Giáo án lớp 12 môn Toán - Lý thuyết và các phương pháp giải các dạng toán

Lý thuyết và các phương pháp giải các dạng toán I. Tóm tắt lý thuyết : 1. Định nghĩa : ? Chỉnh hợp : ? Hoán vị ?Tổ hợp 2. Nhị thức Newtơn ? ? ? Tính chất : Dạng 1:Giải phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình có liên quan đến Dạng 2: Chứng minh 1 đẳng thức liên quan đến Dựa vào đặc trưng của đẳng thức, chúng ta chọn các cách giải sau : Cách 1: Dùng công thức cơ bản sau : ; Pn = n! ; Cách 2 : Sử dụng tinhd chất : Cách 3 :Khai triển một biểu thức hoặc hai biểu thức bằng hai cách khác nhau. Sau đó đồng nhất hệ số Nhận dạng : khi vế trái của đẳng thức là tích của hai tổ hợp hoặc bình phương một tổ hợp : Cách 4 Dùng khai triển ; . Sau đó chọn a, n, x thích hợp Nhận dạng bài toán để chọn cách giải dựa vào các đại lượng sau : 1. Vế trái của đẳng thức chứa và (hoặc và ) đồng thời mỗi hệ số của tổ hợp là 1, khi đó ta khai triển . Sau đó chọn x = 1 nếu vế trái của đẳng thức không đổi dấu; hoặc x = -1 nếu có đổi dấu 2. Vế trái của đẳng thức chứa và (hoặc và ) đồng thời mỗi hệ số của tổ hợp là an-k thì ta chọn khai triển . Sau chọn 3. Vế trái của đẳng thức chứa và (hoặc và ) đồng thời mỗi hệ số của tổ hợp chứa thì ta chọn khai triển hoặc , sao cho : chọn 4. Nếu bài toán không có đặc trưng trên ta phân tích rồi đưa về 2 tổng Cách 5 : Dùng đạo hàm cấp 1, cấp 2 1) Các bước giải : + B1: Chọn nhị thức Newton để khai triển + B2 : Lờy đạo hàm cấp 1, cấp 2 ở 2 vế của khai triển + B3 : Chọn a, b, x thích hợp 2) Nhận dạng đặc trưng của bài toán để chọn cách giải nhị thức : a./ Vế trái của đẳng thức mất hoặc đồng thời trong mỗi tổ hợp, hệ số đi với nó tăng hoặc giảm đều 1 đơn vị thì ta dùng đạo hàm cấp 1 b./ Vế trái của đẳng thức mất hoặc đồng thời trong mỗi tổ hợp hệ số đi với nó là tích hai số nguyên liên tiếp thì ta dùng đạo hàm cấp 2 c./ Việc chọn đúng nhị thức Newton bằng cách dựa vào đặc trưng của cách 4, sau khi đã loại bỏ các đặc trưng của hàm 3) Chú ý : Một số bài toán chưa có sẵn đặc trưng mà ta phải phân tích để đưa về bài toán có đặc trưng rồi mới giải Cách 6: Dùng tích phân 1) Các bước giải : + B1 : Chọn khai triển nhị thức Newton + B2 : Lấy tích phân hai vế với cận thích hợp + B3 : tính tích phân hai vế kết quả 2) Nhận dạng đặc trưng của bài toán để chọn cácnh giải a./ Vế trái của đẳng thức có chứa và ( hoặc ) đồng thời mẫu số trong mỗi tổ hợp tăng hoặc giảm một đơn vị b./ Mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng : ta chọn cận tích phân là c./ Chọn đúng nhị thức Newton dựa vào cách 4, sau khi đã loại đi các đặc trưng của tích phân Dạng 3: Tính tổng một biểu thức chứa * nhận xét : 1./ Tính tổng một biểu thức có chứa hay chứng minh một đẳng thức có chứa gần giống nhau. 2./ Sự khác nhau giữa chúng là ở dạng 2, biết trước được kết quả( tức là đều phải chứng minh), còn ở dạng 3 chưa biết trước được kết quả. 3./ Vì thế cách nhận dạng đặc trưng của bài toán để chọn cách giải giống như các đặc trưng của