Giáo án lớp 12 môn Toán - Hình học giải tích trong không gian

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 1 ĐỀ THI ĐẠI HỌC: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Đề 01: A- 2012 (1) Cho đường thẳng 1 2 : 1 2 1 x y z d + − = = và ( )0;0;3I . Viết phương trình mặt cầu tâm (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông cân tại I. Bài giải: Vectơ chỉ phương của d là ( )1;2;1a =
. Gọi H là trung điểm AB, suy ra IH AB⊥ . Ta có ( ) ( )1;2 ; 2 1;2 ; 1H t t t d IH t t t− + ∈ ⇒ = − − 
1 2 2 2 . 0 1 4 1 0 ; ; . 3 3 3 3 IH AB IH a t t t t IH  ⊥ ⇔ = ⇔ − + + − = ⇔ = ⇒ = − −    


Tam giác IAH vuông cân tại H, suy ra bán kính mặt cầu (S) bằng 2 6 2 . 3 S IA IH= = = Do đó, phương trình mặt cầu (S): ( )22 2 83 3 x y z+ + − = . Đề 02: A- 2012 (2) Cho đường thẳng 1 2 : 2 1 1 x y z d + − = = , mặt phẳng (P): 2 5 0x y z+ − + = và điểm ( )1; 1;2A − . Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn MN. Bài giải: Ta có: 1 2 : 2 x t d y t z t = − +  =  = + . Gọi ( )1 2 ; ;2M t t t d− + + ∈ Do A là trung điểm của MN, suy ra ( )3 2 ; 2 ;2N t t t− − − − . Mặt khác: ( ) ( ) ( )3 2 2 2 2 5 0 2 3;2;4N P t t t t M∈ ⇔ − − − − − + = ⇔ = ⇒ . Đường thẳng ∆ đi qua A và M có phương trình: 1 1 2 2 3 2 x y z− + − = = . Đề 03: B- 2012 (1) Cho đường thẳng 1 : 2 1 2 x y z d − = = − và hai điểm ( ) ( )2;1;0 , 2;3;2A B − . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc d . Bài giải: Gọi (S) là mặt cầu cần viết phương trình và I là tâm của (S). Do ( )1 2 ; ; 2I d I t t t∈ ⇒ + − . Do ( ), A B S∈ suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 222 1 1 4 2 3 3 2 2 1IA IB t t t t t t t= ⇔ − + − + = + + − + + ⇔ = − Do đó ( )1; 1;2I − − , suy ra bán kính của (S): 17R IA= = . Vậy phương trình (S): ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 17.x y z+ + + + − = Đề 04: B- 2012 (2) Cho ( ) ( )0;0;3 , 1;2;0A M . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM. Bài giải: Do , B Ox C Oy∈ ∈ nên tọa độ B, C có dạng ( ) ( );0;0 , 0; ;0 B b C c . Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra ; ;1 3 3 b c G      . Ta có ( )1;2; 3AM = − 
nên đường thẳng AM có phương trình: 3 1 2 3 x y z − = = − . Do 22 43 6 3 bb c G AM c =− ∈ ⇔ = = ⇔  =−  . Do đó phương trình mặt phẳng (P): 1 6 3 4 12 0. 2 4 3 x y z x y z+ + = ⇔ + + − = Đề 05: D- 2012 (1) Cho mặt phẳng (P): 2 2 10 0x y z+ − + = và điểm ( )2;1;3I . Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4. Bài giải: Gọi H là hình chiếu của I trên (P), suy ra H là tâm đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cần viết phương trình. Ta có: ( )( ), 3dIH I P= = , bán kính mặt cầu (S): 2 23 4 5R = + = . Phương trình mặt cầu (S): ( ) ( ) ( )2 2 22 1 3 25.x y z− + − + − = Đề 06: D- 2012 (2) Cho đường thẳng 1 1 : 2 1 1 x y z d − + = = − và hai điểm ( ) ( )1; 1;2 , 2; 1;0 A B− − . Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M. Bài giải: Do M d∈ nên tọa độ M có dạng ( )1 2 ; 1 ; .M t t t+ − − Ta có ( ) ( )2 ; ; 2 , 1 2 ; ; . AM t t t BM t t t= − − = − + − 

