Giáo án lớp 12 môn Toán - Nguyên hàm - Tích phân

Nguyên Hàm - Tích Phân I. Tóm tắt lý thuyết. 1. Định nghĩa. * Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x thuộc (a; b), ta có: F’(x) = f(x) * Nếu thay (a; b) là đoạn [a; b] thì ta phải có thêm F’(a) = f(a), F’(b) = f(b). 2. Các tính chất. * Tính chất 1 :Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b) thì: a. Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. b. Ngược lại mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) đều có thể viết được dưới dạng F(x) + C. * Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì ta ký hiệu: * Tính chất 2: * Tính chất 3: * Tính chất 4: * Tính chất 5: 3. Sự tồn tại của nguyên hàm. * Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. 4. Bảng các nguyên hàm. Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp. Nguyên hàm của các hàm số hợp (dưới đây u = u(x)) II. Các phương pháp tìm nguyên hàm. 1. Tính nguyên hàm bằng công thức. * Phương pháp: - Biến đổi biểu thức hàm số dưới dấu nguyên hàm thành tổng các biểu thức có dạng như công thức cơ bản. - Chia các nguyên hàm thành tổng các nguyên hàm. - áp dụng công thức vào từng nguyên hàm. 2. Ví dụ. Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau. HD: a. Vậy I = b. Vậy: I = 3. Bài tập áp dụng. 1. Tính đạo hàm của hàm số từ đó suy ra nguyên hàm: I = 2. Cho hàm số . Xác định a, b, c để F(x) = (ax2 + bx +c) là nguyên hàm của f(x). 3. Xác định nguyên hàm F(x) của: biết F(0) = 0. 4. Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = (sinx - 1)sinx biết rằng F() = -1 5. Tính đạo hàm của F(x) = từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số: 6. Chứng minh rằng a. là nguyên hàm của hàm số: b. là nguyên hàm của hàm số: c. là nguyên hàm của hàm số: f(x) = . 7. Tính các nguyên hàm sau. 8. Chứng minh rằng hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) thì hàm số f(ax + b) với a, b là hắng số a khác 0 có nguyên hàm là: (1/a)F(ax + b) + C áp dụng tính các nguyên hàm sau. 9. Cho g(x) là một hàm số tuỳ ý. Cmr hàm số là nguyên hàm của hàm số: . áp dụng tính các nguyên hàm của các hàm số sau. 10. Tính đạo hàm của hàm số g(x) = x2lnx từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số: f(x) = 2xlnx 11. Tính các nguyên hàm sau. 2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến. 1. Tóm tắt lý thuyết. a. phương pháp đổi biến thứ nhất. * Đối với các bài toán nguyên hàm ma trong biểu thức có thể phân tích thành những nhóm g(x) và có một thừa số g’(x) ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến như sau: - - Đặt u = g(x) suy ra du = g’(x)dx - Tính nhờ các công thức nguyên hàm cơ bản. 2. Ví dụ. Ví dụ: Tìm nguyên hàm: HD: Đặt u = suy ra u2 = x3 + 5 do đó x2dx = (2/3)udu Khi đó: = Vậy I = b. Phương pháp đổi biến thứ 2. - Giả sử cần tính I = - Đặt x = g(u) suy ra dx = g’(u)du - Tính I = Ví dụ: Tính: HD: Đặt x = tgu khi đó: 3. Bài tập áp dụng. * Tính các nguyên hàm sau: 3. Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần. a. Tóm tắt lý thuyết. * Nếu các hàm số u, v (u = u(x), v = v(x)) là các hàm số có đạo hàm và liên tục khi đó: * Đối với các nguyên hàm có dạng: ta có thể tính theo phương pháp từng phần như sau: Đặt * Đối với nguyên hàm dạng: ta giải như sau: Đặt b. Ví dụ. Ví dụ: Tính nguyên hàm I = HD: Đặt khi đó I = Ta tính I1 = Đặt vậy I1 = Thay I1 vào I ta được 2I = ex(sinx + cosx) + C Vậy I = c. Bài tập áp dụng. Tính các nguyên hàm sau: 4. Các nguyên hàm có dạng đặc biệt. Ví dụ: Tính nguyên hàm: HD: Ta có: Đặt (x – 1/2) = t ta có dx = dt khi đó ta đưa nguyên hàm