Giáo án lớp 12 môn Toán - Đường tròn

Đường tròn Dạng I : lập phương trình đường tròn 1.Phương trình tổng quát của đường tròn : x2+y2-2ax-2by+c =0 (1) Phương trình(1) là đường tròn a2+b2-c 0 . 2. phương trình chính tắc của đường tròn. đường tròn (c) có dạng : (x-a)2 + (y-b)2= R2 gọi là phương trình chính tắc của đường tròn (c) . 3. phương pháp : - Lập phương trình đường tròn thoả mãn điều kiện cho trước . Muốn lập phương trình đường tròn theo (1) ta lập ba ẩn a,b, c . Muốn lập phương trình đường tròntheo (2) ta lập ba ẩn a,b ,R. Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn . Đi qua điểm A(3;1); B(5;5)và tâm I nằm trên trục hoành . Đi qua điểm A(0;1); B(1;0)và tâm I nằm trên đường thẳng (D) : x+y+2=0 Có tâm I(1;1) và tiếp xúc với đường thẳng (D) : 3x+4y-12=0 Có tâm I nằm trên đường thẳng (D) : x-y1=0và tiếp xúc với 2 đường thẳng (D1) : 2x+y-1=0 ; (D2) : 2x-y+2=0 . ĐS : a. (x-10)2 +y2= 50 c. (x-1)2 + (y-1)2= 1 b. x2+y2+2x+2y-3=0 . d. (x-)2 + (y-)2= ; (x-)2 + (y-)2= Ví dụ : Lập phương trình đường tròn . Đi qua điểm A(-1;3); B(1;-5)và tâm I nằm trên trục tung . Có đường kính A(1;1); B(7;5) Có tâm I(5;6) và tiếp xúc với đường thẳng (D) : 3x-4y-6=0 Có tâm I nằm trên đường thẳng (D) : x-6y-10=0và tiếp xúc với 2 đường thẳng (D1) : 3x+4y+5=0 ; (D2) : 4x-3y-5=0 . ĐS : a. x2 +(y+1)2= 17 c. (x-5)2 + (y-6)2= 1 b. (x-4)2 + (y-3)2= 13 . d. (x-10)2 + y2= 49 ; (x+)2 + (y+)2= Ví dụ2 : Cho họ đường tròn : x2+y2-2mx+2(m+1)y-12 =0 Tìm quy tích tâm của họ đường tròn . Với giá trị nào của m thì R bé nhất Với m = 2 . Tính k/c ngắn nhất giữa (C2) và (D) : 3x-4y+12=0 ĐS: a. y=-1-x ; b. m=-2 thì MinR = 23/2 ; c. d(I;D) – R = 1 Dạng II: Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn . phương pháp : Cho đường tròn : x2+y2-2ax-2by+c =0 (1) hoặc(x-a)2 + (y-b)2= R2 có I(a;b) và bán kính R Cách 1: Biết tiếp điểm M(x0;y0)ta sử dụng phương pháp nhân đôI toạ độ ta được phương trình tiếp tuyến như sau : x.x0+y.y0-a(x-x0) –b(y-y0) +c = 0 hoặc (x-a)(x0-a)+ (y-b)(y0-b) = R2 Khi không biết toạ độ tiếp điểm .(Đi tìm tiếp điểm rồi dùng phương pháp phương phápân đôi toạ độ ) Giả sử đường tròn cốtạ độ tiếp điểm M(x0;y0) . khi đó phương trình tiếp tuyến : : x.x0+y.y0-a(x-x0) –b(y-y0) +c = 0 hoặc (x-a)(x0-a)+ (y-b)(y0-b) = R2 M(C) x20+y20-2ax0-2by0+c =0 (1) hoặc(x0-a)2 + (y0-b)2= R2 Sử dụng giả thiết để thiết lập phương trình theo x0; y0 . suy ra x0; y0 . Ví dụ 3: cho đường tròn có phương trình : x2+y2-2x-8y-8=0 . Viết phương trình tiếp tuyến đi qua M(4;0) ĐS : 3x-4y-12=0 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua M(-4;-6) ĐS 3x-4y-12=0 và x+4 =0 Ví dụ 4 : Cho đường tròn (C) có phương trình x2+y2-2x-6y+9=0 . Viết phương trình tiếp tuyến song