Theo giả thiết, tam giác AMB vuông tại M ( ) ( )2. 0 2 1 2 2 0AM BM t t t t t⇔ = ⇔ − + + + − = 

2 0 6 4 0 2 3 t t t t = ⇔ − = ⇔  =  . Do đó có 2 điểm M thỏa yêu cầu bài toán là ( ) 7 5 21; 1;0 , ; ; 3 3 3 M M  − −    . Đề 07: A- 2011 (1) Cho hai điểm ( ) ( )2;0;1 , 0; 2;3−A B và mặt phẳng ( ) : 2 4 0.− − + =P x y z Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho 3= =MA MB . Bài giải: Gọi ( ); ;M x y z , ta có ( )∈M P và ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 2 4 0 2 1 9 2 3 9  − − + =  = ⇔ − + + − =  + + + − = x y z MA MB x y z x y z ( ) ( )2 2 22 2 4 0 2 2 2 0 3 7 11 4 02 1 9  − − + = = −   ⇔ + − + = ⇔ =    − + =− + + − =  x y z x y x y z z y y yx y z Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 3 ( ) ( ); ; 0;1;3⇔ =x y z hoặc ( ) 6 4 12; ; ; ; 7 7 7  = −    x y z . Vậy ta có ( )0;1;3M hoặc 6 4 12; ; 7 7 7  −    M . Đề 08: A- 2011 (2) Cho mặt cầu ( ) 2 2 2: 4 4 4 0+ + − − − =S x y z x y z và điểm ( )4;4;0A . Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. Bài giải: (S) có tâm ( )2;2;2 ,I bán kính 2 3.=R Nhận xét: O và A cùng thuộc (S). Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp 4 2 3 3 = = OA r . Khoảng cách: ( )( ) 2 2 2d , 3 = − =I P R r (P) đi qua O có phương trình dạng: ( )2 2 20 0 (*)+ + = + + >ax by cz a b c (P) đi qua A, suy ra: 4 4 0 .+ = ⇒ = −a b b a ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d , 2 3 . 32 2 + + = = ⇒ = ⇒ + = ⇒ = ± + + + + a b c c c I P a c c c a a b c a c a c Theo (*) suy ra (P): 0− + =x y z hoặc 0− − =x y z . Đề 09: B- 2011 (1) Cho đường thẳng 2 1 : 1 2 1 − + ∆ = = − − x y z và mặt phẳng ( ) : 3 0.+ + − =P x y z Gọi I là giao điểm của ∆ và ( )P . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với ∆ và 4 14=MI . Bài giải: Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: ( ) 2 1 1;1;11 2 1 3 0 − + = = ⇒− −  + + − = x y z I x y z Gọi ( ); ;M a b c , ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 0 : 2 2 0 4 14 1 1 1 224  + + − = ⊥ ∆  ∈ ⇔ − − + =  =  − + − + − = a b c MI M P a b c MI a b c ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 3 4 1 2 2 3 3 224  = −  ⇔ = − +  − + − + − + = b a c a a a a ( ) ( ); ; 5;9; 11⇔ = −a b c hoặc ( ) ( ); ; 3; 7;13= − −a b c . Vậy ta có ( )5;9; 11−M hoặc ( )3; 7;13− −M . Đề 10: B- 2011 (2) Cho đường thẳng 2 1 5 : 1 3 2 + − + ∆ = = − x y z và hai điểm ( )2;1;1 ,−A ( )3; 1;2− −B . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho ∆MAB có diện tích bằng 3 5. Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 4 Bài giải: Gọi ∈∆M , suy ra tọa độ M có dạng ( )2 ;1 3 ; 5 2 .− + + − −M t t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 ;3 ; 6 2 ; 1; 2;1 , 12; 6; 0 3 5 12 6 180 12 0 12∆ ⇒ = − − = − −  ⇒ = − − +  = = ⇔ + + + + = ⇔ + = ⇔  = − 



