Giáo án lớp 12 môn Toán - Những vấn đề thi tuyển liên quan đến hàm số

Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 1 Vấn ñề 01 Miền xác ñịnh hàm số 1. ðịnh nghĩa : Miền xác ñịnh (MXð) của hàm số ( )y f x= là tập hợp các giá trị biến số x∈ℝ , sao cho ta tính ñược giá trị ( )f x . 2. Nhắc lại kiến thức. ( ) ( )A xf x = ; ( )f x xác ñịnh khi ( )A x 0≥ . ( ) ( ) ( ) A x B x f x = ; ( )f x xác ñịnh khi ( )B x 0≠ . ( ) ( ) ( ) ( ) k x A x B x f x = ± ; ( )f x xác ñịnh khi ( ) ( ) ( ) ( ) A x 0 B x 0 A x B x 0  ≥  ≥  ± ≠ ( ) ( ) ( )a xlog A xf x = ; ( )f x xác ñịnh khi ( ) ( ) 0 a 1 A x 0 x< ≠  ≥ Ví dụ 1 : Tìm miền xác ñịnh của các hàm số : 1. ( ) 2 x 3 6 f x x x + = + − 3. ( ) 2 2 8 4 3 2 x f x x x x + = − − + + 2. ( ) 2 2 2 1 4 3 2 x x f x x x x − + = − + + + 4. ( ) 3 2 x f x x + = − Giải 1. Hàm số xác ñịnh ⇔ 2 6 0x x+ − ≠ ⇔ ( ) ( )3 2 0x x+ − ≠ ⇔ 3 2 x x ≠ −  ≠ Vậy { }D \ 3;2= −ℝ 2. Hàm số xác ñịnh khi 2 2 4 0 3 2 0 x x x  − ≠  + + ≠ ⇔ 2 1 và x -2 x x ≠ ±  ≠ − ≠ ⇔ 2x ≠ − Vậy { }D \ 2= −ℝ 3. Hàm số xác ñịnh khi 2 2 2 2 4 0 3 2 0 4 3 2 0 x x x x x x  − ≥  + + ≠  − − + + ≠ ⇔ 2 2 1 2 x x x ≤ − ≥  ≤ − ≥ −  ≠ − hoaëc x 2 hoaëc x ⇔ 2 x < − ≥hoaëc x 2 Vậy ( ) )D ; 2 2,= +∞ − +∞∪ Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 2 4. Hàm số xác ñịnh khi 3 0 2 2 0 x x x  + ≥ −  − ≠ ⇔ ( ) ( ) 0 3 0 2 0 3 0 2 x x x x x x ≥ + ≥ − ≤ + − ≥ − −       ⇔ 0 3 2 0 2 3 x x x x  ≥  − ≤ <  ≤  − < ≤ ⇔ 2 2x− < < Vậy ( )D 2;2= − Trắc nghiệm : Thời gian 15 phút Câu 1. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) 2 3 6 9 x y f x x x + = = + + là A. { }D \ 3= ℝ C. D = ℝ B. D 1= D. { }D \ 3= −ℝ Câu 2. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) 1 5y f x x x= = − − − A. [ ] { }1,5 \ 3 C. [ ]1,5 B. { }\ 3ℝ D. ( )1,5 Câu 3. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) 2 2 2 3 4 3 2 4 x x y f x x x x + − = = − − + − A. ](D -2,1= C. ](D -2,2= B. ( )D 2,1= − D. ( )D -2,2= Câu 4. Hàm số ( ) 4 4 x y f x x + = = + có miền xác ñịnh là : A. D 1= C. { }D \ 4= −ℝ B. D = ℝ D. { }D \ 4;1= −ℝ Câu 5. Tập hợp xác ñịnh của hàm số ( ) 2 2 2 4 3 1 4 3 x x y f x x x x − + = = − + − + là A. D = ℝ C. { }D \ 1,1,3= −ℝ B. { }D \ 1= ℝ D. { }D \ 1,1= −ℝ Câu 6. Tập hợp xác ñịnh của hàm số ( ) 2 x y f x x = = − là A. { }D \ 2= ℝ C. ) { }D 0; \ 2= +∞ B. { }D \ 2;2= −ℝ D. ( )D 2;2= − Câu 7. Tập hợp xác ñịnh của hàm số ( ) 22 2 34 3 x y f x x x x x = = + + − − + là : Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 3 A. ( ]; 3−∞ − C. ( )3;+∞ B. ( )1;3 D. ( ) ( ) ( ); 3 1;3 3;−∞ − +∞∪ ∪ Câu 8. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) 2 21 1y f x x x x x= = + + + − + là ? A. D = ℝ C. 1D \ 2  =     ℝ B. 1D \ 2  = −    ℝ D. 1 1D \ ; 2 2  = −    ℝ Câu 9. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) 1 1 3 2 y f x x x = = + − − là ? A. 3D 1; 2  = −   C. 3 2D 1; \ 2 3    = −       B. 2D \ 3  =     ℝ D. Một kết quả khác Câu 10. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) 3 3 23y f x x x= = − là ? A. D = ℝ C. [ ]D 0;3= B. [ )D 3,= +∞ D. ( ]D 0,3= ðáp Án : 1. D 2. C 3. A 4. C 5. B 6. B 7. D 8. A 9. C 10. A Ví dụ 2 : Tìm miền xác ñịnh của các hàm số : 1. ( ) ( )25 4logf x x= − 4. ( ) 4 ln 1 x f x x  − =   − +  2. ( ) 7 2ln 1 x f x x − =  −  5. ( ) ( )2 22log 2x xf x x−= + 3. ( ) ( )2lg ln 3ln 4f x x x= − − 6. ( ) ( )2log 9 3.6 2.4x x xf x = − + Giải 1. Hàm số xác ñịnh khi 2 24 0 4 2x x x− > ⇔ > ⇔ ≥ Vậy ( ) ( )D ; 2 2;= −∞ − +∞∪ 2. Hàm số xác ñịnh khi 7 2 0 1 x x − > − - 1 + 7 2 - 71 2 x⇔ < < Vậy 7D 1; 2  =     Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 4 3. Hàm số xác ñịnh khi 2 0 ln 3ln 4 0 x x x >  − − > 4 0 1 ln 1 e eln 4 x o x x xx > ⇔   >  Vậy ( )41D 0; e ; e  = +∞    ∪ 4. Hàm số xác ñịnh khi 2 14 1 4 1 21 0 xx x xx − < < −−  ⇔  Vậy ( ) ( )D 2; 1 1;2= − − ∪ 5. Hàm số xác ñịnh khi 2 2 2 0 0 1 0 2 1 20 2 1 1 x x x x xx x x ≠ − + ≠ < <  ⇔ < < ⇔   < << − ≠   ≠ Vậy ( ) ( )D 0;1 1;2= ∪ 6. Hàm số xác ñịnh khi 2 3 3 9 3.6 2.4 0 3. 2 0 2 2 x x x x x    − + > ⇔ − + >        3 2 3 0 1 02 log 23 2 2 x x x x       >   Vậy ( ) ( )3 2 D ;0 log 2;= −∞ +∞∪ Trắc nghiệm : Thời gian 15 phút Câu 1. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) ( )ln lnf x x= là ? A. ( ) ( ); 1 1;−∞ − +∞∪ C. ( ) ( ); e e;−∞ − +∞∪ B. ( )0;+∞ D. ( );−∞ +∞ Câu 2. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) ( )25log 7 12f x x x= − + là ? A. D = ℝ C. [ ]D \ 3,4= ℝ B. ( ) ( ),3 4,x∈ −∞ +∞∪ D. Cả B và C ñúng Câu 3. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) 2 2 log 3 x f x x + =  − +  là ? A. ( ) ( ); 2 3;−∞ − +∞∪ C. ( )2;3− B. ( )\ 2;3−ℝ D. ( ); 2−∞ − Câu 4. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) 22 2 3 log log 2 log x f x x  − =  +  là ? Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 5 A. 1 ;4 8       C. 10; 8       B. ( )0;3 D. ( )2;3− Câu 5. Tập hợp xác ñịnh của hàm số ( ) ( )21log 6xf x x x−= − + + là A. ( )1;2 C. ( )1;3 B. ( )2;3 D. ( ) { }1;3 \ 2 Câu 6. Tập hợp xác ñịnh của hàm số ( ) 2 1 ln 2 ln 4 f x x x = + − − là A. ( )2e ;+∞ C. { }\ 2;2ℝ B. ( )0;+∞ D. Một kết quả khác Câu 7. Tập hợp xác ñịnh của hàm số ( ) ( )lg 2 4xf x = − + là A. { }2 C. ( );2−∞ B. { }\ 2ℝ D. Một kết quả khác Câu 8. Tập hợp xác ñịnh của hàm số ( ) ( )2ln ln 4ln 3f x x x= − + − là A. ( )1;3 C. ( )0;e B. ( )3e;e D. Một kết quả khác Câu 9. Hàm số ( ) 2lg 1 x f x x + = + có tập xác ñịnh là : A. [ )2;− +∞ C. ( ) ( ); 2 1;−∞ − − +∞∪ B. ( ] ( ); 2 1;−∞ − − +∞∪ D. ( )2; 1− − Câu 10. Hàm số ( ) ( )23log 7 12y f x x x x= = − − − − có tập xác ñịnh là : A. ( ] 61; 3 4; 