Giáo án lớp 12 môn Toán - Lý thuyết về các phương pháp giải các dạng toán

Lý thuyết và các phương pháp giải các dạng toán I. Tóm tắt lý thuyết : 1. Định nghĩa : ? Chỉnh hợp : ? Hoán vị ?Tổ hợp 2. Nhị thức Newtơn ? ? ? Tính chất : Dạng 1:Giải phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình có liên quan đến Dạng 2: Chứng minh 1 đẳng thức liên quan đến Dựa vào đặc trưng của đẳng thức, chúng ta chọn các cách giải sau : Cách 1: Dùng công thức cơ bản sau : ; Pn = n! ; Dạng 4 : Tìm một số hạng hoặc hệ số của số hạng . Phương pháp : ?Viết hệ thức newton dưới dạng tổng quát : ?Tính tổng số mũ của xvà y ? Dựa vào giả thiết để tính k . Từ đó suy ra số hoặc hệ số cần tìm Dạng 5 : Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển . Phương pháp : ?Khai triển nhị thức newton dưới dạng tổng quát . ?Đặt là hệ số tổng quát của số hạng trong khai triển ? xét tính đơn điệu của dãy . Từ đó để suy ra Chú ý : để xét tính đơn điệu của với ta sử dụng : xét tỷ số : Xét hiệu : Dạng 1:Giải phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình có liên quan đến Phương pháp : Tiến hành theo các bước sau: Bước 1 : Đặt điều kiện có nghĩa là : Bước 2: Dùng các công thức sau để rút gọn : = , Bước : Sau khi rút gọn được phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đã cho về phương trình – bất phương trình – hệ phương trình cơ bản. Giải tìm nghiệm và chọn nghiệm thích hợp ở điều kiện ở bước 1 Bước 4 : Kết luận Chú ý: Đối với hệ phương trình ta có thể giải theo phương pháp đặt ẩn phụ Bài 17 : Giải bất phương trình (1) Giải Ta có : (2) Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế của (2) ta được : (2) Chọn x = 1 ta được : Khi đó : (1) (2) Hàm có f(n) là hàm tăng Lại có : f(3) = 7 nghiệm của bất phương trình (2) là : Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là : Bài 10: Chứng minh rằng : Giải Ta có : Chọn x = 1 ta được : Chọn x = -1 ta được : Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta được : (đpcm) Cách 6: Dùng tích phân 1) Các bước giải : + B1 : Chọn khai triển nhị thức Newton + B2 : Lấy tích phân hai vế với cận thích hợp + B3 : tính tích phân hai vế kết quả 2) Nhận dạng đặc trưng của bài toán để chọn cácnh giải a./ Vế trái của đẳng thức có chứa và ( hoặc ) đồng thời mẫu số trong mỗi tổ hợp tăng hoặc giảm một đơn vị b./ Mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng : ta chọn cận tích phân là c./ Chọn đúng nhị thức Newton dựa vào cách 4, sau khi đã loại đi các đặc trưng của tích phân Bài 1 : Chứng minh rằng Giải Ta có : (đpcm) Bài 4: Chứng minh rằng : Giải Ta có : (dpcm) Bài 5 : Chứng minh rằng : Giải Ta có : (đpcm) Bài 6. Chứng minh rằng : Giải Ta có : (dpcm) Bài 8: Chứng mnh rằng : Giải Ta có : = (dpcm) Bài 10: Tính tích phân : . Từ đó chứng minh rằng : Giải Ta có : = (1) Ta có : (2) Từ (1) và (2) ta suy ra (dpcm) Dạng 4 : Tìm một số hạng hoặc hệ số của số hạng . Phương pháp : ?Viết hệ thức newton dưới dạng tổng quát : ?Tính tổng số mũ của xvà y ? Dựa vào giả thiết để tính k . Từ đó suy ra số hoặc hệ số cần tìm Bài tập : Bài 1 :a. Tìm hệ số của số hạng x4 trong khai triển : b. Tìm hệ số của số hạng x31 trong khai triển : c. Tìm hệ số của số hạng x43 trong khai triển : d. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : HD : Ta có . Theo đề ra : 10-2k=4 Vậy hệ số chứa x4 là b. ĐS : c. . d. Bài 2 : biết rằng trong khai triển có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5 . Hãy tìm số hạng chính giữa của khai triển trên . HD : Ta có : = Theo giả thiết : hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển trên là : . Khi đó n=10 thì khai triển sẻ có 11 số hạng Do đó số hạng chính giửa là số hạng thứ 6 và số hạng đó là : Bài 3 : Cho khai triển . Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển trên bằng 631. Tìm hệ số của số hạng có chứa HD : Tổng số hạng của ba số hạng đầu tiên là : . Khi đó : =. Theo giả thiết : Vậy hệ số của là Bài 4 : Biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển :bằng 79 . Tìm số hạng không phụ thuộc vào x HD : tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển là: Khi đó khai triển là : . Theo giả thiết : 16- , Vậy số hạng không chứa x là 792 Bài 4 : tìm hệ số x8 trong khai triển : . Biết rằng : Theo giả thiết : Khi đó : = = Mặt khác : theo giả thiết . Vậy hệ số của x8 là :495 Bài 5 : Biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024. Tìm hệ số x12 Ta có : . Tổng các hệ số : , khi đó : . Suy ra : k=6 Bài 6 : Biết tổng trong khai triển bằng 6561. tìm hệ số của x4 ĐS : =1120 Bài 7 : Tìm hệ số trong khai triển : . Ta có : Theo đề rat a có : . Vây hệ số : Bài 8 : Cho khai triển : . Tìm số hạng chứa x, y sao cho số mũ của x , y là các số nguyên . Ta có = Chọn k thoã mãn : . Vậy các số hạng cần tìm : Bài 8 : tìm các hạng tử là cá số nguyên : Ta có : = . để các hạng tử là các số nguyên thì : Bài 9 : Tìm hệ số của x8 trong khai triển : ` Ta có : = Theo giả thiết : Vậy hệ số của x8 là Bài 10 : Tìm hệ số trong khai triển : . Ta có : Theo đề rat a có : . Vây hệ số : Bài 11 : Cho khai triển : . Biết rằng :Tìm số hạng chứa x, y sao cho số mũ của x , y là các số nguyên . Theo giả thiết : Ta có = Chọn k thoã mãn : . Vậy các số hạng cần tìm : Bài 12 : Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức :ta được :. Hãy xác định hệ số M9 HD : Hệ số x9 trong : lần lượt là :. Do đó M9 = Bài 13 : Cho n là số nguyên dương . Gọi là hệ số của trong khai triển đa thức của :. Xác định n để HD : Ta có Theo giả thiết ta suy ra : 3n-2k-i=3n-3với Từ đó suy ra : hệ số của là : Bài 14 : Giả sử khai triển : . Tìm a10 Ta có : Theo giả thiết : với Vậy Bài 15 : Tìm hệ số x4 trong khai triển : Ta có : = Theo giả thiết : với Vậy hệ số của x4 Bài 16 : Gọi là hệ số trong khai triển sau : . Tìm hệ số của a5 Ta có : Vậy hệ số của a5 là Bài 17 : biết rằng trong khai triển có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5 . Hãy tìm số hạng chính giữa của khai triển trên . HD : Ta có : = Theo giả thiết : hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển trên là : . Khi đó n=10 thì khai triển sẻ có 11 số hạng Do đó số hạng chính giửa là số hạng thứ 6 và số hạng đó là : Dạng 5 : Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển . Phương pháp : ?Khai triển nhị thức newton dưới dạng tổng quát . ?Đặt là hệ số tổng quát của số hạng trong khai triển ? xét tính đơn điệu của dãy . Từ đó để suy ra Chú ý : để xét tính đơn điệu của với ta sử dụng : xét tỷ số : Xét hiệu : Bài 1 : a.Trong khai triển . Trong các hệ số của các số hạng . Tìm hệ số lớn nhất . b. Trong khai triển . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng trong khai triển trên . c. Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển : HD :a. Ta có : . Hệ số tổng quát : với Xét tỷ số : . Suy ra dãy tăng với Như vậy :thì giảm . Suy ra . Vậy b. Ta có : . Hệ số tổng quát : với Xét tỷ số : . Suy ra dãy tăng với Như vậy :thì giảm . Suy ra .Mà Vậy c. Ta có : . Hệ số tổng quát : với Xét tỷ số : . Suy ra dãy tăng với Như vậy :thì giảm . Suy ra .Mà Vậy