Giáo án lớp 12 môn Toán - Phần I: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

Phần I. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan Dạng 1. Hàm số bậc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d ( a≠ 0) 1. Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2. Cách tính GTCĐ và GTCT của hàm số bậc ba Chia y cho y’ được thương g(x) dư r(x) = khi đó y = y’.g(x) + r(x) (1) Giả sử y’ = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thay vào (1) ta có y(x1) = r(x1) y(x2) = r(x2) Nhận xét: đường thẳng r(x) = là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho. 3. Tính chất của tiếp tuyến tại điểm uốn a. Nếu a< 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc bé nhất trong các tiếp tuyến với đồ thị hàm số b. Nếu a> 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong các tiếp tuyến với đồ thị hàm số. c. Qua điểm uốn chỉ có duy nhất một tiếp tuyến với đồ thị hàm số Qua một điểm bất kỳ trên đồ thị khác với điểm uốn có hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số. Bài 1. Đề thi năm 2002 Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 + 3(1-m2)x + m3 - m2 1. Khảo sát sự biến vẽ đồ thị của hàm số 2. Tìm k để phương trình -x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0 có ba nghiệm phân biệt 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. 1. Với m = 1 ta có: y = -x3 + 3x2 Bài 2. Cho hàm số y = x.(x+3)2 + 4 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và trục tung. 3) Viết phương trình các đường thẳng qua gốc toạ độ và tiếp xúc với (C) . 2. Đặt m = -k3 + 3k2 Dựa vào đồ thị hàm số đã khảo sát ta có: 0 < m < 4 thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt Dựa vào đồ thị hàm số đã cho xét hàm số m = -k3 + 3k2 với 0 < m < 4 ta suy ra k ẻ (-1 ; 0) ẩ (0; 2) ẩ ( 2; 3) 3. Ta có: HD : Sử dụng phép chia y cho y’ được thương là g(x) số dư r(x) khi đó y = r(x) chíng là phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. 1) 2) Diện tích 3) Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = kx (d). (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm Bài 3.Cho hàm số y= x3-3x2+2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, Xác định số giao điểm của đồ thị với trục hoành . 2) Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm 3) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc với nhau 1) 2) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm vậy phương trình đường thẳng tiếp tuyến có dạng (d) y = k( x - ) -2 Hệ sau có nghiệm: có 3 tiếp tuyến 3) Lấy M(a; -2) là một điểm thuộc đường thẳng y = -2 Giả sử từ M kẻ được một tiếp tuyến với đồ thị hàm số ; gọi T(x0; x03-3x02 + 2) là tiếp điểm. Tiếp tuyến này có phương trình : y = (3x02-6x0)(x-x0) + x03-3x02+2. Nó đi qua điểm M vậy toạ độ điểm M nghiệm đúng phương trình tiếp tuyến tức là: - 2 = (3x02-6x0)(a-x0) + x03-3x02+2. (x0 - 2)[2x02 - (3a-1)x0 + 2] =0 (2) ứng với x0 = 2 ta có tiếp tuyến y = -2; không thể có tiếp tuến nào của đồ thị vuông góc với tiếp tuyến này vậy nếu từ m kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì các tiếp tuyến đó ứng với hai nghiệm còn lại của (2). Gọi x1; x2 là hai nghiệm còn lại của phương trình 2x2 - (3a-1)x + 2= 0. (*) Hệ số góc của tiếp tuyến ứng với x0 =x1; x0 = x2 là y’1=3x12 - 6x1; y’2=3x22 - 6x2 Điều kiện để hai tiếp tuyến vuông góc với nhau: -1 = y’1.y’2 Sử dụng hệ thức viet ta có: thoả mãn điều kiện có nghiệm của (*) Bài 4. Cho hàm số y = x3 - 3(m-1)x2 + (2m2 - 3m + 2)x - m(m-1) 1) Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số Bài 5 (Đề thi TN năm 2006) 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 - 6x2 + 9x 2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn 3) Với giá trị nào của tham số m đường thẳng y = x + m2 - m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số Bài 6. Khối D năm 2005 Gọi (Cm) là đồ thị hàm số : 1) Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 2. 