Giáo án lớp 12 môn Toán - Mặt phẳng xạ ảnh

CHƯƠNG III: HÌNH HỌC XẠ ẢNH §.1 MẶT PHẲNG XẠ ẢNH A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Mặt phẳng xạ ảnh Định nghĩa: Một tập hợp P được gọi là không gian xạ ảnh n chiều liên kết với không gian véc tơ Vn+1 nếu có một song ánh p: [Vn + 1] → P. Không gian xạ ảnh 2 chiều còn gọi là mặt phẳng xạ ảnh. Định lý 1: a. Qua hai điểm phân biệt A, B có một và chỉ một đường thẳng, kí hiệu là AB. b. Trên mỗi đường thẳng có vô số điểm. c. Hai đường thẳng phân biệt luôn có một và chỉ một điểm chung Định lý 2 ( Định lý Đơ-dac): Cho hai tam giác ABC, A'B'C' có các cặp đỉnh tương ứng phân biệt và các cạnh tương ứng phân biệt. Khi đó nếu các đường thẳng AA', BB', CC' nối các đỉnh tương ứng đồng quy, thì giao điểm của các cạnh tương ứng BC và B'C', CA và C'A', AB và A'B' thẳng hàng và ngược lại. 2. Tọa độ xạ ảnh Mục tiêu xạ ảnh Định nghĩa: Cho mặt phẳng xạ ảnh P liên kết với không gian vectơ V3. Một tập hợp gồm bốn điểm có thứ tự A1, A2, A3, E, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, được gọi là mục tiêu xạ ảnh của mặt phẳng xạ ảnh P, còn gọi tắt là mục tiêu, và được kí hiệu là , hoặc (Hình 69). Các điểm Ai, i = 1, 2, 3, được gọi là đỉnh, và điểm E được gọi là điểm đơn vị của mục tiêu đó; các đường thẳng AiAj, i, j = 1, 2, 3, i j, được gọi là các trục tọa độ, hay các trục. Hình 69 Cơ sở đại diện cho mục tiêu xạ ảnh Định nghĩa: Cơ sở của V3, kí hiệu tắt là , gọi là cơ sở đại diện cho mục tiêu xạ ảnh {Ai ; E} của P khi và chỉ khi các vectơ , , theo thứ tự đại diện cho các đỉnh A1, A2, A3 và các vectơ đại diện cho điểm đơn vị E. Định lý: Mỗi mục tiêu xạ ảnh {Ai ; E} của P có nhiều cơ sở đại diện trong V3, các cơ sở này chỉ khác nhau bởi một phép vị tự tuyến tính của V3. Tọa độ xạ ảnh Định nghĩa Cho mục tiêu xạ ảnh {Ai; E} với cơ sở đại diện . Khi đó, mỗi điểm A thuộc mặt phẳng xạ ảnh P có đại diện là vectơ () của V3. Nếu đối với cơ sở , vectơ có tọa độ là (a1; a2; a3) thì ta nói điểm A có tọa độ xạ ảnh là (a1; a2; a3) đối với mục tiêu {Ai ; E}. Ký hiệu: A(a1 : a2 : a3). Đổi mục tiêu xạ ảnh Cho hai mục tiêu xạ ảnh { Ai ; E } và { A'i ; E' } với cơ sở đại diện lần lượt là {} và {}. Gọi (x1: x2: x3 ) và (x'1: x'2: x'3 ) theo thứ tự là toạ độ của cùng một điểm X đối với các mục tiêu { Ai ; E } và { A'i ; E’ }. Liên hệ giữa (x1: x2: x3 ) và (x'1: x'2: x'3 ) như sau: (1) Ma trận A = (aij) = được gọi là ma trận chuyển từ mục tiêu từ {Ai ; E}. sang mục tiêu {Ai'; E'} . Hệ phương trình (1) gọi là công thức đổi mục tiêu xạ ảnh. 3. Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm Đường thẳng u đi qua hai điểm phân biệt A(a1: a2: a3) và B(b1: b2: b3) có phương trình tham số là: (2) Điều kiện để ba điểm thẳng hàng Ba điểm A(a1: a2: a3), B(b1: b2: b3) và C(c1: c2: c3) thẳng hàng khi và chỉ khi = 0 (3) Phương trình tổng quát của đường thẳng Đường thẳng u đi qua hai điểm phân biệt A(a1: a2: a3) và B(b1: b2: b3) có phương trình tổng quát là: (4) Điều kiện đồng quy của ba đường thẳng Cho ba đường thẳng lần lượt có tọa độ [u1: u2: u3], [v1: v2: v3], [w1: w2: w3]. Cần và đủ để ba đường đồng quy là: (5) Chú ý: 1. Giao điểm M