Tóm tắt lý thuyết :
1. Định nghĩa : Chỉnh hợp : Hoán vị Tổ hợp
2. Nhị thức Newtơn
Tính chất :
Dạng 1:Giải phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình có liên quan đến
Dạng 2: Chứng minh 1 đẳng thức liên quan đến
Dựa vào đặc trưng của đẳng thức, chúng ta chọn các cách giải sau :
38 trang |
Chia sẻ: manphan | Lượt xem: 930 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Giáo án lớp 12 môn Toán - Lý thuyết và các phương pháp giải các dạng toán, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Lý thuyết và các phương pháp giải các dạng toán
I. Tóm tắt lý thuyết :
1. Định nghĩa : ? Chỉnh hợp : ? Hoán vị ?Tổ hợp
2. Nhị thức Newtơn
? ? ? Tính chất :
Dạng 1:Giải phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình có liên quan đến
Dạng 2: Chứng minh 1 đẳng thức liên quan đến
Dựa vào đặc trưng của đẳng thức, chúng ta chọn các cách giải sau :
Cách 1: Dùng công thức cơ bản sau : ; Pn = n! ;
Cách 2 : Sử dụng tinhd chất :
Cách 3 :Khai triển một biểu thức hoặc hai biểu thức bằng hai cách khác nhau. Sau đó đồng nhất hệ số
Nhận dạng : khi vế trái của đẳng thức là tích của hai tổ hợp hoặc bình phương một tổ hợp :
Cách 4 Dùng khai triển ; . Sau đó chọn a, n, x thích hợp
Nhận dạng bài toán để chọn cách giải dựa vào các đại lượng sau :
1. Vế trái của đẳng thức chứa và (hoặc và ) đồng thời mỗi hệ số của tổ hợp là 1, khi đó ta khai triển . Sau đó chọn x = 1 nếu vế trái của đẳng thức không đổi dấu; hoặc x = -1 nếu có đổi dấu
2. Vế trái của đẳng thức chứa và (hoặc và ) đồng thời mỗi hệ số của tổ hợp là an-k thì ta chọn khai triển . Sau chọn
3. Vế trái của đẳng thức chứa và (hoặc và ) đồng thời mỗi hệ số của tổ hợp chứa thì ta chọn khai triển hoặc , sao cho :
chọn
4. Nếu bài toán không có đặc trưng trên ta phân tích rồi đưa về 2 tổng
Cách 5 : Dùng đạo hàm cấp 1, cấp 2
1) Các bước giải :
+ B1: Chọn nhị thức Newton để khai triển
+ B2 : Lờy đạo hàm cấp 1, cấp 2 ở 2 vế của khai triển
+ B3 : Chọn a, b, x thích hợp
2) Nhận dạng đặc trưng của bài toán để chọn cách giải nhị thức :
a./ Vế trái của đẳng thức mất hoặc đồng thời trong mỗi tổ hợp, hệ số đi với nó tăng hoặc giảm đều 1 đơn vị thì ta dùng đạo hàm cấp 1
b./ Vế trái của đẳng thức mất hoặc đồng thời trong mỗi tổ hợp hệ số đi với nó là tích hai số nguyên liên tiếp thì ta dùng đạo hàm cấp 2
c./ Việc chọn đúng nhị thức Newton bằng cách dựa vào đặc trưng của cách 4, sau khi đã loại bỏ các đặc trưng của hàm
3) Chú ý : Một số bài toán chưa có sẵn đặc trưng mà ta phải phân tích để đưa về bài toán có đặc trưng rồi mới giải
Cách 6: Dùng tích phân
1) Các bước giải :
+ B1 : Chọn khai triển nhị thức Newton
+ B2 : Lấy tích phân hai vế với cận thích hợp
+ B3 : tính tích phân hai vế kết quả
2) Nhận dạng đặc trưng của bài toán để chọn cácnh giải
a./ Vế trái của đẳng thức có chứa và ( hoặc ) đồng thời mẫu số trong mỗi tổ hợp tăng hoặc giảm một đơn vị
b./ Mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng : ta chọn cận tích phân là
c./ Chọn đúng nhị thức Newton dựa vào cách 4, sau khi đã loại đi các đặc trưng của tích phân
Dạng 3: Tính tổng một biểu thức chứa
* nhận xét :
1./ Tính tổng một biểu thức có chứa hay chứng minh một đẳng thức có chứa gần giống nhau.
