết ở trên *1, ta tìm được : x1 + x2 + x3 = 0. Ta tìm giao điểm của (S) và. Nếu tồn tại A là giao điểm của (S) và thì EA là một tiếp tuyến đi qua E. Xét hệ: Từ phương trình thứ hai suy ra: x3 = x1+ x2 và hay vào phương trình thứ nhất ta được: x1x2 - (x1 + x2)2 = 0 hay (x0 + x1)2 = x1x2. Do đó: x1. x2 0. Suy ra (x1 + x2)2 = x1x2 4x1x2. Để tồn tại x1, x2 thì theo công thức Vi-ét cần có: (x1 + x2)2 = 4x1x2 (x1 + x2)2 = 0 x1 = x2 Thay vào phương trình thứ hai ta được: x3 = -2x1. Thay vào phương trình thứ nhất ta được: x12 - 4x12 = 0 x1 = 0 x1 = 0 và x2 = 0. Nhưng (0: 0: 0) không xác định điểm nào của P nên S = . Vậy không có tiếp tuyến với S qua E. 4.12. Hướng dẫn ( Xem hình 110 ) Giả sử hình bốn đỉnh toàn phần ABCD có 4 đỉnh A, B, C, D thuộc đường bậc hai (S) không suy biến. Ta chứng minh ba đường chéo NP, BD, AC làm thành một tam giác tự đối cực đối với (S). *1 Chứng minh PN là đường cực tuyến của M đối với (S). Xét hình bốn cạnh toàn phần với 6 đỉnh A, B, C, D, P, N. Hình 110 Tại N, ta có: (NA, ND, NM, NP) = -1 (A, D, F, P) = -1; (B, C, E, P) = -1 P liên hợp với F đối với (S), P liên hợp với E đối ( S) (*) P liên hợp với M đối với ( S) (1) Tại P, ta có: (PA, PB, PM, PN) = -1 (A, B, K, N) = -1, (D, C, H, N) = -1 N liên hợp với K và H đối với (S) (**) N liên hợp với M (2). Từ (1) và (2) suy ra NP là đường cực tuyến của M. *2 Chứng minh MP là đường cực tuyến của N đối với (S). Theo (2), ta có N liên hợp với M Theo (**), ta suy ra N liên hợp với P (vì P KH) MP là cực tuyến của N. Chứng minh MN là cực tuyến của P đối với (S). Theo chứng minh (1) ta có P liên hợp với M đối với (S). Theo (*), ta suy ra P liên hợp với N đối với (S) ( vì N thuộc đường thẳng FF) MN là cục tuyến của P đối với (S). Từ , , ta kết luận được ba đường chéo của hình bốn đỉnh toàn phần tạo thành một tam giác tự đối cực đối với (S). Bài toán đối ngẫu: Chứng minh rằng hình bốn cạnh toàn phần có bốn cạnh a, b, c, d tiếp với đường bậc hai (S) thì ba điểm chéo tạo thành một tam giác tự đối cực đối với (S). 4.13. Hướng dẫn a) Hướng dẫn: Đặt: Đáp số: b) (Sinh viên tự giải). Đáp số: c) (Sinh viên tự giải). Đáp số: d) (Sinh viên tự giải). Đáp số: 4.14. Hướng dẫn ( Xem hình 111) Hình 111 Gọi là đường thẳng qua U cắt (S) ở A, B và cắt d tại V. Vì U là cực điểm của d nên ta có (A, B, U, V) = -1 Khi coi d là đường thẳng vô tận thì thể hiện afin của (S) là một đường cônic và cho ta (A, B, U )= -1 U là trung điểm của AB. Hay A, B đối xứng nhau qua U. 4.15. Hướng dẫn: ( Xem hình 112 ) Hình 112 Gọi P, Q là hai tiếp điểm của a, b với (S). Cực tuyến d của I đi qua hai tiếp điểm P, Q. Khi coi d là đường thẳng vô tận thì cônic (S) thể hiện afin là một hypebol mà hai tiếp tuyến a, b là hai tiệm cận của hypebol. ( Xem hình 113) Hình 113 4.16. Hướng dẫn: Hình 114 mô tả đề bài ( trong mặt phẳng afin) Hình 114 Gọi là đường thẳng vô tận của mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin. Một hypebol cùng với hai dường tiệm cận là thể hiện afin của một đường ôvan (S) cùng với hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm O có hai tiếp điểm P, Q nằm trên . Tâm của hypebol là điểm O, (Xem hình 115 ). Hình 115 Giả sử m là một tiếp tuyến với (H) tại M cắt hai tiệm cận tại A, B. Trong P, m cắt tại R và cắt hai tiếp tuyến a, b tại A, B. Điểm O là cực điểm của nên R liên hợp với O. Mặt khác, m là tiếp tuyến nên R liên hợp với M. Suy ra R là cực điểm của đường thẳng OM. Gọi I là giao điểm của OM và thì ta có: (Q, P, I, R) = -1 (B, A, R, M) = -1 Do R là điểm vô tận nên (B, A, R, M) = -1 có nghĩa rằng M là trung điểm của AB (trong A2 ). 