2) Gọi điểm M thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1. tìm m để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng 5x - y = 0 Bài 7. Khối B năm 2003 Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số y= x3-3x2+m (1) (m là tham số). 1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. Bài 8 (2 điểm) Khối B năm 2004 Cho hàm số y = (1) có đồ thị (C). 1) Khảo sát hàm số (1). 2) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng (d) là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 9 Khối D năm 2004 Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + 9x + 1(1) với m là tham số. 1) Khảo sát hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1. Buổi 2 Dạng 2. Hàm số bậc 4 y = ax4 + bx2 + c ( a≠ 0) Chú ý trong chương trình SGK ta chỉ xét hàm số bậc 4 trùng phương - Tính đối xứng qua trục toạ độ Oy - Luôn có cực trị ( 1 hoặc 3 cực trị). - Các bài toán sử dụng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình bậc 4 trùng phương. Bài 1. Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 1 a) Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình: (x2 – 1)2 – 2m + 1 = 0 (1) c) Tìm k để Parapol (PK): y = 2x2 + k tiếp xúc với (C) . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (PK) trong trường hợp đó. y = 2m - 1 c) Hệ điều kiện ứng với mỗi giá trị ktìm được của k ta tìm được toạ độ tiếp điểm và viết được phương trình tiếp tuyến (Có 3 tiếp tuyến chung) Bài 2 Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = c) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C). Biết tiếp tuyến đi qua A(0; ) y = Bài 3. Cho hàm số a)Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành c) Tìm a để parabol y = -x2+a tiếp xúc với (C). Viết các phương trình tiếp tuyến chung. Bài 4. Cho hàm số y = (m+1)x4 -4mx2 + 2 có đồ thị (Cm). a) Khảo sát với m = 1 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1) và đường thẳng y = 2 c) xác địng m đề (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. Bài 5. Đề KB.2002 Câu I. (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,5 điểm) Cho hàm số : y=mx4+(m2-9)x2+10 (1) (m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=1. 2. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. Buổi 3 Phương pháp toạ độ trong không gian. +) Véc tơ và các phép toán véc tơ trong không gian +) Sự đồng phẳng của các véc tơ. Kiến thức cần lưu ý: - Các phép toán về véc tơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn giống trong hình học phẳng. - Hai véc tơ cùng phương nếu nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau: . - Ba véc tơ đồng phẳng nếu chúng lần lượt nằm trên 3 mặt phẳng song song hoặc trùng nhau. Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, còn I là trung điểm của EF Với mọi điểm M trong không gian CMR: Bài 2 Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bất kỳ trong không gian sao cho: Tìm quỹ tích điểm M Gọi G1 là trọng tâm tam giác BCD ta có: Suy ra: Theo bài ra suy ra : M cách đều hai điểm G và G1 nên M thuộc trung trực của GG1 Bài 3. Cho tứ diện ABCD gọi M, N, P, M’, N’ và P’ lần lượt là trung điểm : DA, DB, DC, BC, CA và AB. Giả sử: MM’ = NN’ = PP’ CMR: Ta có: MM’N’N là hình bình hành mặt khác: MM’ = NN’ suy ra : MM’N’N là hình chữ nhật. Từ đó suy ra: AB^CD. Vì vậy ta có: = 0 (1) Lập luận tương tự ta có Đpcm. Bài 4. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi P, R là trung điểm các cạnh AB, A’D’, gọi P’, Q, Q’, R’ lần lượt là giao điểm các đường chéo của các mặt ABCD, CDC’D’, A’B’C’D’ , ADD’A’ 1) CMR : 2) CMR hai tam giác : PQR, P’Q’R’ có cùng trọng tâm . 2) = Suy ra G cũng là trọng tâm tam giác P’Q’R’. Bài 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Đặt Gọi M chia đoạn AC’ theo tỷ số m, N chia đoạn CD’ theo tỷ số n. 1) Hãy biểu thị các véc tơ theo và m, n. 2) Xác định m, n để đường thẳng MN song song B’D 3) Tính độ dài đoạn MN. 1)Theo bài ra ta có: Suy ra Hay: Mặt khác: Vậy: Hoàn toàn tương tự ta có: 2) Ta có: Dể MN//B’D thì hai véc tơ phải cùng phương nghĩa là phải có: Lại có: Hay Vậy để MN//B’D ta có: 3) Ta có : MN2 = với lưu ý rằng đôi một vuông góc. Bài 6. Cho hình tứ diện ABCD, Gọi A’, B’, C’, D’ là các điểm lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA theo tỷ số k cho trước 1) CMR với điểm O bất kỳ trong không gian 2) Với giá trị nào của k thì 4 điểm A’, B’, C’, D’ đồng phẳng 1) Theo giả thiết ta suy ra: Suy ra: Hoàn toàn tương tự ta có: Cộng 4 dẳng thức này ta có kết quả cần tìm. 2) Rõ ràng với k = 1 thì 4 điểm đó đồng phẳng. Dễ thấy k khác 1 Xét với . Ta chứng tỏ rằng A’B’ không thể song song với AC Thậy vậy giả sử A’B’// AC Thì Suy ra k2 =1 vôlý Thành thử A’B’ cắt AC tại một điểm I như hình vẽ Ta CMR: Ta có: Nên Ta lại có: Nên: Lập luận tương tự ta thấy C’D’ cắt CA tại J với Nếu thì: Vô lý Vậy . Nếu 4 điểm A’, B’, C’, D’ cùng thuộc mặt phẳng P, thì CA có chung với P hai điểm phân biệt I, J tức CA thuộc P vô lý. Thành thử chỉ có k =-1 thì 4 điểm A’, B’, C’, D’ mới đồng phẳng Buổi 4. Khảo sát hàm số dạng Lưu ý: Giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi Tiếp tuyến tại M của đồ thị hàm số cắt các đường tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm của AB. Bài 1. Cho hàm số a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất c) CMR trên (C) tồn tại vô số cặp điểm sao cho tiếp tuyến của (C) tại các cặp điểm ấy song song. d) CMR tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) bất kỳ của (C) tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. b) Giả sử M(xM; yM) thuộc (C), ta có: Gọi d1; d2 là khoảng cách từ M đến TC đứng và TCX Ta có: Nhận thấy: d1.d2 = const Vậy d1+d2 nhỏ nhất khi và chỉ khi d1=d2 Giải ra ta có: c) xét phương trình f’(x) = k Vậy ứng với một giá trị k <0 thì phương trình f’(x) = k có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là ứng với một giá trị k < 0 ta luôn tìm được trên (C) 2 điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình trên sao cho tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k, từ đó suy ra điều phải CM. d) Ta có tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm M0 (d) giao với TCĐ tại A và TCX tại B ta có: Diện tích tam giác AIB là: (đpcm). Bài 2. Cho hàm số a) CMR đường thẳng d: y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất b) gọi (d’) là đường thẳng qua E(-4; 2) và có hệ số góc k, xác định k để cho (d’) cắt (C) tại ha điểm M, N lần lượt thuộc hai nhánh của (C). Khi đó tìm quỹ tích trung điểm I của MN. c) Tìm hai điểm P, Q thuộc hai nhánh của (C) sao cho độ dài PQ ngắn nhất a) Xét phương trình 2x2 + mx + m – 4 = 0 luôn có nghiệm với mọi m hay (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Giả sử A(x1; 2x1+m) ; B (x2; 2x2+m) AB2 = 5(x2-x1)2 = 5[(x2+x1)2 – 4x1x2] = Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = 4 b) ta có: (d’): y = k(x+4) + 2 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với (d’) (*) Theo bài ra thì phương trình (*) phải có hai nghiệm thoả mãn: x1<-1<x2 Vậy k.g(-1) 0 *) tìm quỹ tích trung điểm I của MN Gọi I(x; y) là trung điểm của MN Vậy quỹ tích cần tìm c) Gọi P, Q là hai điểm thuộc hai nhánh của (C) giả sử xP > -1 và xQ < -1 Đặt Do P, Q thuộc đồ thị (C) nên Biến đổi ta có: dấu “=” xảy ra khi áp dụng BĐT cauchy ta có: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi suy ra hai điểm P, Q Bài 3. Cho hàm số a) Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số (C) . b) Tìm một hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng x + y – 3 = 0 c) M là điểm bất kỳ trên (C). Tiếp tuyến với (C) tại M cắt TCĐ và TCN tại A, B. CMR M là trung điểm của AB, tam giác tạo bởi hai tiệm cận và tiếp tuyến có diện tích không đổi. Gọi M(xM; yM) ẻ (C) Phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc với đt : x+y – 3 = 0 là: (x-xM) – ( y-yM) = 0 Û x- y - xM + yM = 0 (d) Gọi I là giao của và (d) Gọi N là điểm đối xứng của M qua (*) Vì điểm M ẻ (C) nên toạ độ điểm M thoả mãn (**) Từ (*) và (**) ta có: Hay đồ thị đối xứng với (C) qua đường thẳng x+y-3 =0 CâuI ( ĐH : 3 điểm ; CĐ : 4 điểm ).Năm 2002 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = -1. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ. 3. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x. 1) Bài 5 Cho (Cm) là đồ thị của hàm số: a) Tìm m để tại giao điểm của (Cm) và Ox, tiếp tuyến của đồ thị tương ứng song song với Hệ quả: Tích không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau đường thẳng (d): y = x-10. Viết phương trình các tiếp tuyến đó Giải: Hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox là: Ta phải có: y’(x0) = 1 Giải ra ta được Bài 6. Cho hàm số 1) Với m = 1 a) Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất. 2) CMR với mọi m khác 0 đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định Với m = 1 ta có dạng đồ thị như hình vẽ M(x0; ) Khoảng cách từ M đến hai tiệm cận: Buổi 5. Khảo sát hàm số dạng Một số điểm cần chú ý khi khảo sát dạng hàm số này: Giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và xiên là tâm đối xứng của đồ thị hàm số ta có thể viết dưới dạng Hàm số có cực trị thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: Hàm số có CĐ, CT và ymax, ymin trái dấu y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và phương trình y = 0 vô nghiệm Hàm số có CĐ, CT và ymax, ymin cùng dấu y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt Hệ đk cho hai đường cong tiếp xúc với nhau? Bài 1 Cho hàm số 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Chứng minh rằng qua A(1;-1) bao giờ cũng vé được hai tiếp tuyến với đồ thị (C) và hai tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau. 3) Tìm số k lớn nhất để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x 2) Đường thẳng d qua A(1; -1) với hệ số góc k có dạng (d) : y = k(x-1) -1 (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm đpcm 3) Đặt t = vậy vậy bất phương trình trở thành với t thuộc đoạn hàm số f(t) đồng biến vậy Bài 2. Cho hàm số: 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3. Tìm trên đường thẳng y =2 những điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được hai đường thẳng vuông góc và tiếp xúcvới (d) 4. Cho (d’) : mx - m + 1, tìm m để (d’) cắt (C) tại hai điểm phan biệt thuộc cùng