MAB AM t t t AB AM AB t t t t S t t t t t t Vậy ( )2;1; 5− −M và ( )14; 35;19− −M . Đề 11: D- 2011 (1) Cho điểm ( )1;2;3A và đường thẳng 1 3: 2 1 2 + − = = − x y z d . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox. Bài giải: Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với d, có phương trình: 2 2 2 0.+ − + =x y z Gọi B là giao điểm của trục Ox với (P), suy ra ∆ là đường thẳng đi qua các điểm A, B. Ta có: ( );0;0∈ ⇒B Ox B b thỏa mãn phương trình ( )2 2 0 1;0;0 .+ = ⇒ −b B Phương trình 1 2 : 2 2 3 3 = +  ∆ = +  = + x t y t z t Đề 12: D- 2011 (2) Cho đường thẳng 1 3 : 2 4 1 − − ∆ = = x y z và mặt phẳng ( ) : 2 2 0.− + =P x y z Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆ , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mp(P). Bài giải: Gọi I là tâm của mặt cầu. Do ( )1 2 ;3 4 ;∈∆⇒ + +I I t t t . Mặt cầu tiếp xúc với (P) ( )( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 4 2 2 d , 1 1 3 1 + − + + = ⇔ = ⇔ = ⇔  = − t t t t I P t Suy ra ( )5;11;2I hoặc ( )1; 1; 1− − −I . Phương trình mặt cầu: ( ) ( ) ( )2 2 25 11 2 1− + − + − =x y z hoặc ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 1+ + + + + =x y z Đề 13:A- 2010 (1) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1 2 : 2 1 1 − + ∆ = = − x y z và mặt phẳng (P): 2 0− + =x y z . Gọi C là giao điểm của ∆ và (P), M là một điểm thuộc ∆ . Tính khoảng cách từ M đến mp(P), biết 6=MC . Bài giải: Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương ( )2;1; 1= −
v và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ( )1; 2;1= −
n . Gọi H là hình chiếu của M trên (P), ta có: ( )cos cos , .=

HMC v n Ta có: ( )( )  ( ) 2 2 1 1d , .cos . cos , 6. 6 6 6 − − = = = = =

M P MH MC HMC MC v n ∆ M HC P Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 5 Đề 14: A- 2010 (2) Cho điểm (0;0; 2)−A và 2 2 3 : 2 3 2 + − + ∆ = = x y z . Tính khoảng cách từ A đến ∆ . Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B, C sao cho 8=BC . Bài giải: Đường thẳng ∆ đi qua điểm ( )2;2; 3− −M , nhận ( )2;3;2=
v làm vectơ chỉ phương. Ta có: ( ) ( )2; 2;1 , 7;2; 10 = − ⇒ = −  