dạng 2 Do tính phổ dụng nên chúng ta chỉ đề cập đến 3 cách giải ở dạng này là cách 4, cách 5 và cách 6 ở dạng 2. Cách 4: Khai triển nhị thức Newton (a+b)n; (a+bx)n. Sau đó chọn a,b, x thích hợp Dạng 4 : Tìm một số hạng hoặc hệ số của số hạng . Phương pháp : ?Viết hệ thức newton dưới dạng tổng quát : ?Tính tổng số mũ của xvà y ? Dựa vào giả thiết để tính k . Từ đó suy ra số hoặc hệ số cần tìm Dạng 5 : Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển . Phương pháp : ?Khai triển nhị thức newton dưới dạng tổng quát . ?Đặt là hệ số tổng quát của số hạng trong khai triển ? xét tính đơn điệu của dãy . Từ đó để suy ra Chú ý : để xét tính đơn điệu của với ta sử dụng : xét tỷ số : Xét hiệu : Dạng 1:Giải phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình có liên quan đến Phương pháp : Tiến hành theo các bước sau: Bước 1 : Đặt điều kiện có nghĩa là : Bước 2: Dùng các công thức sau để rút gọn : = , Bước : Sau khi rút gọn được phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đã cho về phương trình – bất phương trình – hệ phương trình cơ bản. Giải tìm nghiệm và chọn nghiệm thích hợp ở điều kiện ở bước 1 Bước 4 : Kết luận Chú ý: Đối với hệ phương trình ta có thể giải theo phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1: Giải các phương trình sau a) b) Giải a) điều kiện : Vậy nghiệm của phương trình là n = 7 b) điều kiện : (*) Ta có : thoả (*) Vậy nghiệm của phương trình là : Bài 2: Giải các phương trình a) b) Giải a) điều kiện : Ta có : b) điều kiện : Giả thiết Phương trình này vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Bài 5 : Hãy tìm số n nguyên dương thoả mãn đẳng thức Giải điều kiện : Phương trình đã cho tương đương với : n = 11 là giá trị n cần tìm Bài 9 : Tìm m, n Z+ biết : Giải Ta có : Và : Từ giả thiết Vậy là các giá trị cần tìm Bài 12 : Giải các phương trình sau : a) b) Giải a) điều kiện : Do nên n = {2, 3, 4, 5} Vậy các nghiệm của bất phương trình là : n = {2, 3, 4, 5} b) điều kiện : Do và nên n = {2, 3} Vậy các nghiệm của bất phương trình là : n = {2, 3} Bài 13 : Giải các bất phương trình sau : a) (1) b) (2) Giải a) điều kiện : n N (1) -9.5 < < 2.5 Do nên Vậy các nghiệm của bất phương trình là : b) điều kiện : (2) Do nên Vậy các nghiệm của bất phương trình là : Bài 14 : Giải bấ phương trình : (1) Giải điều kiện : (1) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : Bài 17 : Giải bất phương trình (1) Giải Ta có : (2) Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế của (2) ta được : (2) Chọn x = 1 ta được : Khi đó : (1) (2) Hàm có f(n) là hàm tăng Lại có : f(3) = 7 nghiệm của bất phương trình (2) là : Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là : Dạng 2: Chứng minh 1 đẳng thức liên quan đến Dựa vào đặc trưng của đẳng thức, chúng ta chọn các cách giải sau : Cách 1: Dùng công thức cơ bản sau : ; Pn = n! ; Bài 1: Chứng minh rằng Ta có : đpcm Bài 2: Cho m, n, k N và ; . Chứng minh rằng : Giải Ta có : = (đpcm) Bài 3: Cho .Chứng minh rằng : (1) Giải