Giáo án lớp 12 môn Toán - Liên tục trong không gian Tô pô

Liên tục trong không gian Tô pô 1 Liên tục trong không gian Tô pô Dạng định nghĩa epsilon-delta đươc đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của . Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay. Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854. Hàm liên tục trên Hàm từ một tập số thực vào một tập số thực có thể biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ mà không có những lỗ hổng hoặc nhảy. là một hàm được định nghĩa trên tập con của đường thẳng thực , tập con gọi là miền xác định của . Khoảng mở trên Khoảng đóng trên Ở đây là số thực. Định nghĩa liên tục theo giới hạn của hàm Hàm gọi là liên tục tại điểm trên miền xác định nếu giới hạn của khi tiến dần về tồn tại và bằng giá trị của . Ta viết: hay chính là 3 điều kiện sau: 1 là xác định tại , 2 là giới hạn bên vế trái là tồn tại, thứ 3 là giá trị của giới hạn phải bằng . Hàm là liên tục nếu liên tục tại mọi điểm trong miền xác định. Liên tục trong không gian Tô pô 2 Định nghĩa theo giới hạn của dãy Cho dãy bất kì trên miền xác định hội tụ về , thì tương ứng dãy hội tụ về Biểu diễn liên tục theo delta-epsilon Đồ thị hàm Định nghĩa liên tục theo delta-epsilon Cho bất kì số thực , tồn tại số thực sao cho với mọi trong miền xác định của với , giá trị của thỏa Liên tục của tại là với mọi , tồn tại sao cho với mọi Liên tục trong không gian Tô pô 3 Đồ thị hàm trên Ví dụ Hàm liên tục trên miền xác định Phản ví dụ Ví dụ về hàm không liên tục với , lấy với mọi , khi đó không tồn tại sao cho vì Tính chất Định lí giá trị trung bình Cho là liên tục, giả sử nằm giũa và . Khi đó tồn tại ít nhất một sao cho . Ví dụ như một đứa trẻ từ khi 4 tuổi đến khi 8 tuổi, chiều cao tăng từ 1m đến 1.5m, khi đó sẽ có 1 thời điểm nào đó trong khoảng 4 tuổi đến 8 tuổi, đứa trẻ cao 1.2m Định lí giá trị cực Cho khoảng (khoảng đóng và bị chặn) và là liên tục, khi đó có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên , hay tồn tại sao cho với mọi . Định lí điểm cố định Cho , liên tục, khi đó tồn tại ít nhất một sao cho . Quan hệ với tính khả tích và khả vi Mọi hàm khả vi đều liên tục, điều ngược lại không đúng. Ví dụ hàm trị tuyệt đối là liên tục trên nhưng không khả vi tại 0. Đạo hàm của hàm khả vi không nhất thiết phải liên tục, nếu có đạo hàm liên tục thì ta gọi là khải vi liên tục. Tập các hàm này không gian hàm . Xét tập các hàm Trong đó là tập con mở trong sao cho hàm khả vi liên tục đến bậc . Tập các hàm này là không gian . Liên tục trong không gian Tô pô 4 Mọi hàm đều khả tích, điều ngược lạ không đúng, ví dụ như hàm Đồ thị hàm Liên tục đều Giả sử là tập con của khi đó liên tục đều trên nếu với mọi cho trước tồn tại chỉ phụ thuộc vào sao cho thì Ví dụ như hàm và Dãy hàm liên tục hội tụ về hàm không liên tục Hội tụ của dãy hàm liên tục Cho dãy các hàm liên tục sao cho tồn tại với mọi , khi đó hàm là giới hạn từng điểm của hãy , hàm không nhất thiết liên tục cho dù là liên tục. Tuy nhiên nếu liên tục, khi đó dãy hội tụ đều Hàm không liên tục mọi nơi Là hàm không liên tục tại mọi điểm trên miền xác định. Hàm Dirichlet Cho và là hai số thực(thường lấy và ), định nghĩa bởi là không liên tục mọi nơi, hàm có thể phân tích thành Nếu là tập con bất kì của không gian tô pô sao cho cả và phần bù của trù mật trong sẽ không liên tục mọi nơi. Hàm này được nghiên cứu đầu tiên bởi Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Liên tục trong không gian Tô pô 5 Liên tục trên không gian mêtric Định nghĩa Liên tục trên không gian mê tric với định nghĩa: Cho và là 2 không gian mê tric. Ánh xạ liên tục tại nếu hay với mọi tâm tại khi đó tâm tại sao cho . Tính chất • Cho là không gian mêtric, là tập con của thì với là liên tục. Liên tục Lipchitz Cho hai không gian mêtric và với là mêtric trên và là mêtric trên . là liên tục Lipchitz nếu tồn tại hằng số sao cho với mọi Ví dụ Hàm liên tục Lipchitz với . Liên tục Holder Cho hai không gian mêtric và với là mêtric trên và là mêtric trên , với là số thực. là liên tục Holder nếu tồn tại hằng số sao cho với mọi Ví dụ là liên tục Holder với , nhưng không liên tục Lipchitz. Liên tục Cauchy Cho và là hai không gian mêtric, là hàm từ vào . Hàm là liên tục Cauchy nếu và chỉ nếu cho dãy Cauchy bất kì trong , dãy là dãy Cauchy trong . Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục. Nếu là không gian đầy đủ, thì mọi hàm liên tục trên là liên tục Cauchy. Liên tục trong không gian Tô pô 6 ví dụ Trên đường thẳng thực liên tục cũng chính là liên tục Cauchy. Hàm khi và khi với mọi số hữu tỉ . Hàm này liên tục trên nhưng không liên tục Cauchy Liên tục trong không gian tô pô Nghiên cứu về không gian Tô pô, ta có nhiều khái niệm khác nhau về quan hệ giữa các không gian tô pô với nhau và giữa các không gian con của chúng. Ta muốn xem xét hàm đưa một không gian tô pô vào không gian tô pô khác, Tính liên tục của là một trong những khái niệm cốt lõi của không gian tô pô, được mô tả trực quan tính sinh động trong không gian hình học. Định nghĩa Ánh xạ từ X vào Y liên tục tại điểm x U là lân cận của x trong X • Cho và là hai không gian tô pô. Ánh xạ là liên tục tại điểm trong nếu mọi tập mở trong chứa thì có tập mở của chứa sao cho chứa trong . Ta nói liên tục trên nếu nó liên tục tại mọi điểm trên . • Lân cận của điểm là tập con của chứa tập mở chứa . Lân cận không cần phải mở. • liên tục tại nếu mọi tập mở chứa thì tập là lân cận của .[1] Định lý • Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập mở là tập mở. Hay liên tục khi và chỉ khi với mọi mở trong thì mở trong . Chứng minh ( ) Giả sử rằng là liên tục. Cho là tập mở trong . Cho . Vì liên tục tại và là lân cận mở của thì có mở chứa sao cho chứa trong . Do đó là mở. ( ) Giả sử rằng ảnh ngược của mọi tập mở là tập mở. Cho , là lân cận mở của . Khi đó là tập mở chứa , và chứa trong . Vì thế liên tục tại . Liên tục trong không gian Tô pô 7 Một số tính chât và mệnh đề[2] • Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập đóng là tập đóng. • Cho và là hai không gian tô pô và là cơ sở của tô pô trên . Khi đó liên tục nếu và chỉ nếu là mở trong với mọi . • Cho với tô pô định chuẩn. Khi đó mọi hàm đa thức với là liên tục. • Giả sử là liên tục. Nếu dãy trong hội tụ về khi đó dãy trong hội tụ về . • Cho và liên tục. Khi đó hàm hợp là liên tục. • Cho là hai không gian tô pô, là không gian con của . Cho liên tục. Khi đó liên tục. Liên tục trong không gian tô pô liên thông • Cho liên tục, nếu liên thông thì liên thông. • Cho liên tục, nếu liên thông đường thì liên thông đường. • Cho là không gian tô pô liên thông, và liên tục. Nếu và , khi đó . (Định lí giá trị trung bình mở rộng) • Cho liên tục, khi đó tồn tại sao cho . Liên tục trong không gian tô pô compact • Cho liên tục, nếu compact thì compact. • Cho compact và là liên tục, khi đó có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên , hay tồn tại sao cho với mọi . • Cho là khoảng đóng và bị chặn trong . Giả sử là liên tục. Khi đó ảnh của là khoảng đóng và bị chặn trong . Ví dụ 1: Tính liên tục của 3 ánh xạ đi từ không gian tô pô vào không gian tô pô Ví dụ 2: Ánh xạ liên tục trên cơ sở Ví Dụ Ví dụ 1: Cho và là 2 không gian tô pô được miêu tả ở hình bên, với xác định: Có liên tục và không liên tục. Ví dụ 2: Xét với và , có Liên tục trong không gian Tô pô 8 và là hai cơ sở. Ánh xạ với biến mỗi phần tử trong thành một phần tử trong là ánh xạ ngược của ánh xạ với Ánh xạ liên tục. Mở rộng Tô pô sinh bởi ánh xạ • Cho là không gian tô pô, là một tập, và là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tô pô trên sao cho liên tục. Yêu cầu của là nếu thì Tôpô hiển nhiên (the trivial toplogy)[3] trên thỏa mãn yêu cầu này. Đây là tôpô thô nhất thỏa mãn yêu cầu làm liên tục. Mặt khác, họ là tô pô thực sự trên . Đây là tôpô mịn nhất thỏa yêu cầu. • Cho là một tập, là không gian tô pô, và là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tôpô trên sao cho liên tục. Yêu cầu của là nếu thì . Tôpô rời rạc trên là tôpô mịn nhất thỏa mãn yêu cầu. Ta có thể thấy xa hơn rằng nếu họ sinh ra thì được sinh bởi họ . Đồng