về nguyên hàm dạng (2). từ đó đưa nguyên hàm về nguyên hàm dạng (4). * Bài tập áp dụng. Tính các nguyên hàm sau. 5. Tính nguyên hàm bằng phương pháp kết hợp. a. Ví dụ. Ví dụ: tính I = HD: Xét nguyên hàm: J = khi đó ta có: I + J = + = Mà: I – J = - = Vậy I = b. Bài tập áp dụng. * Tính các nguyên hàm sau. 6. Nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ. a. Tóm tắt lý thuyết. * Giả sử cần tính trong đó P(x), Q(x) là các đa thức nguyên theo x. * Cách giải. + Chia P(x) cho Q(x) (có thể) (Bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)). + Phân tích Q(x) thành các thừa số (nếu có thể) và các thừa số bậc 2. + Sử dụng phương pháp đồng nhất 2 vế để đưa * Chú ý: 1. Nếu ax2 + bx + c không phân tích được ra thừa số được thì ta đuă nguyên hàm bằng phương pháp đặt ẩn phụ. 2. Nếu ax2 + bx + c phân tích ra được dạng (x – x1)(x – x2) thì: I1 = 3. I2 = 4. b. Bài tập áp dụng. * Tính các nguyên hàm sau: 7. Nguyên hàm cảu các hàm số vô tỉ. * Hàm số dạng: + Phương pháp: Đặt * Nguyên hàm dạng: + Phương pháp: Đặt * Ví dụ. Tìm nguyên hàm của hàm số: HD: Đặt khi đó: * Bài tập áp dụng. * Tìm nguyên hàm của các hàm số sau. 8. Nguyên hàm của các hàm số lượng giác. * Nguyên hàm dạng: * Phương pháp: Đặt * Các trường hợp đặc biệt. + R(-sinx, cosx) = - R(sinx, cosx) tức là R lẻ đối với sinx ta đặt t = cosx + R(sinx, - cosx) = - R(sinx, cosx) ta đặt t = sinx + R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) ta đặt t = tgx. * Ví dụ. Tính: HD: Đặt khi đó * Bài tập áp dụng. * Xác định A,B,C sao cho với mọi x ta có: sinx – cosx +1 = A(sinx+2cosx+3) + B(cosx – 2sinx). Từ đó tính: * Tính các nguyên hàm sau: III. Tích phân 9. Tích phân xác định. a. Tóm tắt lý thuyết. * Định nghĩa: * Các tính chất. * * * * * * * * * là nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0. b. Bài tập áp dụng. * Tính các tích phân sau: 10. Tính tích phân xác định theo phương pháp đổi biến hoặc tích phân từng phần. a. Phương pháp đổi biến. * Phương pháp đổi biến thứ nhất. - Giả sử cần tính I = - Đặt khi đó * Phương pháp đổi biến thứ hai. - Giả sử cần tính I = - Đặt khi đó b. Phương pháp từng phần. c. Bài tập áp dụng. 1. Cho y = f(x) liên tục trên [a; b] chứng minh rằng: áp dụng tính 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên chứng minh rằng: áp dụng tính 3. Cho hàm số y = f(x) là hàm số chẵn chứng minh rằng 4. Tính các tích phân sau: 11. Diện tích hình phẳng. 1. Tóm tắt lý thuyết. * Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi y = f(x), trục Ox , x = a, x = b (a < b) là: * Nếu diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f1(x), y = f2(x), x = a, x = b thì diện tích được tính bởi 2. Bài tập áp dụng. 1. Tính diện tích của hình tròn x2 + y2 = R2 2. Tính diện tích của (E): * Tính diện tích hình phẳng giới hạn. 1. y = sinx trên và y = 0 2. y = x3, y = 0, x = -1, y = 2 3. y = x3 - 2x và y = x 4. y = 2x2 – 3x + 2, y = 0, x = -1, x = 2 5. y = -x2 + 4x, y = 0 6. y = - x2 , y = - x – 2 7. 8. y = x(x + 1)(x - 2), y = 0 9. y2 = 2px, x2 = 2py (p > 0) 10. y = sinx, y = 0, 11. y = -x2 + 6x – 5, y = 0 12. y = x3 , y = 8, x = 0 13. y = 7 – x, y = 6/x 14. 12. Thể tích vật thể. * Tóm tắt lý thuyết. - Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay xung quanh trục Ox tạo thành một vật thể tròn xoay khi đó thể tích vật thể được tính bởi công thức: V = - Nếu hình phẳng giới hạn bởi x = g(y), y = a, y = b và x = 0 thì thể tích vật thể tạo thành khi cho quay quanh trục 0y là: V = * Bài tập. 1. Gọi (H) là hình phẳng chắn bởi các đường y = , y = 0, x = 4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi (H) quay quanh Ox. 