Cách a: Theo công thức : ta có : Khi đó : (1) = đpcm Cách b: Khai triển vế trái. Ta có : A = = = (đpcm) Bài 4: Cho và . Chứng minh rằng : (1) Giải (1) Ta có : = (đpcm) Bài 5: Chứng minh rằng Giải Ta có : .. . Cộng n đẳng thức trên vế theo vế ta được : = = (Theo công thức tính tổng cấp số cộng) Bài 6: Chứng minh rằng Giải Ta có : = = (*) Lần lượt thay x = 0, 1, 2, 3, , n vào (*) ta được : + Với k = 0 : + Với k = 1 : + Với k = 2 : . + Với k = n – 1 : + Với k = n : Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được : = = (đpcm) Bài 7: Chứng minh rằng : P1 + 2P2 + 3P3 + + nPn = Pn+1 – 1 (với và Pn là hoán vị của n phần tử ) Giải Ta có : T = P1 + 2P2 + 3P3 + + nPn = 1! + 2.2! + 3.3! + + n.n! = 1! + (3 – 1)2! + (4 – 1)3! + .+ [(n + 1) – 1]n! = 1! + 3.2! + 4.3! + + (n + 1)n! – (2! + 3! + + n!) = 1! + 3! + 4! + + (n + 1)! – (2! + 3! + + n!) = 1! – 2! + Pn+1 = Pn+1 – 1 (đpcm) Bài 9. Nếu a1, a2, a3 và a4 là 4 hệ số liên tiếp trong khai triển thì Tức là : Tạo thành cấp số cộng Giải Giả sử : Khi đó : = Mặt khác : Hay : (đpcm) Cách 2 : Sử dụng tinhd chất : Bài 1: Chứng minh rằng : Giải Ta có : (đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng : Giải Ta có : (đpcm) Bài 3: Chứng minh rằng : Giải Ta có : (đpcm) Bài 4 : Cho . Chứng minh rằng : Giải Ta có : (đpcm) Bài 5: Cho . Chứng minh rằng : Giải Theo tính chất : áp dụng : Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được : (đpcm) (Do ) Bài 6 : Cho m, n là các số tự nhiên và thoả mãn . Chứng minh rằng (1) Giải Cách a: Phương pháp tách ghép : Ta có : (đpcm) Cách b : Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số: Ta có : Hệ số xk trong khai triển là : Còn hệ số xk trong khai triển cũng chính là hệ số xk trong khai triển từ đó suy ra đpcm Bài 7 : chứng minh rằng : Giải Theo tính chất : Ta có : hay (đpcm) Cách 3 : Khai triển một biểu thức hoặc hai biểu thức bằng hai cách khác nhau. Sau đó đồng nhất hệ số Nhận dạng : khi vế trái của đẳng thức là tích của hai tổ hợp hoặc bình phương một tổ hợp : Bài 1: Chứng minh rằng : Giải Ta có : Hệ số xk trong khai triển là : Mặt khác : Hệ số xk trong khai triển cũng chính là hệ số xk trong khai triển Điều phải chứng minh Bài 2: chứng minh rằng : Giải Ta có : Hệ số của xn trong tích là : Mặt khác : hệ số của xn trong là Mà hệ số của xn trong tíchcũng chính là hệ số của xn trong khai triển : (đpcm) Bài 3: chứng minh rằng : Giải Ta có : Hệ số : x2n trong tích là: (1) Mặt khác : Hệ số x2n trong khai triển là (2) Từ (1) và (2) (đpcm) Bài 4 : Chứng minh rằng : Giải Ta có : Đồng nhất hoá hệ số xr ở hai vế ta có : (đpcm) Bài 5: Chứng minh rằng : Giải Ta có : Hệ số của hạng tử x2n+1 trong tích là : Ta lại có : Có hệ số của hạng tử chứa x2n+1 là 0, vì tất cả các hạng tử đèu chứa luỹ thừa bậc chẵn của x = 0 Bài 6: Chứng minh rằng Giải Ta có : Hệ số xp trong tích là : Mà hệ số xp trong cũng chính là hệ số xp trong tích nên : (đpcm) Cách 4 Dùng khai triển ; . Sau đó chọn a, n, x thích hợp Nhận dạng bài toán để