13  −∞ −     ∪ C. ( )3;4− B. ( ) 61; 3 4; 13  −∞ −     ∪ D. Một kết quả khác ðáp Án : 1. A 2. D 3. C 4. B 5. D 6. A 7. C 8. B 9. C 10. D Ví dụ 3 : Tìm miền xác ñịnh của các hàm số : 1. ( ) ( ) 2 2 3 5 4 ln 9 x f x x x + = − + − 4. ( ) 2tan 13 xf x −= Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 6 2. ( ) 2 e 4 4 e e 4.e 3 x x x f x − = − + − + 5. ( ) ( )( )23sin log 4f x x= − + 3. ( ) 4 3.2 22 x x f x − += 6. ( ) 2 sin 4cos 3 x f x x = − Giải 2. Hàm số xác ñịnh khi 2 2 2 3 24 0 10 9 0 3 3 ln( 9) 0 10 10 x xx x x x x x x x  > ≥ − ≥  ≠   − > ⇔ ≥ ⇔   < −  − ≠ ≠ ±    ≠ − Vậy ( ) ( ) { }D ; 3 3; \ 10; 10= −∞ − +∞ −∪ 2. Hàm số xác ñịnh khi 2 0 e 4 4 e 0 0 e 1 e 4.e 3 0 e 3 x x x x x x  < ≤  − ≥  ⇔ ⇔ < <  − + >   > ln 4 2ln 2 0 ln 3 x x x ≤ =  <  > ln 3 2ln 2 0 x x < ≤ ⇔  < Vậy ( ) ( ]D ;0 ln 3;2 ln 2= −∞ ∪ 3. Hàm số xác ñịnh khi ( )24 3.2 2 0 hay 2 3.2 2 0x x x x− + > − + > 2 1 0 12 2 x x x x  ≤ ≤ ⇔ ⇔  ≥≥  Vậy ( ) ( );0 1;x∈ −∞ ∪ +∞ 4. Hàm số xác ñịnh khi tanx xác ñịnh cos 0 2 x x k π π≠ ⇔ ≠ + Vậy D \ ; 2 k k π π = + ∈    ℝ ℤ 5. Hàm số xác ñịnh khi 2 24 0 4 2 2x x x− + > ⇔ < ⇔ − < < Vậy ( )D 2;2= − 6. Hàm số xác ñịnh khi 2 1 cos24cos 3 0 4 0 2 x x + − ≠ ⇔ ≠    1 2cos 2 1 0 cos 2 2 x x⇔ − ≠ ⇔ ≠ hay 2cos cos 3 x π ≠ 6 x k π π⇔ ≠ ± + Vậy D \ ; ; 6 6 k k k π π π π = − + + ∈    ℝ ℤ Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 7 Trắc nghiệm : Thời gian 15 phút Câu 1. Hàm số ( ) 2 2 3 2 2 4 e 4 x x x f x x − + − = + − có tập xác ñịnh là : A. ( ); 2−∞ − C. ( )2;+∞ B. [ ]2;1− D. ( ) ( ] ( ); 2 2;1 2;−∞ − − +∞∪ ∪ Câu 2. T ập hợp các giá trị x làm cho hàm số ( ) 2 5 ln 4 2x x x f x − = − không xác ñịnh là : A. 1 2 x = C. 2log 3x = B. 0x = D. Cả A,B,C Câu 3. Hàm số ( ) 2log sinf x x= c xác ñịnh khi và chỉ khi : A. kπx ≠ C. πk 2 x ≠ B. [ ]\ 1;1x∈ −ℝ D. kπx = Câu 4. Tập hợp xác ñịnh của hàm số ( ) ( )( )2cos ln 4f x x= − là A. [ ]2;2− C. ( ] [ )D ;2 2;= −∞ +∞∪ B. [ ]D \ 2;2= −ℝ D. ( ) [ )D ; 2 2;= −∞ − +∞∪ Câu 5. Hàm số ( ) ( ) 2 59 ln 3 27x f x x= − + + − + xác ñịnh khi và chỉ khi : A. [ ]3;3− C. [ ] 33;3 \ log 28− B. [ )3;3− D. Một kết quả khác Câu 6. Hàm số ( ) ( )3 1 log 2 1x f x x = − − không xác ñịnh khi giá trị nguyên của x là : A. 0; 1x x= = C. ( )2;1 ;x x∈ − ∈ℤ B. ( )2;5 ;x x∈ ∈ℤ D. 2; 0; 1x x x= − = = Câu 7. Hàm số nào sau ñây có tập hợp xác ñịnh là R ? A. ( ) e xf x −= C. ( ) 1 2 x k x −  =     B. ( ) e 2xg x −= + D. Cả 3 ñáp số trên Câu 8. Tập hợp xác ñịnh của hàm số ( ) ( ) ( )2 33 ln 3 3 ln 2xf x x= − − − là A. 1x > C. ( )1,2x∈ B. 2x > D. x∀ ∈ℝ ðáp Án : 1. D 2. D 3. A 4. B 5. B 6. A 7. D 8. B Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 8 Ví dụ 4. ðịnh m ñể hàm số sau xác ñịnh với x∀ 1. ( ) 2 2 2 3 3 m x f x x x + = − + 3. ( ) 2x - mx +1f x = 2. ( ) ( )27log 3x + mx +3f x = 4. ( ) ( ) 2sin m 2 4 m 1f x x x= + − + − Giải 1. Hàm số xác ñịnh 2 2 2 2R x 3 m 0, R pt : x 3 m 0x x x x∀ ∈ ⇔ − + ≠ ∀ ∈ ⇔ − + = vô nghiệm 0x⇔ ∆ 2 ⇔ − < ⇔ hoặc 3m 2 < − 2. Hàm số xác ñịnh 2R 3x mx 3 0, R ∀ ∈ ⇔ ∆ 2m 36 0 -6 m 3⇔ − < ⇔ < < . 