4.17. Hướng dẫn ( Hình 116 mô tả đề bài toán trong mặt phẳng afin ) Hình 116 Gọi là đường thẳng vô tận của mô hình. Khi đó hypebol cùng với hai tiệm cận a, b là thể hiện afin của một đường ôvan (S) cùng với hai tiếp tuyến a, b có hai tiếp điểm P, Q thuộc ; O = , ( O là tâm của Hypebol trong mặt phẳng afin), cát tuyến AB của hypebol cắt hai đường tiệm cận tại C và D. Xét trong mặt phẳng xạ ảnh P ( Xem hình 117 ) Hình 117 Gọi R là giao điểm của AB và . Từ R lấy một tiếp tuyến m với (S) với tiếp điểm là M. Gọi K là giao điểm của OM và AB. Vì R là cực tuyến của OM nên (B, A, K, R) = -1. Suy ra (Q, P, I, R) = -1 (Tính chất phép chiếu xuyên tâm tâm O từ đường AB lên đường .) Suy ra (D, C, K, R) = - 1. Như vậy, (B, A, K, R) = -1 và (D, C, K, R) = - 1 Vì R là điểm vô tận nên có nghĩa rằng: K là trung điểm của AB, và K là trung điểm của CD. Suy ra: AC = CD. 4.18. Hướng dẫn: ( Xem hình 118) Hình 118 Gọi là đường thẳng vô tận của mô hình. Khi đó, một elip (E) nội tiếp một hình bình hành ABCD là thể hiện afin của một đường ôvan (S) tiếp xúcvới 4 cạnh của một hình bốn cạnh toàn phần ABCDEF, trong đó E, F thuộc và (S) không cắt. Tâm O của E là cực điểm của. Gọi K là giao điểm của AC và BD. Xét hình bốn cạnh toàn phần ABCDEF thì điểm chéo K là cực của EF (). Vậy, K O. Từ đó suy ra điều cần chứng minh. 4.19. Hướng dẫn: ( Hình 119 mô tả bài toán trong mặt phẳng afin ) Hình 119 Gọi là đường thẳng vô tận của mô hình A2. Khi đó parabol là thể hiện afin của một đường ôvan (S) tiếp xúc với tại điểm E. Gọi R là giao điểm của AB và . ( Xem hình 120 ) Hình 120 • Vì M là trung điểm của đoạn AB nên (A, B, M, R) = -1. Vậy R liên hợp với M đối với (S). • Mặt khác, R liên hợp với I ( Vì R thuộc cực tuyến AB của I). • Ngoài ra R liên hợp với E ( Vì R nằm trên tiếp tuyến của (S) tại E ). Vây, cực tuyến IM của R đi qua E. Điều đó có nghĩa rằng IM là đường kính liên hợp với phương xác định bởi điểm vô tận R. Phương này là phương của vecstơ . Ta suy ra được điều phải chứng minh. 4.20. Hướng dẫn ( Dùng mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh ): (Xem hình 121 ) Hình 121 Gọi C là giao điểm của hai tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và B. Đặt Q = AM OP. Lấy đối xứng qua OP thì: A A' B B' C C' M N Ta có A' (O); B' (O); B'C' tiếp xúc với (O) tại B'. Đặt K = OP, R = BC B'C'; = A'B' AB; = PQ Bổ sung vào E những điểm vô tận ta được mô hình afin của . Khi đó trong , (O) là một đường ôvan. Điểm C thuộc đường cực tuyến của điểm P (vì C là cực của AB mà PAB). Điểm C' thuộc . P là cực điểm của . Mặt khác, cũng là cực điểm của (vì là một điểm chéo của hình bốn cạnh toàn phần có 6 đỉnh Q, C, R, C', , và CC' là một đường chéo). Do đó P . Vì lý do đối xứng, ta có và đối xứng với nhau qua OP. Suy ra OP. Như thế MN và N trùng nhau và suy ra M, N, tức là M, N đối xứng nhau qua P. Vậy P là trung điểm của MN. §.2 TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG Ô VAN VÀ PHÉP XẠ ẢNH CỦA ĐƯỜNG Ô VAN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Các tính chất của đường ôvan 1.1. Định lí Mác - Lô - ranh (Mac-Laurin) Định lí: Trong mặt phẳng xạ ảnh P cho đường ôvan (S) có phương trình (X)tA(X) = 0, và cho đường thẳng u có ma trận cột toạ độ là (u) = ( tức là đường thẳng u có phương trình: u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0 hay (u)t(X) = 0). Khi đó điều kiện cần và đủ để đường thẳng u tiếp xúc với ôvan (S) là (u)tA-1(u) = 0. Hệ quả: Cho tập hợp (U) không rỗng gồm các đường thẳng u có toạ độ [u1:u2:u3] thoả mãn phương trình thuần nhất bậc hai: (u)tA(u) = 0, trong đó detA0. Khi đó có một ôvan (S) tiếp xúc với mọi đường thẳng u của tập hợp đó. 2.2. Nguyên tắc đối ngẫu và đường ôvan Ta nhắc lại phép đối xạ: Trong mặt phẳng P chọn một mục tiêu xạ ảnh. Phép đối xạ là ánh xạ : P* P* biến mỗi điểm X(x1:x2:x3) thành đường (X) có toạ độ [u1:u2:u3] trong đó ui = xi. Ta hãy xét tập hợp (S) không rỗng gồm những