2./ Sự khác nhau giữa chúng là ở dạng 2, biết trước được kết quả( tức là đều phải chứng minh), còn ở dạng 3 chưa biết trước được kết quả.
3./ Vì thế cách nhận dạng đặc trưng của bài toán để chọn cách giải giống như các đặc trưng của dạng 2
Do tính phổ dụng nên chúng ta chỉ đề cập đến 3 cách giải ở dạng này là cách 4, cách 5 và cách 6 ở dạng 2.
Cách 4: Khai triển nhị thức Newton (a+b)n; (a+bx)n. Sau đó chọn a,b, x thích hợp
Dạng 4 : Tìm một số hạng hoặc hệ số của số hạng .
Phương pháp :
?Viết hệ thức newton dưới dạng tổng quát :
?Tính tổng số mũ của xvà y
? Dựa vào giả thiết để tính k . Từ đó suy ra số hoặc hệ số cần tìm
Dạng 5 : Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển .
Phương pháp :
?Khai triển nhị thức newton dưới dạng tổng quát .
?Đặt là hệ số tổng quát của số hạng trong khai triển
? xét tính đơn điệu của dãy . Từ đó để suy ra
Chú ý : để xét tính đơn điệu của với ta sử dụng :
xét tỷ số :
Xét hiệu :
Dạng 1:Giải phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình có liên quan đến
Phương pháp : Tiến hành theo các bước sau:
Bước 1 : Đặt điều kiện có nghĩa là :
Bước 2: Dùng các công thức sau để rút gọn :
= ,
Bước : Sau khi rút gọn được phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đã cho về phương trình – bất phương trình – hệ phương trình cơ bản. Giải tìm nghiệm và chọn nghiệm thích hợp ở điều kiện ở bước 1
Bước 4 : Kết luận
Chú ý: Đối với hệ phương trình ta có thể giải theo phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 1:
Giải các phương trình sau
a)
b)
Giải
a) điều kiện :
Vậy nghiệm của phương trình là n = 7
b) điều kiện : (*)
Ta có :
thoả (*)
Vậy nghiệm của phương trình là :
Bài 2:
Giải các phương trình
a)
b)
Giải
a) điều kiện :
Ta có :
b) điều kiện :
Giả thiết
Phương trình này vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 5 : Hãy tìm số n nguyên dương thoả mãn đẳng thức
Giải
điều kiện :
Phương trình đã cho tương đương với :
n = 11 là giá trị n cần tìm
Bài 9 : Tìm m, n Z+ biết :
Giải
Ta có :
Và :
Từ giả thiết
Vậy là các giá trị cần tìm
Bài 12 : Giải các phương trình sau :
a)
b)
Giải
a) điều kiện :
Do nên n = {2, 3, 4, 5}
Vậy các nghiệm của bất phương trình là : n = {2, 3, 4, 5}
b) điều kiện :
Do và nên n = {2, 3}
Vậy các nghiệm của bất phương trình là : n = {2, 3}
Bài 13 : Giải các bất phương trình sau :
a) (1)
b) (2)
Giải
a) điều kiện : n N
(1)
-9.5 < < 2.5
Do nên
Vậy các nghiệm của bất phương trình là :
b) điều kiện :
(2)
Do nên
Vậy các nghiệm của bất phương trình là :
Bài 14 : Giải bấ phương trình : (1)
Giải
điều kiện :
(1)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là :
Bài 17 : Giải bất phương trình
(1)
Giải
Ta có : (2)
Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế của (2) ta được :
(2)
Chọn x = 1 ta được :
Khi đó : (1)
(2)
Hàm có
f(n) là hàm tăng
Lại có : f(3) = 7 nghiệm của bất phương trình (2) là :
Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là :
Dạng 2: Chứng minh 1 đẳng thức liên quan đến
Dựa vào đặc trưng của đẳng thức, chúng ta chọn các cách giải sau :
Cách 1: Dùng công thức cơ bản sau :
; Pn = n! ;
Bài 1: Chứng minh rằng
Ta có : đpcm
Bài 2: Cho m, n, k N và ; . Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
= (đpcm)
Bài 3: Cho .Chứng minh rằng :
(1)
Giải
Cách a: Theo công thức : ta có :
Khi đó : (1)
= đpcm
Cách b: Khai triển vế trái. Ta có :
A =
=
= (đpcm)
Bài 4: Cho và . Chứng minh rằng : (1)
Giải
(1)
Ta có :
= (đpcm)
Bài 5: Chứng minh rằng
Giải
Ta có :
..
