Giáo án lớp 12 môn Toán - Hàm số và các bài toán liên quan hàm số

HÀM SỐ & CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN HÀM SỐ 1 Bài 1 : Cho hàm số (Cm) . Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3 . Chứng tỏ rằng tiếp tuyến của (Cm) tại điểm uốn của nó luôn qua 1 điểm có tọa độ không đổi khi m thay đổi . Bài 2 : Cho hàm số có đồ thị (C) . Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số . Định các giá trị m để đường thẳng (d) : mx – y – m = 0 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A , B . Xác định m để độ dài đoạn AB ngắn nhất . Bài 3 : Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu . Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 . Định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt . Bài 4 : Cho hàm số (C) và điểm M thuộc (C) . Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại P và Q . Chứng minh MP = MQ . Bài 5 : Cho hàm số (Cm) . Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3 . Tìm m để hàm số luôn luôn đồng biến trên khoảng Bài 6 : Cho hàm số (1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 . Chứng minh rằng hàm số (1) luôn có giá trị cực đại (yCD) và giá trị cực tiểu (yCT) với mọi giá trị m . Tìm các giá trị m để . Bài 7 : Cho hàm số . Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Gọi I là tâm đối xứng của (C) . Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc đường thẳng IM . Bài 8 : Cho hàm số (1) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 8 . Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục trục hoành tại 4 điểm phân biệt . Bài 9 : Cho hàm số (1) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 . Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) có 3 cực trị . Bài 10 : Cho hàm số (1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = -1 . Định m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương . 2 ĐƯỜNG THẲNG & MẶT PHẲNG TRONG HỆ (OXYZ) Bài 1 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M lên mặt phẳng (P). ° Viết phương trình đường thẳng d qua M và d vuông góc (P) . ° H là giao điểm của d & (P) . Aùp dụng : Tìm hình chiếu vuông góc H của M(2,3,-1) lên mặt phẳng (P) :2x – y – z – 5 = 0 Bài 2 : Tìm điểm M’ đối xứng điểm M qua mặt phẳng (P) . ° Viết phương trình đường thẳng d qua M và d vuông góc (P) . ° Tìm điểm H là giao điểm của d & (P) . ° H là trung điểm MM’ suy ra tọa độ M’ Aùp dụng : Tìm điểm M’ đối xứng của M(2,3,-1) qua mặt phẳng (P) :2x – y – z – 5 = 0 . Bài 3 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M lên đường thẳng d . ° Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và (P) vuông góc d . ° H là giao điểm của d & (P) . Aùp dụng : Tìm hình chiếu vuông góc H của M(1,2,-1) lên đường thẳng d có phương trình . Bài 4 : Tìm điểm M’ đối xứng điểm M qua đường thẳng d . ° Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và (P) vuông góc d . ° Tìm điểm H là giao điểm của d & (P) . ° H là trung điểm MM’ suy ra tọa độ M’ Aùp dụng : Tìm điểm M’ đối xứng của M(1,2,-1) qua đường thẳng d có phương trình . Bài 5 : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M ( hoặc song song d’ hoặc vuông góc mp(R) ) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 . ° Viết phương trình mp(P) chứa d1 và qua M ( hoặc // d’ hoặc vuông góc (R) . ° Viết phương trình mp(Q) chứa d2 và qua M ( hoặc // d’ hoặc vuông góc (R) . ° Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) . Aùp dụng : Viết phương trình đường thẳng d qua M(1,5,0) và cắt hai đường thẳng d1: , d2: Bài 6 : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc hai đường thẳng d1 , d2 . ° Viết phương trình mp(P) vuông góc d1 và qua M . ° Viết phương trình mp(Q) vuông góc d2 và qua M . ° Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) . Aùp dụng : Viết phương trình đường thẳng d qua M(1,1,1) và vuông góc hai đường thẳng d1: , d2: Bài 7 : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M song song mp(R) và vuông góc đường thẳng d’ . ° Viết phương trình mp(P) qua M và (P) // (R) . ° Viết phương trình mp(Q) vuông góc d’ và qua M . ° Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) . Aùp dụng : Viết phương trình đường thẳng d qua M(1,1,-2) song song mp(R) : x – y – z – 1 = 0 