Giáo án lớp 12 môn Toán - Đường thẳng (tiết 4)

ĐƯỜNG THẲNG I. Phương trình tham số của đường thẳng : Đường thẳng d qua có véctơ chỉ phương có PTTS là : II. Phương trình tổng quát của đường thẳng : Đường thẳng d qua có VTPT là thì có PTTQ là d : Đặc biệt : Cho d : Ax + By + C = 0 . Khi đó : + Nếu d’ // d thì d’ : Ax + By + C’ = 0 . + Nếu thì d’ : Bx – Ay + C’’ = 0 . III. Liên hệ giữa vtcp và vtpt của đường thẳng : Nếu đường thẳng d có VTCP là thì d có VTPT là hoặc Nếu đường thẳng d có VTCP là với thì d có hệ số góc IV. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng : và Ta giải hệ phương trình : (*) + Nếu hệ (*) có nghiệm , ta kết luận d1 cắt d2 tại điểm có toạ độ + Nếu hệ (*) có vô số nghiệm , ta kết luận d1 trùng với d2 . + Nếu hệ (*) vô nghiệm , ta kết luận d1 song song với d2 . CÁCH 2 : Nếu thì d1 và d2 cắt nhau. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ Nếu thì d1 và d2 song song với nhau. Nếu thì d1 và d2 trùng với nhau. V. Góc giữa hai đường thẳng : Gọi là góc giữa 2 đường thẳng và . Khi đó : VI. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : Khoảng cách từ điểm M(xM ; yM ) đến là : VII. Đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau: , VIII. Các đường thẳng thường gặp : 1/. Đường thẳng AB : . 2/. Đường cao AH của tam giác ABC : 3/. Đường trung tuyến AM : Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AM : 4/. Đường trung trực d của đoạn thẳng AB Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Đường thẳng d : BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết : a/. d đi qua A( 3; -5) và có VTCP là . b/. d đi qua D(1 ; 3 ) và có VTCP là . c/. d đi qua B( 3;1) và có VTPT là . d/. d đi qua 2 điểm E( 3 ;5) và F(6 ;2) . Bài 2 : Viết phương trình tổng quát của đường thẳng m biết : a/. Đường thẳng m qua và có VTPT là có PTTQ là : b/. Đường thẳng m qua và có VTPT có PTTQ là : c/. Đường thẳng m qua và có VTCP là VTPT của m là PTTQ của m là : d/. Đường thẳng m qua và có VTCP là VTPT của m là PTTQ của m là : e/. m qua E(-2 ;3) và vuông góc với đường thẳng n : x + 2y – 1 = 0 . do f/. m qua F(2 ;0) và vuông góc với đường thẳng p : 3x + 7y – 2010 = 0 . do g/. m qua G(0 ;4 ) và song song với đường thẳng q : 3x + 6y – 2011 = 0 . do h/. m qua H(-1 ;-1) và song song với đường thẳng t : 7x – 4y – 1 = 0 . do Bài 3 : Viết PTTS và PTTQ của d biết : a/. d qua và có VTCP là PTTS : VTPT là : PTTQ : b/. d qua M(2 ;4) và có hệ số góc là k = 2 Gọi là VTCP của d . Theo giả thiết Chọn PTTS : VTPT là : PTTQ : c/. d qua và có VTPT là VTCP của d là . PTTS : VTPT là : PTTQ : d/. d qua 2 điểm A(2 ;1) và B(-4 ;5) VTCP của d là . PTTS : VTPT là : PTTQ : Bài 4 : Viết PTTS và PTTQ của d biết : a/. d qua và có VTCP là VTCP là : PTTS : VTPT là : PTTQ : b/. d qua và có hệ số góc là Gọi là VTCP của d . Theo giả thiết Chọn PTTS : VTPT là : PTTQ : c/. d qua và có VTPT là VTCP của d là . PTTS : VTPT là : PTTQ : d/. d qua 2 điểm VTCP của d là . PTTS : VTPT là : PTTQ : Bài 5 : Cho điểm và . Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với d ? Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A xuống d ? Tìm toạ độ A’ là điểm đối xứng với A qua d ? a/. Gọi là đường thẳng qua và vuông góc với d nên b/. Gọi I là hình chiếu vuông góc của A xuống d nên Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình : c/. Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d nên I là trung điểm của AA’ . Khi đó Bài 6 : Cho điểm và d : . a/. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M xuống d . b/. Tìm toạ độ M’ là điểm đối xứng với M qua d. a/. Gọi là đường thẳng qua và vuông góc với d nên Gọi I là hình chiếu vuông góc của M xuống d nên Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình : b/. Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua d nên I là trung điểm của MM’ . Khi đó Bài 7 : Cho tam giác ABC có . a/. Viết phương trình tham số , phương trình tổng quát của đường thẳng chứa cạnh AB , BC , AC ? Đường thẳng AB : AB qua nhận làm VTCP có PTTS là : VTPT của AB là Đường thẳng BC : BC qua nhận làm VTCP có PTTS là : VTPT của BC là Đường thẳng AC : AC qua nhận làm VTCP có PTTS là : VTPT của AC là b/. Viết phương trình đường cao AH,BH,CH của tam giác ABC Do đường cao nên AH qua và nhận làm VTPT có PTTQ là : Tương tự, c/. Viết phương trình đường trung tuyến AM,BN,CP của tam giác ABC Gọi M là trung điểm BC nên Đường trung tuyến AM qua và nhận làm VTCP VTPT của AM là Tương tự, Bài 8 : Cho tam giác ABC , biết . a/. Viết phương trình các cạnh AB,BC,AC : Đường thẳng AB : Đường thẳng AB qua nhận làm VTCP VTPT của AB là Đường thẳng BC : Đường thẳng BC qua nhận làm VTCP VTPT của BC là Đường thẳng AC : Đường thẳng AC qua nhận làm VTCP VTPT của AC là b/. Viết phương trình đường cao CH của tam giác ABC Do đường cao nên CH qua và nhận làm VTPT có PTTQ là : c/. Viết phương trình đường trung tuyến BM của tam giác ABC Gọi M là trung điểm AC nên Đường trung tuyến BM qua và nhận làm VTCP VTPT của BM là Bài 9 : Cho tam giác ABC , biết . a/. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng AC ? AC qua nhận làm VTCP có PTTS là : VTPT của AC là b/. Viết phương trình đường cao BH của tam giác ABC Do nên BH qua và nhận làm VTPT có PTTQ là : c/. Viết phương trình đường trung tuyến BM của tam giác ABC Gọi M là trung điểm AC nên Đường trung tuyến BM qua và nhận làm VTCP VTPT của BM là d/. Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm tam giác ABC và song song với AC ? Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Ta có : Do nên d Bài 10 : Cho tam giác ABC , biết . a/. Viết phương trình của đường thẳng BC ? Đường thẳng BC qua nhận làm VTCP VTPT của BC là Viết phương trình của đường cao AH ? Do nên AH qua và nhận làm VTPT có PTTQ là : b/. Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB ? Gọi M là trung điểm AB nên Đường trung trực của đoạn AB qua và nhận làm VTPT có phương trình c/. Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với BC ? Do nên d d/. Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và vuông góc với AC ? Do nên d’ nhận làm VTPT có PTTQ : Bài 11 : Cho tam giác ABC , biết . a/. Viết phương trình của đường thẳng b/. Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC : Đường cao BH của tam giác ABC là : Gọi H là trực tâm của tam giác ABC nên Toạ độ H là nghiệm của hệ phương trình : c/. Tìm toạ độ chân đường cao A’ hạ từ A của tam giác ABC ? Đường thẳng Gọi A’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC nên Toạ độ A’ là nghiệm của hệ phương trình : d/. Viết phương trình đường trung tuyến BM ? Gọi M là trung điểm AC nên Đường trung tuyến BM Bài 12 : Cho tam giác ABC cĩ 1/. CMR : ABC là tam giác vuơng tại A . Ta cĩ : đpcm 2/. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC : Chu vi tam giác ABC : Ta cĩ : Chu vi tam giác ABC là : Diện tích tam giác ABC : Do ABC là tam giác vuơng tại A nên : Hay : diện tích tam giác ABC là : Ta cĩ : Vậy : d/. Viết phương trình của đường thẳng e/. Viết phương trình đường cao CH của tam giác ABC : Đường cao BH của tam giác ABC là : Gọi H là trực tâm của tam giác ABC nên Toạ độ H là nghiệm của hệ phương trình : Bài 13 : Cho tam giác ABC cĩ a/. Viết phương trình của đường thẳng b/. Viết phương trình đường cao BH của tam giác ABC : c/. Viết phương trình đường trung tuyến BM của tam giác ABC : Bài 14 : Cho 3 điểm . Lập phương trình đường thẳng d đi qua M và trung điểm của đoạn thẳng AB . Lập phương trình đường thẳng d’ đi qua M và cách đều 2 điểm A và B . a/. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M và trung điểm của đoạn thẳng AB Gọi I là trung điểm AB nên Đường thẳng d qua và nhận làm VTCP VTPT của d là b/. Lập phương trình đường thẳng d’ đi qua M và cách đều 2 điểm A và B Gọi d’ là đthẳng qua : Theo giả thiết : Khi : chọn Khi : chọn Vậy có 2 đường thẳng thoả điều kiện đề bài là : Bài 15 : Cho tam giác ABC có lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA . a/. Hãy lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của các đường thẳng ? b/. Hãy lập phương trình đường cao BH của tam giác ABC ? c/. Hãy lập phương trình đường trung tuyến hạ từ đỉnh B của tam giác ABC ? a/. Viết PTTS và PTTQ của đường thẳng chứa cạnh AB , BC , AC ? Đường thẳng AB : Đường thẳng AB qua nhận làm VTCP có PTTS là : VTPT của AB là Đường thẳng BC : BC qua nhận làm VTCP có PTTS là : VTPT của BC là Đường thẳng AC : AC qua nhận làm VTCP có PTTS là : VTPT của AC là b/. Viết phương trình đường cao BH của tam giác ABC Do toạ độ B là nghiệm của hệ Mặt khác , Do nên BH qua và nhận làm VTPT có PTTQ là : c/. Viết phương trình đường trung tuyến hạ từ đỉnh B của tam giác ABC Đường trung tuyến BP hạ từ đỉnh B qua nhận làm VTCP VTPT của BP là Bài 16 : Cho điểm . a/. Viết phương trình đường thẳng d’ qua M và vuơng gĩc với đường thẳng d ? b/. Tìm toạ độ hình chiếu vuơng gĩc của điểm M lên đường thẳng d ? Gọi I là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d . Khi đĩ : . toạ độ I là nghiệm của hệ phương trình : c/. Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d ? Do M’ đối xứng với M qua đường thẳng d nên I là trung điểm MM’ Bài 17 : Cho điểm . a/. Viết phương trình đường thẳng d’ qua M và vuơng gĩc với đường thẳng d ? b/. Tìm toạ độ hình chiếu vuơng gĩc của điểm M lên đường thẳng d ? Gọi I là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d . Khi đĩ : . toạ độ I là nghiệm của hệ phương trình : c/. Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d ? Do M’ đối xứng với M qua đường thẳng d nên I là trung điểm MM’ Bài 18 : Cho điểm . a/. Viết phương trình đường thẳng d’ qua M và vuơng gĩc với đường thẳng d ? b/. Tìm toạ độ hình chiếu vuơng gĩc của điểm M lên đường thẳng d ? Gọi I là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d . Khi đĩ : . toạ độ I là nghiệm của hệ phương trình : c/. Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d ? Do M’ đối xứng với M qua đường thẳng d nên I là trung điểm MM’ Bài 19 : Cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng , biết : a/. Đường thẳng qua và song song với đường thẳng d ? Đường thẳng qua và nên b/. vuông góc với d và cắt Ox, Oy lần lượt tại A,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 12 ? Do Do cắt Ox,Oy lần lượt tại A,B nên Theo giả thiết : Vậy : Bài 20 : Cho tam giác ABC có đường cao và . Viết phương trình đường thẳng AC , BC và đường cao CH . Đường thẳng CH : Do toạ độ H là nghiệm của hệ : Mặt khác, Đường thẳng AC : Do toạ độ A là nghiệm của hệ : Mặt khác, Đường thẳng BC : Do toạ độ B là nghiệm của hệ: Mặt khác, Bài 21 : Cho ABC cĩ , phương trình các đường cao . Lập phương trình đường cao AH và các cạnh AB,AC,BC cuả tam giác ABC ? Đường cao AH : Do toạ độ H là nghiệm của hệ VTCP của đường thẳng AH là là VTPT của đường thẳng AH PTTQ của Đường thẳng AB :Do Đường thẳng AC :Do Đường thẳng BC : Do toạ độ B là nghiệm của hệ Mặt khác, Bài 22 : Cho ABC cĩ trọng tâm , các cạnh . a/. Tìm toạ độ đỉnh A và trung điểm M của BC ? b/. Tìm toạ độ đỉnh B và viết phương trình cạnh BC cuả tam giác ABC ? a/. Tìm toạ độ đỉnh A và trung điểm M của BC: Toạ độ A : Do toạ độ A là nghiệm của hệ Toạ độ M : Ta cĩ Do G là trọng tâm ABC nên b/. Tìm toạ độ đỉnh B và viết phương trình cạnh BC cuả tam giác ABC ? Toạ độ B : Gọi Do M là trung điểm BC nên Đường thẳng BC : VTCP là VTPT là Bài 23 : Cho ABC cĩ các cạnh đường cao . Viết phương trình cạnh AB cuả tam giác ABC ? Toạ độ B : Do toạ độ B là nghiệm của hệ Đường thẳng AB : Do Bài 24 : Cho tam giác ABC cĩ . a/. Viết PTTS, PTCT và PTTQ của đường thẳng AB ? PTTS : PTCT : PTTQ: b/. Lập phương trình đường cao AH và đường trung tưyến AM của tam giác ABC ? AH qua A(1;6) cĩ VTPT là cĩ PTTQ : Gọi M là trung điểm của BC nên c/. Viết phương trình đường phân giác trong gĩc A ? Cách 1 : Đường thẳng AC cĩ PTTQ : Đường phân giác gĩc A cĩ dạng : Ta cĩ : B,C nằm về hai phía đối với d1 nên d1 là đường phân giác trong của gĩc A. Cách 2 : Gọi D là chân đường phân giác trong của gĩc A nên toạ độ D thoả mãn : (*) Mà nên d/. Tìm toạ độ hình chiếu của C lên đường thẳng AB ? Suy ra toạ độ C’ đối xứng với C qua AB ? Bài 25 : Cho tam giác ABC cĩ . a/. Viết phương trình của đường trung trực của đoạn thẳng AB ? gọi I là trung điểm của AB nên Gọi d là đường trung trực của đoạn AB nên d qua AB và nhận làm VTPT cĩ PTTQ: b/. Lập phương trình đường cao AH ? Từ đĩ suy ra toạ độ trực tâm H của tam giác ABC ? AH qua A(1;1) cĩ VTPT là cĩ PTTQ : BH qua cĩ VTPT là cĩ PTTQ : Gọi H là trực tâm của tam giác ABC nên toạ độ H là nghiệm của hệ phương trình : c/. Tìm toạ độ I là hình chiếu của A lên đường thẳng BC ? Suy ra toạ độ A’ đối xứng với A qua BC ? d/. Viết phương trình đường phân giác gĩc A của tam giác ABC? Đường thẳng AB cĩ PTTQ : Đường thẳng AC cĩ PTTQ : Đường phân giác gĩc A cĩ dạng : Đường phân giác của gĩc A là : e/. Viết phương trình đường phân giác trong và đường phân giác ngồi của gĩc A của tam giác ABC? Đường phân giác gĩc A cĩ dạng : Ta cĩ nên hai điểm B,C nằm cùng phía đối với d1 hay là đường phân giác ngồi của gĩc A. Đường phân giác trong của gĩc A là Vậy đường phân giác trong gĩc A là . đường phân giác ngồi gĩc A là