Giáo án lớp 12 môn Toán - Đường thẳng (tiết 3)

Đường thẳng. I: Phương trình đường thẳng . 1/ Tóm tắt lý thuyết : +/ Một vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)//(d) . Nhận xét : Véctơ là VTCP của (d) thì với K0 đều là VTCP của đường thẳng (d) . +/ Một vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của (d) . Nhận xét : Véctơ là VTPT cả đường thẳng (d) thì với K 0 đều là VTPT của đường thẳng (d) . Chú ý : - Nếu đường thẳng (d) có VTCP là là VTPT của đường thẳng (d) . Ngược lại đường thẳng (d) có VTPT là VTCP của đường thẳng (d). 2/ Phương trình đường thẳng . Dạng1: Phương trình đường thẳng đI qua hai điểm : A(x1;y1) và B(x2;y2) . Phương pháp : Phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm : A(x1;y1) và B(x2;y2) được xác định bởi : . Ví dụ : Phương trình đường thẳng đI qua hai điểm : A(2;3) và B(4;6) . Dạng 2 : Phương trình đường thẳng (d) cắt Ox ; Oy theo thứ tự A(a;0)và B(b;0) với a, b 0 có dạng : . Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng đI qua điểm A(3;0) ; B(4 ,0) . Dạng 3 : Viết phương trình đường thẳng (d) đI qua điểm Mo(xo, yo) và có VTCP là . Phương pháp : Đường thẳng (d) đI qua điểm Mo(xo, yo) và có VTCP là R: . Phương trình tham số (PTTS). Phương trình chính tắc . Phương trình tổng quát . Chú ý : - Đường thẳng (d) có VTCP luôn có dạng u2x- u1y + m= 0 . Để xác định(d) ta đI xác định m . Phương trình đường thẳng (d)//() : Ax + By + C = 0 có dạng : Ax + By + m =0 . Để xác định (d) ta đI xác định m . Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng d biết rằng : ĐI qua điểm M(1;2) và VTPT Đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng HD : a. Ta có :Đường thẳng d đi : Phương trình tổng quát của Đường thẳng : 2x-3y+4=0 Phương trình tham số của Đường thẳng: Phương trình chình tắc của Đường thẳng: b. Ta có :Đường thẳng d đi : Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng : x+2y-7=0. Dạng 4 : Viết phương trình đường thẳng đI qua điểm Mvà có hệ số góc là k có dạng : Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau : ĐI qua điểm M(-1;2) và có hệ số góc k=3 Đi qua điểm M(3;2) và tạo với OX một góc bằng 450 . HD : a. Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng : 3x-y+5=0. b. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) . Ta có k= tg450 =1 . Khi đó : Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng : x-y-m=0. Do (d) nên m= -1. Vậy Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng : x-y-1=0. I. phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 1. vectơ pháp tuyến , vectơ chỉ phương . 2. phương trình đường thẳng xét các TH đặc biệt . a.phương trình đường thẳng đI qua 2 điểm b.phương trình đoạn chắn . c. phương trình đường thẳng đI qua điểm và có vtcp d. phương trình đường thẳng đI qua điểm và có vtpt e. phương trình đường thẳng đI qua điểm và có hsg là k Ví dụ 1 : Viết phương trình các cạnh của biết trung điểm các cạnh của nó có toạ độ là : Ví dụ 2 : Viết phương trình đường trung trực của biết trung điểm của các cạnh : HD : Gọi các đường trung trực kẻ từ M ; N; P là đường thẳng được xác định bởi đI qua điểm M và nhận làm vtpt Góc – Khoảng cách của hai đờng thẳng . Dạng 1 : Cho hai đờng thẳng d1và d2 . Xác định góc tạo bởi d1 ; d2 . Cos(d1;d2) = ; tg(d1 ;d2) = Ví dụ : Tính góc giữa hai đờng thẳng d1; d2 biết rằng : a/ d1 d2 b/ d1 d2 : 2x +3y – 7 = 0 Ví dụ 2 : Viết phơng trình đờng thẳng () biết rằng : a/ ĐI qua M(1;1) và tạo một góc 300 với đờng thẳng (d) b/ Đi qua M(1;1)và tạo một góc 450 với đờng thẳng (d) : x-y-2=0 . ĐS: b/ x-1=0 và y-1=0 . Dạng 2 : Cho điểm M(xM;yM) và đờng thẳng d. Xác định khoảng cách từ điểm M tới đờng thẳng d . Nếu (d ) : Ax +By+C = 0 ta áp dụng công thức MH= (1) Nếu (d) có dạng phơng trình tham số hoặc chính tắc thì ta chuyển về dạng tổng quát sau đó áp dụng công thức (1) . Ví dụ : tính khoảng cách từ điểm M tới đờng thẳng (d) biết rằng : a/ M(1;1) và (d): x-y-2=0 b/ M(2;1) và (d) . c.M(1 ;5) và (d) : . Dạng 3 : Cho (d1) và (d2) . Xác định phơng trình đờng phân giác của góc tạo bởi (d1) và (d2) . Phơng trình đờng tròn . Bài 1: Viết phơng trình đờng tròn biết rằng : a/ A(-1; 3) ; Bài tập Dạng 1: Tìm điểm Bài toán 1: Tìm điểm thoả mãn điều kiện hình học 1. Cho ba điểm A(-4; 1); B(2; 4); C(2; -2). a. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC c. Tìm toạ độ trọng tâm, trực tâm tam giác ABC. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó 2. Cho đường thẳng có phương trình tham số .Tìm điểm M nằm trên đường thẳng đó và cách diểm A(0; 1) một khoảng bằng 5 3. Cho điểm M=(2; 5) và đường thẳng d: x+ 2y-2=0. Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua d. 4. Cho điểm A(-1; 3) và đường thẳng d có phương trình x-2y+2=0. Dựng hình vuông ABCD sao cho hai đỉnh B, C nằm trên d và các toạ độ của đỉnh C đều dương. a. Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D; b. Tính chu vi và diện tích của hình vuông ABCD. 5. Cho tam giác ABC có A(0; 0), B(2; 4), C(6; 0) và các điểm: M trên cạnh AB, N trên cạnh BC, P và Q nằm trên cạnh AC sao cho MNPQ là hình vuông. Tìm toạ độ các điểm M, N, P, Q. 6. Cho hai điểm A(-1; 2), B(3; 1) và đường thẳng d:. Tìm toạ độ của điểm C trên d sao cho: a. Tam giác ABC cân. b. Tam giác ABC đều. 7. Tam giác ABC có trọng tâm G(-2; -1), cạnh AB nằm trên đường thẳng 4x+y+15=0, cạnh AC nằm trên đường thẳng 2x+5y+3=0. a. Tìm toạ độ điểm A và trung điểm M của BC. b. Tìm toạ độ điểm B và viết phương trình đường thẳng BC. 8. Cho hình bình hành ABCD có diện tích S= 4, biết A(1; 0), B(2; 0), giao điểm I của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng (d): y= x. Tìm toạ độ các đỉnh C, D. 9. Cho hình thoi ABCD với A(1; 3) và B(4; -1). a. Cho AD// Ox và xD< 0, Tìm toạ độ C, D. b. Viết phương trình đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD. 10) Tam giác ABC có M(-2; 2) là trung điểm của cạnh BC. Phương trình cạnh AB là x- 2y- 2=0, cạnh AC là 2x+ 5y+ 3= 0.Tìm toạ độ các đỉnh. 11) Cho A(-1; 3) và B(1; 1), đường thẳng (d): y= 2x. a. Tìm điểm C thuộc (d) để tam giác ABC cân b. Tìm điểm C thuộc (d) để tam giác ABC đều 12) Tam giác có đỉnh A(-1; -3), đường trung trực của cạnh AB là 3x+ 2y- 4= 0 và trọng tâm G(4; -2). Tìm toạ độ các đỉnh B, C. 13) Cho điểm A(-1; 3) và đường thẳng có phương trình x- 2y+ 2= 0. Dựng hình vuông ABCD sao cho hai đỉnh B, C nằm trên và các toạ độ của C đều dương. a) Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D. b) Tính chu vi và diện tích của hình vuông ABCD. Bài toán 2: Tìm toạ độ điểm M thoả mãn một yếu tố cực trị 1). Cho hai điểm P(1; 6), Q(-3; -4) và đường thẳng d: 2x-y-1=0. a. Tìm toạ độ điểm M trên d sao cho MP+ MQ nhỏ nhất. b. Tìm toạ độ điểm N trên d sao cho |NP-NQ| lớn nhất. 2). Cho tam giác ABC với A(-1; 0), B(2; 3), C(3; -6) và đường thẳng d: x-2y-3=0. a. Xét xem đường thẳng d cắt cạnh nào của tam giác. b.Tìm điểm M trên d sao cho nhỏ nhất. 3. Cho đường thẳng : (m-2)x+ (m-1)y+ 2m-1= 0 và hai điểm A(2; 3), B(1; 0). a. Chứng minh rằng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m; b. Xác định m để có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng AB; c. Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng lớn nhất. Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng 1. Các bài toán cơ bản về lập phương trình đường thẳng Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng biết nó qua điểm Mo(xp, yp) và có véctơ pháp tuyến . 1) Viết phương trình các đường cao của tam giác ABC biết A(-1; 2), B(2; 4) và C(1; 0). 2) Viết phương trình các đường trung trợc của tam giác ABC biết M(-1; 1), N(1; 9), P(9; 1) là các trung điểm ba cạnh của tam giác. 3) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng sau: a) ; b) ; c) ; d) Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng biết nó qua điểm Mo(xo, yo) và có véctơ chỉ phương . Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng biết nó qua điểm hai điểm A(x1, y1) và B(x2; y2). Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng biết nó qua điểm Mo(xo, yo) và tạo với đường thẳng một góc . 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0; 1) và tạo với đường thẳng (d) x+2y+3=0 một góc bằng 45o. 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm I(-2; 3) và cách đều hai điểm A(5; -1) và B(3; 7). 3) Viết phương trình đường thẳng a) Qua A(-2; 0) và tạo với đường thẳng d: một góc bằng 45o; b) Qua B(-1; 2) và tạo với đường thẳng d: một góc bằng 60o. Bài toán 5: Lập phương trình đường phân giác trong, ngoài của tam giác ABC 1) Cho ba điểm A(-6; -3), B(-4; 3), C(9; 2). a) Viết phương trình đường thẳng (d) chứa đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC. b) Tìm điểm P trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác ABPC là hình thang. 2) Cho ba điểm A(2; 0), B(4; 1), C(1; 2) a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A. c) Tìm toạ độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 3) Biết các cạnh của tam giác ABC có phương trình AB: x- y+ 4= 0, BC: 3x+ 5y+ 4= 0, AC: 7x+ y - 12= 0. a) Viết phương trình đường phân giác trong góc A; b) Không dùng hình vẽ, hãy cho biết gốc toạ độ O nằm trong hay nằm ngoài tam giác ABC 2. Các bài tập 1) Cho M(0; 3) và hai đường thẳng (d1): 2x-y-2=0, (d2): x+y+3=0. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M, cắt (d1) ở A, (d2) ở B sao cho MA=MB. 2) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng (d):3x-4y+1=0 và có khoang r cách đển (d) bằng 1. 3) Tam giâc ABC có A(1; 2), B(3; 4) cosA=, cosB=. a) (d) là đường thẳng qua A và song song với Oy. Tính góc giữa AB và đường thẳng (d). b) Viết phương các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC. 4) Phương trình hai cạnh của một tam giác là: 5x -2y + 6= 0 (1); 4x+7y-21=0(2). Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm trùng với O(0; 0). 5) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu C(-4; -5) và hhai đường cao có phương trình là 5x+3y-4=0; 3x+8y+13=0. 6) Lập phương trình các cạnh cử tam giác ABC biết A(1; 3) và hai đường trung tuyến là x-2y+1=0; y-1=0. 7) Trong mặt phẳng toạ độ cho các diểm P(2; 3), Q(4; -1), R(-3; 5) là trung điểm các cạnh của tam giác. Lập phương trình của các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác đó. 8) Lập phương trình các cạnh của tam giác MNP biết N(2; -1), đường cao hạ từ M là 3x- 4y+ 27= 0, đường phân giác trong kể từ P là x+ 2y- 5= 0. 9) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4; -1), đường cao và trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình tương ứng là 2x- 3y+ 12=0 và 2x+ 3y= 0. 10) Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4; 3), đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh lần lượt là x+2y- 5= 0 và 4x+ 13y- 10= 0. 11) Cho hai đường thẳng (d1): 2x- y+ 1= 0, (d2): x+ 2y- 7= 0. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ và tạo với (d1), (d2) tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d1) và (d2). Tính diện tích tam giác đó. 12) Lập phương trình các cạnh của hình vuông có đỉnh A(-4; 5) và một đường chéo có phương trình là 7x- y+ 8= 0. 13) Cho A(1; 3) và đường thẳng : x- 2y+ 1= 0. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với qua A. 14) Lập phương trình đường thẳng đi qua P(6; 4) và tạo với hai trục toạ độ có diện tích bằng 2. 15) Cho tam giác ABC có đỉnh A(). Hai đường phân giác trong của góc B và C là x- 2y- 1= 0, x+ 3y- 1=0. Viết phương trình cạnh BC của tam giác. 16) Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình các đường thẳng AB, BC lần lượt là x+ 2y- 1=0 và 3x- y+ 5=0. Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng đường thẳng AC đi qua điểm M(1; -3). 17) Cho hai đường thẳng (d1): 2x- y- 5= 0, (d2): 3x+ 6y- 1= 0 và điểm M(2; -1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và tạo với (d1), (d2) tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d1) và (d2). 18) Cho ba điểm A(1; 1), B(2; 0), C(3; 4). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách đều hai điểm B, C. 19) Cho hai điểm A(1; 1) và B(3; 6). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng 2. 20) Cho đường thẳng d có phương trình 8x- 6y- 5= 0. Viết phương trình đường thẳng song song với d và cách d một khoảng bằng 5. Các bài toán định tính 1) Cho đường thẳn : ax+ by+ c= 0. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng : a) Qua trục hoành b) Qua trục tung c) Qua gốc toạ độ 2) Chứng minh rằng diện tích S của tam giác tạo bởi đường thẳng : ax+ by+ c= 0 (a, b, c khác 0) với các trục toạ độ được tính bởi công thức: 3) Cho hai đường thẳng song song : ax+ by+ c=0 và : ax+ by+ d=0. Chứng minh rằng a. Khoảng cách giữa và bằng ; b. Phương trình đường thẳng song song và cách đều và có phương trình dạng . 4) Với điều kiện nào thì các điểm M(x1; y1) và N(x2; y2) đối xứng nhau qua đường thẳng d: ax+ by+ c=0 ? Dạng 3: Lập phương trình đường Tròn 1) Viết phương trình đường tròn đường kính AB trong các trường hợp sau a. A(7; -3), B(1; 7) b. A(-3; 2), B(7; -4). 2) Viết phương trình đường trồn ngoại tiếp tam giác ABC biết toạ độ các đỉnh là A(1; 3), B(5; 6), C(7; 0). 3) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết phương trình các cạnh AB: 3x+ 4y- 6= 0, AC: 4x+ 3y- 1= 0, BC: y= 0. 4) Viếtphương trình đường tròn tiếp xúc với các trục toạ độ và a. Đi qua A(2; -1); b. Có tâm thuộc đường thẳng 3x- 5y- 8= 0. 5) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm A(6; 0) và đi điểm B(9; 9). 6) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(-1; 0), B(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng x- y- 1= 0. Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường Tròn 1) Biện luận theo m vị trí tương đối của đường thẳng : x-my+2m+ 3= 0 và đường tròn (C): x2+ y2+ 2x- 2y- 2= 0. 2) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) tại Athuộc (C) trong mỗi trường hợp sau rồi sau đó vẽ và (C) trên cùng một hệ trục toạ độ a. x2+ y2= 25 , A(3; 4); 3) Cho đường tròn (C) : (x-a)2+ (y-b)2= R2 và điểm Mo(xo; yo)thuộc (C). Chứng minh rằng tiếp tuyến của (C) tại Mo có phương trình: (x- a)(xo- a)+ (y- a)(yo- a)= R2. 4) Cho đường tròn (C): x2+ y2- 2x+ 6y+ 5= 0 và đường thẳng d: 2x+y-1=0.