.
Cộng n đẳng thức trên vế theo vế ta được :
=
=
(Theo công thức tính tổng cấp số cộng)
Bài 6: Chứng minh rằng
Giải
Ta có :
=
= (*)
Lần lượt thay x = 0, 1, 2, 3, , n vào (*) ta được :
+ Với k = 0 :
+ Với k = 1 :
+ Với k = 2 :
.
+ Với k = n – 1 :
+ Với k = n :
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được :
=
= (đpcm)
Bài 7: Chứng minh rằng : P1 + 2P2 + 3P3 + + nPn = Pn+1 – 1 (với và Pn là hoán vị của n phần tử )
Giải
Ta có : T = P1 + 2P2 + 3P3 + + nPn
= 1! + 2.2! + 3.3! + + n.n!
= 1! + (3 – 1)2! + (4 – 1)3! + .+ [(n + 1) – 1]n!
= 1! + 3.2! + 4.3! + + (n + 1)n! – (2! + 3! + + n!)
= 1! + 3! + 4! + + (n + 1)! – (2! + 3! + + n!)
= 1! – 2! + Pn+1 = Pn+1 – 1 (đpcm)
Bài 9. Nếu a1, a2, a3 và a4 là 4 hệ số liên tiếp trong khai triển
thì
Tức là : Tạo thành cấp số cộng
Giải
Giả sử :
Khi đó :
=
Mặt khác :
Hay : (đpcm)
Cách 2 : Sử dụng tinhd chất :
Bài 1: Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
(đpcm)
Bài 2: Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
(đpcm)
Bài 3: Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
(đpcm)
Bài 4 : Cho . Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
(đpcm)
Bài 5: Cho . Chứng minh rằng :
Giải
Theo tính chất :
áp dụng :
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được :
(đpcm)
(Do )
Bài 6 : Cho m, n là các số tự nhiên và thoả mãn . Chứng minh rằng
(1)
Giải
Cách a: Phương pháp tách ghép :
Ta có :
(đpcm)
Cách b : Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số:
Ta có :
Hệ số xk trong khai triển là :
Còn hệ số xk trong khai triển cũng chính là hệ số xk trong khai triển từ đó suy ra đpcm
Bài 7 : chứng minh rằng :
Giải
Theo tính chất :
Ta có :
hay (đpcm)
Cách 3 :
Khai triển một biểu thức hoặc hai biểu thức bằng hai cách khác nhau. Sau đó đồng nhất hệ số
Nhận dạng : khi vế trái của đẳng thức là tích của hai tổ hợp hoặc bình phương một tổ hợp :
Bài 1: Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
Hệ số xk trong khai triển là :
Mặt khác :
Hệ số xk trong khai triển cũng chính là hệ số xk trong khai triển Điều phải chứng minh
Bài 2: chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
Hệ số của xn trong tích là :
Mặt khác :
hệ số của xn trong là
Mà hệ số của xn trong tíchcũng chính là hệ số của xn trong khai triển :
(đpcm)
Bài 3: chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
Hệ số : x2n trong tích là:
(1)
Mặt khác :
Hệ số x2n trong khai triển là (2)
Từ (1) và (2) (đpcm)
Bài 4 : Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
Đồng nhất hoá hệ số xr ở hai vế ta có :
(đpcm)
Bài 5: Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
Hệ số của hạng tử x2n+1 trong tích là :
Ta lại có :
Có hệ số của hạng tử chứa x2n+1 là 0, vì tất cả các hạng tử đèu chứa luỹ thừa bậc chẵn của x
= 0
Bài 6: Chứng minh rằng
Giải
Ta có :
Hệ số xp trong tích là :
Mà hệ số xp trong cũng chính là hệ số xp trong tích nên :
(đpcm)
Cách 4 Dùng khai triển ; . Sau đó chọn a, n, x thích hợp
Nhận dạng bài toán để chọn cách giải dựa vào các đại lượng sau :
1. Vế trái của đẳng thức chứa và (hoặc và ) đồng thời mỗi hệ số của tổ hợp là 1, khi đó ta khai triển . Sau đó chọn x = 1 nếu vế trái của đẳng thức không đổi dấu; hoặc x = -1 nếu có đổi dấu
2. Vế trái của đẳng thức chứa và (hoặc và ) đồng thời mỗi hệ số của tổ hợp là an-k thì ta chọn khai triển . Sau chọn
3. Vế trái của đẳng thức chứa và (hoặc và ) đồng thời mỗi hệ số của tổ hợp chứa thì ta chọn khai triển hoặc , sao cho :
chọn
4. Nếu bài toán không có đặc trưng trên ta phân tích rồi đưa về 2 tổng
Bài 1: Chứn minh rằng
a)
b)
Giải
a) Ta có :
Chọn x = 1 ta được : (đpcm)
b) Thay x = 9 vào 2 vế của khai triển trên ta được
(đpcm)
Bài 2 Chứng minh rằng
= 0
Giải
Ta có :
Chọn x = 1 ta được :
= 0 (đpcm)
Bài 3: Cho khai triển biết tổng các hệ số trong khai triển trên bằng 1024. Tìm n.
Giải
Ta có :
Tổng các hệ số của khai triển trên là :
Lại có :
Chọn x = 1 ta được :
Như vậy theo đề thì = 1024 = 210 n = 10
Bài 4 : Chứng minh rằng :
(1)
Giải
(1)
Ta có :
Chọn x = 5 ta được :
(đpcm)
Bài 5 : Chứng minh rằng
Giải
Ta có :
Chọn x = -1 ta được :
(đpcm)
Bài 6 : Chứng minh rằng
Giải
Ta có :
Chọn x = 2 ta được :
(đpcm)
Bài 7: Chứng minh rằng :
a)
b)
Giải
a) Ta có :
Chọn x = 3 ta được :
(đpcm)
b) Ta có :
Chọn a = 3 và b = 4 ta được :
(đpcm)
Bài 8 : Chứng minh rằng
Giải
Ta có :
Chọn x = 7 ta được :
(đpcm)
Chú ý : ta có thể khai triển :
sau đó chọn a = 2, b = 7 cũng được đpcm
Bài 9 : Chứng minh rằng
Giải
Ta có :
Chọn ta được :
(đpcm)
Bài 10: Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
Chọn x = 1 ta được :
Chọn x = -1 ta được :
Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta được :
(đpcm)
Bài 12 Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
Chọn x = 2 ta được :
Mặt khác :
Chọn x = 1 ta được :
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Bài 13 Chứng minh rằng
Giải
Ta có :
Chọn x = 2 ta được :
(1)
Mặt khác :
Chọn x = 2 ta được :
(2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Bài 14 : Chứng minh rằng :
(1)
Giải
(1)
Ta có :
Chọn x = 1 ta được :
(2)
Chọn x = -1 ta được :
do n chẵn (3)
Lấy (2) trừ đi (3) vế theo vế được :
(đpcm)
Cách 5 : Dùng đạo hàm cấp 1, cấp 2
1) Các bước giải :
+ B1: Chọn nhị thức Newton để khai triển
+ B2 : Lờy đạo hàm cấp 1, cấp 2 ở 2 vế của khai triển
+ B3 : Chọn a, b, x thích hợp
2) Nhận dạng đặc trưng của bài toán để chọn cách giải nhị thức :
a./ Vế trái của đẳng thức mất hoặc đồng thời trong mỗi tổ hợp, hệ số đi với nó tăng hoặc giảm đều 1 đơn vị thì ta dùng đạo hàm cấp 1
b./ Vế trái của đẳng thức mất hoặc đồng thời trong mỗi tổ hợp hệ số đi với nó là tích hai số nguyên liên tiếp thì ta dùng đạo hàm cấp 2
c./ Việc chọn đúng nhị thức Newton bằng cách dựa vào đặc trưng của cách 4, sau khi đã loại bỏ các đặc trưng của hàm
3) Chú ý : Một số bài toán chưa có sẵn đặc trưng mà ta phải phân tích để đưa về bài toán có đặc trưng rồi mới giải
Bài 1 : Chứng minh rằng
Giải
Ta có :
Lờy đạo hàm cấp 1 hai vế ta được :
Chọn x = 1 ta được :
(đpcm)