của hai đường thẳng m[u1: u2: u3], n[v1: v2: v3] có tọa độ tính theo: , (6) 2. Đường thẳng u đi qua hai điểm A(a1; a2; a3) và B(b1: b2: b3) có tọa độ tính theo : , (7) 6. Tỉ số kép Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng Khái niệm: Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng và đôi một phân biệt, có các vectơ đại diện là . Nếu và thì tỉ số được gọi là tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D. Kí hiệu: (A, B, C, D) . (A, B, C, D) = , (8) Tính chất Dựa vào định nghĩa tỉ số kép (A, B, C, D) ta có các tính chất sau: a) (A, B, C, D) = (C, D, A, B) b) (A, B, C, D).(A, B, D, C) = 1 và (A, B, C, D).(B, A, C, D) = 1 c) (A, B, C, D) + (A, C, B, D) = 1 và (A, B, C, D) + (D, B, C, A) = 1. d) Đối với năm điểm A, B, C, D, E thẳng hàng và đôi một phân biệt ta luân có (A, B, C, D).(A, B, D, E) = (A, B, C, E). Hàng điểm điều hòa và hình bốn cạnh toàn phần Khái niệm: Cho bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D. Nếu tỉ số kép (A, B, C, D) = -1 thì ta nói cặp điểm C, D chia điều hòa cặp điểm A, B. Ngược lại, cũng nói A, B chia điều hòa C, D. Tập hợp gồm bốn đường thẳng a, b, c, d, trong đó không có ba đường thẳng hàng nào đồng quy gọi là một hình bốn cạnh toàn phần (hình 70). Hình 70 Khi đó, mỗi đường thẳng gọi là cạnh, giao điểm của hai cạnh gọi là đỉnh, hai đỉnh không thuộc một cảnh gọi là hai điểm đối diện, đường thẳng nối hai cạnh đối diện gọi là đường chéo. Như vậy, hình bốn cạnh toàn phần có bốn cạnh, sáu đỉnh, ba đường chéo. Trên hình 67, hình bốn cảnh toàn phần có bốn cảnh là a, b, c, d; sáu đỉnh là A, B, C, D, E, F; ba đường chéo là AC, BD, EF. Ta có tính chất cơ bản sau đây của bốn cảnh toàn phần. Tính chất Trên mỗi đường chéo của hình bốn cạnh toàn phần, hai đỉnh đối diện chia đều hòa giao điểm của đường chéo đó với hai đường chéo còn lại ( Hình 71). Trên hình 71, ta có ( A, C, M, N ) = -1. Hình 71 Tỉ số kép của bốn đường thẳng đồng quy Khái niệm: Cho bốn đường thẳng a, b, c, d đồng quy tại điểm S. Gọi là một đường thẳng bất kì không đi qua S lần lượt cắt a, b, c, d tại A, B, C, D. Khi đó tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D không phụ thuộc vào đường thẳng , và được gọi là tỉ số kép của bốn đường thẳng a, b, c, d và kí hiệu là [a, b, c, d]. Hình 72 Tỉ số kép của bốn đường thẳng đồng quy tính theo tọa độ Cho bốn đường thẳng a, b, c, d đồng quy tại điểm S và đôi một phân biệt. Chọn một mục tiêu xạ ảnh {Ai ; E} và kí hiệu (a), (b), (c), (d) là lượt là các ma trận cột tọa độ của các đường thẳng a, b, c, d. Nếu thì (a, b, c, d) = , (9) Chùm điều hòa- Hình bốn đỉnh toàn phần. Khái niệm: Nếu bốn đường thẳng a, b, c, d đồng quy và [a, b, c, d] = -1 thì ta nói rằng bốn đường thẳng a, b, c, d là một chùm điều hòa, cũng còn nói: căp đường thẳng a,b chia điều hòa cặp đường thẳng c, d và ngược lại, hoặc cặp a, b và cặp c, d liên hợp điều hòa với nhau. Hình 73 Tập hợp gồm bốn điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng được gọi là một hình bốn đỉnh toàn phàn. Khi đó, mỗi điểm gọi là một đỉnh, đường thẳng đi qua hai đỉnh gọi là một cạnh, hai cạnh không cùng đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện, giao