3. Hàm số xác ñịnh 2R x mx 1 0, R 0x x∀ ∈ ⇔ − + ≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ 2m 4 0 2 m 2⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ . 4. Hàm số xác ñịnh ( ) 2 m 2 0 R m 2 4 m 1 0 x x x + > ∀ ∈ ⇔  + − + − ≥ ' 2 m 2 m m 6 0 > − ⇔  ∆ = − − + ≤ m 2 m 3 m 2 > − ⇔  ≤ − ≥ hoaëc m 2⇔ ≥ . Trắc nghiệm : thời gian 10 phút Câu 1 . Với giá trị nào của m thì hàm số ( ) 2 2m 3m 2f x x x= − + − xác ñịnh với mọi x A. 1 m 2≤ ≤ C. 1 m 2< < B. m 1= hoặc m = 2 D. m 1≤ hoặc ≥m 2 Câu 2 . Với giá trị nào của m thì hàm số ( ) 2 2 8 2m 3m 2 x f x x x + = + + − xác ñịnh với ( )x R∀ ∈ ? A. 1 m 2≤ ≤ C. 1 m 2< < B. m 1= hoặc m = 2 D. m 1≤ hoặc ≥m 2 Câu 3 . Hàm số ( ) ( )( )2 24 2 2 m 1 m 4m 3log x xf x + + + + += có tập hợp xác ñịnh là R thì m phải thoả ñiều kiện nào ? A. 5 m 1− ≤ ≤ − C. 5 m 1− < < − B. m -5 D. m -5≤ hoặc -1≥m Câu 4 . N ếu hàm số ( ) 2 m my f x Cos x x= = − + có tập xác ñịnh là R thì m phải thoả ñiều kiện nào ? A. m 0≤ hoặc ≥m 4 C. 0 m 4≤ ≤ B. 0 m 4 4 Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 9 Câu 5 . Với giá trị nào của m thì hàm số ( ) 2sin(ln( 2m 3m 2))f x x x= − + − xác ñịnh với mọi ( )x R∀ ∈ ? A. 1 m 21 hoặc m < 2 B. 1 m 1≤ ≤ D. m 1≥ hoặc m ≤ 2 ðáp Án : 1. A 2. C 3. B 4. C 5. A ðề Kiểm Tra 01 Thời gian làm bài : 45 phút Câu 1. Hàm số ( ) 2 1 1 3 4 f x x x = − + − có tập hợp xác ñịnh là : A. { }D \ 3= −ℝ C. { }D \ 4= −ℝ B. { }D \ 2;2= −ℝ D. { }D \ 3; 2;2= − −ℝ Câu 2. Hàm số ( ) 2 2 4 3 2 4 xx f x x x − = + − − có tập hợp xác ñịnh là : A. 3; 2  −∞    C. 32; 2  −    B. ( )2;2− D. ðáp số khác Câu 3. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) 2 2 1 x x f x x − + + = − là tập xác ñịnh nào sau ñây ? A ( ) ](1;1 1;2− ∪ C. [ ] ){1;2 \ 1;1− − B. { }\ 1,2−ℝ D. ( )1,2− Câu 4. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) 2 4 1 x y f x x x = = + + là tập xác ñịnh nào sau ñây ? A D = ℝ C. { }D \ 0= ℝ B. { }D \ 1= −ℝ D. { }D \ 1,0= −ℝ Câu 5. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) 3 2 1 1 x f x x x − = + − − là A D = ℝ C. { }D \ 1= −ℝ B. { }D \ 0= ℝ D. { }D \ 1,1= −ℝ Câu 6. Hàm số ( ) 2 8 9 2 2 4 x x y f x x x − + = = + + − − không xác ñịnh khi : A. ( )2;2x∈ − C. [ ]2;2x∈ − B. ( ) ( ); 2 2;x∈ −∞ − +∞∪ D. ðáp số khác Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 10 Câu 7. Hàm số ( ) 8 24 2 4f x x x= − + − có tập hợp xác ñịnh là : A. ( )2;+∞ C. { }2 B. 2 2x− ≤ ≤ D. ℝ Câu 8. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) 2 2 3f x x x x= − + − là tập hợp nào sau ñây ? A 3; 2  −∞   C. ℝ B. 3 ; 2  +∞  D. ðáp số khác Câu 9. Hàm số ( ) 4 3x xf x e e−= − − có tập hợp xác ñịnh là : A. [ ]0; ln3 C. [ ]\ 0; ln 3ℝ B. [ ]0;3 D. [ ]\ 0;3ℝ Câu 10. Hàm số ( ) 2 3x xf x e e−= + − có tập hợp xác ñịnh là : A. ( ) ( )0;1 2;+∞∪ C. ( ) ( );0 ln 2;−∞ +∞∪ B. ( )1;2 D. ( ) ( );1 2;−∞ +∞∪ Câu 11. Hàm số nào sau ñây xác ñịnh ( )x∀ ∈ℝ ? A. ( ) 22 . xf x x e−= C. Cả 2 câu A và B B. ( ) 2.g x x Cos x= D. ( ) 2. tank x x x= Câu 12. Tập hợp các giá trị x làm cho hàm số ( ) 2 2 2 1 log 1 x f x x − = − không xác ñịnh là : A. { }1,0− C. { }1;0;1; 2− B. { }1, 2 D. ðáp số khác Câu 13. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) ( ) 2 93 x xf x x −= − là A ( )3;+∞ C. { }\ 3;3−ℝ B. ( ) ( )0,3 3;+∞∪ D. ðáp số khác Câu 14. Hàm số ( ) ( ) 1 ln 1 ln ln 1 f x x x x = − + − có miền xác ñịnh là : A. ( )2;e−∞ C. ( )2e ;+∞ B. ( )2e;e D. ( ) ( )2 2e;e e ;+∞∪ Câu 15. ð ể tìm tập xác ñịnh của hàm số ( ) 2f x x= − một học sinh lý luận như sau : (1). Hàm số ( )f x xác ñịnh 2 0x⇔ − ≠ . (2). Do ñó 2 x 2x⇔ ≠ ⇔ ≠ ± . (3). Vậy tập xác ñịnh của hàm số là { }D \ 2;2= −ℝ Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 11 Trong lý luận trên nếu sai thì sai từ bước nào ? A. Chỉ (1) C. Chỉ (3) B. Chì (2) D. Chỉ (1) và (3) Câu 16. Hàm số ( ) ( )22log 6xf x x x−= + − có tập hợp xác ñịnh là : A. ( ) ( ); 3 2;−∞ − +∞∪ C. ( )3;2− B. ( ) ( )2;3 3;+∞∪ D. ( )2;3 Câu 17. Hàm số nào sau ñây có tập hợp xác ñịnh là R ? A. ( ) 1xf x e−= + C. ( ) 31 xk x e−= + B. ( ) 3 1xg x = + D. Cả 3 hàm số trên Câu 18. Hàm số ( ) ( ) ( )2ln 4 .ln 4f x x x= − − có tập hợp xác ñịnh là : A. ( ); 2−∞ − C. ( )2;4 B. ( )2;+∞ D. ( ) ( ); 2 2;4−∞ − ∪ Câu 19. Hàm số ( ) 2 4 3 x f x x x = − + có tập hợp xác ñịnh là : A. ( )2;+∞ C. ℝ B. [ )2;+∞ D. Một kết quả khác Câu 20. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) 2 1 4 x y f x x x − = = − là tập hợp nào sau ñây ? A \ 4ℝ C. ( )2;+∞ B. ( )4,+∞ D. ℝ Câu 21. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) 3 2 2f x x x= + − + là tập hợp nào sau ñây ? A ( )2;− +∞ C. [ )0;+∞ B. ( )0;+∞ D. [ )2;− +∞ Câu 22. Tập hợp xác ñịnh của hàm số ( ) 3 1 2y f x x x= = − − − là A. 1 ;3 2      C. ℝ B. [ )1; 3; 2  −∞ +∞    ∪ D. Một kết quả khác Câu 23. Tập hợp xác ñịnh của hàm số ( ) ( )2 2log 3 2xf x x x= − + là A. { }\ 0;1ℝ C. { }\ 1;0−ℝ B. ( ) [ );1 2;−∞ +∞∪ D. ( ) ( ) { };1 2; \ 1;0−∞ +∞ −∪ Câu 24. Tập hợp các giá trị x làm cho hàm số ( ) ( ) 3 1 2 y f x x x = = + + không xác ñịnh là : Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 12 A. ( ) { }2; \ 1− +∞ − C. ( ] { }; 2 1−∞ − −∪ B. [ ) { }2; \ 1− +∞ − D. Một ñáp án khác Câu 25. Tập hợp xác ñịnh của hàm số ( ) ( )2log 5 25xf x = − là A. ( )1;+∞ C. ( )2;+∞ B. ( )25;+∞ D. ( )1;2 Câu 26. Miền xác ñịnh của hàm số ( ) ( )2ln 6f x x x= − − là ? A ( ) ( ); 2 3;−∞ − +∞∪ C. { }\ 2;3−ℝ B. ( )2,3− D. [ ]\ 2;3−ℝ Câu 27. Tập hợp các giá tr ị nào c ủa m thì hàm số ( ) 2 m mf x x x= − + xác ñịnh với mọi x? A. 0 m 1< < C. 0 m 4< ≤ B. 0 m 4≤ < D. 0 m 4≤ ≤ Câu 28. Hàm số ( ) ( )2 23log mf x x x= + + có tập xác ñịnh là R thì m phải thoả ñiều kiện nào: A. 1m 4 > C. 1 1m 4 2 < < B. 1m 2 > D. Giá trị m khác Câu 29. Tập xác ñịnh của hàm số ( ) ( )( ) 3 2 1 2 5 x x x f x = − + là A. ℝ C. { }2\ log 5ℝ B. { }\ 0ℝ D. { }2\ 0; log 5ℝ Câu 30. Tập xác ñịnh của hàm số ( ) 2 4x xf x = − là A. ℝ C. ( ];0−∞ B. ( )2log 4+∞ D. ( )0;2 ðáp Án ; 1. D 2. C 3. A 4. A 5. B 6. C 7. A 8. A 9. A 10. C 11. C 12. D 13. A 14. D 15. A 16. B 17. D 18. D 19. B 20. C 21. D 22. D 23. D 24. C 25. C 26. A 27. D 28. B 29. B 30. C Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 13 Vấn ñề 02 ðạo hàm 1. Dùng ñịnh nghĩa hàm số ( )y f x= có ñạo hàm tại 0 Dx ∈ + ( )f x có ñạo hàm bên phải 0x : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0' 0 0 lim lim lim x o x o x x f x x f x f x f xy f x x x x x+ + + + ∆ → ∆ → → + ∆ − −∆ = = = ∆ ∆ − + ( )f x có ñạo hàm bên trái 0x : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0' 0 0 lim lim lim x o x o x x f x x f x f x f xy f x x x x x− − − − ∆ → ∆ → → + ∆ − −∆ = = = ∆ ∆ − + ( )f x có ñạo hàm tại 0x : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0' 0 0 lim lim lim x ox o x x f x x f x f x f xy f x x x x x− ∆ →∆ → → + ∆ − −∆ = = = ∆ ∆ − 2. Dùng ñịnh nghĩa hàm số ( )y f x= có ñạo hàm trong 1 khoảng: ( )f x có ñạo hàm trong khoảng (a,b) ( )f x⇔ có ñạo hàm tại ( )0 a,bx∀ ∈ ( ) ( ) ( )' lim lim x o x o f x x f xy f x x x∆ → ∆ → + ∆ −∆ = = ∆ ∆ 3. ðạo hàm bằng công thức (học sinh xem Sgk) Ví dụ 1: cho hàm số ( ) 2f x x= 1. Tính số gia của hàm số ( )f x tại ñiểm 0 1x = − biết 0,3x∆ = − Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 14 2. Tính số gia của hàm số ( )f x tương ứng với sự biến thiên của biến số : từ 0 1x = ñến 0 2x x+ ∆ = Giải 1. ( ) ( )0 0y -f x x f x∆ = + ∆ ( ) ( )1 1f x f= − + ∆ − − ( ) ( ) 2 2 1 1x= − + ∆ − − ( )22 2x x x x= − ∆ + ∆ = ∆ ∆ − Với 0,3x∆ = − ( ) ( )y 0,3 0,3, 2 0,69⇒∆ = − − − = 2. ( ) ( )0 0y -f x x f x∆ = + ∆ = ( ) ( ) 2 22 1 2 1 3f f− = − = Ví dụ 2: Dùng ñịnh nghĩa tính ñạo hàm của hàm số ( ) 22f x x x= + tại ñiểm 0 0x = . Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' 0 0 0 2 00 lim lim lim 2 1 1 0x o x x x xf x f f x x x x→ → → + −− = = = + = − Ví dụ 3: Dùng ñịnh nghĩa tính ñạo hàm của hàm số ( ) 1f x x= + trên khoảng ( )1;− +∞ Giải ( ) ( ) ( ) ( )' 0 0 1 1 lim lim lim x o x o x x x xf x x f xy f x x x x∆ → ∆ → ∆ → + + ∆ − ++ ∆ −∆ = = = ∆ ∆ ∆ ( )( ) ( )( )0 0 1 1 lim lim 2 11 1 1 1x x x xx x x x x x x∆ → ∆ → ∆ = = = +∆ + + ∆ + + + + ∆ + + Ví dụ 4 : Tính ñạo hàm của các hàm số tại ñiểm ñã chỉ ra. 1. ( ) 2 1 2 f x x x = − tại ñiểm 0 1x = 3. ( ) tanf x x= tại ñiểm 0 4 x π = 2. ( ) 2 2f x x= + tại ñiểm 0 1x = − 4. ( ) sin cosf x x x x x= + tại ñiểm 0 1x = Giải 1. 