MA v MA Suy ra: ( ) , 49 4 100 d , 3 4 9 4   + + ∆ = = = + + 


v MA A v Gọi (S) là mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại B và C sao cho 8=BC . Suy ra bán kính của (S) là: 5=R . Đề 15: B- 2010 (1) Trong kh«ng gian täa ®é Oxyz, cho c¸c ®iÓm (1;0;0), (0; ;0), (0;0; ), A B b C c trong ®ã , 0 vµ mÆt ph¼ng ( ) : 1 0. X¸c ®Þnh vµ , biÕt mÆt ph¼ng (ABC) vu«ng 1 gãc víi mÆt ph¼ng (P) vµ kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn mÆt ph¼ng (ABC) b»ng . 3 > − + =b c P y z b c Bài giải: Mặt phẳng (ABC) có phương trình: 1 1 + + = x y z b c . Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P): 1 0− + =y z , suy ra: 1 1 0− = b c (1) Ta có: ( )( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 d O, ABC 8 3 31 1 1 = ⇔ = ⇔ + = + + b c b c (2) Từ (1) và (2), do , 0>b c suy ra 1 2 = =b c . Đề 16: B- 2010 (2) 1 Trong kh«ng gian täa ®é Oxyz, cho ®−êng th¼ng : . X¸c ®Þnh 2 1 2 − ∆ = = x y z täa ®é ®iÓm M trªn trôc hoµnh sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn b»ng OM.∆ Bài giải: Đường thẳng ∆ đi qua điểm ( )0;1;0A và có vectơ chỉ phương ( )2;1;2=
v . Do M thuộc trục hoành, nên M có tọa độ ( );0;0t , suy ra: ( ); 1;0= − 
AM t . ( ) ( ) 2 2 , 2;2 ; 2 15 4 8 d , 2 0 3 2  ⇒ = − −  = −+ + ⇒ ∆ = ⇔ = ⇔ − − = ⇔  = 

v AM t t tt t M OM t t t t Suy ra ( )1;0;0−M hoặc ( )2;0;0M . Đề 17: D- 2010 (1) Cho hai mp(P): 3 0 vµ (Q): 1 0.+ + − = − + − =x y z x y z ViÕt ph−¬ng tr×nh mp(R) vu«ng gãc víi (P) vµ (Q) sao cho kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (R) b»ng 2. Bài giải: Ta có vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) lần lượt là: ( )1;1;1=
Pn và ( )1; 1;1= −
Q n , suy ra: Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 6 ( ), 2;0; 2  = − 

P Q n n là vectơ pháp tuyến của (R). Mặt phẳng (R) có phương trình dạng 0− + =x z D . Ta có ( )( )d , 2 = D O R suy ra: 2 2 2 2 = ⇔ = D D hoặc 2 2= −D . Vậy phương trình mặt phẳng (R): 2 2 0− + =x z hoặc 2 2 0− − =x z . Đề 18: D- 2010 (2) 1 3 Cho ®−êng th¼ng : = +  ∆ =  = x t y t z t 2 1 vµ : 2 1 2 − ∆ = = x y z 1 2X¸c ®Þnh täa ®é ®iÓm M thuéc sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn b»ng 1.∆ ∆ Ta có: + 1∈∆M , nên ( )3 ; ;+M t t t . + 2∆ đi qua ( )2;1;0A và có vectơ chỉ phương ( )2;1;2=
v . Do đó: ( ) ( )1; 1; ; , 2 ;2; 3 . = + − = − −  


AM t t t v AM t t Ta có: ( ) 2 2 , 2 10 17 d , 3   − + ∆ = = 


v AM t t M v suy ra 22 10 17 1 3 − + = t t 2 15 4 0 4 = ⇔ − + = ⇔  = t t t t Suy ra ( )4;1;1M hoặc ( )7;4;4M . Đề 19: A- 2009 (1) Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 4 0− − − =P x y z và mặt cầu ( ) 2 2 2S : 2 4 6 11 0x y z x y z+ + − − − − = . Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. Bài giải: (S) có tâm ( )1;2;3I , bán kính 5=R . Khoảng cách từ I đến (P): ( )( ) 2 4 3 4d , 3 3 − − − = = <I P R ; suy ra đ.p.c.m Gọi H và r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến, H là hình chiếu vuông góc của I trên (P): ( )( ) 2 2d , 3, 4= = = − =IH I P r R IH . Tọa độ ( ); ;H x y z thỏa mãn: 1 2 2 2 3 2 2 4 0 = +  = −  = −  − − − = x t y t z t x y z Giải hệ ta được ( )3;0;2H . Đề 20: A-2009 (2) Cho mặt phẳng ( )P : 2 2 1 0x y z− + − = và 2 đường thẳng Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 7 ∆1: 1 9 1 1 6 + + = = x y z và ∆2: 1 3 1 2 1 2 − − + = = − x y z . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. Bài giải: 2∆ qua ( )1;3; 1−A và có vectơ chỉ phương ( )2;1; 2= −
u . ( ) ( ) ( ) 1 2 1 ; ; 9 6 2 ;3 ;8 6 , , 8 14;20 14 ; 4 , 3 29 88 68 ∈∆ ⇒ − + − +  = − − − = − − −   ⇒ = − +  




