Giáo án lớp 12 môn Toán - Phần 1 : Đại số tổ hợp

PHẦN 1 : ĐẠI SỐ TỔ HỢP A.Qui tắc cộng, qui tắc nhân : 1.Qui tắc nhân : 1 công việc A được chia thành nhiều giai đoạn (gắn liền nhau) thì số cách chọn công việc A là tích các giai đoạn VD: có 3 mặt đồng hồ (tròn, vuông, elip) và 4 loại dây (da, nhựa, kim loại, vải). Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 cái đồng hồ Giải : chọn đồng hồ gồm 1 mặt và 1 dây Chọn mặt : có 3 cách Chọn dây : có 4 cách Vậy số cách chọn đồng hồ là : 3 x 4 = 12 cách Bài tương tự : 1/ Bạn A có 5 quần tây và 6 áo sơ mi. Hỏi bạn A có bao nhiêu cáhc mặt đồng phục đến trường ? 2/ Từ các chữ số 1, 3, 5, 6, 7 ,8, 9 có thể lập bao nhiêu : a.Số có 4 chữ số b.Số có 4 chữ số đôi một khác nhau c.Số chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau d.Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau 2.Qui tắc cộng : công việc A được chia thành nhiều trường hợp thì số cách chọn công việc A là tổng các trường hợp (qui tắc công ít gặp hơn qui tắc nhân) B.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp : 1.Hoán vị : sắp xếp n phần tử 1 cách thứ tự ta có 1 hoán vị của n phần tử Kí hiệu : (:đọc là n giai thừa) Qui ước : 1!=0!=1 Công thức : n!=(n-1)!.n VD: sắp xếp 4 người ngồi vào 1 bàn gồm 4 ghế là 1 hoán vị của 4 phần tử : cách chọn Chú ý : Hoán vị theo 1 đường thẳng (bàn thẳng) là hoán vị thẳng, có cách Hoán vị theo 1 đường tròn (bàn tròn) là 1 hóan vị tròn, có cách Bài tương tự : Có bao nhiêu cách xếp 4 người : a/ Ngồi dọc thành 1 bàn dài 4 ghế b/ Ngồi dọc thành 1 bàn tròn 4 ghế 2.Chỉnh hợp : cho n phần tử, ta chọn ra k phần tử nào đó () sau đó sắp xếp có thứ tự ta được 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử Kí hiệu : () VD: có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn lấy ra từ 6 bóng đèn cho trước Giải : ta chọn 3 bóng từ 6 bóng sau đó sắp xếp có thứ tự nên số cách chọn là 1 chỉnh hợp chập 4 của 6 : Ta cần lưu ý cách chia giai thừa : VD : , , 3.Tổ hợp : cho n phần tử, ta chọn ra k phần tử nào đó () sau đó sắp xếp không cần thứ tự ta được 1 tổ hợp chập k của n phần tử Kí hiệu : () Công thức bổ xung : , , ( côngthứcpascal) VD: 1 giỏ bông gồm 4 hồng và 5 lan. Chọn ra 3 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: a/ 4 bông bất kì (không phân biệt thứ tự) b/ 4 bông trong đó có 1 hồng và 3 lan Giải : a/ Chọn 4 bông bất kì từ 9 bông ( gồm hồng và lan ) ta được 1 tổ hợp chập 4 của 9 : b/ ta chia làm 2 bước : chọn 1 hồng (từ 4 hồng) : chọn 3 lan (từ 5 lan) : vậy số cách chọn là : x=.. Bài tương tự : Bài 1: Lớp học có 25 học sinh trong đó có 11 nam. Chọn ra 5 bạn đi trực nhật, hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu : a/ 5 bạn không phân biệt nam nữ b/ 3 nam và 2 nữ d/ 1 nam và 4 nữ e/ có nhiều nhất 2 nữ f/ có ít nhất 3 nam g/ An và Bình không được tham gia Bài 2:Các đa giác sau đây có bao nhiêu đường chéo : a.Ngũ giác lồi b.đa giác lồi 12 cạnh c.