và vuông góc đường thẳng d’: . Bài 8 : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vuông góc đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 . ° Viết phương trình mp(P) qua M và (P) vuông góc d1 . ° Viết phương trình mp(Q) qua M và chứa d2 . ° Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) . Aùp dụng : Viết phương trình đường thẳng d qua M(1,1,0) vuông góc đường thẳng d1: , d2: Bài 9 : Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P) . ° Viết phương trình mp(Q) chứa d và (Q) vuông góc (P) . ° Đường thẳng d’ là giao tuyến của (P) và (Q) . Aùp dụng : Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: lên mặt phẳng(P) : 2x + y – z – 8 = 0 . Bài 10 : Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau . ° Viết phương trình mp(P) chứa d1 và nhận véc tơ chỉ phương . ° Viết phương trình mp(Q) chứa d2 và nhận véc tơ chỉ phương . ° Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) . Aùp dụng : Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 : và d2 : 3 CÁC BÀI TẬP TRONG HỆ TỌA ĐỘ (OXYZ) Bài 1 : Cho hai đường thẳng và . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song d2 . Cho điểm M(2,1,4) . Tìm Hd2 sao cho MH nhỏ nhất . Bài 2 : Cho mặt phẳng (P) : x – y + 2 = 0 và đường thẳng dm:. Định m để dm song song mặt phẳng (P) . Bài 3 : Cho mặt phẳng (P) : x – y + z +3 = 0 và hai điểm A(-1,-3,-2) , B(-5,7,12) . Tìm điểm A’ đối xứng A qua mặt phẳng (P) . Điểm M chạy trên (P) . Tìm giá trị nhỏ nhất của MA + MB . Bài 4 : : Cho đường thẳng và mặt phẳng (P) :4x – 2y + z – 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên (P) . Bài 5 : Cho hai đường thẳng và . Tìm a để d1 cắt d2 . Khi a = 2 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d2 và (P) song song d1 . Bài 6 : Cho đường thẳng d và mặt cầu (S) ; (S) : . Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm MN sao cho MN = 8 . Bài 7 : Cho hai đường thẳng và . Chứng minh d1 vừa chéo và vừa vuông góc d2 . Viết phương trình đường thẳng d cắt cả d1 , d2 và đồng thời song song đường thẳng . Bài 8 : Cho đường thẳng d : và ba điểm A(2,0,1) , B(2,-1,0) , C(1,0,1) . Tìm điểm S thuộc đường thẳng d sao cho nhỏ nhất . Bài 9 : Cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – m2 – 3m = 0 và mặt cầu (S) có phương trình : . Tìm m để (P) tiếp xúc (S) , khi đó tìm tiếp điểm của (P) và (S) . Bài 10 : Cho điểm M(1,2,-2) và mặt phẳng (P): 2x + 2y + 2z + 5 = 0. Lập phương trình mặt cầu (S) tâm M sao cho (S) cắt (P) theo một đường tròn có chu vi là . Bài 11 : Tìm tâm và bán kính đường tròn (C): Bài 12 : Lập phương trình mặt cầu (S) tâm A(1,2,-1) và (S) tiếp xúc đường thẳng 4 TÍCH PHÂN & CÁC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. Phần tích phân : Tính các tích phân sau : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. B. Phần ứng dụng tích phân : Bài 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : 1. , trục hoành và đường thẳng (d) : y = x – 2 . 2. (C) : và (C’) : . 3. (C) : và hai tiếp tuyến của (C) tại A(0,-3) và B(3,0) . 4. (C) : , (C’) : và trục tung với . 5. (C) : và tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với oy . 6. (C) : , trục hoành và đường thẳng x = 1 . 7. (C) :, đường thẳng (d) : y = - x + 3 và trục tung . 8. (C) :và (C’) :. 9. (C) :, trục hoành, trục tung và đường thẳng . 10. (C) :, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 . 11. (C) : và đường thẳng (d) : y = x + 3 . 12. (C) : và tiếp tuyến của (C) qua . 13. Parabol chia diện tích hình tròn theo tỉ số nào ? 14. (E) : Bài 2 :Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau và quay quanh trục đã chỉ . (H) giới hạn bởi hai đường (C) : và trục hoành khi quay (H) quanh Ox . (H) giới hạn bởi hai đường (C) : x(y+1) = 2 , trục tung , hai đường thẳng y = 0 , y = 3 khi quay (H) quanh Oy . (H) giới hạn bởi hai đường (C) : , khi quay (H) quanh Ox . (H) giới hạn bởi hai đường (C) : y = sinx , (C’) y = cosx , hai đường thẳng , khi quay (H) quanh Ox . (H) giới hạn bởi (C) : , (C’) : khi quay (H) quanh Ox . (H) giới hạn bởi (C) : , y = 0 , x = 0 , khi quay (H) quanh Ox . (H) giới hạn bởi elip : , khi quay (H) quanh Ox . (H) giới hạn bởi elip : , khi quay (H) quanh Oy . 9. (H) giới hạn bởi (C) : và y = 0 , khi quay (H) quanh Oy . 