điểm hai cạnh đối diện gọi là điểm chéo. Như vậy, hình bốn đỉnh toàn phần có bốn đỉnh, sáu cạnh, ba điểm chéo( Hình 73). Tính chất: Hai cạnh đi qua một đỉnh chéo chia điều hòa hai đường thẳng nối điểm chéo đó với hai điểm chéo còn lại (Xem hình 74). Hình 74 7. Nguyên tắc đối ngẫu Định nghĩa: Cho mệnh đề M nói về các điểm, các đường thẳng cùng với quan hệ thuộc và tỉ số kép giữa chúng. Nếu trong mệnh đề M, các từ điểm được thay bằng từ đường thẳng và ngược lại, còn các từ khác được giữ nguyên thì ta nhận được một mệnh đề M'. Hai mệnh đè M và M' gọi là đối ngẫu với nhau. Một số cặp khái niệm đối ngẫu: “Đường thẳng” – “Điểm” “Hình bốn cạnh toàn phần” – “Hình bốn đỉnh toàn phần” “Ba đường thẳng đồng qui” – “Ba điểm thẳng hàng” 8. Mô hình xạ ảnh của không gian afin a. Xây dựng mô hình: Xét mặt phẳng xạ ảnh P. Lấy trong mặt phẳng xạ ảnh P một đường thẳngvà xét các tập hợp A=P\. Ta xây dựng A thành mô hình của mặt phẳng afin như sau: Chọn mục tiêu xạ ảnh {A1, A2, A3; E} sao cho hai điểm A1 và A2 nằm trên. Khi đó đường thẳngcó phương trình x3= 0, do đó các điểm thuộc A đều có toạ độ (x1: x2: x3) với x3 0. Vì lẽ đó ta có thể luôn luôn cho x3 = 1 (bằng cách chia cả ba toạ độ cho x3). Như vậy, mỗi điểm XA được hoàn toàn xác định bởi ba toạ độ (x1: x2: 1). Vì toạ độ thứ ba luôn luôn bằng 1 nên không cần để ý đến toạ độ đó, tức là mỗi điểm XA được hoàn toàn xác định bởi cặp số (x1; x2), gọi là toạ độ không thuần nhất của X, ký hiệu X(x1; x2). Bây giờ với hai điểm X(x1; x2) và Y(y1; y2) thuộc A ta cho ứng với vectơ = (y1 - x1; y2 - x2) của không gian vectơ = RR thì tương ứng thoả mãn các tiên đề của không gian afin. Vậy A trở thành một mô hình (gọi là mô hình xạ ảnh) của mặt phẳng afin. b. Một số kết quả Trong mặt phẳng xạ ảnh P xét mục tiêu xạ ảnh {A1, A2, A3; E} như đã nói ở a, gọi E1 = A3A2A1E và E2 =A3A1A2E . Khi đó ta có A3 = (0: 0: 1), E1 = (0: 1: 1) và E2 = (1: 0: 1), do đó toạ độ không thuần nhất của chúng là: A3 = (0; 0), E1 = (0; 1), E2 = (1; 0). b1. Tọa độ afin: Trong mô hình A = P\của mặt phẳng afin ta có các vectơ = = (1; 0), = = (0; 1). Vậy ta có mục tiêu afin {A3;e1,e2}, ta sẽ gọi đó là mục tiêu afin sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh {Ai; E} đang xét. Trong mô hình A =P\ lấy điểm X có toạ độ không thuần nhất (x1; x2), tức là có toạ độ xạ ảnh (x1: x2: 1). Khi đó ta có = (x1; x2) tức là = x1 + x2. Vậy (x1: x2) chính là toạ độ afin của điểm X đối với mục tiêu afin {A3; , }. Hình 75 b2. Phương trình đường thẳng: Trong mặt phẳng xạ ảnh P xét đường thẳng xạ ảnh u không trùng với . Giả sử u có phương trình: u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0 (trong đó u1, u2 không đồng thời bằng 0 do u khác). Ta kí hiệu u' = uA = u\thì mỗi điểm nằm trên u' đều có toạ độ không thuần nhất là (x1; x2) tức là có toạ độ xạ ảnh (x1: x2: 1). Vậy ta có: u1x1 + u2x2 + u3 = 0, trong đó u1, u2 không đồng thời bằng 0. Điều đó chứng tỏ u' là một đường thẳng trong mặt phẳng afin A. Phương trình đường thẳng u' trong mục tiêu {A3; ;} được suy ra từ phương trình đường thẳng u' trong mục tiêu xạ ảnh {A1; E} bằng cách cho x3 =1. b3. Hai