đa giác lồi n cạnh Bài 3: trong mặt phẳng có n điểm và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có boa nhiêu cách lập tam giác C.Nhị thức NewTon : (dùng để khai triển hằng đẳng thức mũ cao) chú ý cần nhớ : số mũ của a : giảm từ n xuống 0 số mũ của b : tăng từ 0 đến n Mũ a giảm thì mũ b tăng Số hạng thứ k + 1 : Số hạng tổng quát ; Công thức cần biết : Chú ý: ( quan trọng ) Bài tập : 1/Khai triển : , , 2/Cho khai triển a.tìm số hạng thứ 3,5,8 b.tìm hệ số của số hạng chứa c.tìm số hạng không chứa x 3/Tìm số hạng không chứ x trong khai triển : PHẦN 2: XÁC SUẤT A.Phép thử, không gian mẫu, biến cố : 1.Phép thử : là thử 1 cách ngẫu nhiên, không biết trước kết quả mà chỉ biết tập hết quả. VD: gieo 1 con súc sắc có 6 mặt là 1 phép thử, ta không biết trước sẽ ra mắt nào nhưng biết chắc chắn số nút gieo được từ 1 à6 2.Không gian mẫu : tập các kết quả cúa phép thử, kí hiệu là VD: gieo 1 con súc sắc 6 có 6 mặt thì không gian mẫu là : 3.Biến cố : là tập con của không gian mẫu VD: gieo 1 con súc sắc 6 có 6 mặt. Gọi biến cố A:”xuất hiện mặt chẵn” thì Bài tập tương tự: 1/Gieo 1 đồng tiền cân đối đồng chất 2 lần a.Xác định không gian mẫu b.Xác định các biến cố sau : A:”kết quả 2 lần gieo như nhau” B:”có ít nhất 1 lần x.hiện mặt sấp” C:”lần gieo thứ 2 mới xuất hiện mặt sấp” 2/Gieo 1 đồng tiền 3 lần a.xác định không gian mẫu b.xác định các biến cố : A:”lần đầu xuất hiện mặt sấp” B:”mặt sấp xảy ra đúng 1 lần” C:”mặt ngửa xảy ra ít nhất 1 lần” B.Xác suất của biến cố: Biến cố hợp : hay , Biến cố giao : hay Biến cố bù : là phần bù của A, kí hiệu VD: cho không gian mẫu , biến cố A là : thì Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc khi Xác suất của biến cố A : , với là số phần tử trong A; là số phần tử trong VD: gieo 1 con súc sắc vô tư ta được không gian mẫu là : .tính xác suất để được : a/ biến cố A là số lẻ b/ biến cố B là 1 số lớn hơn 4 Giải: a/ Ta có nên b/ Ta có nên Bài tập tương tự : 1/Trong 1 bình đựng 6 viên bi giống nhau trong đó có 4 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất để được 2 bi xanh 2/Gieo ngẫu nhiên 1 con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần a.Mô tả không gian mẫu b.xác định các biến cố sau : A:” Tổng số chấm 2 lần gieo không bé hơn 10” B:” mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần” c.tính P(A), P(B) ? C.Tính chất xác suất : 1.Định lý 1: a) Với mọi xác suất ta đều có : b) c) nếu 2 biến cố A và B xung khắc thì 2.Định lý 2 : là biến cố bù của A, tức là thì ta luôn có 3.Công thức công xác suất : với 2 biến cố A và B bất kì ta luôn có : Khi A,B xung khắc thì suy ra nên trở về định lý 1 PHẦN 3: TỔNG HỢP CÁC ĐỀ THI ĐH Bài 1: Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên : a/ gồm 6 chữ số đôi một khác nhau b/ số lẻ gồm 5 chữ số đôi một khác nhau c/ số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau d/ số gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 Bài 2: a)Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số đã cho. b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số đôi 1 khác nhau, đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ. c) Có 2 giáo viên toán và 10 giáo viên sử. Hỏi có bao nhiêu cách lặp một ban công tác gồm 8 người mà trong đó phải có ít nhất 1 giáo viên toán. d) Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cô giáo muốn chọn ra 1 tốp ca gồm 5 em, trong đó có ít nhất 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. e) Một toán học sinh gồm 4 trai, 3 gái. Chọn ra 3 em trong đó có ít nhất 1 trai, 1 gái. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. f) Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ GVCN muốn chọn 4 em vào ban trật tự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu phải có ít nhất 1 nam. g) Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết 9? h) Có 9 viên bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ? k) Có 9 viên bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ. l) Có 5 học sinh được xếp vào một bàn tròn. Tính số cách xắp xếp 5 học sinh đó vào bàn tròn đó. m) Có 40 quả táo, trong đó có 5 quả bị sâu. Có bao nhiêu cách chọn 5 quả táo mà trong đó có ít nhất một quả sâu? n) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho hai bạn A, E ngồi ở 2 đầu ghế. Bài 3: ( ĐH Đà Nẵng – 1997 ) Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Cần lấy 1 nhóm 5 người trong đó có 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn Bài 4: ( ĐH Thái Nguyên – 1997 ) Một lớp 40 học sinh trong đó có 25 nam và 15 nữ. Thầy chọn ra 3 học sinh đi tham gia tố chức lễ khai giảng. Hỏi có bao nhiêu cách : a/ Chọn ra 3 học sinh trong lớp b/ Chọn ra 3 học sinh trong đó có 1 nam và 2 nữa c/ Chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam Bài 5: ( ĐH Dân Lập Đông Đô – 1999 ) Trong một mp cho 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác thì có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên ? Bài 6: ( ĐH Quốc gia TP.HCM – 2000 ) Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ người ta muốn chọn ra 1 bó gồm 7 bông 1/ Có bao nhiêu cách chọn bó bông nếu chỉ có đúng 1 bông hồng 2/ Có bao nhiêu cách chọn bó bông trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ ? Bài 7: : Từ 1 tập thể 8 người gồm 5 nam và 3 nữ , hỏi có  bao nhiêu cách chọn một tổ công tác gồm 4 người thoả điều kiện, trong mỗi trường hợp sau: 1 . Không có điều kiện gì thêm. 2. Tổ chỉ gồm 4 nam 3. Tổ phải gồm 2 nam và 2 nữ. Bài 8: Giải các pt , bpt sau : 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ ( Tốt Nghiệp THPT – 2007 ) 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ Tìm số nguyên dương n sao cho 16/ Bài 9: tìm số hạng không chứa x trong khai triển : 1/ 2/ 3/ Bài 10: Cho các số: 1,2,4,6,8,9 Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số khác nhau đôi một Bài 11: rút gọn biểu thức sau : Bài 12: ( ĐH GTVT – 99 ) Gieo đồng thời 3 đồng xu đối xứng và đồng chất. Tính xác suất để ít nhất 1 mặt sấp xuất hiện Bài 13: ( ĐH Đà Nẵng -97 ) Một tổ sinh viên có 6 nam và 5 nữ. Chọn ra 4 sinh viên đi lao động. Tính xác suất sao cho: 1/ Trong đó có 1 nữ 2/ Có không quá 3 nữ Bài 14: ( Cao Đẳng Hải Quan – 98 ) Một hộp chứa 12 bóng đèn trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để được : a/ 3 bóng tốt b/ ít nhất 2 bóng tốt Bài 15: Có 4 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫn nhiên 3 tấm. a) Mô tả không gian mẫu b) Xác định các biến cố sau : A:” Tổng các số trên 3 tấm bìa = 8 “ B: “ Các số trên 3 tấm bìa là các số tự nhiên liên tiếp “ c) Tính P(A) ; P(B) ? Bài 16: Một hộp có 6 quả cầu trắng, 4 quả câu đen, lấ ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác suất cho : a) Bốn