M M t t t MA t t t MA u t t t MA u t t Khoảng cách từ M đến 2∆ : ( ) 22 , d , 29 88 68    ∆ = = − + 


MA u M t t u Khoảng cách từ M đến (P): ( )( ) ( )22 2 1 2 12 18 1 11 20 d , 31 2 2 − + − + − − − = = + − + t t t t M P ( ) 2 2 1 11 20 29 88 68 35 88 53 0 53 3 35 53 18 53 3 1 0;1; 3 ; ; ; 35 35 35 35 =− ⇒ − + = ⇔ − + = ⇔  =    = ⇒ − = ⇒     t t t t t t t t M t M Đề 21: B-2009 (1) Cho tứ diện ABCD có các đỉnh ( )1;2;1 ,A ( ) ( ) 2;1;3 , 2; 1;1B C− − và ( )0;3;1D . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). Bài giải: Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau: Trường hợp 1: (P) đi qua A, B và song song với CD. Vec tơ pháp tuyến của (P): , =   


n AB CD . ( ) ( ) ( )3; 1;2 , 8; 4; 14 8; 4; 14= − − = − − − ⇒ = − − − 


AB CD n . Phương trình (P): 4 2 7 15 0+ + − =x y z Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD. Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I của CD. Ta có: ( ) ( )1;1;1 0; 1;0⇒ = − 
I AI ; vectơ pháp tuyến của (P): ( ), 2;0;3 = =  


n AB AI Phương trình (P): 2 3 5 0+ − =x z . Vậy (P): 4 2 7 15 0+ + − =x y z hoặc (P): 2 3 5 0+ − =x z . Đề 22: B-2009 (2) Cho mặt phẳng ( )P : 2 2 5 0x y z− + − = và hai điểm ( ) ( )3;0;1 , 1; 1;3A B− − . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. Bài giải: Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm; ∆ nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P). Phương trình (Q): 2 2 1 0− + + =x y z . Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 8 K, H là hình chiếu của B lên ∆ , (Q). Ta có ≥BK BH nên AH là đường thẳng cần tìm. Tọa độ ( ); ;H x y z thỏa mãn: 1 1 3 1 11 7 ; ;1 2 2 9 9 9 2 2 1 0 − + − = =  ⇒ −−     − + + = x y z H x y z 26 11 2 ; ; 9 9 9  = −    
AH . Vậy phương trình 3 1 : 26 11 2 + − ∆ = = − x y z . Đề 23: D-2009 (1) Cho các điểm ( ) ( ) ( )2;1;0 , 1;2;2 , 1;1;0A B C và mp ( )P : 20 0x y z+ + − = . Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). Bài giải: ( )1;1;2= − 
AB , phương trình 2 : 1 2 = −  = +  = x t AB y t z t . D thuộc đường thẳng AB ( ) ( )2 ;1 ;2 1 ; ;2 .⇒ − + ⇒ = − 
D t t t CD t t t Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): ( )1;1;1=
n . Ta có: C không thuộc mặt phẳng (P). ( ) 1//( ) . 0 1. 1 1. 1.2 0 2 ⇔ = ⇔ − + + = ⇔ = − 

CD P n CD t t t t . Vậy 5 1 ; ; 1 2 2  −    D . Đề 24: D-2009 (2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: 2 2 1 1 1 + − = = − x y z và mặt phẳng ( )P : x 2y 3z 4 0+ − + = . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆. Bài giải: Tọa độ giao điểm I của ∆ với (P) thỏa mãn hệ: ( ) 2 2 3;1;11 1 1 2 3 4 0 + − = = ⇒ −−  + − + = x y z I x y z . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): ( )1;2; 3= −
n , vectơ chỉ phương của ( ): 1;1; 1∆ = −
u . Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ chỉ phương [ ] ( ), 1; 2; 1= = − −


v n u . Phương trình 3 : 1 2 1 = − +  = −  = − x t d y t z t . Đề 25: A-2008 Trong không gian với hệ toạ độ Oxy, cho điểm ( )2;5;3A và 1 2: 2 1 2 − − = = x y z d a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d. b) Viết phương trình mp(α ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α ) lớn nhất . Bài giải: a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ( )2;1;2=
u . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d, suy ra ( ) ( )1 2 ; ;2 2 ; 2 1; 5;2 1 .+ + = − − − 
H t t t AH t t t B Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 9 Vì ⊥AH d suy ra ( ) ( ). 0 2 2 1 5 2 2 1 0 1.= ⇔ − + − + − = ⇔ = 

AH u t t t t Suy ra ( )3;1;4H . b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( )α . Ta có: ( )( )d A, α = ≤AK AH . Do đó ( )( )d A, α lớn nhất AK AH⇔ = , hay ≡K H . Suy ra ( )α qua H và nhận ( )1; 4;1= − 
AH làm vectơ pháp tuyến. Phương trình của ( )α là: ( ) ( ) ( )1 3 4 1 1 4 0 4 3 0.− − − + − = ⇔ − + − =x y z x y z Đề 26: B-2008 Cho ba điểm ( ) ( ) ( )0;1;2 , 2; 2;1 , 2;0;1A B C− − . a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. b) Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2 2 3 0x y z+ + − = sao cho MA MB MC= = . Bài giải: a) Ta có: ( ) ( ) ( )2; 3; 1 , 2; 1; 1 , 2;4; 8 = − − = − − − ⇒ = = −  




AB AC n AB AC . Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C nhận
n làm vetơ pháp tuyến nên có phương trình: ( ) ( ) ( )2 0 4 1 8 2 0 2 4 6 0− + − − − = ⇔ + − + =x y z x y z . b) Ta có . 0= 

AB AC nên điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trung điểm ( )0; 1;1−I của BC. Tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ phương trình: 2 2 3 0 1 1 1 2 4 + + − =   + − = = − x y z x y z Suy ra ( )2;3; 7−M Đề 27: D-2008 Cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3). a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài giải: a) Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng: ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 0 * 0 (**)+ + + + + + = + + − >x y z ax by cz d a b c d Thay tọa độ của các điểm A, B, C, D vào (*) ta được hệ phương trình: 6 6 18 6 6 18 6 6 18 6 6 6 27 + + = −  + + = −  + + = −  + + + = − a b d a c d b c d a b c d Giải hệ phương trình trên và đối chiếu điều kiện (**) ta được phương trình mặt cầu: 2 2 2 3 3 3 0+ + − − − =x y z x y z . b) Mặt cầu đi qua A, C, C, D có tâm 3 3 3 ; ; 2 2 2       I . Gọi phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là: ( )2 2 20 0+ + + = + + >mx ny pz q m n p . Thay tọa độ các điểm A, B, C vào phương trình ta được: Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 10 3 3 0 3 3 0 6 6 6 0 3 3 0 + + =  + + = ⇒ = = = − ≠  + + = m n q m p q m n p q n p q Do đó phương trình mặt phẳng (ABC) là: 6 0+ + − =x y z . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là hình chiếu vuông góc H của điểm I trên mặt phẳng (ABC). Phương trình đường thẳng IH: 3 3 3 2 2 2 1 1 1 − − − = = x y z . Tọa đọ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 6 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 + + − =   − − −  = =  x y z x y z Giải hệ trên ta được ( )2;2;2H . Đề 28: Dự bị A 1-2008 Cho hai đường thẳng 1 3 3 3 : 2 2 1 − − − = = x y z d ; 2 5 6 6 13 0 : 6 6 7 0 − − + =  − + − = x y z d x y z a) Chứng minh rằng 1d và 2d cắt nhau . b) Gọi I là giao điểm của 1d và 2d . Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc 1d , 2d sao cho tam giác IAB cân tại I và có diện tích bằng 41 42 . Bài giải: a) Tọa độ giao điểm của 1d và 2d ( nếu có )là nghiệm của hệ phương trình: 3 3 3 12 2 1 5 6 6 13 0 1 6 6 7 0 2 − − − = = =   − − + = ⇔ =   − + − = =  x y z x x y z y x y z z Vậy 1d cắt 2d tại giao điểm ( )1;1;2I . b) 1d đi qua điểm ( )1 3;3;3M có vectơ chỉ phương 1 (2;2;1)u =
; 2d là giao tuyến hai mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến lần lượt là 1 (5; 6; 6)n = − −
; 2 (1; 6;6)n = −
nên có vectơ chỉ phương là [ ] ( )1 2; 72; 36; 24n n = − − −