đường thẳng song song: Xét hai đường thẳng xạ ảnh u và v phân biệt và không trùng với , có phương trình lần lượt là: u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0 và v1x1 + v2x2 + v3x3 = 0. Chúng xác định hai đường thẳng afin u' =u\ và v' =v\ lần lượt có phương trình: u1x1 + u2x2 + u3 = 0 và v1x1 + v2x2 + v3 = 0. Ta hãy xét trường hợp u và v cắt nhau tại một điểm nằm trên , tức là ba đường thẳng u, v, đồng quy. Khi đó: = 0, hay . Vậy suy ra hai đường thẳng afin u' và v' song song. Gọi I là giao điểm của u và v thì vì I nằm trên nên I không thuộc A, tức là hai đường thẳng afin u' và v' không có điểm chung. Bởi vậy người ta còn nói I là "điểm vô tận" của đường thẳng u' và v', và đường thẳng mặc dù không nằm trên A, vẫn quy ước gọi là "đường thẳng vô tận" của mặt phẳng afin A. Như vậy nếu trên mặt phẳng xạ ảnh P ta bỏ đi một đường thẳng nào đó thì phần còn lại là một mặt phẳng afin mà là đường thẳng vô tận. b4. Tỉ số đơn trên mô hình Tỉ số đơn (A, B, C) của ba điểm thẳng hàng A, B, C trong mặt phẳng afin A bằng tỉ số kép (A, B, C, D) của bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng xạ ảnh P, với D là điểm vô tận của đường thẳng đi qua A, B, C. Đặc biệt: Khi C là trrung điểm AB trong mặt phẳng afin A thì (A, B, C) = -1 và do đó (A, B, C, D) =-1, hay A, B, C, D là hàng điểm điều hoà trong mặt phẳng xạ ảnh P. Như vậy: Trung điểm C của đoạn thẳng AB cùng với điểm vô tận D của đường thẳng AB là cặp điểm chia điều hoà cặp điểm A, B. B. BÀI TẬP 3.1. Ba điểm trong mặt phẳng xạ ảnh P gọi là độc lập nếu ba điểm vectơ đại diện cho chúng là ba vectơ độc lập tuyến tính. Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C là độc lập khi chúng không thẳng hàng (tức là chúng không cùng nằm trên một đường thẳng). Nếu ba điểm phân biệt A, B, C không độc lập thì có thể tìm cho nó các vectơ đại diện lần lượt là,, sao cho + = . 3.2. Cho bốn điểm A, B, C, D của mặt phẳng xạ ảnh P trong đó bất kì ba điểm nào cũng độc lập. Chứng minh rằng có thể tìm cho các điểm đó các vectơ đại diện lần lượt là , , , sao cho + + = . 3.3. Cho 4 điểm A, B, C, D của mặt phẳng xạ ảnh P trong đó bất kì ba điểm nào đó cũng độc lập. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P, AC và BD cắt nhau tại Q, AD và BC cắt nhau tại R. Chưng minh rằng ba điểm P, Q, R độc lập. 3.4. Trong mặt phẳng xạ ảnh P có bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Trên các đường thẳng AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng MN, AC, PQ đồng quy thì ba đường thẳng MQ, BD, NP cũng đồng qui. 3.5*. Cho mặt cầu S trong không gian Ơ-clit ba chiều. Kí hiệu {S} là tập hợp các cặp điểm xuyên tâm đối của S. Chứng minh rằng có thể xây dựng {S} thành một mô hình của mặt phẳng xạ ảnh. Trong mô hình đó đường thẳng là những tập hợp nào ? 3.6*. Cho đường tròn C trong mặt phẳng Ơ-clit. Gọi [C] là hợp của tập hợp điểm nằm trong và tập các cặp điểm đối tâm trên đường tròn C. Hãy làm cho [C] trở thành một mô hình của mặt phẳng xạ ảnh. Trong mô hình đó đường thẳng là những tập hợp nào? 3.7. Trong mô hình số thực của mặt phẳng xạ ảnh, hãy chỉ ra: Ba điểm thẳng hàng. Ba điểm không thẳng hàng. Bốn điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Trong mô hình đó, định lí Đờ-dác được thể hiện như thế nào. 3.8*. Trong mô hình afin, định lí Đờ-dác được thể hiện như thế nào nếu xem điểm đồng qui của các đường thẳng AA’, BB’, CC’ là điểm vô tận ? 