quả lấy ra cùng màu b) Có ít nhất một quả màu trắng Bài 17: Gieo Đồng thời hai con súc sắc a) Mô tả không gian mẫu b) Xác định các biến cố sau và tính xác suất của chúng : A:” số nút trên 2 súc sắc là như nhau “ B:” Mặt 5 chấm xuất hiện ở súc sắc thứ nhất “ C:”Tổng số chấm bé hơn 10” D:”Tích số chấm là số lẻ” E:”Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm” Bài 18: Gieo 3 đồng xu cân đối. tính xác suất để : a) Cả 3 đồng xu đều sấp b) Có ít nhất 1 đồng xu sấp c) Có đ1ung 1 đồng xu sấp Bài 17: Một câu lạc bộ có 25 thành viên. a) Có bao nhiêu cách chọn 4 thành viên vào Ủy ban Thường trực ? (ĐS: 12650) b) Có bao nhiêu cách chọn Chủ Tịch, Phó Chủ tịch và thủ quỹ ? (ĐS:13800) Bài 18: Trong không gian cho 9 điểm trong đó không điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập bao nhiêu tứ diện ? ( ĐS :126) Bài 19: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho : a) Đôi một khác nhau b) Số lẻ đôi một khác nhau c) Số chẵn đôi một khác nhau c) chia hết cho 5 Bài 20: a) Trong khai triển . Tìm hệ số của số hạng chứa b) Tìm hệ số trong khai triển c) Biết hệ số của trong khai triển là 95. Tìm n d) Từ khai triển .Tìm tổng các hệ số của khai triển e) Tìm số hạng  không chứa trong khai triển nhị thức, biết rằng  f) Tìm hệ số của trong khai triển của g) Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Niutơn của biết rằng  Bài 21: Chọn ngẫu nhiên 1 số nguyên dương nhỏ hơn 9. Tính xác suất để : a) Số được chọn là số nguyên tố b) Số được chọn chia hết cho 3 Bài 22: Một túi xách có 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu đó có cả màu đỏ và màu xanh ( ĐS : 97/105) Bài 23: Cho P(A)=0,3;P(B)=0,4 và P(AB)=0,2. Hỏi 2 biến cố A và B có : a) Xung khắc nhau không b) Độc lập vơi nhau không ? Bài 24: Giải hệ phương trình: Bài 25: Một tổ trực gồm 9 nam sinh và 5 nữ sinh. Giáo viên muốn chọn 4 học sinh trực thư viện. Có bao nhiêu cách chọn như thế nếu: a/ Chọn học sinh nào cũng được b/ Có đúng 1 nữ sinh được chọn c/ Có nhiều nhất 3 nữ sinh được chọn d/ Có ít nhất 1 nữa sinh được chọn Bài 26: Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho. 1.    Có đúng 2 nam trong 5 người đó. 2.    Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó. Bài 27: ( Cao Đẳng Hải Quan – 2000 ) Giải pt : Bài 28: Chứng minh sự chia hết : 1/ chia hết cho 100 2/ chia hết cho 3 Bài 29: Chứng minh rằng: a) b) Cnk + 2Cnk-1 + Cnk-2 = Cn+2k c)Cnk + 3Cnk-1 + 3Cnk-2 + Cnk-3 = Cn+3k d) Cnk + 4Cnk-1 + 6Cnk-2 + 4Cnk-3 + Cnk-4 = Cn+4k Bài 30: a)Một lớp có 45 học sinh trong đó có 25 nữ, giáo viên kiểm tra bài cũ 2 học sinh. Xác suất để không có học sinh nữ nào là bao nhiu b) Gieo đồng thời 2 con súc sắc. Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2 c) Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 21.Xác suất để số được chọn chia hết cho 5 là bao nhiu ? d) Một hộp bóng đèn có 10 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 bóng đèn. Tính xác suất để lấy ra cả 3 bóng đều tốt. Bài 31: Một hộp bóng đèn có 10 bóng đèn trong đó có 6 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 bóng đèn. Tính xác suất để có ít nhất một bóng tốt Bài 32: cho T = (1+x)9 + (1+x)10 + (1+x)11 + (1+x)12 ,tìm hệ số x9