chọn cách giải dựa vào các đại lượng sau : 1. Vế trái của đẳng thức chứa và (hoặc và ) đồng thời mỗi hệ số của tổ hợp là 1, khi đó ta khai triển . Sau đó chọn x = 1 nếu vế trái của đẳng thức không đổi dấu; hoặc x = -1 nếu có đổi dấu 2. Vế trái của đẳng thức chứa và (hoặc và ) đồng thời mỗi hệ số của tổ hợp là an-k thì ta chọn khai triển . Sau chọn 3. Vế trái của đẳng thức chứa và (hoặc và ) đồng thời mỗi hệ số của tổ hợp chứa thì ta chọn khai triển hoặc , sao cho : chọn 4. Nếu bài toán không có đặc trưng trên ta phân tích rồi đưa về 2 tổng Bài 1: Chứn minh rằng a) b) Giải a) Ta có : Chọn x = 1 ta được : (đpcm) b) Thay x = 9 vào 2 vế của khai triển trên ta được (đpcm) Bài 2 Chứng minh rằng = 0 Giải Ta có : Chọn x = 1 ta được : = 0 (đpcm) Bài 3: Cho khai triển biết tổng các hệ số trong khai triển trên bằng 1024. Tìm n. Giải Ta có : Tổng các hệ số của khai triển trên là : Lại có : Chọn x = 1 ta được : Như vậy theo đề thì = 1024 = 210 n = 10 Bài 4 : Chứng minh rằng : (1) Giải (1) Ta có : Chọn x = 5 ta được : (đpcm) Bài 5 : Chứng minh rằng Giải Ta có : Chọn x = -1 ta được : (đpcm) Bài 6 : Chứng minh rằng Giải Ta có : Chọn x = 2 ta được : (đpcm) Bài 7: Chứng minh rằng : a) b) Giải a) Ta có : Chọn x = 3 ta được : (đpcm) b) Ta có : Chọn a = 3 và b = 4 ta được : (đpcm) Bài 8 : Chứng minh rằng Giải Ta có : Chọn x = 7 ta được : (đpcm) Chú ý : ta có thể khai triển : sau đó chọn a = 2, b = 7 cũng được đpcm Bài 9 : Chứng minh rằng Giải Ta có : Chọn ta được : (đpcm) Bài 10: Chứng minh rằng : Giải Ta có : Chọn x = 1 ta được : Chọn x = -1 ta được : Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta được : (đpcm) Bài 12 Chứng minh rằng : Giải Ta có : Chọn x = 2 ta được : Mặt khác : Chọn x = 1 ta được : Từ (1) và (2) suy ra đpcm Bài 13 Chứng minh rằng Giải Ta có : Chọn x = 2 ta được : (1) Mặt khác : Chọn x = 2 ta được : (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm Bài 14 : Chứng minh rằng : (1) Giải (1) Ta có : Chọn x = 1 ta được : (2) Chọn x = -1 ta được : do n chẵn (3) Lấy (2) trừ đi (3) vế theo vế được : (đpcm) Cách 5 : Dùng đạo hàm cấp 1, cấp 2 1) Các bước giải : + B1: Chọn nhị thức Newton để khai triển + B2 : Lờy đạo hàm cấp 1, cấp 2 ở 2 vế của khai triển + B3 : Chọn a, b, x thích hợp 2) Nhận dạng đặc trưng của bài toán để chọn cách giải nhị thức : a./ Vế trái của đẳng thức mất hoặc đồng thời trong mỗi tổ hợp, hệ số đi với nó tăng hoặc giảm đều 1 đơn vị thì ta dùng đạo hàm cấp 1 b./ Vế trái của đẳng thức mất hoặc đồng thời trong mỗi tổ hợp hệ số đi với nó là tích hai số nguyên liên tiếp thì ta dùng đạo hàm cấp 2 c./ Việc chọn đúng nhị thức Newton bằng cách dựa vào đặc trưng của cách 4, sau khi đã loại bỏ các đặc trưng của hàm 3) Chú ý : Một số bài toán chưa có sẵn đặc trưng mà ta phải phân tích để đưa về bài toán có đặc trưng rồi mới giải Bài 1 : Chứng minh rằng Giải Ta có : Lờy đạo hàm cấp 1 hai vế ta được : Chọn x = 1 ta được : (đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng : Giải Ta