3.9. Trong mặt phẳng xạ ảnh P với mục tiêu xạ ảnh {Ai : E} cho các điểm A(: :), B(1:2 :3), C(), trong đó . a. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng. b. Tìm điều kiện của các i vài để đường thẳng AB đi qua điểm A1 3.10. Viết công thức đổi mục tiêu xạ ảnh của P trong các trường hợp sau đây : a. Từ mục tiêu {A1, A2, A3; E} sang muc tiêu { A3, A1, A2; E}. b. Từ mục tiêu {A1, A2, A3; E} sang muc tiêu { A1, A2, A3, ; E’}. Biết tọa độ của E’ đối với mục tiêu thứ nhất là E’ = (a1, a2, a3). c. Từ mục tiêu {A1, A2, A3; E} sang muc tiêu { E, A1, A2, ; A3 }. 3.11.Trong mặt phẳng xạ ảnh với mục tiêu xạ ảnh cho trước : a. Tìm x để ba điểm A(1: 2: x), B(1:2: 3), C(1:2: 3) thẳng hàng. b. Tìm u2 để ba đường thẳng sau đồng qui: d1 : x1- x2 + x3 = 0, d2: x1 + x2 - x3 = 0, d3 : 2x1 + u2x2 + x3 = 0. 3.12. Trong P với mục tiêu xạ ảnh {A1, A2, A3; E} cho ba điểm A(a: 1: 1), B(1: b: 1), C(1: 1: c). Chứng minh rằng ba đường thẳng A3B, A1C, A2A đồng qui khi và chỉ khi ba đường thẳng A3A, A1B, A2C đồng qui. 3.13. Trong mặt phẳng xạ ảnh cho mục tiêu {A1, A2, A3; E}. Gọi E1 = A1EA2A3; E2 = A2E A3A1; E3 = A3E A1A2 .Chứng minh rằng các giao điêm E1E2 A1A2, E2 E3 A2A3, E3 E1 A3A1 nằm trên một đường thẳng . 3.14*. Chứng minh định lí Pap-puýt trong mặt phẳng xạ ảnh P : “Cho 6 điểm phân biệt không thẳng hàng A0, B0, C0, A1, B1, C1 trong đó A0, B0, C0 thẳng hàng; A1, B1, C1 thẳng hàng. Gọi A2 = B0C1 B1C0, B2= A0C1 A1C0, C2 = A0B1 A1B0 . Chứng minh rằng ba điểm A2, B2, C2 thẳng hàng. 3.15. Trong mặt phẳng P với một mục tiêu đã chọn, cho ba điểm A(1: -1: 0), B(1: 0: -1), C(0: 1: -1). a. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng. b. Hãy tìm tọa độ điểm D biết rằng (A, B, C, D) = k, trong đó k là một số cho trước. 3.15. Trong mặt phẳng P với một mục tiêu đã chọn, cho ba điểm A(1: 2: 3), B(4: 5: 6), C(7: 8: 9). a. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng. b. Hãy tìm tọa độ điểm D biết rằng (A, B, C, D) = 5. 3.16*. Trên đường thẳng d cho 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’. Chứng minh rằng: Nếu (A, A’, B, C) = ( B, B’, C, A) = (C, C’, A, B) = -1 thì (A’, A, B’, C,) = (B’, B, C’, A) = (C’, C, A’, B’) = -1. 3.17. Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C. Chỉ dùng thước (để vẻ các đường thẳng) hãy dựng điểm D sao cho (A, B, C, D) = -1. 3.18*. Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C và ba điểm P, Q, R lần lượt thuộc các đường thẳng BC, BA, AC và không trùng với các điểm A, B, C. a. Gọi E là một điểm không thuộc vào đường thẳng BC, CA, AB. Gọi A’ = AEBC, B’ = BECA, C’ = CEAB. Chưng minh rằng: a1. (B, C, A’, P).(C, A, B’, Q).(A, B, C’, R) = 1 là điều kiện cần và đủ để ba điểm AP, BQ, CR đồng qui. a2 . (B, C, A’, P).(C, A, B’, Q).(A, B, C’, R) = -1 là điều kiện cần và đủ để ba điểm P, Q, R thẳng hàng. b. Một đường thẳng d không đi qua A, B, C cắt các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại A”, B” , C”. Chứng minh rằng: b1. (B, C, A”, P).