phôi Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn • Ánh xạ đi từ một không gian tôpô vào không gian tôpô khác được gọi là phép đồng phôi nếu nó là song ánh, liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục. • Hai không gian gọi là đồng phôi, thường viết là , nếu có một phép đồng phôi từ không gian này vào không gian kia. Liên tục trong không gian Tô pô 9 Đồng luân Ví dụ 3: Biến đổi đồng luân • Định nghĩa: Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục và từ không gian tô pô vào không gian tô pô được định nghĩa là ánh xạ từ tích của không gian với đoạn đơn vị vào sao cho với mỗi thuộc ta có và . • Nếu ta nghĩ tham số thứ 2 của như là "thời gian", khi đó mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ thành ánh xạ : tại thời điểm ta có ánh xạ và tại thời điểm ta có ánh xạ . • Đồng luân là một quan hệ tương đương trên tập các ánh xạ liên tục từ vào . Quan hệ đồng luân này tương thích với phép hợp thành của 2 ánh xạ theo nghĩa nếu là đồng luân và là đồng luân, khi đó hợp thành của chúng và : là đồng luân Ví dụ Ví dụ 1: Cho là ánh xạ biến Ta thấy là tô pô mịn nhất sao cho liên tục. Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn Ví dụ 3: Một biến đổi đồng luân Tham Khảo • Continuous function [4] • Colin Adam và Robert Franzosa Introduction to topology pure and applied [5] • James Munkres [6] (2000), Topology, Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2 • Gregory L. Naber Topology, Geometry and Gauge fields: Foundations [7] • Topics in a Topology Coursel [8] [1] Lecture notes on Topology (http:/ / www. math. hcmus. edu. vn/ ~hqvu/ teaching/ n. pdf), trang 14, HCMUS. [2] Introduction to topology pure and applied (http:/ / www. mediafire. com/ download/ f1c059t9w8ud6im/ 0131848690. djvu) của Colin Adam và Robert Franzosa [3] The trivial toplogy (http:/ / vi. wikipedia. org/ wiki/ The_trivial_toplogy(toán_học)) [4] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Continuity_(topology)#Continuous_functions_between_topological_spaces [5] http:/ / mathematicspdf. blogspot. com/ 2013/ 04/ introduction-to-topology-pure-and. html [6] http:/ / math. mit. edu/ people/ profile. php?pid=194 [7] http:/ / mathematicspdf. blogspot. com/ search/ label/ Topology [8] http:/ / mathworld. wolfram. com/ classroom/ classes/ Topology. html Nguồn và người đóng góp vào bài 10 Nguồn và người đóng góp vào bài Liên tục trong không gian Tô pô  Nguồn:  Người đóng góp: Thái Nhi, Tronglan math, TuanUt, Vuhai.khtn, 2 sửa đổi vô danh Nguồn, giấy phép, và người đóng góp vào hình Tập tin:Example of continuous function.png  Nguồn: ập_tin:Example_of_continuous_function.png  Giấy phép: Public Domain  Người đóng góp: User:Pasixxxx Tập tin:Đồ thị hàm số.png  Nguồn: ập_tin:Đồ_thị_hàm_số.png  Giấy phép: không rõ  Người đóng góp: Tronglan math Tập tin:Hàm dấu.png  Nguồn: ập_tin:Hàm_dấu.png  Giấy phép: không rõ  Người đóng góp: Tronglan math Tập tin:Hàm sinx.jpg  Nguồn: ập_tin:Hàm_sinx.jpg  Giấy phép: không rõ  Người đóng góp: Tronglan math Tập tin:Uniform continuity animation.gif  Nguồn: ập_tin:Uniform_continuity_animation.gif  Giấy phép: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Người đóng góp: Jakob.scholbach Tập tin:Continuity topology.svg  Nguồn: ập_tin:Continuity_topology.svg  Giấy phép: Public Domain  Người đóng góp: User:Dcoetzee Tập tin:Ánh xạ liên tục giữa 2 topo.png  Nguồn: ập_tin:Ánh_xạ_liên_tục_giữa_2_topo.png  Giấy phép: Public Domain  Người đóng góp: Tronglan math Tập tin:Ví dụ liên tục giữa 2 cơ sở.png  Nguồn: ập_tin:Ví_dụ_liên_tục_giữa_2_cơ_sở.png  Giấy phép: Creative Commons Attribution 3.0  Người đóng góp: Thành viên:Tronglan math Tập tin:Dong phoi.png  Nguồn: ập_tin:Dong_phoi.png  Giấy phép: Creative Commons Attribution 3.0  Người đóng góp: Thành viên:Tronglan math Tập tin:HomotopySmall.gif  Nguồn: ập_tin:HomotopySmall.gif  Giấy phép: Creative Commons Zero  Người đóng góp: Jim.belk Giấy phép Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 //creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/