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi mỗi hình phẳng khi quay quay quanh trục Ox. a. y = 0, y = 2x – x2 b. y = cosx , y = 0 , x = , x = 0 c. y = sin2x, y = 0 , x = 0, x = d. 13. Bài tập tổng hợp. 1. Chứng minh rằng: 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2y = x2 + x – 6 và 2y = - x2 + 3x + 6 3. Cho y2 = 2x và x – 2y + 2 = 0. Cmr đường thẳng là tiếp tuyến của đường cong. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên và trục Ox. 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 – 2x và y = - x2 + 4x. 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a. y = x2 + x+ 2, y = 2x + 4. b. y = x3 và y = - x2. 6. Xét hàm số y = x2 trên [0, 1] giả sử m thuộc [0,1] S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 0, y = m2 và y = x2. S2 là diện tích giới hạn bởi y = x2, y = m2 và x = 1. Cmr ta có: 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = - x2 + 4, y = x2 – 2x 8.Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể khi quay quanh trục Ox y = xln2x , y = 0, x = 1, x = e 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 – 4x + 5 và 2 tiếp tuyến với (P) kẻ tại hai điểm A(1; 2), B(4;5). 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = (2 + cosx)sinx và y = 0, 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 – x2, 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2, 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 , 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 16. Cho f(x) = 4cosx + 3sinx, g(x) = cosx + 2sinx. Tìm A,B sao cho g(x) = Af(x) + Bf’(x). Từ đó tính 17. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sin2xcos3x, trục Ox, x = 0 và x = /2. 18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 19. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi y = (x - 2)2 và y = 4. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho (D) quay quanh truc: a. Ox b. Oy 20. Chứng minh rằng với hai số tự nhiên m, n khác nhau ta có: 21. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường a. y = x2 , y = 4x2, y = 4 b. * Tính các tích phân sau. 1. * Tính thể tích vật thể tròn xoay do quay quanh trục Oy phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường: x = 1, y = * Tính thể tích vật thể tròn xoay do quay xung quanh trục Ox phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường: a. x = 0, x = 1, trục Ox, b. x = 1, y = 1 + x3. Đại số tổ hợp. I. Quy tắc cộng _ quy tắc nhân. 1. Tóm tắt lý thuyết. a. Quy tắc cộng. Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, m2 cách chọn đối tượng x2, , mn cách chọn đối tượng xn và nếu cách chọn đối tượng xi không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng xJ nào () thì có m1 + m2 + + mn cách chọn đối tượng đã cho. b. Quy tắc nhân. Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1 sau đó với mỗi cách chọn đối tượng x1 có m2 cách chọn đối tượng x2, , xn-1 như thế có mn cách chọn đối tượng xn thì có m1m2mn cách chon dãy x1, x2, , xn. 2. Ví dụ. ví dụ: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số: a. Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau. b. Số chẵn gồm 4 chữ số bất kỳ. HD: a. Giả sử số cần lập là x = . Vì x là số lẻ nên do đó d có 3 cách chọn. mặt khác ad nên có 4 cách chọn a. vì nên b có 3 cách chọn. vì nên c có 2 cách chọn. Vậy có tất cả là 4.3.2.3 = 72 số lẻ có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số đã cho. 3. Bài tập áp dụng. 1. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} có bao nhiêu cặp sắp thứ tự(x; y) biết rằng: a. x thuộc A, y thuộc A b. {x; y} c. 2. Có 4 con đường nối liền điểm A và điểm B. Có 3 con đường nối liền điểm B và điểm C. Ta muốn đi từ A đến C qua B, rồi từ C trở về A cũng qua B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn lộ trình đi về nếu ta không muốn dùng đường đi làm đường về trên cả chặng AB cà BC. 3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số biết rằng 2 chữ số đứng kề nhau phải khác nhau. 4. Một người có 7 áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cà vạt trong đó có 2 cà vạt màu vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn áo cà vạt nếu: a. Chọn áo nào cũng được cà vạt nào cũng được. b. Đã chọn áo trắng thị không chọn cà vạt vàng. 5. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau: a. Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau. b. Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau. 6. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y) biết rtằng 7. Cho tập hợp A = {1; 2; ; n} n là số nguyên dương. Có bao nhiêu bộ 3 sắp thứ tự biết rằng: a. {x; y; z} b. và z là số chẵn. 8. Với các chữ số 2, 3, 5, 8 có thể lập được bao nhiêu a. Số tự nhiên lớn hơn 400 và nhỏ hơn 600. b. Số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4. 9. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau và: a. Các số này lớn hơn 300.000 b. Các số này lớn hơn 300.000 và chia hết cho 5. c. Các số này lớn hơn 350.000 10. Một hàng ghế gồm 10 chiếc ghế có bao nhiêu cách sắp xếp một đôi vợ chồng vào các ghế đó nếu: a. Họ ngồi ghế nào cũng được b. Họ ngồi kề nhau c. Vợ ngồi bên phải chồng d. Họ ngồi cách nhau một ghế. II. Hoán vị _ chỉnh hợp _ tổ hợp 1. Tóm tắt lý thuyết. a. Hoàn vị. * Cho tập hợp A gồm n phần tử n . Một hoán v ị của n phần tử của A là một số n sắp thứ tự của các phần tử này, mỗi phần tử có mặt đúng một lần. Pn = n! = 1.2.3n * b. Chỉnh hợp. * Cho một tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên dương k (). Một chỉnh hợp chập k phần tử của A là một bộ có thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử của A. 0! = 1 * c. Tổ hợp. * Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ) và một số t ự nhiên k sao cho () tổ hợp chập k phần tử của A là một tập con của A gồm k phần tử. d. Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp. - Chỉnh hợp gắn liền với thứ tự và như vậy nếu kết quả sẽ thay đổi khi ta thay đổi vị trí của các phần tử thì đây là bài toán về chỉnh hợp, nếu kết quả vẫn giữ nguyên thì đây là một bài toán về tổ hợp. - Ví dụ * Có 7 người sẵn sàng cùng đi tham quan. Do điều kiện hạn hẹp ta chỉ có thể mời 3 người trong dịp này hỏi có mấy cách chọn bạn cùng đi tham quan. * Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 3 học sinh vào ban điều hành của lớp để giữ 3 nhiệm vụ khác nhau. Có 7 học sinh đủ điều kiện hỏi có bao nhiêu cách chon ban điều hành. 2. Bài tập áp dụng. 1. Trong khong gian cho tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng . Hỏi có thể lập được bao nhiêu hình tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp đã cho. 2. Một bộ đề thi gồm 15 câu hỏi (Hai đề thi gọi là khác nhau nếu có ít nhất 1 câu khác nhau.). Mỗi thí sinh phải rút ra 4 câu (4 câu rút ra là đề thi của thí sinh này.) a. Có bao nhiêu đề thi khác nhau. b. Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh. Chứng tỏ rằng có ít nhất 3 thí sinh gặp cùng một đề. 3. Một tổ trực gồm 9 nam sinh và 3 nữ sinh. Giáo viên trực muốn chọn 4 học sinh để trực thư viện có bao nhiêu cách chon nếu: a. Chọn học sinh nào cũng được. b. Có đúng 1 nữ sinh được chọn. c. Có ít nhất một nữ sinh được chọn. 4. Một họ n đường thẳng song song cắt một họ m đường thẳng song song. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành. 5. Cho tập hợp X = {a; b; c; d}. Có bao nhiêu tập con của X a. Không chứa phần tử a. b. Chứa phần tử a. 6. Một bình đựng 5 viên bi xanh giống nhauvà ba viên bi đỏ giống nhau lấy ra hai viên bi. a. Có bao nhiêu kết quả khác nhau. b. Có bao nhiêu cách lấy ra 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ, 2 viên bi khác màu. 7. Giáo viên hướng dẫn lao động muốn chia 9 học sinh ra 3 nhóm gồm 4 và 3 học sinh hỏi có bao nhiêu cách chia. 8. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách a. Vào 5 ghế thành một dãy. b. Vào 5 ghế chung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này. 9. Mười người muốn chụp ảnh cung . Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau. Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất một phút. Hỏi có mất bao lâu để có thể chụp tất cả các ảnh khác nhau. 10. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 8. 11. Một dãy 5 ghế dành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinhcó bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a. Họ ngồi chỗ nào cũng được. b. Nam kề nhau, nữ kề nhau. c. Chỉ có nữ ngồi kề nhau. 12. Ta muốn 6 người vào một dãy ghế có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a. Có 3 người trong họ muốn ngồi kề nhau. b. Có 2 người trong họ muốn ngồi kề nhau. c. Có 3 người trong họ không muốn ngồi kề nhau đôi một. 13. Một nhóm người muốn thành lập một công ty. Họ muốn chon một ban điều hành gồm 1 giám đốc, 1 phó giám đốc, 1 thủ quỹ. Có 10 người đủ điều kiện được chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban điều hành. 14. huấn luyện viên một đọi bóng muốn chọn ra 5 cầu thủ đá quả luân lưư 11m có bao nhiêu cách chọn nếu: a. 11 cầu thủ có khả năng như nhau. b. Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1, cầu thủ B đá quả số 4. 15. Một người muốn xếp đặt 1 số pho tượng vào 1 dãy 6 chỗ trống trên 1 kệ trang trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: a. Người đó có 6 pho tượng khác nhau. b. Người đó có 4 pho tượng khác nhau. c. Người đó có 8 pho tượng khác nhau. 16. Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó số 1 có mặt 2 lần các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần. 17. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau biết rằng : a. Các số này chia hết cho 5. b. Các số này phải có mặt 3 chữ số 0, 1, 2. 18. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau biết rằng tổng 3 chữ số này bằng 12. 19. Một phòng khách có thể đặt tranh, ảnh hoặc tượng chủ nhà muốn trang trí bằng cách xếp đặt 4 bức tranh khác nhau vào 1 chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ và 2 pho tượng vào chỗ còn lại. Hỏi có bao nhiêu cách trang trí phong khách. 20. Có bao nhiêu cach sắp xếp 5 người khách gồm 3 nam và 2 nữ ngồi vào một hàng 8 ghế. a. Họ ngồi chỗ nào cũng được . b. Họ ngồi kề nhau. c. 3 nam ngồi kề nhau, 2 nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhóm này có ít nhất một ghế trống. 21. Với 6 số 2, 3, 5, 6, 7, 8 ta muốn thành lập những số gồm 4 chữ số khác nhau. a. Có bao nhiêu số nhỏ hơn 5000. b. Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn 7000. 