(C, A, B”, R).(A, B, C”, R) = 1 là điều kiện cần và đủ để P, Q, R thẳng hàng (Định lí Mê – nê – la – uýt). b2. (B, C, A”, P). (C, A, B”, Q). (A, B, C”, R) = -1 là điều kiện cần và đủ để AP, BQ, CR đồng quy (Định lý Xê – va). 3.20*. Cho hai đường thẳng phân biệt d và d’ cắt nhau tại A. Trên d lấy ba điểm phân biệt B, C, D và trên d’ lấy ba điểm phân biệt B’, C’, D’. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng BB’, CC’, DD’ đồng quy là: (A, B, C, D) = (A’, B’, C’, D’). 3.21*. Cho hai đường thẳng a, b và một điểm M không nằm trên chúng. Qua M vẽ một đường thẳng thay đổi cắt a, b lần lượt tại A và B. Tìm quỹ tích những điểm N sao cho (A, B, M, N) = k không đổi. 3.22. Cho hai đường thẳng a, b và một điểm M không nằm trên chúng. Vẽ qua M hai đường thẳng thay đổi, cắt a ở A và A’ cắt b ở B và B’. Tìm quỹ tích giao điểm của AB’ và A’B. 3.23. Phát biểu định lí đối ngẫu của định lí Đờ-dac và Pap-puýt. 3.24. Phát biểu định lý đối ngẫu của định lí Xêva và Mê-nê-la-uýt. 3.25. Phát biểu bài toán đối ngẫu của các bài toán 21 và 22. 3.26*. Chứng minh các định lí sau đây của mặt phẳng afin bằng cách dùng mô hình xạ ảnh: a. Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường’ b. Trong mỗi hình thang, trung điểm của hai cạnh đáy chia điều hòa cặp giao điểm hai đường chéo và cạnh bên. c. Đường trung bình của hinh thang song song với cạnh đáy. 3.27. Từ các định lí Đờ-dac, Mê-nê-la-uýt, Xê-va trong mặt phẳng xạ ảnh hãy suy ra những kết quả hình học afin. 3.28*. Giải các bài toán dựng hình sau đây của hình học afin bằng cách chỉ dùng thước: a. Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước khi đã cho trước một đường thẳng d song song với AB. b. Cho C là trung điểm của đoạn thẳng AB và một điểm D không thẳng hàng với A, B, C. Dựng qua D một đường thẳng song song với AB. C. HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN 3.1. Hướng dẫn Chú ý đến định nghĩa: Ba điểm A, B, C được gọi là độc lập nếu ba vectơ , , đại diện cho chúng độc lập tuyến tính. a, A, B, C độc lập , , độc lập tuyến tính. C không thuộc đường thẳng AB. C, A, B không thẳng hàng. b, Nếu ba điểm A, B, C phân biệt và không độc lập thì ba vectơ đại diện , , phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là tồn tại , : = +. Đặt =, = và = thì , , là ba vectơ đại diện cho A, B, C và =+. 3.2. Hướng dẫn Gọi , , , là các vectơ đại diện cho A, B, C, D. Vì A, B, C độc lập nên 3 vectơ đại diện , , độc lập tuyến tính. Vì trong V3, bốn vectơ , , , phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại 3 số , , để cho . Đặt = ; =; = và = thì ta được , , , đại diện cho A, B, C, D và . 