Giáo án lớp 12 môn Toán - Mặt phẳng trong không gian

Mặt phẳng trong không gian I. Tóm tắt lý thuyết : 1. cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng : Định nghĩa : Hai vectơ gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cộng tuyến và các đường thẳng chứa chúng đều song song hoặc nằm trên (P) . Chú ý : * Mỗi mặt phẳng có vô số cặp vectơ chỉ phương . * hai mặt phẳng phân biệt có cùng cặp vectơ chỉ phương thì song song với nhau . * Một mặt phẳng (P) được hoàn toàn xác định khi biết đi ểm M0 mà nó đi qua và cặp vectơ chỉ phương . 2. vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Định nghĩa : * Nếu là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) Chú ý : - Nếu là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì vectơ với đều là vectơ pháp tuyến của (P) . - Nếu là vectơ pháp tuyến và là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) thì : với 3. Trong không gian Oxyz Phương trình mặt phẳng có dạng : với Nếu (P) là mặt phẳng có Phương trình tổng quát : thì vectơ pháp tuyến của (P)là Mặt phẳng (P) đi qua đi ểm Mvà có vectơ pháp tuyến có Phương trình tổng quát : . Chú ý : Nếu D=0 mặt phẳng (P) đi qua gốc toạ độ . Nếu A = 0 ; mặt phẳng (P) có dạng : By +Cz +D =0 sẽ chứa hoặc song song với ox. Nếu B = 0 ; mặt phẳng (P) có dạng : Ax +Cz +D =0 sẽ chứa hoặc song song với oy. Nếu C = 0 ; mặt phẳng (P) có dạng : By +Cz +D =0 sẽ chứa hoặc song song với ox. Lập phương trình mặt phẳng I. Phương pháp : Để lập phương trình của mặt phẳng (p) ta làm như sau : Xác định một điểm Xác định vectơ chỉ phương của (P) Khi đó mặt phẳng (P) có dạng : . CHú ý : 1. mặt phẳng (P) đi qua có dạng : Khi đó ta đi xác định : A;B;C 2. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến có dạng : Để xác định (P) ta cần đi xác định D 3. mặt phẳng (P) //(Q) : có dạng : Để xác định (P) ta cần đi xác định E 4. phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn là mặt phẳng (P) đi qua ba đi ểm : có dạng : II Ví dụ : Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (P), biết : a. (P) đi qua đi ểm A(1, 2, 3) và có vtpt b. (P) đi qua đi ểm B(2, -1, 1) và có cặp vtcp , Giải a. Mặt phẳng (P) được cho bởi : (P) : b. Gọi là vtpt của mặt phẳng (P, ta có : Mặt phẳng (P) được cho bởi : (P) : Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2, 1, 4), B(-2, -3, 2). Giải Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB được cho bởi : (P) : Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) biết : a. (P) đi qua đi ểm A(1, 3, -2) và song song với (Q) có phương trình : (Q) : x + y + z + 1 = 0 b. (P) đi qua đi ểm B(3,-2, 3) và song song với các trục Ox và Oy. c. (P) đi qua đi ểm C(-2, 3, 1) và vuông góc với hai mặt phẳng (P1), (P2), biết : (P1): 2x + y + 2z – 10 và (P2) : 3x + 2y + z + 8 = 0 Giải a. Ta có : Vì (P) // (Q) : x + y + z + 1 = 0, nên phương trình của (P) có dạng : (P) : x + y + z + E = 0 Vì A(1, 3, -2) (P), ta có : 1 + 3 + 2.(-2) + E = 0 E = 0 Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là : (P) : x + y + z = 0 b. Ta có : Vì (P) song song với các trục Ox và Oy (P) // (Oxy), có dạng : (P) : z + E = 0 Vì B(3, -2, 3) (P), ta có 3 + E = 0 E = -3 Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là : (P) : z – 3 = 0 c. Gọi theo thứ tự là vtcp của các mặt phẳng (P), (P1), (P2), ta có : Vì (P) vuông góc với hai mặt phẳng (P1), (P2) nên nó nhận làm cặp vtcp, từ đó : Mặt phẳng (P) được cho bởi : (P) : Ví dụ 4 : Lập phương trình mặt phẳng (P), biết : a. (P) đi qua hai đi ểm