song (D) : x-y=0 Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc (D) : 3x-4y=0 Viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến tạo với (D) : 2x-y=0. ĐS : a. x-y+2+=0 ; x-y+2-=0 b. 4x+3y-18=0 ; 4x+3y-8=0 c. x-3y+8-=0 ; x-3y+8+=0 ; 3x+y+6+=0 ; 3x+y+6-=0 Dạng III: Vị trí tương đối 1.Vị trí tương đối của đường tròn và đường thẳng . Phương pháp 1 : Dùng công thức khoảng cách . Phương pháp 2 : Xét sự tương giao của 2 đường . Ví dụ5 : xét vị trí tương đối của(D) và đường tròn (C) : a. (D) : x+y-4=0 và (C) : x2+y2+2x+2y+1=0 . ĐS: (D)(C)= f b. (D) : 3x+4y-12=0 và (C) : x2+y2-2x-2y+1=0 .ĐS : (D)(C)= H() c. (D) : 2x-y-5=0 và (C) : x2+y2-20x+50=0 . .ĐS : (D)(C) ≠ f và A(3;1); B(5;5). 2. Vị trí tương đối của 2 đường tròn . Ví dụ 6 : Vị trí tương đối của 2 đường tròn có phương trình : x2+y2-1=0 và x2+y2-2x-2y+1 =0 ĐS: A(0;1); B(1;0). Dạng IV : Chùm đường tròn . phương trình đường tròn đi qua giao điểm của đường thẳng (D) : Ax+By+C=0 và (C) : x2+y2-2ax-2by+c =0 có dạng : x2+y2-2ax-2by+c +m(Ax+By+C) =0 Ví dụ7: Cho đường tròn (C) x2+y2-1=0 và (D) : x+y-1=0 .Lập phương trình đường tròn (S)đi qua giao điểm của đường tròn (C) và (D) . (S)đi qua A(2;1) . (S) có tâm thuộc đường thẳng (D1) : 2x-y-2=0 . (S) tiếp xúc với đường thẳng (D2) : 2x-y-2=0 . ĐS : a. x2+y2-2x-2y+1 =0 b. x2+y2-4x-4y+3 =0 c. x2+y2-x-y- =0 phương trình đường tròn đi qua giao điểm của đường thẳng (C1) : x2+y2-2a1 x-2b1 y+c1 =0 và (C2) : x2+y2-2a2 x-2b2 y+c2 =0 có dạng : m(x2+y2-2a1 x-2b1 y+c1) +n(x2+y2-2a2 x-2b2 y+c2) =0 với m;nR và m2+n2 >0 Ví dụ 8: Cho 2 đường tròn (C1): x2+y2-1=0 và (C2) : x2+y2-4x=0 . CMR : (C1) và (C2) cắt nhau . Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm (C1) và (C2) và đi qua M(3;0) Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm (C1) và (C2) và tiếp xúc với (D) : x+y-2=0 .ĐS : b.11 x2+11y2-32x-3=0 . x2+y2-x-1=0 ; x2+y2-x-1=0 . Bài tập1 : Cho họ đường tròn (Cm) : x2+y2-2mx-2(m+1)y+2m-1=0 . a.CMR khi m thay đổi (Cm) luôn đi qua một điểm cố định . b.CMR với mọi m (Cm) luôn cắt trục tung tại 2 điểm phương phân biệt . ĐS : a. A(1;0); B(-1;2). Bài tập 2 . Cho đường tròn (C) x2+y2-2x+4y-20 =0 và (D) : x-7y+10=0 .Lập phương trình đường tròn (S)đi qua giao điểm của đường tròn (C) và (D) và đi qua A(2;1) . Bài 3: Cho 2 đường tròn (C1): x2+y2-2x+4y-4=0 và (C2) : x2+y2+2x-2y-14=0 . CMR : (C1) và (C2) cắt nhau Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm (C1) và (C2) và đi qua M(0;1) Bài 4 : Cho đường tròn (C) x2+y2-4x-52=0 và (D) : x-5y-2=0 .Lập phương trình đường tròn (S)đi qua giao điểm của đường tròn (C) và (D) . (S)đi qua A(4;-5) . (S) có tâm thuộc đường thẳng (D1) : x+y+2=0 . (S) tiếp xúc với đường thẳng (D2) : y-5=0 .