22 0 0x x x− ≠ ⇔ ≠ và 1 2 x ≠ , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 22 1 2 1 2 2 x x x x f x x x ′ − − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 2 22 2 4 1 4.1 1 1 3 2 2.1 1 x f x f x x − − − − = ⇒ = = − − − Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 15 2. ( ) ( ) ( ) ' ' 2 2 1 3 1 32 1 2 x f x f x − − = ⇒ − = = + − + 3. ( )' '2 2 1 1 1 2 1cos 4 cos 24 f x f x π π  = ⇒ = = =         4. ( ) ( ) ( )' sin cos cos sin 1 sin 1 cosf x x x x x x x x x x x= + + − = − + + ( )' 1 0 2cos1 2cos1f = + = Ví dụ 5 : Cho hàm số f ñịnh bởi ( ) 2 2 1 b c 1 x x f x x x x  ≤ =  − + + > neáu neáu ñịnh b và c ñể hàm số có ñạo hàm tại 0 1x = Giải + Hàm số liên tục tại 0 1x = ( ) ( ) 1 1 lim lim x x f x f x + −→ → ⇔ = ( )2 2 1 1 lim b c lim 1 b c 1 c 2 b x x x x x − +→ → ⇔ − + + = ⇔ − + + = ⇔ = − Khi ñó ( ) 2 2 1 b 2 b 1 x x f x x x x  ≤ =  − + + − > neáu neáu + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 2 1 1x x x f x f x x f x x x− − − − → → → − − ′< = = = + = − − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 b 2 b 11 1 1 lim lim 1 1x x x xf x f x f x x+ + + → → − + + − −− ′> = = − − ( ) ( ) ( )( ) 2 1 1 1 b 1 lim lim b 1 b 2 1x x x x x x+ +→ → − − + − = = − + = − − Hàm số có ñạo hàm tại 0 1x = nên ( ) ( )1 1 2 b 2 b 4 c 2f f− +′ ′= ⇔ = − ⇔ = ⇒ = − Trắc nghiệm : Thời gian 15 phút Câu 1. Cho hàm số ( ) cosf x x= .ðể tính ñạo hàm của hàm số ( )f x tại 0 0x = ,một học sinh lý luận như sau: Bước 1: Gọi x∆ là số gia của biến số 0 0x = , số gia y∆ của hàm số: ( ) ( ) 2y 0 - 0 0 2sin 2 x f x f Cos x Cos ∆ ∆ = + ∆ = ∆ − = − Bước 2: Lập 2 22sin sin 2 2 2 x x y xx x ∆ ∆ ∆ = − = − ∆∆ ∆ Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 16 Bước 3: 2 0 0 2sin 2lim lim 2 x x x y xx∆ → ∆ → ∆   ∆ = − = ∆∆     2 0 0 2sin 2lim . lim sin 0 2 2 x x x x x∆ → ∆ → ∆    ∆ − = ∆    Vậy ( )0 0f ′ = Trong lý luận trên,nếu thiếu sót thì thiếu sót từ giai ñoạn nào ? A. Bước 1 C. Bước 3 B. Bước 2 D. Bước 1,2,3 Câu 2. Hàm số nào trong 3 hàm số sau có ñạo hàm tại 0 1x = ? ( ) 1f x x= − ; ( ) ( )21g x x= − ; ( ) ( )31h x x= − A. Chỉ ( )f x C. Chỉ ( )h x B. Chỉ ( )g x D. Chỉ ( )g x và ( )h x Câu 3. Cho hàm số ( ) 2m 1 x f x x + = + .Nếu ( ) ( )1 1f f′ ′= − thì m bằng giá trị nào sau ñây? A. 1− C. 1± B. 1 D. 2± Câu 4. Cho hàm số ( ) n 01 0 n 0 x x f x x x  ≠ = +  = eáu eáu . Xét các mệnh ñề sau: I. ( )f x xác ñịnh trên { }\ 1−ℝ II. ( )f x liên tục tại 0 0x = III. ( )f x có ñạo hàm tại 0 0x = Mệnh ñề nào ñúng? A. Chỉ (I) C. Chỉ (III) B. Chỉ (II) D. Chỉ (I) và (II) Câu 