một nhánh của (C) 2. Đặt t = Khi đó phương trình đã cho trở thành t2 - t +1 = m (t -1) Dễ thấy t = 1 không phải là nghiệm của phương trình nên ta có: Dựa vào đồ thị ta có kết quả 3. Gọi M(m, 2) thuộc đường thẳng y = 2 và (d) là đường thẳng qua M có hệ số góc k (d) : y = k(x-m) +2 Xét hệ sau có nghiệm Theo bài ra hệ trên phải có hai nghiệm k1.k2 = -1(***) gọi x1, x2 là hai nghiệm của (*) từ (***) ta có: áp dụng viet ta được: 4. Phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt thoả mãn: không có Kiến thức cần tái hiện định lý về dấu tam thức bậc 2 giá trị nào của m thoả mãn Bài 3 Cho hàm số 1. Tìm m để hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu trên [ -1; 5] 2. Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 sao cho x1.y2+x2.y1 < x1+x2 3. Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 1 4. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1. Yêu cầu bài toán tương đương với y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc [-1; 5] ta được 2. Ta có khi hàm số có cực trị thì giá trị cực trị được tính theo công thức (Đạo hàm tử/đạo hàm mẫu) Yêu cầu bài toán tương đương với Vô nghiệm 3. Với m = 1 ta có: 4. Đồ thị của Bài 5 Cho hàm số : 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Tìm trên (C) những điểm có tổng các khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất. 3. CMR một tiếp tuyến bất kỳ của (C) tạo với hai đường tiệm cận của nó một tam giác có diện tích không đổi. 4. Tìm trên mỗi nhánh một điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm ấy nhỏ nhất. 5 . Tìm quỹ tích những điểm sao cho từ mỗi điểm ấy vẽ được hai tiếp tuyến với (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau y = x I A B x = -1 H d 2. Gọi M0(x0, y0) thuộc (C) suy ra Gọi d1, d2 là khoảng cách từ M0 đến TCĐ, TCX suy ra: Tích không đổi tổng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai giá trị đó bằng nhau, giải ra ta có : 3. Gọi (d) là tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M0(x0, y0) thuộc (C) (d): y = Gọi I( -1, -1) là giao của hai đường tiệm cận A là giao của (d) với TCX A(x0, ) B là giao của (d) với TCĐ B(-1; ) Buổi 6. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng tích có hướng của hai véc tơ Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - Phương trình tổng quát của một mặt phẳng - Phương trình tham số của một mặt phẳng - Vị trí tương đối của hai mặt phẳng - Chùm mặt phẳng - Phương trình tổng quát của một đường thẳng - Phương trình tham số của một đường thẳng - Phương trình chính tắc của một đường thẳng - Vị trí tương đối của hai đường thẳng - Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng - Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Gọi điểm cố định A(x0; y0; z0), hệ đã cho có nghiệm đúng với mọi m b) Bài 1. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(2; 3; -5) và song song với đường thẳng: Bài 2. Trong không gian cho họ đường thẳng dm xác định như sau: a) CMR dm luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. b) CMR với mọi m dm luôn nằm trong một mặt phẳng cố định Ta thấy Bm(m, 1-m; 0) ẻ dm Gọi (P) Ax+By+Cz+D = 0 là mặt phẳng cố định chứa mọi đường thẳng dm Như vậy A, Bm ẻ (P) với mọi m hay Ta có thể chọn C = 1; D =-1 say ra A =1; B=1 Suy ra mặt phẳng cố định luôn chứa dm Bài 3 Trong không gian cho hai điểm M(-4; -9; 12) và A(2; 0; 0) 1. Viết phương trình mặt phẳng qua M, A và cắt Ox, Oy tại B và C sao cho OB = 1+ OC ( giả thiết rằng B, C không trùng với gốc O) 2. Viết phương trình mặt phẳng qua M và cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lầm lượt tại N, P, Q sao cho: 1. Giả sử B(0; b; 0) và C(0; 0; c) mặt phẳng (ABC) theo phương trình đoạn chắn Vì (ABC) quan M nên thay toạ độ của M vào phương trình của (ABC) ta được (*) Với giả thiết OB=OC+1 ta có: (**) từ (*) và (**) ta có hệ b = 3 ; c=2 hoặc 2. Gọi N(n ;0 ;0) ; P(0; p; 0) và Q(0 ; 0 ; q) ta có theo phương trình đoạn chắn (NPQ) là : Theo bài ra ta có: Hay: (*) Mặt khác (NPQ) qua (-4; -9; 12) nên ta có: (**) Từ (*) và (**) ta có được 4 bộ (a ; b ; c) A’ B’ C’ Q S R P B A D C D’ A B C B’ A’ D’ C’ D Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ với toạ độ các đỉnh như sau: A’(0; 0; 0); B’(a; 0; 0); D’(0; b; 0); A(0; 0; c) trong đó a, b, c > 0. Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, B’C’, C’D’, DD’ 1. Viết phương trình tham số của hai đường thẳng PR, QS 2. Xác định mối liên hệ giữa a, b, c để PR^QS 3. CMR PR và QS cắt nhau Ta có : 2. suy ra điều phải chứng minh. 3. Để chứng minh cho PR và QS cắt nhau ta chỉ ra hệ trên có nghiệm Bài 5. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1. Các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’. Đặt hệ trục toạ độ Oxyz sao cho A(0; 0; 0); B(1; 0; 0); D(0; 1; 0); A’(0; 0; 1) a) Viết phương trình chùm mặt phẳng chứa CD’ b) Ký hiệu (P) là mặt phẳng bất kỳ chứa đường thẳng CD’, còn (a) là góc giữa mặt phẳng (P) với (BB’D’D). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của (a) a) Mặt phẳng (CC’D’D) chứa CD’ có phương trình y - 1 = 0 Mặt phẳng (ACD’): chứa CD’: x-y+z=0 Phương trình chùm mặt phẳng chứa CD’ là: (1) b) Mặt phẳng (P) tuỳ ý nên có phương trình (1) Mặt phẳng (BB’D’D): x+y-1 = 0 (2) Nếu l = 0 ta có: a = 450 Nếu l≠0 (1) x +(t-1)y+z-t=0 (1’) trong đó Sử dụng đạo hàm ta có được GTLN của y = Suy ra: Bài 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ đề các vuông góc Oxyz. Cho đường thẳng (d) có phương trình: và 3 điểm A(2; 0; 1), B(2; -1; 0), C(1; 0; 1) 1) Tìm trên đường thẳng (d) điểm S sao cho đạt giá trị nhỏ nhất 2) Tính thể tích hình chóp OABC. 1) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có : Hay đạt GTNN khi đạt GTNN, hay S là hình chiếu của G trên (d) Suy ra : 2) Thể tích của hình chóp OABC bằng Bài 7. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD với A(5 ; 1 ; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) 1) Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) 2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD Bài 8 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ba điểm: A(0; 0; 1), B(-1; -2; 0), C(2; 1; -1) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (P) b) Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC. Bài 9 Trong không gian Oxyz cho điểm M(2; -1; 1) và hai đường thẳng a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với (d1) b) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d3) qua M vuông góc với (d1) và cắt (d2) Buổi 7 Tích phân Dạng : Sử dụng phương pháp đổi biến Tính 1) Đặt với là một hàm chọn thích hợp 2) Lấy vi phân 3) Biểu thị f(x)dx theo t và dt giả sử f(x)dx = g(t)dt 4) Tình cận theo a và b 5) Tính (đó là tích phân cần tính) Chú ý: Thay vì đặt ta đặt rồi lấy vi phân hai vế đểtính dx theo t và dt, các bước sau tương tự Bài 1 Tính các tích phân sau a) Bài 2 Tính các tích phân sau a) Một vài chú ý khi tính tích phân những hàm số lượng giác Dạng 1 biến tích thành tổng Dạng 2 Trường hợp chung ta đặt ta có: Nếu R(sinx, cosx) là hàm chẵn đối với sinx và cosx đặt t = tgx ta có: sin2x = Nếu là hàm lẻ đối với sin x đặt t= cosx Nếu là hàm lẻ đối với cos x đặt t= sinx Bài 3 Dạng 3. 1) có một trong hai số m hoặc n lẻ *) nếu m lẻ đặt t = cosx *) nếu n lẻ đặt t = sinx 2) nếu m, n đều chẵn đặt t = tgx a) đặt x = sinx b) t= a2cos2x+b2sin2x sau đó chia hai trường hợp a2 khác b2 và a2 =b2 Bài 4 Tính các tích phân sau a) c) HD: biến đổi thành I = sau đó đặt t = sinx ta biến đổi được a) đặt x = sint sau đó chuyển về ẩn cosx ta được I = Chú ý ta cũng có thể đặt I = đến đây ta đặt Bài 5 Tính các tích phân sau : a) Giải b) Biến đổi ta có : ( 1) Xét : đặt x = ta có : (2) từ (1) và (2) Suy ra : I = đến đây ta có thể sử dụng tích phân từng phần Chú ý đối với hàm số chẵn Đến đây ta dùng tích phân từng phần c) Bài 6 Tính các tích phân sau : HD: b) Đặt x = Biến đổi ta được Suy ra : hay 2I= Buổi 8 Tính các tích phân sau (Sử dụng phương pháp đổi biến) 1 a) b) c) 2 a) b) c) 3 a) b) c) 4 a) b) c) Phương pháp tính tích phân từng phần Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì ta có: (1) Một số điểm cần chú ý khi sử dụng công thức (1) a) Viết b) Tính du và v (khi chọn dv thì v phải tính được dễ dàng) c) Tính sau đó áp dụng công thức (1) Một số dạng thông dụng Dạng 1: với P(x) là một đa thức, A(x) = Đặt u = P(x), còn dv = A(x)dx Dạng 2: với P(x) là một đa thức hoặc có dạng còn Q(x) = lnx Ta đặt u = Q(x), P(x)dx=dv (Sử dụng công thức tích phân từng phần) 1 a) b) c) 2 a) b) c) 3 a) b) c) 4 a) b) c) 5 a) b) c) Buổi 10 Tích phân và đẳng thức tích phân Để chứng minh một đẳng thức tích phân ta thường dùng phương pháp đổi biến số. +) Nhận xét hai cận tích phân của từng vế để đưa ra cách biến đổi thích hợp +) Để ý đến các tính chất chẵn, lẻ, tuần hoàn +) Tích phân không phụ thuộc và ký hiệu của biến số Chứng minh các đẳng thức tích phân sau 1. 2. Cho f(x) là một hàm liên tục trên [0; 1]. Chứng minh rằng: (Đặt t = -x) 3. Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; ]. Chứng minh rằng: Xét VT và đặt t = -x ta có đpcm Chú ý khái niệm hàm tuần hoàn Với chu kỳ T f(x) = f(x±T) với mọi x 4.a) Cho hàm số f(x) liên tục, xác định, và tuần hoàn trên R với chu kỳ T. CMR: b) áp dụng tính tích phân a) Ta cần chứng minh cho Sử dụng phương pháp đổi biến bằng cách đặt t = x + T ta có đpcm. Bất đẳng thức trong tích phân Để chứng minh bài toán này ta thường sử dụng các tính chất sau: 1) Nếu dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2) Nếu dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3) Ta có: 4) Nếu (*) Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) áp dụng cauchy cho hai số x và 1-x b) xét hàm số f(x) = trên [1; 2] c) Đánh giá biểu thức dưới dấu tích phân trên đoạn đã cho. d) Hd: ta có: e) Sử dụng đạo hàm chỉ ra f(x) nghịch biến trên khoảng đã chỉ ra Sau đó đánh giá f(x) sử dụng (*) ta có đpcm Bài 2 Chứng minh bất đẳng thức sau: Ta có : Bài 3 Cho hàm số : f(x) = ax+b với a2+b2 > 0 CMR: Buổi 30 Đại số tổ hợp Giai thừa: n! = 1.2.3n Hoán vị: Pn = n! Sự sắp thứ tự n phần tử của tập gồm n phẩn tử Chỉnh hợp: - Tập hợp k phần tử sắp thứ tự của tập A gồm n phần tử Tổ hợp: - Tập con k phần tử của tập A gồm n phần tử Dạng 1:Giải phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình có liên quan đến Phương pháp : Tiến hành theo các bước sau: Bước 1 : Đặt điều kiện có nghĩa là : Bước 2: Dùng các công thức sau để rút gọn : = , Bước3 : Sau khi rút gọn được phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đã cho về phương trình – bất phương trình – hệ phương trình cơ bản. Giải tìm nghiệm và chọn nghiệm thích hợp ở điều kiện ở bước 1 Bước 4 : Kết luận