22. Một bàn dài có 12 ghế, mỗi bên 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 112 người khách gồm 6 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a. Họ ngồi chỗ nào cũng được. b. Nam ngồi một bên, nữ một bên. c. Nam nữ ngồi đối diện nhau. d. Nam nữ ngồi xen kẽ và đối diện nhau. 23. Cho một đa giác lồi có n đỉnh (n ). a. Tính số đường chéo của đa giác này. b. Biết rằng 3 đường chéo không cùng đi qua một đỉnh thì không đồng quy, hãy tính số giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường cheo ấy. 24. Một tổ trực gồm 8 nam sinh và 6 nữ sinhgiáo viên trực muốn chọn một nhóm học sinh có bao nhiêu cách chọn nếu nhóm này phải có ít nhất một nữ. 25. Giám đốc một công ty muốn chọn một nhóm 5 người vào hội đồng tư vấn trong công ty có 12 người hội đủ điều kiện để được chọn trong đó có 2 cặp vợ chồng hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: a. Có đúng một cặp vợ chồng được chọn b. Không thể gồm cả vợ lẫn chồng (nếu có). 26. Có 6 quả bóng màu trắng và 4 quả bóng màu vàng. a. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 quả bóng b. Có bao nhiêu cách chọn 2 quả màu trắng và một quả màu vàng. 27. Cho 5 quả cầu màu trắng có bán kính khác nhau và 5 quả cầu màu xanh bán kính khác nhau. Ta muốn sắp xếp 10 quả cầu đó vào một hàng 10 chỗ cho trước. a. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau? b. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 2 quả cầu đứng cạnh nhau phải khác nhau 28. Làm lại bài 27 với giả thiết 5 quả cầu trắng khác nhau 5 quả cầu xanh giống nhau. 29. Làm lại bài 27 với giả thiết 5 quả cầu trắng giống nhau 5 quả cầu xanh giống nhau. 30. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau trong các số đó: a. Có bao nhiêu số lẻ? có bao nhiêu số chẵn? b. Có bao nhiêu số chia hết cho 10? c. Có bao nhiêu số chia hết cho 5. 31. Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó 2 chữ số 1 và 2 phải đứng kề nhau. 32. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta muốn lập các số có 5 chữ số khác nhau a. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 6. b. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 2. 33. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta muốn lập các số gồm 5 chữ số khác nhau có bao nhiêu số trong đó a. Chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần b. Chữ số 1 có mặt 2 lần, chữ số 2 c ó mặt 2 lần các chữ số khác cps mặt một lần. 34. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta muốn lập các số gồm 5 chữ số khác nhau có bao nhiêu số trong đó: a. Phải có mặt chữ số 0 b. Phải có mặt chữ số 6 c. Phải có mặt 2 chữ số 0 và 6. 35. Có 5 quả cầu trắng và 4 quả cầu xanh. Ta muốn sắp xếp 9 quả cầu đó vào một hàng 9 chỗ cho trước. a. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau? b. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai quả cầu đứng cạnh nhau không cùng màu. c. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 5 quả cầu trắng đứng kề nhau. Ta giải bài toán trong mỗi trường hợp sau d. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 4 quả cầu xanh đứng kề nhau * 5 quả cầu trắng khác nhau, 4 quả cầu xanh khác nhau. * 5 quả cầu trắng giống nhau, 4 quả cầu xanh giống nhau. * 5 quả cầu trắng giống nhau, 4 quả cầu xanh khác nhau. 36. Cho 4 quả cầu màu trắng và 3 quả cầu màu xanh. Ta muốn sắp xếp 7 quả cầu đó vào 7 chỗ vào một hàng 8 chỗ cho trước. a. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau. b. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 4 4 quả cầu màu trắng kề nhauvà 3 quả màu xanh kề nhau. 37. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số trong đó: a. Chữ số 0 có mặt 3 lần mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần. b. Chữ số 1 có mặt 3 lần các chữ số khác có mặt đúng một lần. 38. Cho tam giác ABC. Xét tập hợp gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC, 6 đường thẳng song song với CA. Hỏi các đường thẳng này tạo được : a. Bao nhiêu tam giác. b. Bao nhiêu hình thang (Không là hình bình hành). 