Giáo án lớp 12 môn Toán - Hình học không gian oxyz luyện thi đại học

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1/ Một số bài toán tổng hợp về mặt phẳng : Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d : và d’ : . Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với d’ Giải .Đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương Đường thẳng d’ đi qua điểm và có vectơ chỉ phương Ta có , , do đó vậy d và d’ chéo nhau. Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là nên có phương trình: hay Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d : và d’ : . Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và tạo với d’ một góc Giải. .Đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương Đường thẳng d’ đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Mp phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến vuông góc với và . Bởi vậy nếu đặt thì ta phải có : Ta có . Vậy hoặc . Nếu ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó , tức là và có phương trình hay Nếu ta có thể chọn , khi đó , tức là và có phương trình hay Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : và . Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1) và hợp với (d2) một góc 300. Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) và mặt cầu (S) có phương trình: . Viết phương trình mp(P) đi qua hai điểm A, B và (P) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 1. Giải Mặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) và bán kính R = 2 Mặt phẳng (P) đi qua A(0; -2; -6) nhận véctơ làm véctto pháp tuyến có PT: Từ giả thiết: tìm được a, b, c suy ra PT mp(P) Kết luận có hai mặt phẳng: (P1): x + y – z – 4 = 0 và (P2): 7x – 17y + 5z – 4 = 0 Bài 5. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), và với H là trực tâm tam giác ABC. Tính góc giữa (DAB) và (ABC). Giải. Trong tam giác ABC, gọi . Khi đó, dễ thấy . Suy ra góc giữa (DAB) và (ABC) chính là góc .Ta tìm tọa độ điểm H rồi Tính được HK là xong. + Phương trình mặt phẳng (ABC). Vecto pháp tuyến (ABC): . + nên giả sử . Ta có: Khi đó: Vậy H(-2; -2; 4). + Phương trình mặt phẳng qua H và vuông góc với AB là: . Phương trình đường thẳng AB là: . Giải hệ: ta được x =2/3; y =-2/3, z =8/3. Suy ra: K(2/3;-2/3; 8/3). Suy ra: . Gọi là góc cần tìm thì: Vậy là góc cần tìm. Bài 6. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình (S): , (P): 2x +2y – z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Giải. Ta cã: x2 + y2 + z2 - 2x + 4y +2z -3= 0 => mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = 3. Do mặt phẳng (Q) song song với mp(P) nên có pt dạng:2x + 2y - z + D = 0 ( D) Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên Vậy (Q) có phương trình: 2x + 2y - z + 10 = 0 Hoặc 2x + 2y - z - 8 = 0 Bài 7. Trong hkông gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình: (S):’ (P): 2x + 2y + z – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q)song song với (P) và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có diện tích 16. Giải. Vì (Q) //(P) nên (Q) có phương trình : 2x+2y+z+D=0.G ọi O là tâm đường tròn giao tuyến I(1 ;2 ;-2) là tâm mặt cầu R = 5 bán kính mặt cầu, r là bán kính đường tròn giao tuyến theo giả thuyết ta có mặt khác ta có IO = . l ại c ó R2 = r2 + OI2 vậy mặt phẳng (Q) cần tìm: 2x+2y+z+5=0 ho ặc 2x+2y+z-13=0. Bài 8. . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng . Giải. •Gọi là véctơ pháp tuyến của (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) Þ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 Mà (P) qua B(0;0;-2) Þa-b-2c=0 Þ b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 • d(C;(P)) = •TH1: ta chọn Þ Pt của (P): x-y+z+2=0 TH2: ta chọn a =7; c = 1 ÞPt của (P):7x+5y+z+2=0 Bài 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng: , và mặt phẳng (P): x + 4y + z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d’) và song song với đường thẳng (d). Lập phương trình mặt cầu có tâm I là giao điểm của (d) và (P), có bán