10. (H) giới hạn bởi đường tròn tâm A(2,0) bán kính R = 1 khi quay (H) quanh Oy 11. (H) giới hạn bởi (C) : và (C’) : khi quay (H) quanh Ox 5 PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT ° Các phương pháp : giải pt & bpt mũ và logarit thường dùng các cách sau : - Biến đổi pt , bpt về cùng cơ số . - Sử dụng ẩn phụ . - Cách giải đặc biệt : Tìm nghiệm x0 và chứng minh x0 là nghiệm duy nhất . ° Tóm tắt các vấn đề cơ bản: ° ( cơ số a là hằng số dương ) ° ( cơ số a dương khác 1 ) ° Nếu a > 1 thì : ( Điều kiện của logarit ) Nếu 0 < a < 1 thì : (Điều kiện của logarit ) Bài tập : Giải các phương trình , bất phương trình & hệ phương trình sau : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 6 ĐẠI SỐ TỔ HỢP & NHỊ THỨC NIUTƠN Bài 1 : Tìm số cạnh của một đa giác lồi biết rằng số cạnh và số đường chéo của đa giác này bằng nhau . Bài 2 : Tìm k sao cho các số lập thành một cấp số cộng . Bài 3 : Cho tập hợp . Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123 . Bài 4 : Người ta viết các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 lên các tấm phiếu , sau đó sếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng . Có bao nhiêu số chẵn , bao nhiêu số lẻ được xếp thành . Bài 5 : Cho 10 câu hỏi trong đó có 4 câu LT và 6 câu BT . Người ta tạo thành một đề thi từ các câu hỏi đó . Biết rằng mỗi đề thi gồm 3 câu , trong đó nhất thiết phải có 1 câu LT và 1 câu BT . Hỏi có bao nhiêu cách tạo đề thi . Bài 6 : Cho tập hợp . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X sau cho một trong ba chữ số đầu tiên phải là 1 . Bài 7 : Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh có bán kính giống nhau vào một dãy gồm 7 ô trống . Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 bi xanh cạnh nhau và 3 bi đỏ cạnh nhau . Bài 8 : Biển số xe mô tô là một dãy gồm 4 chữ số đứng trước, kế đến là một chữ cái lấy từ 26 chữ cái A , B , , Z và cuối cùng là một chữ số khác chữ số 0 Hỏi có bao nhiêu biển số khác nhau được lập nên như vậy . Bài 9 : Chứng minh rằng với mọi số n, k, là số chính phương Bài 10 : Khai triển nhị thức có tổng tất cả các hệ số là 1024 . Tìm hệ số của số hạng chứa . Bài 11 : Cho đa thức . Khai triển và rút gọn ta được đa thức Hãy xác định hệ số a9 Bài 12 : Chứng minh Bài 13 : Khai triển có số hạng thứ tư là 20n . Biết rằng . Tìm n và x . Bài 14 : Khai triển có hệ số của ba số hạng đầu lập thành một cấp số cộng , tìm số hạng chứa x có số mũ nguyên dương chẵn . Bài 15 : Tìm n nguyên dương sao cho . Bài 16 : Tìm tất cả các giá trị x nguyên dương sao cho : Bài 17 : Tìm hệ số của số hạng chứa của khai triển biết rằng : 7 CÁC BÀI TẬP TRONG HỆ TỌA ĐỘ (OXY) Bài 1 : Cho điểm A( 2, 4 ) . Viết phương trình đường trung trực (d) của đoạn OA , suy ra phương trình đường tròn (C) có tâm I trên trục hoành và qua hai điểm O , A . Bài 2 : Cho tam giác ABC , hai cạnh AB , AC theo thứ tự có phương trình x + 2y – 2 = 0 và 2x + 6y + 3 = 0 , Cạnh BC có trung điểm M( - 1 , 1 ) . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Bài 3 : Cho elip (E) :và điểm M( 1 , 1 ) . Tứ M kẻ hai tiếp tuyến MT , MT’ (T , T’ là các tiếp điểm ) với (E) . Viết phương trình đường thẳng TT’ . Bài 4 : Cho 2 điểm A( - 1 , 2 ) , B( 3 , 4 ) . Tìm điểm C trên đường thẳng d :x – 2y + 1 = 0 sao cho tam giác ABC vuông tại C . Bài 5 : Cho đường thẳng (d) : x – y + 1 = 0 và đường tròn (C) : . Tìm trên (d) điểm M mà qua đó kẻ được 2 đường thẳng tiếp xúc (C) tại A , B sao cho góc AMB là 600 . Bài 6 : Cho đường thẳng (d) : x – y – 1 = 0 và đường tròn (C) : . Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng (C) qua (d) . Tìm giao điểm của (C) và (C’) . Bài 7 : Viết phương trình đường thẳng (D) qua A(8,0) và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích là 6 . Bài 8 : Tam giácABC vuông cân tại A có trọng tâm và M( 1 , -1 ) là trung điểm BC . Tìm A , B , C . Bài 9 : Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn biết tiếp tuyến qua A(2,1) . Viết phương trình đường thẳng qua 2 tiếp điểm . Bài 10 : A(4,3) , B(2,7) , C(-3,-8) , AD là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm ABC. Chứng minh BHCD là hình bình hành . Bài 11 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn : (C) :và (C’) : Bài 12 : Cho tam giác ABC với A(3,3) , B(2,-1) , C(11,2) . Viết phương trình đường thẳng (D) qua A chia tam giác thành hai phần và tỉ số diện tích của hai phần ấy là 2 . Bài 13 : Cho hình chữ nhật OABC theo chiều thuận có A(2,1) và OC = 2OA .Tìm B , C . Bài 14 : Hình thoi có một đường chéo có phương trình : x + 2y – 7 = 0 , môt cạnh có phương trình : x + 7y – 7 = 0 , một đỉnh (0,1) . Tìm phương trình các cạnh hình thoi Bài 15 : A(1,-1) , B(3,2) . Tìm M trên Oy để MA2 + MB2 nhỏ nhất . Bài 16 : Cho đường tròn (Cm) : . a. Định m để (Cm) là một đường tròn . b. Tìm m để từ A(7,0) kẻ được hai tiếp tuyến với (Cm) và hai tiếp tuyến hợp với nhau góc 600 Bài 17 : Viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết đỉnh A(1,3) , phương trình hai trung tuyến : x – 2y + 1 = 0 , y – 1 = 0 . Bài 18 : A(cost , sint ) , B(1+ cost , - sint ) , C(- cost ,1+ sint ) với . Tìm t để : a. A , B , C thẳng hàng . b. ABC vuông tại A . 8 HỆ PHƯƠNG TRÌNH & HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1 : Giải hệ phương trình . Bài 2 : Giải hệ phương trình . Bài 3 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm . Bài 4 : Giải hệ phương trình . Bài 5 : Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x >1 , y > 0 . Bài 6 : Giải hệ phương trình . Bài 7 : Giải hệ phương trình . Bài 8 : Giải hệ phương trình :. Bài 9 : Giả sử x , y là các nghiệm của hệ phương trình . Xác định a để tích P = xy lớn nhất . Bài 10 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm . Bài 11 : Giải hệ phương trình . Bài 12 : Giải hệ phương trình . Bài 13 : Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm . Bài 14 : Giải hệ phương trình . Bài 15 : Giải hệ phương trình . 9 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A , cạnh BC = a . Trên đường vuông góc mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC . Bài 2 : Cho lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Lấy điểm M thuộc AD’ , điểm N thuộc BD sao cho AM = DN = x (). Tìm x theo a để độ dài MN nhỏ nhất . Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . SA vuông góc mặt phẳng (ABCD) , SA = a . Kẻ AH vuông góc SB tại H và AK vuông góc SD tại K . Chứng minh SC vuông góc (AHK) và tính diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AHK) . Bài 4 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là 1 . Điểm M , O lần lượt là trung điểm A’D’ và BD . Tính khoảng cách giữa MO và AC’ và tìm góc giữa hai mặt phẳng (MAO) và (DCC’D’) . Bài 5 : Trên các tia Ox , Oy , Oz đôi một vuông góc , lần lượt lấy các điểm khác O là M , N và S với OM = m , ON = n và OS = a . Cho a không đổi và m , n thay đổi sao cho m + n = a . Xác định vị trí điểm M và N sao cho thể tích hình chóp S.OMN đạt giá trị lớn nhất . Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên là a và mặt chéo SAC là tam giác đều . Tìm tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Qua A dựng mặt phẳng () vuông góc với SC . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng () và hình chóp . Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy là . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và . Bài 8 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , BC =2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi M là trung điểm SC . Chứng minh tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a . Bài 9 : Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt bên tạo với đáy góc . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài 10 : Cho lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Tìm điểm M thuộc cạnh AA’ sao cho mặt phẳng (BD’M) cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất . Bài 11 : Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau có giao tuyến là đường thẳng d . Trên d lấy hai điểm A , B với AB = a . Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C , trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC và BD cùng vuông góc d và AC = BD = AB . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a . Bài 12 : Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a , BC = b . Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc nhau và góc BDC là 900 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b .