. Chọn vectơ chỉ phương là 2 (6;3;2)u =
Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng 1d và 2d . Ta có: 1 2 2 1 2 . 20 41 cos sin 1 cos . 21 21 u u u u ϕ ϕ ϕ= = ⇒ = − =



Giả sử 0.IA IB a= = > Diện tích của tam giác IAB là 2 1 41 41 . . .sin . 1 2 42 42 S IA IB a aϕ= = = ⇒ = Vậy A nằm trên mặt cầu (S) tâm I bán kính bằng 1: (S) : 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 1− + − + − =x y z Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 11 Ta có ( )1A d S= ∩ nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 3 2 3 2 3 ( 1) ( 1) ( 2) 1 = +  = +  = +  − + − + − = x t y t z t x y z 2 2 2 3 2 2 5 5 7 ; ;3 2 3 3 3 3 3 4 1 1 5 ; ; 3 3 3 3(2 2) (2 2) ( 1) 1 = +  = − ⇒ = = = = + ⇔ ⇒  = +  = − ⇒ = = =  + + + + + = x t t x y z y t z t t x y z t t t và ( )2B d S= ∩ nên tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 1 6 1 3 2 2 ( 1) ( 1) ( 2) 1 = +  = + ⇔ = +  − + − + − = x t y t z t x y z 2 2 2 1 6 1 13 10 16 ; ;1 3 7 7 7 7 2 2 1 1 4 12 ; ; 7 7 7 7(6 ) (3 ) (2 ) 1 = +  = ⇒ = = = = + ⇒  = + − = ⇒ = = =  + + = x t t x y z y t z t t x y z t t t Vậy có 4 cặp điểm A, B cần tìm là: 5 5 7 13 10 16 ; ; ; ; ; 3 3 3 7 7 7             A B hoặc 5 5 7 1 4 12 ; ; ; ; ; 3 3 3 7 7 7             A B Hoặc 1 1 5 13 10 16 ; ; ; ; ; 3 3 3 7 7 7             A B hoặc 1 1 5 1 4 12 ; ; ; ; ; 3 3 3 7 7 7             A B Đề 29: Dự bị A 2-2008 Cho mặt phẳng (P): 2 3 3 1 0x y z+ − + = , đường thẳng 1 3 5 : 2 9 1 − + = = x y z d và 3 điểm ( ) ( ) ( )4;0;3 , 1; 1;3 , 3;2;6 .A B C− − a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) . b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính lớn nhất . Bài giải: a) Gọi mặt cầu (S) cần tìm có phương trình 2 2 2( ) : 2 2 2 0+ + + + + + =S x y z ax by cz d có tâm ( ); ;I a b c− − − . Ta có: A, B, C thuộc (S) và I thuộc (P) nên ta có hệ phương trình: 8 6 25 0 2 2 6 11 0 6 4 12 49 0 2 3 3 1 0 + + + = − − + + + = ⇔ + + + + = − − + + = a c d a b c d a b c d a b c 8 6 25 0 1 10 2 14 0 2 2 4 6 24 0 3 2 3 3 1 0 1 + + + = = −   + + = = −  ⇔  − + + + = = −   − − + + = =  a c d a a b b a b c c a b c d Phương trình mặt cầu: 2 2 2( ) : 2 4 6 1 0+ + − − − + =S x y z x y z có tâm ( )1;2;3I . b) Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính lớn nhất là mặt phẳng đi qua tâm I của mặt cầu. Đường thẳng d đi qua điểm M(3;0;–5) và có vectơ chỉ phương (2;9;1)u =
, ( )2; 2; 8= − − 
IM ( ), 70; 18;22IM u ⇒ = −  