kính là khoảng cách giữa (d) và (d’). Giải. + (d) đi qua điểm A(3;4;6) và có vecto chỉ phương (d’) đi qua điểm B(-1;-4;5) và có vecto chỉ phương Khi đó mặt phẳng (Q) qua B và có vecto pháp tuyến là Phương trình mặt phẳng (Q) : 8x-6y+5z-41= 0 (rõ ràng d song song (Q)) + Giao điểm của d và (P) là điểm Khoảng cách giữa d và d‘ là R = (d;(Q)) = d(A;(Q)) = +Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R là: Bài 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt phẳng (P):x+2y-z-1=0 và (Q):x-y+z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua M(-2;1;0), song song với đường thẳng d=(P)Ç(Q) và tạo với trục Oz góc 300. Giải. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: gọi (với a2+b2+c2≠0) là vectơ pháp tuyến của (a) d//(a) ÞÛa-2b-3c=0Ûa=2b+3c Sin((a),Oz)=sin300= Û3c2=a2+b2Û 3c2=(2b+3c)2+b2 Û5b2+12bc+6c2=0 với chọn Þphương trình mặt phẳng (a) là: với chọn Þphương trình mặt phẳng (a) là: Bài 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng và điểm A(2;1;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng . Giải. Đường thẳng đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và có vtcp là = (2 ; -1 ; 1). Gọi = (a ; b ; c ) là vtpt của (P). Vì 2a – b + c = 0 b = 2a + c =(a; 2a + c ; c ) , từ đó ta có: Pt(P) : a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – 2 ) = 0Pt (P) : ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = 0 d(A ; (P)) = với a + c = 0 , chọn a = 1 , c = -1 pt(P) : x + y – z = 0 Bài 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng : . Viết phương trình mp(P) song song với và , sao cho khoảng cách từ đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ đến (P). Giải. Ta có : đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: Gọi là vtpt của mp(P), vì (P) song song với và nên = [] = (-2 ; -2 ; -1) pt mp(P): 2x + 2y + z + m = 0 d(;(P)) = d(A ; (P)) = ; d( = d( B;(P)) = vì d(;(P)) = 2. d( Với m = -3 mp(P) : 2x + 2y + z – 3 = 0 Với m = -mp(P) : 2x + 2y + z - = 0 Bài 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - z = 0 một góc 600. Giải. Mp(P) chứa trục Oz nên có dạng Ax + By = 0, và . Theo gt: Chọn B = 1 ta có : 6A2 + 16A – 6 = 0 suy ra: A = -3 , A = 1/3 Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là: x + 3y = 0 và -3x + y = 0. Bài 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho mặt cầu (S) : . Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a : và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính bằng 2 . Giải. . (S) có tâm bán kính R = 3 + đt a có vtcp , (P) vuông góc với đt a nên (P) nhận làm vtpt Pt mp (P) có dạng : + (P) cắt (S) theo đường tròn có bk r = 2 nên d( J , (P) ) = nên ta có : KL : Có 2 mặt phẳng : (P1) : và (P2) : Bài 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ , vuông góc với mặt phẳngvà tiếp xúc với (S). Giải. Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4 Véc tơ pháp tuyến của là Vì và song song với giá của nên nhận véc tơ làm vtpt. Do đó (P):2x-y+2z+m=0 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0. Một số bài toán tổng hợp về đường thẳng: Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : (d) và (d’) Viết phương trình tham số của đường thẳng () nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng Giải. Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình : + Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP + Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP Ta có : Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm) Khi đó : Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : (d) và (d’) a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau . b. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) . Giải. a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP + Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là hay (d) và (d’) cắt nhau . (ĐPCM) b) Ta lấy . Ta đặt : Khi đó, hai đường phân giác cần tìm là hai đường thẳng đi qua I và lần lượt nhận hai véctơ làm VTCP và chúng có phương trình là : và Bài 3. Cho hai đường thẳng có phương trình: Viết phương trình đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1). Giải. Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b). Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1)=> => Phương trình đường thẳng AB là: Bài 4. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P),đường thẳng d: . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng nằm trong (P), vuông góc với d và cách I một khoảng bằng . Giải. • (P) có véc tơ pháp tuyến và d có véc tơ chỉ phương • vì có véc tơ chỉ phương • Gọi H là hình chiếu của I trên qua I và vuông góc Phương trình (Q): Gọi có vécto chỉ phương và qua I Ta có Þ • TH1: TH2: Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :  ;d2: và d3: . Chứng tỏ rằng là hai đường thẳng chéo nhau,tính khoảng cách giữa hai đường thẳng .Viết phương trình đường thẳng D, biết D cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC. Giải. +)Đường thẳng suy ra đi qua điểm A(0;4;-1) và có một vtcp .Đường thẳng d2: suy ra đi qua điểm B(0;2;0) và có một vtcp .Ta có và suy ra .Vậy và là hai đường thẳng chéo nhau. Khoảng cách giữa và là : +)Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1 , d2 , d3 Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v) A, B, C thẳng hàng và AB = BC B là trung điểm của AC Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0 Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1) Đường thẳng D đi qua A, B, C có phương trình Bài 6. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(6; -6; 6), B(4; 4; 4), C(- 2; 10; -2) và S(-2; 2; 6). Chứng minh O, A, B, C là bốn đỉnh của một hình thoi và hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (OABC) trùng với tâm I của OABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AC. Giải. Ta có: + Các đoạn OB và AC đều nhận I(2; 2; 2) làm trung điểm (1) + (2) Từ (1) và (2) suy ra O, A, B, C là 4 đỉnh của hình thoi OABC + + Do OABC là hình thoi và nên: Từ đó trong mp(SOB) nếu kẻ tại H thì tại H. Vậy IH là đoạn vuông góc chung của SO và AC 3/ Một số bài toán tổng hợp về mặt cầu: Bài 1. Trong kg Oxyz cho đường thẳng (): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PT mặt cầu(S) có tâm Ivà khoảng cách từ I đến mp(P) là 2 và mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giao tuyến đường tròn (C)có bán kính r=3 . Giải. Mặt cầu(S) có tâm Ig sửI(a;b;c ) =>(a;b;c) thoả mản PT của(1) * (2) Từ (1) và(2) ta có hệ PT: Do Vậy có 2 mặt cầu theo ycbt : Bài 2. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng và hai mặt phẳng Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với (P) và cắt (Q) theo một đường tròn có chu vi . Giải. Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R > 0. Vì nên . Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên Ta có . Chu vi của đường tròn giao tuyến . Suy ra (2) Từ (1) và (2) suy ra * Với ta có . Suy ra mặt cầu * Với ta có . Suy ra phương trình mặt cầu . Bài 3. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng đường thẳng và đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với và (P). Giải. Mặt cầu có tâm . . Chọn và . Khi đó . Suy ra Suy ra . Từ giả thiết ta có * Với . Ta có . Suy ra phương trình mặt cầu * Với . Ta có . Suy ra phương trình mặt cầu Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d1) : . Gọi (d2) là giao tuyến của 2 mặt phẳng ; . Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuômg góc chung của (d1) và (d2). Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm O(0 ; 0 ; 0), A(0 ; 0 ; 4), B(2 ; 0 ; 0) và mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 5 = 0. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm O, A, B và có khỏang cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng . Giải. .(S): x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 có tâm I(-a ; -b ; -c) , R = . O, A, B thuộc (S) ta có : d = 0 , a = -1, c = -2 d(I, (P)) = b = 0 , (S): x2 + y2 + z2 - 2x – 4z = 0 b = 5 , (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 10y – 4z = 0 Bài 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; 1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình:. Gọi A’là hình chiêú của A lên mặt phẳngOxy. Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A’, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S). Giải. Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0) Giả sử phương trình mặt cầu ( S) đi qua A’, B, C, D là: Vì nên ta có hệ: Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: (S) có tâm , bán kính +) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường tròn ( C) +) Gọi ( d) là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P). (d) có vectơ chỉ phương là: .Do nên: , (C) có bán kính 4/ Một số bài toán tổng hợp về tìm điểm: Bài 1. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD và có . Tìm tọa độ D. Giải. +) Rõ ràng nên A, B, C không thẳng hàng. +) CD // AB nên chọn . Suy ra pt . Vì ABCD là hình thang cân với hai đáy AB, CD nên AD = BC. Do đó Để ABCD là hình thang cân thì BD = AC. Do đó D(3, 2, 0) không thỏa mãn vì khi đó. ABCD là hình bình hành. Với thỏa mãn. Bài 2. . Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng Xét hình bình hành ABCD có Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD bằng Giải. +) . (1) +) Ta có . Suy ra . Suy ra . (2) Từ (1) và (2) ta có . Suy ra . +) ABCD là hình bình hành nên . Suy ra B(3 ; 3 ; 5). Bài 3. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm và hai đường thẳng Xác định tọa độ các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng và sao cho đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng . Giải. Gọi (P) là mặt phẳng chứa A và . * đi qua có véctơ chỉ phương ; Suy ra mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến . * Do đó . Suy ra Vậy Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ cho hình vuông có . Tìm toạ độ đỉnh biết rằng đỉnh nằm trong mặt phẳng Giải. - Giả sử . Vì - MNPQ là hình vuông vuông cân tại N - Từ (1) và (2) suy ra . Thay vào (3) ta được hay . - Gọi I là tâm hình vuông I là trung điểm MP và NQ . Nếu thì Nếu thì Bài 5. Trong không gian với hệ toạ độ cho các điểm và mặt phẳng Tìm toạ độ của điểm biết rằng cách đều các điểm và mặt phẳng Giải. Giả sử . Khi đó từ giả thiết suy ra Từ (1) và (2) suy ra . Thay vào (3) ta được Bài 6. Cho mặt phẳng và các đường thẳng Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2. Giải. Gọi Trường hợp 1: Trường hợp 2: Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1: , d2: và mặt phẳng (P): x – y – z = 0. Tìm tọa độ hai điểm M, Nsao cho MN song song (P) và MN = . Giài. Theo gt : . Bài 8. Trong không gian tọa độ cho điểm đường thẳng và mặt phẳng Tìm tọa độ điểm A thuộc mặt phẳng biết đường thẳng vuông góc với và khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng bằng Giải. Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và vuông góc với . Khi đó pt Ta có Từ giả thiết suy ra A thuộc giao tuyến d của (P) và (Q). Khi đó và nên pt của . Vì suy ra Gọi H là giao điểm của và mặt phẳng (Q). Suy ra Ta có . Suy ra hoặc Bài 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3). Giải. + Ta có: Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB, AC là: + Vecto pháp tuyến của mp(ABC) là Suy ra (ABC): . + Giải hệ: . Suy ra tâm đường tròn là Bán kính là Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: và . Tìm tọa độ các điểm M thuộc và N thuộc sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng độ dài đoạn MN bằng . Giải. + nên ta giả sử . + MN song song mp(P) nên: . + Ta có: . + Suy ra: hoặc . + Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trên không có trường hợp nào KL: Vậy có hai cặp M, N như trên thoả mãn. Bài 11. .Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng và điểm Tìm tọa độ các điểm E và F thuộc đường thẳng để tam giác AEF là tam giác đều. Giải. + Đường thẳng và có vtcp ; + Khoảng cách từ A đến là AH = + Tam giác AEF đều .Vậy E , F thuộc mặt cầu tâm A , BK R = và đường thẳng , nên tọa độ E , F là nghiệm của hệ : t = suy ra tọa độ E và F là : 5/ Một số bài toán về giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong hình học không gian 0xyz Bài 1. Trong không gian tọa độ cho hai điểm , . Viết phương trình đường thẳng đi qua trực tâmcủa tam giác và vuông góc với mặt phẳng . Tìm tọa độ điểm trên mặt phẳng sao cho nhỏ nhất.(O là gốc hệ trục toạ độ) Giải. mặt phẳng là trực tâm tam giác OAB nên : Với mọi điểm ta đều có: Chọn là trung điểm nên không đổi nên nhỏ nhất khi ngắn nhất khi đó là hình chiếu của trên mặt phẳng Vậy Bài 2. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) và đường thẳng(d):. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ B đếnlớn nhất. Giả sử cắt d tại M nên . Ta có Xét hàm BBT ... Từ BBT ta thấy Giải. Khi đó đường thẳng có PT: Bài 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có phương trình . Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất. Giải. M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t), AB//d. Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB A’B (MA+ MB)min = A’B, khi A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB MA=MB M(2 ; 0 ; 4) Bài 4. Trong không gian tọa độ cho mặt phẳng và hai điểm Tìm tọa độ của điểm M thuộc (P) sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Giải. +) Gọi I là trung điểm AB. Khi đó và +) Ta có đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất (do không đổi). M là hình chiếu vuông góc của I trên (P). +) Chọn phương trình . Thay vào phương trình (P) suy ra Bài 5. Trong không gian tọa độ cho đường thẳng và các điểm Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho đạt giá trị lớn nhất. Giải. +) +) Suy ra , đạt khi hay Bài 6. Trong không gian với hệ toạ độ cho các điểm và đường thẳng . Xác định toạ độ điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Giải. * * Suy ra min khi Bài 7. Trong không gian với hệ toạ độ cho hai đường thẳng và Tìm toạ độ điểm và sao cho độ dài đạt giá trị nhỏ nhất. Giải. * * qua và có qua và có . Suy ra chéo nhau . Để độ dài MN nhỏ nhất thì MN là đường vuông góc chung của Bài 8. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho và đường thẳng , điểm A( -2; 3; 4). Gọi D là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của ( d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên D điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. Giải. Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được: Gọi I là giao điểm của (d) và (P) Do * (d) có vectơ chỉ phương là , mp( P) có vectơ pháp tuyến là . Gọi là vectơ chỉ phương của . Vì , AM ngắn nhất . Vậy Bài 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Gi?i. Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có => HI lớn nhất khi Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận làm véc tơ pháp tuyến. vì H là hình chiếu của A trên d nên là véc tơ chỉ phương của d) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 ó 7x + y -5z -77 = 0 Bài 10. Cho điểm và đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất. Giải. Gọi K là hình chiếu của A trên d cố định; Gọi là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên . Trong tam giác vuông AHK ta có Vậy là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với d Þ là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK Bài 11. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A, B, C lần lượt di động trên các tia Ox, Oy và Oz sao cho mặt phẳng (ABC) không đi qua O và luôn đi qua điểm M(1; 2; 3). Xác định tọa độ các điểm A, B, C để thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. Giải. Từ giả thiết ta suy ra tọa độ các điểm A, B, C định bởi: trong đó a, b, c là các số thực dương Þ phương trình mp(ABC): + M(1, 2, 3) Î mp(ABC) nên: + Thể tích của khối tứ diện OABC được tính bởi: + Theo bđt CauChy: Đẳng thức xảy ra khi Vậy đạt được khi Bài 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x+z=0 và đường thẳng d có phương trình . Tìm tọa độ điểm A thuộc d và tọa độ điểm B trên trục sao cho AB//(P) và độ dài đoạn AB nhỏ nhất. Giải. A(1+t;-2+t;-t)Îd, B(0;0;b)ÎOz, , BÏ(P) Þb≠0 , AB2=6t2+6t+9 ; AB đạt giá trị nhỏ nhất khi Vậy Bài 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng có phương trình tham số .Một điểm M thay đổi trên đường thẳng , xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Giải. Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM. Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. Đường thẳng có phương trình tham số: .Điểm nên . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ và . Ta có Suy ra và Mặt khác, với hai vectơ ta luôn có . Như vậy Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng và Vậy khi M(1;0;2) thì minP = Bài 14. Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất. Giải. Ta có Phương trình đường thẳng AB: Để độ dài đoạn CD ngắn nhất=> D là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh AB, gọi tọa độ điểm D(1-a;5-4a;4-3a) Vì =>-a-16a+12-9a+9=0 Tọa độ điểm Bài 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có phương trình tham số .Gọi là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) và I(-2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (D). Trong các mặt phẳng qua , hãy viết phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến (D) là lớn nhất. Giải. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng , thì hoặc . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có và . Mặt khác Trong mặt phẳng , ; do đó . Lúc này (P) ở vị trí (P0) vuông góc với IA tại A. Vectơ pháp tuyến của (P0) là , cùng phương với . Phương trình của mặt phẳng (P0) là: Bài 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0 ; 0 ; c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho a2 + b2 + c2 = 3. Xác định a, b, c để khỏang cách từ O đến mp(ABC) lớn nhất. Giải. Pt mp(ABC): Theo bất đẳng thức Côsi : và 3 = a2 + b2 + c2 Ta có : Dấu = xảy ra khi a2 = b2 = c2 hay a = b = c = 1 Vậy d lớn nhất bắng khi a = b = c = 1 Bài 17. Trong không gian tọa độ cho các điểm và đường thẳng Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng đi qua điểm A và cắt mặt phẳng theo một đường tròn sao cho bán kính đường tròn nhỏ nhất. Giải. Ta có Suy ra pt Gọi tâm mặt cầu . Khi đó bán kính đường tròn là Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Khi đó Suy ra pt mặt cầu Bài 18.: Cho mặt phẳng . Tìm điểm sao cho: 1). nhỏ nhất, biết , . 2). lớn nhất, biết , . 3). nhỏ nhất, biết , . 4). nhỏ nhất, biết , , . 5). nhỏ nhất, biết , , . Hướng dẫn : 1). Cách giải · Xét vị trí tương đối của A, B so với (P). Đặt . Thay tọa độ của A, B vào và tính . - Nếu thì A, B ở hai phần không gian khác nhau ngăn cách bởi (P). - Nếu thì A, B ở cùng phía so với (P). · Nếu A, B ở khác phía so với (P) thì với tùy ý ta có . Suy ra đạt được khi . - Viết p/trình đường thẳng AB. - Tìm giao điểm M của . (Giải hệ p/trình của AB và (P)) - Kết luận. · Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) , ta lấy điểm đối xứng với A qua (P). Khi đó đạt được khi § Tính tọa độ : - Viết phương trình đường thẳng qua và - Giải hệ tìm được tọa độ của là hình chiếu vuông góc của A trên (P). - là trung điểm của . Biết tọa độ của suy ra tọa độ của . § Viết p/trình đường thẳng . § Giải hệ tìm được tọa độ của . A B M A’ B M A H Tr.Hợp 1 Tr.Hợp 2 2). Làm ngược lại của hai trường hợp trên câu 1. · Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) thì · Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P), ta lấy điểm đối xứng với A qua (P). Khi đó Cách làm mỗi trường hợp như câu 1. 3). Xét điểm I tùy ý, ta có Suy ra Giả sử , ta có tọa độ của I là: . Hay Vậy, với , ta có nên . Do I cố định nên không đổi. Vậy nhỏ nhất nhỏ nhất nhỏ nhất là hình chiếu của I trên (P). · Đường thẳng qua và vuông góc với (P) nhận vecto pháp tuyến của (P) làm vecto chỉ phương nên có p/trình - Tọa độ giao điểm H của là: . - H là hình chiếu của I trên (P). · Vậy M là hình chiếu của I trên (P) nên Kết luận: nhỏ nhất khi 4). Làm tương tự câu 3) 5). Cần rút gọn tổng thành một