3.3. Hướng dẫn: Gọi , , , lần lượt là các vectơ đại diện cho A, B, C, D. Gọi , , là các vectơ đại diện cho P, Q, R. Ta chứng minh P, Q, R độc lập tuyến tính. Cách 1: Sử dụng phương pháp đã dùng trong chứng minh định lý Đờ- dác. Cách 2: Có thể chọn { A, B, C; D} là một mục tiêu xạ ảnh và {, , } là cơ sở đại diện. Khi đó, tọa độ của các điểm như sau: A; B; C và D. Tìm tọa độ của P, Q, R và chỉ ra rằng định thức cấp 3 có dòng là bộ tọa độ của P, Q, R khác 0. Suy ra: P, Q, R độc lập tuyến tính. 3.4. Hướng dẫn: Sử dụng định lý Đờ- Giác cho hai tam giác AMQ và CNP . Các đường thẩng nối các đỉnh tương ứng là: MN, AC, PR. Giao điểm của các cạnh tương ứng là: B, D, E Trong đó, E là giao điểm của MN và NP. Từ đó, suy ra được MQ, BD, NP đồng quy. 3.5. Giải ( Xem hình 76 ) Gọi O là tâm của S. Xét bó đường thẳng tâm O, kí hiệu {B} trong E3. Mỗi đường thẳng của bó tâm O cắt hình cầu S tại hai điểm xuyên tâm đối. Ký hiệu tập hợp các cặp điểm xuyên tâm đối là {S’ }. Ta thấy rằng có song ánh a: {B}®{S’}. Vì {B} là một mô hình xạ ảnh của không gian xạ ảnh của không gian xạ ảnh hai chiều P2, nên song ánh a chứng tỏ rằng {S’} cũng lập thành một mô hình xạ ảnh của không gian xạ ảnh hai chiều P2. Hình 76 Trong mô hình này, mỗi cặp điểm xuyên tâm đối ( M,) của {S’} là một điểm xạ ảnh, còn đường thẳng là tập hợp các cặp điểm xuyên tâm đối nằm trong mặt phẳng qua O. 3.6. Giải: ( Xem hình 77) Hình 77 Gọi O là tâm và R là bán kính của đường tròn C và S là mặt cầu tâm O bán kính R trong E3. Điểm O là tâm của đường tròn C cũng đồng thời là tâm của mặt cầu S. Ta xét tập hợp các đường thẳng của bó tâm O trong E3. Ta đặt tương ứng 1«1 giữa mỗi đường thẳng của bó tâm O nằm trong mặt phẳng chứa đường tròn với một cặp điểm xuyên tâm đối của đường tròn C. Mỗi đường thẳng thuộc bó tâm O trong E3 nhưng không nằm trong mặt phẳng chứa đường tròn C cắt mặt cầu S tại hai điểm làvà . Hình chiếu vuông góc của và lên mặt phẳng chứa C là và . Tập hợp các hình chiếu , tạo nên tập hợp các điểm nằm trong đường tròn C. Như vậy ta được một song ánh giữa bó tâm O trong E3 và tập hợp [C]. Vậy [C] là một mặt phẳng xạ ảnh. Trong mô hình [C], đường thẳng là * Tập hợp các cặp điểm đối tâm của C * Tập hợp các điểm nằm trên một đường kính của đường tròn C. 3.7. Gợi ý: Xét trong mô hình số thực của mặt phẳng xạ ảnh, ta có: a, Ba điểm thẳng hàng: ; ; b, Ba điểm không thẳng hàng ; ; c, Bốn điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng: ; ; ; . d, Trong mô hình số thực, định lý Đờ- dác được thể hiện như sau Nếu hệ: Phương trình của đường thẳng AA’, Phương trình đường thẳng , Phương trình đường thẳng , có nghiệm duy nhất thì nghiệm của các hệ sau: Phương trình đường thẳng AB P phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng BC Phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng AC Phương trình đường thẳng nghiệm đúng một phương trình bậc nhất một ẩn. 3.8 . Hướng dẫn: Trong mô hình afin, nếu xem điểm đồng qui của các đường thẳng là điểm vô tận thì các đường thẳngđược xem là song song với nhau từng đôi một nên có thể phát biểu định lý Đờ- dác: “ Nếu song song thì ..” 