Giáo án lớp 12 môn Toán - Lý thuyết khảo sát hàm số

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1 LÝ THUYẾT KHẢO SÁT HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ < Hàm số f nghịch biến trên K 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì '( ) 0,f x x I≥ ∀ ∈ b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì '( ) 0,f x x I≤ ∀ ∈ 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu '( ) 0,f x x I≥ ∀ ∈ ( '( ) 0f x = tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu '( ) 0,f x x I≤ ∀ ∈ ( '( ) 0f x = tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. c) Nếu '( ) 0f x = thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. 4. Điều kiện hàm số luôn đồng biến trên một miền xác định. Cho hàm số ( , )y f x m= , m là tham số, có tập xác định D. • Hàm số f đồng biến trên D ' 0,y x D⇔ ≥ ∀ ∈ • Hàm số f nghịch biến trên D ' 0,y x D⇔ ≤ ∀ ∈ . Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: ● ' 0y = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. ●Nếu 2'y ax bx c= + + thì: • 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a  = =  ≥≥ ∀ ∈ ⇔  >  ∆ ≤ • 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a  = =  ≤≤ ∀ ∈ ⇔  <  ∆ ≤ ●Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c= + + : ♣ Nếu 0∆< thì ( )g x luôn cùng dấu với a . ♣ Nếu 0∆ = thì ( )g x luôn cùng dấu với a (trừ 2 b x a = − ) ♣ Nếu 0∆> thì ( )g x có hai nghiệm 1 2 ,x x và trong khoảng hai nghiệm thì ( )g x khác dấu vớia , ngoài khoảng hai nghiệm thì ( )g x cùng dấu với a . ●So sánh các nghiệm 1 2 ,x x của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c= + + với số 0: ♣ 1 2 0 0 0 0 x x P S ∆ >  < ♣ 1 2 0 0 0 0 x x P S ∆ >  > ♣ 1 2 0 0x x P< < ⇔ < ●Để hàm số 3 2y ax bx cx d= + + + có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) 1 2 ( ; )x x bằng d thì GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2 ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính 'y . Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: 0 0 a ≠  ∆> (1) Bước 3: Biến đổi 1 2 x x d− = thành 2 2 1 2 1 2 ( ) 4x x x x d+ − = (2) Bước 4: Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ R) và 0 x D∈ . a) 0 x – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng ( ; )a b D∈ và 0 ( ; )x a b∈ sao cho { } 0 0 ( ) ( ), ( ; ) \f x f x x a b x< ∀ ∈ . Khi đó 0 ( )f x được gọi là giá trị cực đại (cực đại) của f. b) 0 x – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng ( ; )a b D∈ và 0 ( ; )x a b∈ sao cho { } 0 0 ( ) ( ), ( ; ) \f x f x x a b x> ∀ ∈ . Khi đó 0 ( )f x được gọi là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f. c) Nếu 0 x là điểm cực trị của f thì điểm ( )0 0; ( )x f x được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f. 2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm tại 0 x và đạt cực trị tại điểm đó thì 0 '( ) 0f x = . Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. 3. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị 1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng ( ; )a b chứa điểm 0 x và có đạo hàm trên { } 0 ( ; ) \a b x a) Nếu '( )f x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 0 x thì f đạt cực tiểu tại 0 x . b) Nếu '( )f x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua 0 x thì f đạt cực đại tại 0 x . 2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm 0 x , 0 '( ) 0f x = và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm 0 x . a) Nếu 0 ''( ) 0f x < thì f đạt cực đại tại 0 x . b) Nếu 0 ''( ) 0f x > thì f đạt cực tiểu tại 0 x . 4. Quy tắc tìm cực trị Qui tắc 1: Dùng định lí 1. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3 • Tìm '( )f x . • Tìm các điểm i x (i = 1, 2, ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. • Xét dấu '( )f x . Nếu '( )f x đổi dấu khi x đi qua i x thì hàm số đạt cực trị tại i x . Qui tắc 2: Dùng định lí 2. • Tính '( )f x . • Giải phương trình '( ) 0f x = tìm các nghiệm i x (i = 1, 2, ). • Tính ''( )f x và ''( ) i f x (i = 1, 2, ). Nếu ''( ) 0 i f x < thì hàm số đạt cực đại tại i x . Nếu ''( ) 0 i f x > thì hàm số đạt cực tiểu tại i x . III. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 1. Cho hai đồ thị 1 ( ) : ( )C y f x= và 2 ( ) : ( )C y g x= . Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: ( ) ( )f x g x= (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm). Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị. 2. Đồ thị hàm số bậc ba 3 2 ( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇔ Phương trình 3 2 0ax bx cx d+ + + = có 3 nghiệm phân biệt. ⇔ Hàm số 3 2y ax bx cx d= + + + có cực đại, cực tiểu và . 0< CÑ CT y y . IV. TOÁN TIẾP TUYẾN Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của ( ) : ( )=C y f x tại điểm ( )0 0 0;M x y : • Nếu cho 0 x thì tìm 0 0 ( )y f x= . Nếu cho 0 y thì tìm 0 x là nghiệm của phương trình 0 ( )f x y= . • Tính ' '( )y f x= . Suy ra 0 0 '( ) '( )y x f x= . • Phương trình tiếp tuyến ∆ là: 0 0 0 '( ).( )y y f x x x− = − Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của ( ) : ( )C y f x= , biết ∆ có hệ số góc k cho trước. Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. • Gọi ( )0 0 0;M x y là tiếp điểm. Tính 0'( )f x . • ∆ có hệ số góc 0 '( )k f x k⇒ = (1) • Giải phương trình (1), tìm được 0 x và tính 0 0 ( )y f x= . Từ đó viết phương trình của ∆. Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. • Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y kx m= + . • ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) '( ) f x kx m f x k  = +   = (*) • Giải hệ (*), tìm đượcm . Từ đó viết phương trình của ∆. Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ∆ có thể được cho gián tiếp như sau: + ∆ tạo với chiều dương trục hoành góc α thì tank α= + ∆ song song với đường thẳng :d y ax b= + thì k a= GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4 + ∆ vuông góc với đường thẳng : ( 0)d y ax b a= + ≠ thì 1k a = − + ∆ tạo với đường thẳng :d y ax b= + một góc α thì tan 1 k a ka α − = + Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): ( )y f x= , biết ∆ đi qua điểm ( ; ) A A A x y . Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. • Gọi ( )0 0 0;M x y là tiếp điểm. Khi đó: 0 0 0 0( ); ' '( )y f x y f x= . • Phương trình tiếp tuyến ∆ tại 0 0 0 : '( )( )M y y f x x x− = − • ∆ đi qua ( ; ) A A A x y nên: 0 0 0 '( )( ) (2) A A y y f x x x= − = − • Giải phương trình (2), tìm được 0 x . Từ đó viết phương trình của ∆. Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. • Phương trình đường thẳng ∆ đi qua ( ; ) A A A x y và có hệ số góc : ( ) A A k y y k x x− = − • ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) '( ) A A f x k x x y f x k  = − +   = (*) • Giải hệ (*), tìm được x (suy rak ). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆. V. ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC 1. Điều kiện cần và đủ để hai đường 1 ( ) : ( )C y f x= và 2 ( ) : ( )C y g x= tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x  =   = (*) Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 2. Nếu 1 ( ) :C y px q= + và 2 2 ( ) :C y ax bx c= + + thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau ⇔ phương trình 2ax bx c px q+ + = + có nghiệm kép. VI. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = 2 2( ) ( ) B A B A x x y y− + − 2. Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng : 0ax by c∆ + + = d(M, ∆) = 0 0 2 2 ax by c a b + + + VII. ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị. • Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. • Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5 • Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định. Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số ( )y f x= . Đồ thị (C′) của hàm số ( )y f x= có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành. + Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành. + Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên. Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x= . Đồ thị (C′) của hàm số ( )y f x= có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung. + Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung. + Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6 PHẦN I: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HT 1. Cho hàm số 3 21 ( 1) (3 2) 3 y m x mx m x= − + + − (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. Giải • Tập xác định: D = R. 2( 1) 2 3 2y m x mx m′= − + + − . (1) đồng biến trên R ⇔ 0,y x′≥ ∀ 2 2 2 ( 1) 2 3 2 0, 1 2 0 1 3 2 0 1 1 2 1 0 2 5 2 0 2 2( 1)(3 2) 0 m x mx m x m m m m m mm m m m mm m m ⇔ − + + − ≥ ∀  − = =  >   − ≥  >    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥   ≤  − > − + − ≤     ≥ − − − ≤  HT 2. Cho hàm số 3 23 4y x x mx= + − − (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ;0)−∞ . Giải • Tập xác định: D = ℝ ; 2' 3 6y x x m= + − , (1) đồng biến trên khoảng (-∞;0) ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ (-∞;0) ⇔ 23 6 0x x m+ − ≥ ∀x ∈ (-∞;0) ⇔ 23 6x x m+ ≥ ∀x ∈ (-∞;0) Xét hàm số f(x) = 23 6x x m+ − trên (-∞;0] Có f’(x) = 6x + 6; f’(x) = 0 ⇔ x = -1 Từ bảng biến thiên: ⇒ 3m ≤− HT 3. Cho hàm số x3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y m x m m x= − + + + + có đồ thị (Cm). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; )+∞ Giải + - - + -3 0 x f’(x) x f(x) -∞ +∞ 0 -1 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7 • Tập xác định: D = ℝ 2' 6 6(2 1) 6 ( 1)y x m x m m= − + + + có 2 2(2 1) 4( ) 1 0m m m∆ = + − + = > ' 0 1 x m y x m  == ⇔  = + Ta có: y’ ≥ 0, ∀x (-∞;m) và (m + 1; +∞) Do đó: hàm số đồng biến trên (2; )+∞ ⇔ 1 2m + ≤ ⇔ 1m ≤ HT 4. Cho hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m= + − + − + + . Tìm m để hàm đồng biến trên ( )0;+∞ . Giải • Tập xác định: D = ℝ 23 ( 2 ) ( )2 1 2y x m x m′= − + −+ Hàm đồng biến trên (0; )+∞ 23 (1 2 ) ( 02 2 )y x m x m′⇔ = − + − ≥+ với 0; )(x∀ ∈ +∞ 2 23 ( ) 4 1 2xx f x m x ⇔ = + + ≥ + với 0; )(x∀ ∈ +∞ Ta có: 2 2 2 2(2 ( ) 0 2 ( 1 1) 1 0 4 ) 1 2 1 x f x x x x x xx ′ = = ⇔  = −+ − + − = ⇔  = + Lập bảng biến thiên của hàm ( )f x trên (0; )+∞ , từ đó ta đi đến kết luận: 1 5 2 4 f m m    ≥ ⇔ ≥    HT 5. Cho hàm số 4 22 3 1y x mx m= − − + (1), (m là tham số). Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta có 3 2' 4 4 4 ( )y x mx x x m= − = − GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 8 + 0m ≤ , 0, (1;2)′≥ ∀ ∈y x ⇒ 0m ≤ thoả mãn. + 0m > , 0y ′= có 3 nghiệm phân biệt: , 0,m m− . Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi 1 0 1m m≤ ⇔ < ≤ . Vậy ( ;1m ∈ −∞  . HT 6. Cho hàm số 4mxy x m + = + (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( ;1)−∞ . Giải • Tập xác định: D = R \ {–m}. 2 2 4 ( ) m y x m −′= + . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ 0 2 2y m′< ⇔ − < < (1) Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng( ;1)−∞ thì ta phải có 1 1m m− ≥ ⇔ ≤− (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: 2 1m− < ≤− . HT 7. Chứng minh rằng, hàm số 2sin cosy x x= + đồng biến trên đoạn 0; 3 π         và nghịch biến trên đoạn ; 3 π π         Giải Hàm số đã cho xác định trên 0;π    Ta có: ' sin (2 cos 1), (0; )y x x x π= − ∈ Vì (0; ) sin 0x xπ∈ ⇒ > nên trên 1 (0; ) : ' 0 cos 2 3 y x x π π = ⇔ = ⇔ = + Trên khoảng 0; : ' 0 3 y π    >    nên hàm số đồng biến trên đoạn 0; 3 π         + Trên khoảng ; : ' 0 3 y π π    <    nên hàm số nghịch biến trên đoạn ; 3 π π         GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9 HT 8. Cho hàm số 3 23y x x mx m= + + + . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 Giải Hàm số đã cho xác định trên ℝ Ta có: 2' 3 6y x x m= + + có ' 9 3m∆ = − + Nếu m ≥ 3 thì y’ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ , khi đó hàm số đồng biến trên ℝ , do đó m ≥ 3 không thỏa mãn. + Nếu m < 3, khi đó: y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x 1 2 ( )x x< và hàm số nghịch biến trong đoạn: 1 2 ;x x    với độ dài l = 2 1 x x− Theo Vi-ét ta có: 1 2 1 2 2, 3 m x x x x+ = − = Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 ⇔ l = 1 ⇔ ( ) 2 2 2 1 1 2 1 2 4 9 1 ( ) 4 1 4 1 3 4 x x x x x x m m− = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ = GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10 PHẦN 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HT 9. Cho hàm số 3 2(1 – 2 ) (2 – ) 2y x m x m x m= + + + + (m là tham số) (1). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Giải • Tập xác định: D = ℝ 23 2(1 2 ) 2 ( )y x m x m g x′= + − + − = YCBT ⇔ phương trình 0y ′= có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thỏa mãn: 1 2 1x x< < . ⇔ 24 5 0 (1) 5 7 0 2 1 1 2 3 m m g m S m  ′∆ = − − > = − + >  − = < ⇔ 5 7 4 5 m< < . HT 10. Cho hàm số 3 2( 2) 3 5y m x x mx= + + + − , m là tham số. Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. Giải • Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương ⇔ PT = 2' 3( 2) 6 0y m x x m= + + + có 2 nghiệm dương phân biệt 2 ( 2) 0 ' 9 3 ( 2) 0 ' 2 3 0 3 1 0 0 3 20 3( 2) 2 0 2 3 0 2 a m m m m m m m m m mP m m m S m  = + ≠ ∆ = − + >   ∆ = − − + > −   +  +  + HT 11. Cho hàm số 3 2 32 3( 2) 6(5 1) (4 2).y x m x m x m= − + + + − + Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại (0 1;2x ∈  Giải Vì hàm số bậc 3 nên để hàm số có hai điểm cực trị ' 0y⇔ = có 2 nghiệm phân biệt. Do hệ số của 3x là dương nên khi đó: CT CDx x> GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11 Ta có 2 2' 6[ ( 2) 5 1], ' 0 ( 5) 2 1 (1)y x m x m y m x x x= − + + + = ⇔ − = − + Do 5x = không là nghiệm của (1) 2 2 1 (1) ( ) 5 x x m g x x − + ⇒ ⇔ = = − 2 2 10 9 1'( ) 0 9( 5) x x x g x xx − +  = = = ⇔  = − Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên và kết hợp với nhận xét trên ⇒Hàm số đạt cực tiểu tại 0 1 (1;2] 0 3 x m∈ ⇔ − ≤ < HT 12. Cho hàm số 4 21 3 2 2 y x mx= − + (1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. Giải • Tập xác định: D = ℝ 3 22 2 2 ( )y x mx x x m′= − = − . 2 0 0 x y x m  =′= ⇔  = Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ PT 0y ′= có 1 nghiệm ⇔ 0m ≤ + 0 - - - 0 + 0 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12 HT 13. Cho hàm số 4 22 4 ( ). m y x mx C= − + − Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của ( ) m C đều nằm trên các trục tọa độ. Giải Ta có: 3 2 0 ' 4 4 ; ' 0 x y x mx y x m  == − + = ⇔  = Nếu m ≤ 0 ⇒ đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất và điểm đó nằm trên trục tung. Nếu m > 0 thì đồ thị hàm số khi đó có 3 điểm cực trị. Một điểm cực trị nằm trên trục tung và hai điểm cực trị còn lại có tọa độ: 2( ; 4)m m± − ⇒ Các điểm này chỉ có thể nằm trên trục hoành. ⇒ Điều kiện các điểm nằm trên trục hoành là 2 0 4 0 m m  >   − = ⇔ m = 2 Kết luận: 2 0 m m  =  ≤ HT 14. Cho hàm số 3 2 2(2 1) ( 3 2) 4y x m x m m x=− + + − − + − (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. Giải •Tập xác định: D = ℝ 2 23 2(2 1) ( 3 2)y x m x m m′= − + + − − + . (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung ⇔ PT 0y ′ = có 2 nghiệm trái dấu ⇔ 23( 3 2) 0m m− + < ⇔ 1 2m< < . HT 15. Cho hàm số 3 21 (2 1) 3 3 y x mx m x= − + − − (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. Giải • TXĐ: D = ℝ ; 2 – 2 2 – 1y x mx m′= + . GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 13 Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung ⇔ 0y ′= có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔ 2 2 1 0 2 1 0 m m m  ′∆ = − + >  − > 1 1 2 m m  ≠⇔   > HT 16. Cho hàm số 3 23 – 2y x x mx m= + + + (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. Giải • PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: 3 23 – 2 0 (1)x x mx m+ + + = ⇔ 2 1 ( ) 2 2 0 (2) x g x x x m  = −  = + + − = (Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x ⇔ PT (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 ⇔ 3 0 ( 1) 3 0 m g m  ′∆ = − >  − = − ≠ ⇔ 3m < HT 17. Cho hàm số 3 2 31 4( 1) ( 1) ( ). 3 3 y x m x m C= − + + + Tìm m để các điểm cực trị của hàm số (C) nằm về hai phía (phía trong và phía ngoài) của đường tròn có phương trình: 2 2 4 3 0.x y x+ − + = Giải Ta có: 2' 2( 1)y x m x= − + 3 0 ' 0 2( 1) 4 (0) ( 1) ; (2 2) 0 3 x y x m y m y m  == ⇔  = + = + + = Đề hàm số có cực trị thì 1.m ≠ − Gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 3 4 0; ( 1) ; (2 2;0) 3 A m B m   + +    Gọi I là tâm đường tròn, khi đó (2;0)I và 1.R = GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 14 A và B nằm về hai phía của đường tròn khi và chỉ khi: ( )( )2 2 2 2 0IA R IB R− − < 6 2164 ( 1) ; 4 9 IA m IB m= + + = ( )( )2 2 2 2 6 2160 3 ( 1) (4 1) 0 (*) 9 IA R IB R m m   − − < ⇔ + + − <    Ta có: 6 16 3 ( 1) 0 9 m x   + + > ∀    Suy ra: 2 1 (*) 4 1 0 2 m m⇔ − < ⇔ < Kết hợp điều kiện ta có: 1 2 m < HT 18. Cho hàm số 3 2 33 4y x mx m= − + (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta có: 23 6y x mx′ = − ; 0 0 2 x y x m  =′ = ⇔  = . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) ⇒ 3(2 ; 4 )AB m m= −  Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3) A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x ⇔ AB d I d  ⊥   ∈ ⇔ 3 3 2 4 0 2 m m m m  − =  = ⇔ 2 2 m = ± HT 19. Cho hàm số 3 23 3 1y x mx m=− + − − . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng : 8 74 0d x y+ − = . Giải • Tập xác định: D = ℝ 23 6y x mx′= − + ; 0 0 2y x x m′= ⇔ = ∨ = . GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 15 Hàm số có CĐ, CT ⇔ PT 0y ′= có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 0m ≠ . Khi đó 2 điểm cực trị là: 3(0; 3 1), (2 ;4 3 1)A m B m m m− − − − ⇒ 3(2 ;4 )AB m m  Trung điểm I của AB có toạ độ: 3( ;2 3 1)I m m m− − Đường thẳng d: 8 74 0x y+ − = có một VTCP (8; 1)u = −  . A và B đối xứng với nhau qua d ⇔ I d AB d  ∈   ⊥ ⇔ 38(2 3 1) 74 0 . 0 m m m AB u  + − − − =  =   ⇔ 2m = HT 20. Cho hàm số 3 2 2 3 23 3(1 )y x mx m x m m=− + + − + − (1). Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Giải • Tập xác định: D = ℝ 2 23 6 3(1 )y x mx m′= − + + − . PT 0y ′= có 1 0, m∆ = > ∀ ⇒ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị 1 1 2 2 ( ; ), ( ; )x y x y . Chia y cho y′ ta được: 2 1 2 3 3 m y x y x m m   ′= − + − +   Khi đó: 2 1 1 2y x m m= − + ; 2 2 2 2y x m m= − + PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là 22y x m m= − + . HT 21. Cho hàm số 3 23 2 ( ). m y x x mx C= − + + Tìm m để ( ) m C có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của hàm số cách đều đường thẳng : 1 0.d x y− − = Giải Ta có : 2 2' 3 6 ; ' 0 3 6 0 (1).y x x m y x x m= − + = ⇔ − + = Hàm số ( ) m C có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt 3.m⇔ < Giả sử ( )1 1 2 2( ; ), ;A x y B x y là hai điểm cực trị của hàm số 1 2( ),( ,mC x x là 2 nghiệm của (1). GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 16 Ta có : 1 ' 2 1 2 3 3 3 3 x m m y y x       = − + − + +         và 1 2 '( ) '( ) 0y x y x= = Nên phương trình đường thẳng đi qua ,A B là : ' : 2 1 2 . 3 3 m m d y x   = − + +    Do đó, các điểm ,A B cách đều đường thẳng (d) trong hai trường hợp sau : Trường hợp 1 : (d’) cùng phương với (d) 9 2 1 1 3 2 m m   ⇔ − = ⇔ =    (Không thỏa mãn) Trường hợp 2 : Trung điểm I của ,A B nằm trên (d). Do (I) là trung điểm của AB nên tọa độ (I) là : 1 2 1 2 1 2 2 x x x y y y m  + = =  + = = Vì I nằm trên (d) nên ta có 1 1 0 0m m− − = ⇔ = (thỏa mãn) KL : 0m = HT 22. Cho hàm số 3 23 2y x x mx= − − + (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng 1y x= − . Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta có: 2' 3 6y x x m= − − . Hàm số có CĐ, CT 2' 3 6 0y x x m⇔ = − − = có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ;x x ' 9 3 0 3m m⇔∆ = + > ⇔ >− (*) Gọi hai điểm cực trị là ( ) ( )1 21 2; ; ;A B xy yx Thực hiện phép chia y cho y′ ta được: 1 1 2 ' 2 2 3 3 3 3 m m y x y x            = − − + + −                ⇒ ( ) ( )1 1 1 22 2 2 2 2 2 ; 2 2 3 3 3 3 y y x m m m y xx y m x                 − + + − − + + −                       = = = = GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 17 ⇒ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là ∆: 2 2 2 3 3 m m y x       = − + + −         Các điểm cực trị cách đều đường thẳng 1y x= − ⇔ xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng 1y x= − 2 3 2 1 3 2 m m   − + = ⇔ =−    ⇔  (thỏa mãn) TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng 1y x= − ( ) ( )2 1 2 1 21 2 1 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 .2 6 3 3 1 1 2 2 0 I I x m m x x x x m x m y x m y y + + ⇔ = − ⇔ = −       − + + + − = + −           ⇔ + = − ⇔ =    ⇔ Vậy các giá trị cần tìm của m là: 3 0; 2 m    = −      HT 23. Cho hàm số 3 23y x x mx= − + (1). Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng : – 2 – 5 0d x y = . Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta có 3 2 23 ' 3 6y x x mx y x x m= − + ⇒ = − + Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ 0y ′= có hai nghiệm phân biệt 9 3 0 3m m′⇔ ∆ = − > ⇔ < Ta có: 1 1 2 1 2 3 3 3 3 y x y m x m      ′ = − + − +         Tại các điểm cực trị thì 0y ′= , do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình: 2 1 2 3 3 y m x m   = − +    Như vậy đường thẳng ∆ đi qua các điểm cực trị có phương trình 2 12 3 3 y m x m   = − +    GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 18 nên ∆ có hệ số góc 1 2 2 3 k m= − . d: – 2 – 5 0x y = 1 5 2 2 y x⇔ = − ⇒ d có hệ số góc 2 1 2 k = Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ⊥ ∆ ⇒ 1 2 1 2 1 2 1 0 2 3 k k m m   = − ⇔ − =− ⇔ =    Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I ∈ d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. Vậy: m = 0 HT 24. Cho hàm số 3 23( 1) 9 2y x m x x m= − + + + − (1) có đồ thị là (Cm). Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng 1 : 2 d y x= . Giải • Tập xác định: D = ℝ 2' 3 6( 1) 9y x m x= − + + Hàm số có CĐ, CT ⇔ 2' 9( 1) 3.9 0m∆ = + − > ( ; 1 3) ( 1 3; )m⇔ ∈ −∞ − − ∪ − + +∞ Ta có 2 1 1 2( 2