có : Đạo hàm 2 vế ta được : Chọn x = 1 (đpcm) Bài 3: Chứng minh rằng : Giải Ta có : Đạo hàm 2 vế: Cho x = 1 ta được : (đpcm) Bài 4: Chứng minh rằng Giải Ta có : Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế ta được : Chọn x = -1 ta được : (đpcm) Bài 5: Chứng minh rằng : Giải Ta có : Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế : Chọn x = -2 ta được : (đpcm) Bài 6: Chứng minh rằng Giải Ta có : Lờy đạo hàm cấp 1 hai vế : Chọn x = 2 ta được : (đpcm) Bài 7: Chứng minh rằng : Giải Ta có : Lờy đạo hàm cấp 1 hai vế ta được : Chọn x = 3; a = 5, ta được : (đpcm) Bài 8: Chứng minh rằng Giải Ta có : Lờy đạo hàm cấp 1: Lờy đạo hàm cấp 2: Chọn x = 1 ta được : (đpcm) Bài 9 : Chứng minh rằng Giải Ta có : Lấy đạo hàm cấp 1: Lấy đạo hàm cấp 2 : Chọn x = 3 ta được : (đpcm) Bài 11 Chứng minh rằng Giải Cách a: Ta có : Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế : Chọn x = 1 ta được : (đpcm) Cách b: Tách làm 2 đẳng thức : Ta có : T = = = = T1 + T2 Ta có : (*) Lấy đạo hàm hai vế ta được : Chọn x = 1 ta được : Chọn x = 1 thay vào khai triển (*) ta được : Do vậy : T = T1 + T2 = n.2n-1 + 2n = (n + 2)2n-1 (đpcm) Bài 12 : Chứng minh rằng : Giải Ta có : T = = = = T1 + T2 Lấy đạo hàm cấp 1 : (*) Lấy đạo hàm cấp 2: Chọn x = 1 ta được : T1 = Thay x = 1 vào hai vế của (*) ta được : T2 = Do đó : T = T1 + T2 = n(n-1)2n-2 + n.2n-1 = n(n+1)2n-2 (đpcm) Cách 6: Dùng tích phân 1) Các bước giải : + B1 : Chọn khai triển nhị thức Newton + B2 : Lấy tích phân hai vế với cận thích hợp + B3 : tính tích phân hai vế kết quả 2) Nhận dạng đặc trưng của bài toán để chọn cácnh giải a./ Vế trái của đẳng thức có chứa và ( hoặc ) đồng thời mẫu số trong mỗi tổ hợp tăng hoặc giảm một đơn vị b./ Mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng : ta chọn cận tích phân là c./ Chọn đúng nhị thức Newton dựa vào cách 4, sau khi đã loại đi các đặc trưng của tích phân Bài 1 : Chứng minh rằng Giải Ta có : (đpcm) Bài 4: Chứng minh rằng : Giải Ta có : (dpcm) Bài 5 : Chứng minh rằng : Giải Ta có : (đpcm) Bài 6. Chứng minh rằng : Giải Ta có : (dpcm) Bài 7 : Chứng minh rằng : Giải Ta có : Chọn n = 1001 ta được : (dpcm) Bài 8: Chứng mnh rằng : Giải Ta có : = (dpcm) Bài 10: Tính tích phân : . Từ đó chứng minh rằng : Giải Ta có : = (1) Ta có : (2) Từ (1) và (2) ta suy ra (dpcm) Dạng 3: Tính tổng một biểu thức chứa * nhận xét : 1./ Tính tổng một biểu thức có chứa hay chứng minh một đẳng thức có chứa gần giống nhau. 2./ Sự khác nhau giữa chúng là ở dạng 2, biết trước được kết quả( tức là đều phải chứng minh), còn ở dạng 3 chưa biết trước được kết quả. 3./ Vì thế cách nhận dạng đặc trưng của bài toán để chọn cách giải giống như các đặc trưng của dạng 2 Do tính phổ dụng nên chúng ta chỉ đề cập đến 3 cách giải ở dạng này là cách 4, cách 5 và cách 6 ở dạng 2. Cách 4: Khai triển nhị thức Newton (a+b)n; (a+bx)n. Sau đó chọn a,b, x thích hợp Bài 1: Tính tổng : Giải Ta có: Chọn x = 1 ta được : S = 22004 Bài 2 : Tính tổng : Giải Cách a: Tách thành