3.9. Hướng dẫn: *1 Sử dụng tiêu chuẩn thẳng hàng của ba điểm, lập định thức: D = Chứng tỏ rằng D = 0 để suy ra A, B, C thẳng hàng. *2 Đường thẳng AB đi qua A, khi và chỉ khi: 3.10. Hướng dẫn: a, Viết công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu xạ ảnh (I) sang mục tiêu (II). Công thức đổi mục tiêu từ cơ sở (I) sang cơ sở (II) có dạng: Cần tìm i, j = 1, 2, 3. ●Từ và suy ra: ●Từ và suy ra: ●Từ và suy ra: ● Từ và suy ra: Chọn k = 1, ta có Vậy công thức đổi mục tiêu là: b) Viết công thức đổi mục tiêu xạ ảnh từ mục tiêu xạ ảnh (I) sang mục tiêu xạ ảnh (II), với . Hướng dẫn: Công thức đổi mục tiêu từ cơ sở (I) sang cơ sở (II) có dạng Ta có: và (1) và (2) và (3) và (4) Từ (1) suy ra: Từ (2) suy ra: Từ (3) suy ra: Từ (4) suy ra: Kết hợp ,,, suy ra: Chọn , ta có: Vậy, công thức đổi tọa độ từ (I) sang (II) là: c) Viết công thức đổi mục tiêu xạ ảnh từ (I) sang (II). Công thức có dạng tổng quát và và và và Từ (1) suy ra: Từ (2) suy ra: Từ (3) suy ra: Từ (4) suy ra: Kết hợp ,,, suy ra: Chọn , ta có , , và , , , , , , Công thức đổi tọa độ từ (I) sang (II) là: 3.11. Hướng dẫn a) A, B,C thẳng hàng Đáp số: b) a, b, c đồng quy Đáp số: u2 = -1 3.12. Hướng dẫn Tính được : đồng quy đồng qui. 3.13. Hướng dẫn Ta có : Đặt Tính được tọa độ của P, Q , R. Viết phương trình đường thẳng PQ : Nghiệm thấy tọa độ của R thỏa mãn phương trình của đường thẳng PQ. Suy ra : P, Q, R thẳng hàng. 3.14. Hướng dẫn Cách 1: Dùng phương pháp tọa độ theo dàn bài sau: Gọi I là giao điểm của đường thẳng u chứa và v là đường thẳng chứa ( Xem hình 78 ) Hình 78 Chọn MTX là thì tọa độ của các điểm như sau: . nên B(b: 1: 1) nên Ta có : nên nên nên nên Xét định thức cấp 3 có dòng là tọa độ của Suy ra : thẳng hàng. 3.15. Hướng dẫn: *1 Lập định thức D cấp 3 có dòng là bộ tọa độ của A, B, C. Tính được D = 0 và suy ra A, B, C thẳng hàng. *2 Xét k là một số đã cho . Ta có: Vậy D . 3.16. Hướng dẫn Chọn mục tiêu xạ ảnh trên d (d là một không gian xạ ảnh một chiều). Khi đó, đối với mục tiêu xạ ảnh này, tọa độ của các điểm A, B, C như sau: A(1: 0), B(0: 1), C(1: 1). Theo giả thiết: hay mà nên Tương tự: hay mà hay mà Từ đó, chúng ta tính được: 3.17. Hướng dẫn Dựng một hình bốn cạnh toàn phần có A, B là hai đỉnh và C là một điểm chéo. Khi đó D là mọt điiểm chéo còn lại. ( Xem hình 79 ) Hình 79 Cụ thể: Trên đường thẳng qua C khác AB lấy hai điểm phân biệt E, F khác C. Đặt và . Ta có hình bốn cạnh toàn phần với 6 đỉnh AEBFIK. Khi đó, D là giao điểm của IK và AB. Thật vậy, do tính chất của hình bốn cạnh toàn phần ta có . 3.18. Hướng dẫn: a, Với điểm E không thuộc BC, CA, AB ( Xem hình 80 ) Hình 80 Chọn mục tiêu. Đối với mục tiêu này tọa độ của các điểm như sau: A(1: 0: 0) ; B(0: 1: 0) ; C(0: 0: 1) ; E (1: 1: 1), Ta tính được: Và AP, BQ, CR dồng qui P, Q, R thẳng hàng b. Xét đường thẳng d không đi qua A, B, C ( Xem hình 81 ) Hình 81 Đặt Xét hình bốn đỉnh toàn phần A, B, C, E , ta có: Áp dụng ta có: P, Q, R thẳng hàng Chú ý: (Tính chất 5 của tỉ số kép) Áp dụng ta có: AP, BQ, CR đồng qui 3.19. Hướng dẫn a) Trên d chọn mục tiêu {A,B; C} thì đối với mục tiêu này ta có: A(1: 0) , B(0: 1), C(1:1). Ta tìm toạ độ của D đối với MTXẢ {A, B; C} Nếu D(0: d) thì ta có thể xem d =1 và làm cho (A, B, C, D) = 0. (Vì và trái với giả thiết rằng (A, B, C, D) > 0 Vì vậy D phải có toạ độ dạng D(1: d) = Do đó: (A, B, C, D) > 0 Cần tìm P(1: p) ; Q(1: q) để cho (*) Vì Nên (*) Thay q = - p vào (2) ta được: Vậy , (hay ; ) b) Xét hệ 4 phương trình Ba phương trình đầu cho ta nghiệm (7,1,-3). Nghiệm này thõa mãn phương trình (4). Vậy a, b, c, d thuộc chùm có tâm I(7: 1: -3) Sử dụng đị