Bài 2: Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
Đạo hàm 2 vế ta được :
Chọn x = 1
(đpcm)
Bài 3: Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
Đạo hàm 2 vế:
Cho x = 1 ta được :
(đpcm)
Bài 4: Chứng minh rằng
Giải
Ta có :
Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế ta được :
Chọn x = -1 ta được :
(đpcm)
Bài 5: Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế :
Chọn x = -2 ta được :
(đpcm)
Bài 6: Chứng minh rằng
Giải
Ta có :
Lờy đạo hàm cấp 1 hai vế :
Chọn x = 2 ta được :
(đpcm)
Bài 7: Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
Lờy đạo hàm cấp 1 hai vế ta được :
Chọn x = 3; a = 5, ta được :
(đpcm)
Bài 8: Chứng minh rằng
Giải
Ta có :
Lờy đạo hàm cấp 1:
Lờy đạo hàm cấp 2:
Chọn x = 1 ta được :
(đpcm)
Bài 9 : Chứng minh rằng
Giải
Ta có :
Lấy đạo hàm cấp 1:
Lấy đạo hàm cấp 2 :
Chọn x = 3 ta được :
(đpcm)
Bài 11 Chứng minh rằng
Giải
Cách a: Ta có :
Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế :
Chọn x = 1 ta được :
(đpcm)
Cách b: Tách làm 2 đẳng thức :
Ta có : T =
=
= = T1 + T2
Ta có : (*)
Lấy đạo hàm hai vế ta được :
Chọn x = 1 ta được :
Chọn x = 1 thay vào khai triển (*) ta được :
Do vậy : T = T1 + T2 = n.2n-1 + 2n = (n + 2)2n-1 (đpcm)
Bài 12 : Chứng minh rằng :
Giải
Ta có : T =
=
=
= T1 + T2
Lấy đạo hàm cấp 1 :
(*)
Lấy đạo hàm cấp 2:
Chọn x = 1 ta được :
T1 =
Thay x = 1 vào hai vế của (*) ta được :
T2 =
Do đó : T = T1 + T2 = n(n-1)2n-2 + n.2n-1 = n(n+1)2n-2 (đpcm)
Cách 6: Dùng tích phân
1) Các bước giải :
+ B1 : Chọn khai triển nhị thức Newton
+ B2 : Lấy tích phân hai vế với cận thích hợp
+ B3 : tính tích phân hai vế kết quả
2) Nhận dạng đặc trưng của bài toán để chọn cácnh giải
a./ Vế trái của đẳng thức có chứa và ( hoặc ) đồng thời mẫu số trong mỗi tổ hợp tăng hoặc giảm một đơn vị
b./ Mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng : ta chọn cận tích phân là
c./ Chọn đúng nhị thức Newton dựa vào cách 4, sau khi đã loại đi các đặc trưng của tích phân
Bài 1 : Chứng minh rằng
Giải
Ta có :
(đpcm)
Bài 4: Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
(dpcm)
Bài 5 : Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
(đpcm)
Bài 6. Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
(dpcm)
Bài 7 : Chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
Chọn n = 1001 ta được :
(dpcm)
Bài 8: Chứng mnh rằng :
Giải
Ta có :
=
(dpcm)
Bài 10: Tính tích phân : . Từ đó chứng minh rằng :
Giải
Ta có :
= (1)
Ta có :
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
(dpcm)
Dạng 3: Tính tổng một biểu thức chứa
* nhận xét :
1./ Tính tổng một biểu thức có chứa hay chứng minh một đẳng thức có chứa gần giống nhau.
2./ Sự khác nhau giữa chúng là ở dạng 2, biết trước được kết quả( tức là đều phải chứng minh), còn ở dạng 3 chưa biết trước được kết quả.
3./ Vì thế cách nhận dạng đặc trưng của bài toán để chọn cách giải giống như các đặc trưng của dạng 2
Do tính phổ dụng nên chúng ta chỉ đề cập đến 3 cách giải ở dạng này là cách 4, cách 5 và cách 6 ở dạng 2.