hai tổng : Ta có: = S1 + S2 Ta có : (*) Chọn x = 1 ta được : S1 = 22004 Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế của (*) : Chọn x = 1 ta được : S2 = 2004.22003 Vậy : S = 22004 + 2004.22003 = 22003.2006 Cách b : Ta có : Lấy đạo hàm hai vế : Chọn x = 1 ta được : S = 22004 + 2004.22003 = 22003.2006 Bài 3: Tính tổng : Giải Ta có : Chọn x = 3 ta được : S = 4n Bài 4 : Tính các tổng sau : a) b) Giải a) Ta có : Chọn x = 1 ta được : (1) Chọn x = -1 ta được : (2) Lấy (1) cộng với (2) ta được : b) Lấy (1) trừ đi (2) ta được : Bài 5 : Tính S = Giải Ta có : Chọn x = 3 ta được : Chọn x = -3 ta được : Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta được : Bài 6 : Tính tổng : S = Giải Ta có : S = với Theo công thức : nen : S1 = S2 = Chọn x = 1 ta được : Mà S1 = S2 nên S1 = 210 Do đó : S = Bài 7 : Tính tổng Giải Cách a : Tách thành 2 tích : Ta có : = = = S1 + S2 Chọn x = 2 ta được : Chọn x = 1 ta được : Vậy S = 3n – 2n Cách b: lấy đạo hàm và tích phân Ta có : Lấy đạo hàm cấp 1: Lấy tích phân 2 vế : Vậy S = 3n – 2n Bài 8 : Tính tổng S = Giải Ta có : Chọn a = 2; x = 5 ta được : Vậy S = 7n Bài 9 : Tính tổng : S = Giải Cách a: Tách thành hai tổng : Ta có : = = S1 + 2S2 – 1 (*) Lấy đạo hàm hai vế : Chọn x = 1 ta được S1 = 2004.22003 Chọn x = 1 thay vào (*) ta được : S2 = 22004 Vậy S = 2004.22003 + 2.22004 – 1 Cách b : Dùng đạo hàm sau khi nhân thêm với x2 : Ta có : Lấy đạo hàm hai vế ta được Chọn x = 1 ta được : Bài 10 : Tính A = B = Giải Ta có : Chọn x = 2 ta được : (1) Mặt khác : Chọn x = 2 ta được : (2) Từ (1) và (2) ta có : Cách 5 Dùng đạo hàm Bài 1: Tính tổng : S = Giải Ta có : Lấy đạo hàm hai vế : Chọn x = 1 ta được : Vậy S = 18.217 Bài 2 Tính tổng : Giải Ta có : Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế : Chọn x = 3 ta được : Dạng 4 : Tìm một số hạng hoặc hệ số của số hạng . Phương pháp : ?Viết hệ thức newton dưới dạng tổng quát : ?Tính tổng số mũ của a và b ? Dựa vào giả thiết để tính k . Từ đó suy ra số hoặc hệ số cần tìm Bài tập : Bài 1 :a. Tìm hệ số của số hạng x4 trong khai triển : b. Tìm hệ số của số hạng x31 trong khai triển : c. Tìm hệ số của số hạng x43 trong khai triển : d. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : HD : Ta có . Theo đề ra : 10-2k=4 Vậy hệ số chứa x4 là b. ĐS : c. . d. Bài 2 : biết rằng trong khai triển có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5 . Hãy tìm số hạng chính giữa của khai triển trên . HD : Ta có : = Theo giả thiết : hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển trên là : . Khi đó n=10 thì khai triển sẻ có 11 số hạng Do đó số hạng chính giửa là số hạng thứ 6 và số hạng đó là : Bài 3 : Cho khai triển . Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển trên bằng 631. Tìm hệ số của số hạng có chứa HD : Tổng số hạng của ba số hạng đầu tiên là : . Khi đó : =. Theo giả thiết : Vậy hệ số của là Bài 4 : Biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển :bằng 79 . Tìm số hạng không phụ thuộc vào x HD : tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển là: Khi đó khai triển là : . Theo giả thiết : 16- , Vậy số hạng không chứa x là 792 Bài 5 : tìm hệ số x8 trong khai triển : . Biết rằng : Theo giả thiết : Khi đó : = = Mặt khác : theo giả thiết . Vậy hệ số của x8 là :495 Bài 6 : Biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024. Tìm hệ số x12 Ta có : . Tổng các hệ số : , khi đó : . Suy ra : k=6 Bài 7 : Biết tổng trong khai triển bằng 6561. tìm hệ số của x4 ĐS : =1120 Bài 8 : Tìm hệ số trong khai triển : . Ta có : Theo đề ra ta có : . Vây hệ số : Bài 9 : Cho khai triển : . Tìm số hạng chứa x, y sao cho số mũ của x , y là các số nguyên . Ta có = Chọn k thoã mãn : . Vậy các số hạng cần tìm : Bài 10 : tìm các hạng tử là cá số nguyên : Ta có : = . để các hạng tử là các số nguyên thì : Bài 11 : Tìm hệ số của x8 trong khai triển : ` Ta có : = Theo giả thiết : Vậy hệ số của x8 là Bài 12 : Tìm hệ số trong khai triển : . Ta có : Theo đề rat a có : . Vây hệ số : Bài 13 : Cho khai triển : . Biết rằng :Tìm số hạng chứa x, y sao cho số mũ của x , y là các số nguyên . Theo giả thiết : Ta có = Chọn k thoã mãn : . Vậy các số hạng cần tìm : Bài 14 : Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức :ta được :. Hãy xác định hệ số M9 HD : Hệ số x9 trong : lần lượt là :. Do đó M9 = Bài 15 : Cho n là số nguyên dương . Gọi là hệ số của trong khai triển đa thức của :. Xác định n để HD : Ta có Theo giả thiết ta suy ra : 3n-2k-i=3n-3với Từ đó suy ra : hệ số của là : Bài 16 : Giả sử khai triển : . Tìm a10 Ta có : Theo giả thiết : với Vậy Bài 17 : Tìm hệ số x4 trong khai triển : Ta có : = Theo giả thiết : với Vậy hệ số của x4 Bài 18 : Gọi là hệ số trong khai triển sau : . Tìm hệ số của a5 Ta có : Vậy hệ số của a5 là Bài 19 : biết rằng trong khai triển có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5 . Hãy tìm số hạng chính giữa của khai triển trên . HD : Ta có : = Theo giả thiết : hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển trên là : . Khi đó n=10 thì khai triển sẻ có 11 số hạng Do đó số hạng chính giửa là số hạng thứ 6 và số hạng đó là : Dạng 5 : Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển . Phương pháp : ?Khai triển nhị thức newton dưới dạng tổng quát . ?Đặt là hệ số tổng quát của số hạng trong khai triển ? xét tính đơn điệu của dãy . Từ đó để suy ra Chú ý : để xét tính đơn điệu của với ta sử dụng : xét tỷ số : Xét hiệu : Bài 1 : a.Trong khai triển . Trong các hệ số của các số hạng . Tìm hệ số lớn nhất . b. Trong khai triển . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng trong khai triển trên . c. Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển : HD :a. Ta có : . Hệ số tổng quát : với Xét tỷ số : . Suy ra dãy tăng với Như vậy :thì giảm . Suy ra . Vậy b. Ta có : . Hệ số tổng quát : với Xét tỷ số : . Suy ra dãy tăng với Như vậy :thì giảm . Suy ra .Mà Vậy c. Ta có : . Hệ số tổng quát : với Xét tỷ số : . Suy ra dãy tăng với Như vậy :thì giảm . Suy ra .Mà Vậy