5. Cho hàm số ( ) 23f x x x= − . Khi ñó giá trị của ( ) ( )A 2 2f f ′= + là ? A. 1 2 C. 3 2 B. 3 2 D. ðáp số khác Câu 6. ðạo hàm của hàm số ( ) 10.10xf x x= là? A. ( ) ( )9 10 ln10f x x x′ = + C. ( ) ( )910 10 ln10xf x x x′ = + B. ( ) ( )910 ln10xf x x x′ = + D. ( ) ( )910 1 ln10xf x x x′ = + Câu 7. Hàm số ( ) ( )( )2 2 2f x x x x x= + − + có ñạo hàm trên D = ℝ là: A. ( ) 34 6 2f x x x′ = − − C. ( ) ( )22 1f x x′ = − + B. ( ) ( )( )22 1 2 2 1f x x x x′ = + − − D. Cả A và B. Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 17 Câu 8. Hàm số nào sau ñây có ñạo hàm tại 0 2 x π = ? ( ) sinf x x= ; ( )g x x Cosx= + ; ( )h x Cotx= A. Chỉ ( )f x C. Chỉ ( )h x B. Chỉ ( )g x D. Chỉ ( )f x và ( )g x Câu 9. ðạo hàm của hàm số ( ) xf x e= tại 0x = là? A. Không có C. 1− B. 1 D. 1± Câu 10. Hàm số ( ) 3 lnf x x x= có ( )1f ′ là? A. 1 C. 4 B. 3 D. ∞ ðáp Án : 1. A 2. D 3. C 4. B 5. D 6. C 7. D 8. D 9. A 10. D Chú ý : Nếu hàm số ( )f x có ñạo hàm tại 0x thì nó liên tục tại ñó. ðảo lại một hàm số liên tục tại một ñiểm 0x thì chưa chắc có ñạo hàm tại ñiểm ñó. Ví dụ 1 : cho hàm số ( ) 2m nf x x x= + + . Xét ñạo hàm tại ñiểm 0 0 Dx = ∈ . 1/ Tìm m, n ñể ( )0 1f ′ = ? 2/ Tìm m, n ñể ( )0f ′ không tồn tại ? Giải ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 m n n 0 lim lim x x f x f x x f x x→ → − + + − ′ = = 20 m 1 1 lim 2 nm n nx x x x→ + = = + + + 1/ ( )0 1f ′ = 1 1 1 n ; m 42 n ⇔ = ⇔ = ∀ 2/ ( )0f ′ không tồn tại ( ) 1 0 2 n f ′⇔ không xác ñịnh n 0 ; m⇔ ≤ ∀ . Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 18 Ví dụ 2 : Chứng minh hàm số ( ) 1f x x= − và ( ) 1h 1 x x x − = + không có ñạo hàm tại 0 1x = ? Giải * ( ) 1f x x= − ( ) ( ) ( ) 1 1 11 1 lim lim 1 1 1x x xf x f f x x+ + + → → −− ′ = = = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 lim lim 1 1 1x x f x f x f x x− + − → → − − − ′ = = = − − − Vì ( ) ( )1 1f f+ −′ ′≠ nên ( )1f ′ không tồn tại. * ( ) 1h 1 x x x − = + Tương tự như trên ta ñược : ( ) ( )1 11 1 2 2 f f+ −′ ′= ≠ = − Vậy ( )h x′ không tồn tại Ví dụ 3 : cho hàm số ( ) 1 1 0 1 2 x x x x f x  − − ≠    = neáu neáu =0 1/ Chứng minh rằng hàm số ( )f x liên tục tại 0x = . 2/ Tính ñạo hàm (nếu có) của hàm số tại 0x = . Giải 1/ ( ) 10 2 f = ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1 lim lim lim lim 21 11 1x x x x x xx f x x xx x→ → → → − − + −− − = = = = + −+ − ( ) ( ) 0 0 lim x f f x → = nên hàm số liên tục tại 0x = . 2/ ( ) ( ) ( ) 20 0 0 1 1 1 0 2 2 120 lim lim lim 0 2x x x x f x f x xxf x x x→ → → − − −− − − − ′ = = = − Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007 19 ( ) ( ) ( )20 2 2 1 2 2 1 lim 2 2 2 1x x x x x x x x→    − − − − + −   =  − + −  ( )0 1 1 lim 82 2 2 1x x x→ = =  − + −  Ví dụ 4 : Cho hàm số ( ) ( )1 cos π ; π π 0 ; π x x x x f x  − −