điểm X có toạ độ thoả mãn phương trình (X)tA(X) = 0, với detA 0. Chúng ta biết rằng tập hợp (S) là một đường ôvan. Bây giờ gọi (U) là ảnh của (S) qua đối xạ , thì (U) là tập hợp tất cả các đương thẳng (X) với X (S), vậy (U) là tập hợp không rỗng gồm các đường thẳng u có toạ độ thỏa mãn phương trình: (u)tA(u) = 0. Theo định lí Mác - Lô-ranh thì các đường thẳng (U) như vậy đều tiêp với một đường ôvan (S*) có phương trình (X)A-1(X) = 0. Vậy: phép đối xạ biến một điểm thuộc đường ôvan (S) thành một đường thẳng tiếp với đường ôvan (S*) và ngược lại, biến một đường thẳng tiếp với đường ôvan (S) thành một điểm nằm trên ôvan (S*). Như vậy, đối với những mệnh đề hoặc khai niệm có liên quan đến đường ôvan nguyên tắc đối ngẫu vẫn được áp dụng với những bổ sung sau đây: Cụm từ đường ôvan vẫn giữ nguyên, điểm thuộc ôvan thay bằng đường thẳng tiếp với ôvan và ngược lại. 1.3. Định lí Ste-ne (Steiner) Định lí Ste-ne: Cho hai điểm cố định phân biệt A1, A2 nằm trên đường ôvan (S) và điểm M thay đổi trên ôvan đó. Nếu f:{A1}{A2} là ánh xạ biến đường thẳng A1M thành đường thẳng A2M thì f là một ánh xạ ảnh khác với phép chiếu xuyên trục. Hình 122 Định lí Ste-ne đảo: Cho ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm phân biệt f: {A1} {A2}. Nếu f không phải là phép chiếu xuyên trục thì tập hợp giao điểm các đường thẳng tương ứng là một đường ôvan. Hình 123 Đối ngẫu của định lí Ste-ne: Cho hai đường thẳng a1 và a2 phân biệt tiếp với đường ôvan (S) và một tiếp tuyến m thay đổi của ô van đó. Nếu f: a1 a2 là ánh xạ biến điểm a1 m thành điểm a2 m thì f là một ánh xạ xạ ảnh khác với phép chiếu xuyên tâm. Đối ngẫu của định lí Ste-ne đảo: Cho ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm phân biệt f : a1 a2 . Nếu f không phải là phép chiếu xuyên tâm thì các đường thẳng nối hai điểm tương ứng tiếp xúc với một oovan. Đường ô van đó tiếp xúc với a1 a2 tại các điểm là ảnh và tạo ảnh của giao điểm a1 a2 . 1.4. Sự xác định một đường ô van Định lý: 1) Cho năm điểm A, B, C, D, E trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Khi đó có một đường ô van duy nhất đi qua năm điểm đó. Hình 124 2) Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và một đường thẳng a đi qua A nhưng không đi qua điểm nào trong ba điểm B, C, D. Khi đó có một đường ô van duy nhất đi qua B, C, D và tiếp xúc với a tại A. Hình 125 3) Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C; đường thẳng a đi qua A nhưng không đi qua B, C và đường thẳng b đi qua B nhưng không đi qua A, C. Khi đó có một đường ô van duy nhất đi qua C tiếp với a tại A, tiếp với b tại B. Hình 126 1.5. Định lý Pascal Sáu điểm phân biệt A1, A2, A3, A4, A5, A6 nằm trên đường ô van (S) khi và chỉ khi giao điểm P = A1A2 A4A5, Q = A2A3 A5A6, R = A3A4 A6A1 thẳng hàng. Hình 127 Định lí Bri-ăng-sông (Đối ngẫu của định lý Pascal ) Cho 6 đường thẳng phân biệt cùng tiếp với đường ôvan (S). Khi đó ba đường thẳng p đi qua và , đường thẳng q đi qua và , đường thẳng r đi qua và là đồng quy . Hình 128 2. Phép xạ ảnh của đường ôvan 2.1. Tỉ số kép của bốn điểm trên đường ôvan Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên đường ôvan (S). Khi đó từ định lí Ste-ne thuận ta suy ra nếu M là điểm bất kì thuộc (S) thì tỉ số kép (MA, MB, MC, MD) có giá trị không phụ thuộc vào M. Tỉ số kếp đó được gọi là tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D trên (S) và kí hiệu là (A, B, C, D). 2.2. Định nghĩa phép xạ ảnh của đường ôvan Định nghĩa Mộ song ánh từ đường ôvan (S) lên chính nó được gọi là phép xạ ảnh của (S) nếu nó bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm bất kì trên (S). Điều đó có nghĩa là nếu A, B, C, D là bốn điểm thuộc (S) và, A', B', C', D' lần lượt là ảnh của chúng qua f thì ta có: = . Định