Cách 4: Khai triển nhị thức Newton (a+b)n; (a+bx)n. Sau đó chọn a,b, x thích hợp
Bài 1: Tính tổng :
Giải
Ta có:
Chọn x = 1 ta được : S = 22004
Bài 2 : Tính tổng :
Giải
Cách a: Tách thành hai tổng :
Ta có:
= S1 + S2
Ta có : (*)
Chọn x = 1 ta được : S1 = 22004
Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế của (*) :
Chọn x = 1 ta được : S2 = 2004.22003
Vậy : S = 22004 + 2004.22003 = 22003.2006
Cách b :
Ta có :
Lấy đạo hàm hai vế :
Chọn x = 1 ta được :
S = 22004 + 2004.22003 = 22003.2006
Bài 3: Tính tổng :
Giải
Ta có :
Chọn x = 3 ta được : S = 4n
Bài 4 : Tính các tổng sau :
a)
b)
Giải
a) Ta có :
Chọn x = 1 ta được :
(1)
Chọn x = -1 ta được :
(2)
Lấy (1) cộng với (2) ta được :
b) Lấy (1) trừ đi (2) ta được :
Bài 5 : Tính S =
Giải
Ta có :
Chọn x = 3 ta được :
Chọn x = -3 ta được :
Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta được :
Bài 6 : Tính tổng : S =
Giải
Ta có : S = với
Theo công thức : nen :
S1 = S2 =
Chọn x = 1 ta được :
Mà S1 = S2 nên S1 = 210
Do đó : S =
Bài 7 : Tính tổng
Giải
Cách a : Tách thành 2 tích :
Ta có :
=
=
= S1 + S2
Chọn x = 2 ta được :
Chọn x = 1 ta được :
Vậy S = 3n – 2n
Cách b: lấy đạo hàm và tích phân
Ta có :
Lấy đạo hàm cấp 1:
Lấy tích phân 2 vế :
Vậy S = 3n – 2n
Bài 8 : Tính tổng S =
Giải
Ta có :
Chọn a = 2; x = 5 ta được :
Vậy S = 7n
Bài 9 : Tính tổng : S =
Giải
Cách a: Tách thành hai tổng :
Ta có :
=
= S1 + 2S2 – 1
(*)
Lấy đạo hàm hai vế :
Chọn x = 1 ta được
S1 = 2004.22003
Chọn x = 1 thay vào (*) ta được :
S2 = 22004
Vậy S = 2004.22003 + 2.22004 – 1
Cách b : Dùng đạo hàm sau khi nhân thêm với x2 :
Ta có :
Lấy đạo hàm hai vế ta được
Chọn x = 1 ta được :
Bài 10 : Tính
A =
B =
Giải
Ta có :
Chọn x = 2 ta được :
(1)
Mặt khác :
Chọn x = 2 ta được :
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
Cách 5 Dùng đạo hàm
Bài 1: Tính tổng : S =
Giải
Ta có :
Lấy đạo hàm hai vế :
Chọn x = 1 ta được :
Vậy S = 18.217
Bài 2 Tính tổng :
Giải
Ta có :
Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế :
Chọn x = 3 ta được :
Dạng 4 : Tìm một số hạng hoặc hệ số của số hạng .
Phương pháp :
?Viết hệ thức newton dưới dạng tổng quát :
?Tính tổng số mũ của a và b
? Dựa vào giả thiết để tính k . Từ đó suy ra số hoặc hệ số cần tìm
Bài tập :
Bài 1 :a. Tìm hệ số của số hạng x4 trong khai triển :
b. Tìm hệ số của số hạng x31 trong khai triển :
c. Tìm hệ số của số hạng x43 trong khai triển :
d. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :
HD : Ta có . Theo đề ra : 10-2k=4
Vậy hệ số chứa x4 là
b. ĐS : c. . d.
Bài 2 : biết rằng trong khai triển có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5 . Hãy tìm số hạng chính giữa của khai triển trên .
HD : Ta có : =
Theo giả thiết : hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển trên là : . Khi đó n=10 thì khai triển sẻ có 11 số hạng
Do đó số hạng chính giửa là số hạng thứ 6 và số hạng đó là :
Bài 3 : Cho khai triển . Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển trên bằng 631. Tìm hệ số của số hạng có chứa
HD :
Tổng số hạng của ba số hạng đầu tiên là : . Khi đó : =. Theo giả thiết :
Vậy hệ số của là
Bài 4 : Biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển :bằng 79 . Tìm số hạng không phụ thuộc vào x
HD : tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển là:
Khi đó khai triển là : . Theo giả thiết : 16- , Vậy số hạng không chứa x là 792
Bài 5 : tìm hệ số x8 trong khai triển : . Biết rằng :
Theo giả thiết :
Khi đó : = =
Mặt khác : theo giả thiết . Vậy hệ số của x8 là :495
Bài 6 : Biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024. Tìm hệ số x12
Ta có : . Tổng các hệ số : , khi đó : . Suy ra : k=6
Bài 7 : Biết tổng trong khai triển bằng 6561. tìm hệ số của x4
ĐS : =1120
Bài 8 : Tìm hệ số trong khai triển : .
Ta có :
Theo đề ra ta có : . Vây hệ số :
Bài 9 : Cho khai triển : . Tìm số hạng chứa x, y sao cho số mũ của x , y là các số nguyên .
Ta có =
Chọn k thoã mãn : . Vậy các số hạng cần tìm :
Bài 10 : tìm các hạng tử là cá số nguyên :
Ta có : = . để các hạng tử là các số nguyên thì :
Bài 11 : Tìm hệ số của x8 trong khai triển : `
Ta có : =
Theo giả thiết :
Vậy hệ số của x8 là
Bài 12 : Tìm hệ số trong khai triển : .
Ta có :
Theo đề rat a có : . Vây hệ số :
Bài 13 : Cho khai triển : . Biết rằng :Tìm số hạng chứa x, y sao cho số mũ của x , y là các số nguyên .
Theo giả thiết :
Ta có =
Chọn k thoã mãn : . Vậy các số hạng cần tìm :
Bài 14 : Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức :ta được :.
Hãy xác định hệ số M9
HD : Hệ số x9 trong : lần lượt là :.
Do đó M9 =
Bài 15 : Cho n là số nguyên dương . Gọi là hệ số của trong khai triển đa thức của :. Xác định n để
HD : Ta có
Theo giả thiết ta suy ra : 3n-2k-i=3n-3với
Từ đó suy ra : hệ số của là :
Bài 16 : Giả sử khai triển : . Tìm a10
Ta có :
Theo giả thiết : với
Vậy
Bài 17 : Tìm hệ số x4 trong khai triển :
Ta có : =
Theo giả thiết : với Vậy hệ số của x4
Bài 18 : Gọi là hệ số trong khai triển sau : .
Tìm hệ số của a5
Ta có :
Vậy hệ số của a5 là
Bài 19 : biết rằng trong khai triển có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5 . Hãy tìm số hạng chính giữa của khai triển trên .
HD : Ta có : =
Theo giả thiết : hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển trên là : . Khi đó n=10 thì khai triển sẻ có 11 số hạng
Do đó số hạng chính giửa là số hạng thứ 6 và số hạng đó là :
Dạng 5 : Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển .
Phương pháp :
?Khai triển nhị thức newton dưới dạng tổng quát .
?Đặt là hệ số tổng quát của số hạng trong khai triển
? xét tính đơn điệu của dãy . Từ đó để suy ra
Chú ý : để xét tính đơn điệu của với ta sử dụng :
xét tỷ số :
Xét hiệu :
Bài 1 : a.Trong khai triển . Trong các hệ số của các số hạng . Tìm hệ số lớn nhất .
b. Trong khai triển . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng trong khai triển trên .
c. Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển :
HD :a. Ta có : . Hệ số tổng quát : với
Xét tỷ số :
. Suy ra dãy tăng với
Như vậy :thì giảm . Suy ra .
Vậy
b. Ta có : . Hệ số tổng quát : với
Xét tỷ số :
. Suy ra dãy tăng với
Như vậy :thì giảm . Suy ra .Mà
Vậy
c. Ta có : . Hệ số tổng quát : với
Xét tỷ số :
. Suy ra dãy tăng với
Như vậy :thì giảm . Suy ra .Mà
Vậy
File đính kèm:
- Dai so - to hop B4.doc