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 12 Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến ( )35; 9;11n = −
nên có phương trình (Q): ( ) ( ) ( )35 1 9 2 11 3 0 35 9 11 50 0.x y z x y z− − − + − = ⇔ − + − = Đề 30: Dự bị B 1-2008 Cho đường thẳng 1 3 5 : 2 9 1 − + = = x y z d và hai điểm ( ) ( )5;4;3 , 6;7;2 .A B a) Viết phương trình đường thẳng 2d đi qua hai điểm A, B. Chứng minh rằng hai đường thẳng 1d và 2d chéo nhau b) Tìm điểm C thuộc 1d sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. Bài giải: a) Đường thẳng 1d qua điểm ( )3;0;5M và nhận 1 (2;9;1)u =
làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng 2d đi qua điểm ( )5;4;3A và nhận 2 (1;3; 1)u AB= = − 

làm vectơ chỉ phương nên có phương trình 2 5 4 3 : 1 3 1 − − − = = − x y z d . Ta có: (2;4;8)= 
MA và [ ]1 2, ( 12;3; 3)u u = − −

[ ]1 2, . 24 12 24 36 0u u MA⇒ = − + − = − ≠ 


Vậy hai đường thẳng 1d và 2d chéo nhau . b) Ta có: C thuộc đường thẳng 1d nên tọa độ (3 2 ;9 ; 5 )+ − +C t t t và (2 2;9 4; 8)= − − − 
AC t t t 2, (12 28; 3 10;3 2) , 162 720 888AB AC t t t AB AC t t   ⇒ = − − + + ⇒ = − +    



21 162 720 888 , 2 2 − + = =  

ABC t t S AB AC Diện tích nhỏ nhất khi 20 67 25 ;20; 9 9 9  = ⇒ −    t C và min 22S = (đ.v.d.t) Đề 31: Dự bị B 2-2008 Cho 3 điểm ( ) ( ) ( )1;0; 1 , 2;3; 1 , 1;3;1A B C− − và d: 1 0 4 − + =  + + = x y x y z a) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho thể tích của tứ diện ABCD bằng 1. b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Bài giải: a) (1;3;0); (0;3;2) , (6; 2;3)AB AC AB AC = = ⇒ = −  



Phương trình mặt phẳng (ABC): 6 2 3 3 0.x y z− + − = Diện tích tam giác ABC : 1 7 , 2 2  = =  

ABC S AB AC Gọi h là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) : 3 6 7 = = ABC V h S Từ phương trình đường thẳng d: 1 0 4 − + =  + + = x y x y z . Ta có ( ) ( ) ( )0;1;3 , 1;0;5 1;1; 2M N NM− ⇒ = − 
. Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 13 Ph