A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và cùng phương với trục Ox b. (P) đi qua đi ểm C(4, 3, 1) và chứa trục Oy c. (P) đi qua hai đi ểm A(1, 0, 1); B(2, 1, 2) và vuông góc với mặt phẳng (Q) có phương trình : (Q) : x + 2y + 3z + 3 = 0 Giải a. Gọi là vtpt của mặt phẳng (P), ta có : chọn Mặt phẳng (P) được cho bởi : (P) : (P) : b. Gọi là vtpt của mặt phẳng (P), ta có : chọn Mặt phẳng (P) được cho bởi : (P) : c. Gọi , theo thứ tự là vtpt của (P) và (Q), ta được : Ta có : Mặt phẳng (P) được cho bởi : (P) : Ví dụ 5: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba đi ểm : a. A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) và C(0, 0, 6) b. A(1, 1, 0), B(1, 0, 0) và C(0, 1, 1) Giải a. Nhận xét rằng A, B, C theo thứ tự thuộc ba trục toạ độ, do đó: (ABC) : (ABC) : 6x + 3y + z – 6 = 0 Bài tập : Bài 1 : Lập phương trình mặt phẳng trung trực của AB với ĐS : Bài 2 : Lập phương trình mặt phẳng (P) biết rằng : mặt phẳng (P) đi qua đi ểm và song song với mp (Q) : mặt phẳng (P) đi qua đi ểm và song song với trục ox , oy mặt phẳng (P) đi qua đi ểm và vuông góc với hai mặt phẳng và ĐS : a. b. c. Vì mặt phẳng (P) vuông góc với hai mặt phẳng (P1) ; (P2) nên nhận làm cặp vectơ chỉ phương . Do đó . Suy ra Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Phương pháp : Cho hai mặt phẳng với với Để xét vị trí tương đối của ta sử dụng kết quả sau : Chùm mặt phẳng và ứng dụng Phương pháp : Cho hai mặt phẳng với với Thoả mãn khi đó : và phương trình đường thẳng (d) có dạng : ?Tập hợp tất cả các mặt phẳng cùng đi qua đường thẳng (d) gọi là một chùm mặt phẳng . ?Đường thẳng (d) được gọi là trục của chùm . ?Các mặt phẳng được gọi là mặt phẳng cơ sở của chùm . ? Phương trình chùm có dạng : với .(1) Khi đó mặt phẳng (P) có vtpt : Dạng 1 : chứng minh họ mặt phẳng (Pm) luôn đi đường thẳng cố định ta làm như sau : ?Biến đổi phương trình của họ (Pm) về dạng : ? Vậy học (Pm) luôn đi qua một đường thẳng (d) cố định có phương trình : Dạng 2 : Chứng minh mặt phẳng (P) thuộc chùm mặt phẳng (Pm) cho trước . Giả sử : (P) : (Pm) : . Khi đó chúng ta xét hệ phương trình : nghiệm m Vậy (P)thuộc chùm mặt phẳng (Pm) ứng với m=m0 Ví dụ : Cho chùm mặt phẳng (Pm) có phương trình : a. Chứng minh rằng mặt phẳng thuộc chùm mặt phẳng (Pm) b. Xác định để mặt phẳng : thuộc chùm (Pm) ĐS : a.Vậy (P) thuộc chùm mặt phẳng (Pm) ứng với m=-2 b. phương trình chùm mặt phẳng (Pm) có dạng : . Do vậy chùm mặt phẳng (Pm) được tạo bởi trục (d) có phương trình : khi đó lấy 2 đi ểm phân biệt thuộc (d) Để (Q) thuộc chùm (Pm) ta được : Dạng 3 : Tìm đi ều kiện của tham số để mặt phẳng (P) thuộc chùm mặt phẳng (Pm) cho trước : ? Xác định phương trình của trục (d) của chùm mặt phẳng (Pm) ? Lấy 2 đi ểm A; B; thuộc (d) ? Để (P) thuộc (Pm) giá trị của tham số Ví dụ : Xác định n ; m để mặt phẳng (P) : thuộc chùm mặt phẳng : .ĐS : Dạng 4 : mặt phẳng của chùm đi qua một điểm M cho trước . Khi đó ta làm : ? Thay toạ độ đi ểm M vào (1) ta nhận được mối liên hệ giữa . Kí hiệu : (2). ? Thay (2) vào (1) ta nhận được phương trình mặt phẳng cần tìm . Ví dụ : Cho điểm và đường thẳng (d) có phương trình : . Lập phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa (d) HD : chuyển phương trình (d) về dạng tổng quát : Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa (d) .ĐS : Ví dụ : Cho điểm và đường thẳng (d) có phương trình : a. b. c, ĐS : a. b. c. Dạng 5 : mặt phẳng của chùm song song với một mặt phẳng (Q) cho trước : ? Xác định vectơ pháp tuyến của (Q) ? mặt phẳng của chùm song song với mặt phẳng (Q) (3) ?Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm Ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và song song mặt phẳng (Q) cho trước : ĐS : Dạng 6 : mặt phẳng của chùm vuông góc với một mặt phẳng (Q) cho trước : ? Xác định vectơ pháp tuyến của (Q) ? mặt phẳng của chùm vuông góc với mặt phẳng (Q) (3) ?Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : a. và ĐS : b. và ĐS : HD :a .Gọi là vectơ pháp tuyến của (Q) Gọi (P) là mặt phẳng cần Xác định : ?(P) chứa (d) (P) thuộc chùm mặt phẳng Xác định bởi (d) có dạng : (1) . Khi đó : có vectơ pháp tuyến ?mặt phẳng (P) vuông góc (Q) (3) Thay (3) vào (1) ta được : Dạng 7 : Mặt phẳng của chùm song song với một đường thẳng cho trước : ? Xác định vectơ chỉ phương của ? mặt phẳng của chùm song song với một đường thẳng cho trước (3) ?Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và song song với đường thẳng : và ĐS : Dạng 8 : mặt phẳng của chùm vuông góc với một đường thẳng cho trước : ? Xác định vectơ chỉ phương của ? mặt phẳng của chùm vuông góc với một đường thẳng cho trước : (3) ?Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và vuông góc với đường thẳng : a. và ĐS : Dạng 9 : mặt phẳng của chùm tạo với một mặt phẳng (Q) một góc bất kỳ : ? Xác định vectơ pháp tuyến của (Q) ?mặt phẳng của chùm tạo với mặt phẳng(P) một góc (3) ? Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm Ví dụ : Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phương trình và . Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc với ĐS : và Dạng 10 : mặt phẳng của chùm tạo với một đường thẳng một góc bất kỳ : ? Xác định vectơ chỉ phương của ?mặt phẳng của chùm tạo với một đường thẳng một góc (3) ? Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm Ví dụ : lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tạo với đường thẳng một góc bằng 600 . và ĐS : Dạng 11 : Khoảng cách từ điểm cho trước đến mặt phẳng của chùm bằng m. ta làm như sau : ?Ta có : (3) ? Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm đường thẳng và các bài toán liên qua . vectơ chỉ phương của đường thẳng . Định nghĩa : 2. phương trình tham số của đường thẳng Định lý : Trong kg 0xyzcho đường thẳng (d) đi qua điểm và có vtcp có phương trình : (1) . ?phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng . Các trường hợp riêng : TH1 : Nếu a1=0 ta được : là đường thẳng có vtcp : Do đó (song song với mặt phẳng 0yz) cắt 0x tại điểm x0 . Lý luận tương tự cho TH : a2= 0 ; a3 =0 ; 3. phương trình chính tắc của đường thẳng . Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số : Suy ra : Phương trình (2) với điều kiện : được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng . 4. phương trình tổng quát của đường thẳng . Vì đường thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng nào đó .nên phương trình tổng quát của (d) có dạng . với điều kiện : . Trong đó (1) &(2) thoe thứ tự là phương trình của mặt phẳng Khi đó một vtcp của đường thẳng (d) được xác định . 5. phương pháp chung : 5.1. phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương . 5.2. phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm 5.3. phương trình đường thẳng được coi là giao tuyến của 2 mặt phẳng Bài tập : Bài 1 : Lập phương trình chính tắc của đường thẳng qua và song song đường thẳng ĐS : Bài 2 : Lập phương trình chính tắc, tham số của đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng ĐS : Bài 3 : Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;0;-3) và vuông góc với 2 đường thẳng và HD: Gọi lần lượt là vectơ chỉ phương của Ta có ; . Theo giả thiết . Vậy phương trình đường thẳng đi qua và nhận làm vectơ chỉ phương . Bìa 4 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm song song mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d: . HD: Gọi lần lượt là vectơ chỉ phương của và vectơ pháp tuyến của (P) . Theo giả thiết : =(2;5;-3) Vậy phương trình đường thẳng đi qua và nhận làm vtcp. Chú ý : Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng dưới dạng phương trình tổng quát thì ta thực hiện : và .. ĐS Bài 5 : Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua và vuông góc với 2 đường thẳng Đs : Dạng 1 : Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với 2 đường thẳng cho trước ta làm như sau : Cách 1 : ?Xác định các vtcp của các đường thẳng ? Gọi là một vtcp của đường thẳng (d) . Ta có : ?Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và nhận làm vtcp . Cách 2 : ? lập phương trình mặt phẳng (P1) đI qua M và ? lập phương trình mặt phẳng (P2) đI qua M và ? Khi đó đường thẳng d là giao tuyến của Chú ý : - Khi lập phương trình chính tắc hoặc tham số của đường thẳng d ta sử dụng cách 1 .còn khi viết phương trình tổng quát ta dùng cách 2 Dạng 2 : Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng cho trước ta làm như sau : Cách 1 : ? lập phương trình mặt phẳng (P1) đI qua M và ? lập phương trình mặt phẳng (P2) đI qua M và ? Khi đó đường thẳng d là giao tuyến của với và d1 không song song với d2 Cách 2 : ? lập phương trình mặt phẳng (P) đI qua M và ? Xác định Nếu không tồn tại giao điểm thì kết luận vô nghiệm . Nếu có vô số giao điểm thì kết luận có vô số đường thẳng trong (P) đI qua M cắt d2 Nếu có nghiệm duy nhất ta thực hiện bước 3 . ? Viết phương trình đường thẳng d đI qua M và nhận làm vtcp . Cách 3 : Dùng trong trường hợp là phương trình tham số . ? Giả sử .Khi đó toạ độ điểm N thoả mãn phương trình tham số của . Từ đó suy ra . ? vì suy ra toạ độ điểm N. ? lập phương trình đường thẳng d đI qua N và nhận làm vtcp . Chú ý : - Khi lập phương trình chính tắc hoặc tham số của đường thẳng d ta sử dụng cách 2 hoặ 3 .còn khi viết phương trình tổng quát ta dùng cách 1 Dạng 3 : lập phương trình đường thẳng đI qua M và cắt cả 2 đường thẳng Cách 1 : ? Lập phương trình mặt phẳng đI qua M và ? Lập phương trình mặt phẳng đI qua M và Khi đó với (P1) không song song hoặc trùng (P2) và d không song song Cách 2 : ? Lập phương trình mặt phẳng đI qua M và ? Xác định Nếu không tồn tại giao điểm thì kết luận vô nghiệm . Nếu có vô số giao điểm thì kết luận có vô số đường thẳng trong (P) đI qua M cắt d2 Nếu có nghiệm duy nhất ta thực hiện bước 3 . ? Viết phương trình đường thẳng d đI qua M và nhận làm vtcp . Chú ý : - Khi lập phương trình chính tắc hoặc tham số của đường thẳng d ta sử dụng cách 2.còn khi viết phương trình tổng quát ta dùng cách 1 Dạng 4 : lập phương trình đường thẳng d đI qua M vuông góc và nằm trong mặt phẳng ta làm như sau : ? Lập phương trình mặt phẳng đI qua M và vuông góc mặt phẳng đI qua M và nhận làm vtpt . ?Khi đó đường thẳng Ví dụ1 : Cho mặt phẳng và đường thẳng d có phương trình : Và a. Xác định ĐS : b. Lập phương trình đường thẳng đI qua M vuông góc với d và nằm trong ĐS : phương trình đường thẳng Ví dụ2 : Cho mặt phẳng và đường thẳng d có phương trình : Và a. Xác định ĐS : b. Lập phương trình đường thẳng đI qua M vuông góc với d và nằm trong ĐS : b. Ví dụ 3 : Cho mặt phẳng và đường thẳng d có phương trình : Và a. Xác định b. Lập phương trình đường thẳng đI qua M vuông góc với d và nằm trong Chú ý : Chứng minh 2 đường thẳng chéo nhau . Dạng 5 : Lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều 2 đường thẳng chéo nhau . B1:Với d1 ; d2 ta xác định được VTCP và điểm đI qua ; Xác định toạ độ trung điểm B2 : phương trình mặt phẳng (P) được Xác định bởi đI qua N và nhận làm vtpt Ví dụ 1 : Cho 2 đường thẳng : Chứng minh 2 đường thẳng chéo nhau . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều d1 ; d2 Dạng 6 : Lập phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau . ?Gọi d là đường thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau , Khi đó vtcp của d thoã mãn : ?Gọi (P1) là mặt phẳng chứa d và d1 .Khi đó (P1) đI qua và nhận ?Gọi (P2) là mặt phẳng chứa d và d2 .Khi đó (P2) đI qua và nhận ?phương trình đường thẳng (d) chính là giao tuyến của 2 mặt phẳng Chú ý : Lập phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhauvà vuông góc nhau . ? Dựng mặt phẳng (P1) thoã mãn : ? Dựng mặt phẳng (P1) thoã mãn : ?phương trình đường thẳng (d) chính là giao tuyến của 2 mặt phẳng Ví dụ : Cho 2 đường thẳng a.Chứng minh rằng 2 đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau . b. lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều ĐS: Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của ĐS Ví dụ2 : Cho 2 đường thẳng a.Chứng minh rằng 2 đường thẳng chéo nhau b. Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của ĐS : Dang Lập phương trình đường thẳng (d1) qua A vuông góc với (d) và nằm trong (P) phương pháp : ?Lập phương trình mặt phẳng (Q) thoã mãn : ?đường thẳng (d1) chính là giao tuyến của (P) và (Q) . Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng qua A vuông góc với và nằm trong mặt phẳng với và HD : Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và nhận Và ĐS : Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp : Để xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng ta làm như sau : ? Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (P) ; ?Biện luận số nghiệm của hệ phương trình ; Chú ý : Chứng minh rằng đường thẳng (d) // (P) ta làm như sau : ? lấy điểm rồi chỉ ra ? suy ra (d) //(P) Chứng minh rằng đường thẳng (d) (P) ta làm như sau : ? lấy điểm rồi chỉ ra ? suy ra (d) (P) Biện luận theo tham số vị trí tương đối của (d) và mặt phẳng (P) ta làm như sau : ? Chuyển phương trình đường thẳng (d) về dạng tham số ? Thay (d) vào (P) , rồi biện luận theo t Ví dụ : Biện luận theo m vị trí tương đối của (P) và (d) và Trong TH bài toán yêu cầu vị trí tương đối cụ thể của đường thẳng và mặt phẳng thì ta sử dụng vtcp của đường thẳng và vtpt của mặt phẳng ? Cho đường thẳng có vtcp và đi qua ; có vtpt 5.1 5.2 5.3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng Phương pháp : Cho 2 đường thẳng và (d2) có phương trình : có vtcp và đi qua có vtcp và đi qua Để xét vị trí tương đối của (d1) và ta làm như sau : ? (d1) và (d2) đồng phẳng khi và chỉ khi * và * * ? chéo nhau Ví dụ : Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau : a. ĐS : b. ĐS : c. ĐS : cắt Bài tập : Bài 1 : Lập phương trình tham số , chính tắc , tổng quát của đường thẳng (d) đI qua điểm và vuông góc với 2 đường thẳng : a. ; b. ; c. ; Bài 2 : Lập phương trình tham số , chính tắc , tổng quát của đường thẳng (d) đI qua điểm và vuông góc với đường thẳng và song song với mặt phẳng (P) : a. và ; b. và ; Bài 3 : Lập phương trình đường thẳng (d) đI qua điểm và cắt đường thẳng và song song với mặt phẳng (P) : Bài 4 : Lập phương trình tham số , chính tắc , tổng quát của đường thẳng (d) đI qua điểm và cắt 2 đường thẳng biết rằng : a. và ; b. và ; Bài 4 : Lập phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả 2 đường thẳng biết rằng : a. b. Bài 5 : Cho 2 đường thẳng có phương trình : CMR cắt nhau . Tìm toạ đọ giao điểm ĐS : Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa ĐS 19x+2y-11z+123=0 Bài 6 : Cho 2 đường thẳng có phương trình : CMR cắt nhau . Tìm toạ đọ giao điểm ĐS : Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa ĐS Bài 7 : Cho 2 đường thẳng có phương trình : a.CMR chéo nhau . b. viết phương trình đường vuông góc chung của c.Viết phương trình mặt phẳng cách đều . Bài 8 : Lập phương trình halogenình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) . a. b. Bài 9 : cho mặt phẳng (P) a, Viết phương trình hình chiếu vuông góc của lân mặt phẳng (P) Tìm toạ độ giao điểm của b. Viết phương trình mặt phẳng (P1) chứa và vuông góc (P) Các bài toán liên quan đến điểm- đường thẳng - mặt phẳng I. xác định toạ độ điểm M lên mặt phẳng (P) hoặc đường thẳng (d) . I.1. xác định toạ độ điểm M lên mặt phẳng (P) ta làm như sau : Cách 1 : ?xác định vtpt của mặt phẳng (P). ? Lập phương trình đường thẳng (d) đI qua M và vuông góc (P). ?Hình chiếu vuông góc H của M lên (P) là . Cách 2 : ?xác định vtpt của mặt phẳng (P). ? Giả sử là hình chiếu vuông góc của M lên (P). ?Suy ra : Toạ độ của điểm H . Ví dụ : Cho và . Xác định hình chiếu vuông góc của M lên (P). ĐS : I.2. xác định hình chiếu vuông góc của d lên (P) a. Nếu thì hình chiếu vuông góc của d lên (P) chính là giao điểm của d và (P) . b. Nếu (d) //(P) . Lập phương trình hình chiếu vuông góc của d lên (P) : Cách 1 :? Lấy . Xác định toạ độ H hình chiếu vuông góc của M lên (P) ?Lập phương trình đường thẳng (d1) đI qua H và song song d . Cách 2 : ?Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và . ? phương trình đường thẳng (d1 ) ?Hình chiếu vuông góc H của M lên (P) là c. Nếu . Ví dụ : a. Lập phương trình hình chiếu vuông góc của d lên P : .ĐS : nên a. Lập phương trình hình chiếu vuông góc của d lên P : . Cách 1: ĐS : Cách 2 : II. xác định toạ độ điểm M lên đường thẳng (d) . Cách1. Nếu đường thẳng (d) có dạng tham số . ? xác định vtcp của đường thẳng (d) ? Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (d) . Suy ra toạ độ của H thoả mản phương trình tham số đường thẳng (d) . ? ta có điều kiện : . Suy ra toạ độ của H . 2. Nếu đường thẳng (d) cho dưới dạng tổng quát . ? xác định vtcp của đường thẳng (d) ? Gọi H(x;y;z) là hình chiếu vuông góc của M lên (d) .Suy ra Suy ra toạ độ của H . 3. ? xác định vtcp của đường thẳng (d) ?Lập phương trình mặt phẳng (P) đI qua M và vuông góc (d) ?Hình chiếu vuông góc H của M lên (d) là Ví dụ : Cho và . xác định toạ độ hình chiếu của M lên (d) ĐS : 4. Lập phương trình đường thẳng (d1 ) đi qua M vuông góc (d) và cắt (d) . Cách 1 : ?Lập phương trình mặt phẳng (P1) đI qua M và vuông góc (d). ? Lập phương trình mặt phẳng (P2) đI qua M và chứa (d) . Bài toán này được áp dụng trong trường hợp viết phương trình đường cao cho tam giác trong không gian . 2. xác định toạ độ điểm N đối xứng M qua (d) Cách 1 : ?xác định hình chiếu vuông góc H cuả M lên (d) ? Suy ra toạ độ của N từ điều kiện H là trung điểm của MN Cách 2 : xác định vtcp của đường thẳng (d) , ? giả sử N(x;y;z) . Trung điểm H của MN thuộc (d) và MN(d) 4. Lập phương trình đường thẳng ( d2) đối xứng với (d1) qua d . Cách 1 : ? Lấy 2 điểm M; N phân biệt thuộc d ? xác định toạ độ A; B đối xứng với M; N qua (d) ?đường thẳng (d2) là đường thẳng qua A; B