39. Cho tập hợp A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a. Có bao nhiêu tập con X của A thoả mãn điều kiện X chứa 1 và không chứa 2. b. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng 123. 40. Cho tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}cos thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau: a. n là số chẵn. b. Một trong 3 chữ số đầu tiên phải là 1. 41. Từ các chữ số tự nhiên có thể lập được bao nhiuê số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong các số đó phải có mặt chữ số 0 và1. 42. Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu như thế nếu: a. 5 chữ số 1 được xếp kề nhau. b. Các chữ số được xếp tuỳ ý. 43. Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, như sau: Trong mỗi số được viết có 1 chữ số xuất hiệ 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy? 44. Có 5 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4. Từ các chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số sao cho trong mỗi chữ số đó mỗi cữ số trên có mặt một lần. 45. Có các chữ số 0, 2, 4, 5, 6, 8, 9 a. Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số mà trong mỗi số các chữ số khác nhau. b. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5. 46. Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho : a. Số học sinh nam và nữ là tuỳ ý. b. Phải có 2 nam 2 nữ. c. Phải có ít nhất 1 nữ. 47. Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 4 em vào ban trật tự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: a. Phải có 1 nam và 3 nữ. b. ít nhất phải có 1 nam. 48. Xét các biển số xe là dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B,,Z các số được lấy từ cá số 0,1,2,9 a. Có bao nhiêu biển số xe trong đó có ít nhất 1 chữ cái khác chữ O và các chữ số đôi 1 khác nhau. b. Có bao nhiêu biển số xe có 2 cữ cái khác nhau đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó giống nhau. 49. Một học sinh có 12 cuấn sách đôi một khác nhau trong đó có 2 cuốn sách môn toán, 4 cuốn môn văn, 6 cuốn môn anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách đó lên một kệ dài nếu mọi cuốn sách này được xếp kề nhau. 50. Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của H a. Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là hai cạnh của H. b. Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H. 51. Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau đôi 1 được lập bằng cách dùng 7 chữ số 1, 2,, 9 sao cho 2 chữ số chẵn không nằm liền nhau. 52. a. Tìm các số điện thoại có 6 chữ số.(Nếu có). b. Tìm số các máy điện thoại có 6 chữ số khác nhau. c. Tìm số các máy điện thoại có 6 chữ số với chữ số đầu tiên là 8. 53. Một tổng đài có 106 số điện thoại có 6 chữ số . Hỏi có bao nhiêu số điện thoại có chữ số khác nhau? 54. Có 12 chiếc bánh ngọt khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chúng vào 6 hộp giống nhau. (Mỗi hộp có 2 chiếc bánh). Nhị thức Niu Tơn 1. Tóm tắt lý thuyết. + (a + b)n = (*) + Vế phải của (*) có n + 1 số hạng. + Số mũ của a giảm dần từ n đến 0. Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng số mũ của a và của b trong mỗi hạng tử luôn bằng n. + nên các hệ số có tính chất đối xứng. + Trong trường hợp a = b =1 thì (*) trở thành + Tam giác Patxcan (SGK). 2. Bài tập áp dụng. 1. Rút gọn các tổng sau đây. a. b. c. d. e. f. 2. a. Tính b. Chứng minh rằng: 3. Cmr: