Giáo án lớp 12 môn Toán - Phép biến đổi đồ thị và khảo sát hàm số

Phép biến đổi đồ thị và khảo sát hàm số I đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối A Bài toán : Cho biết trước đồ thị (C) : y = f(x). Từ đồ thị (C) hãy vẽ đồ thị của các hàm số sau đây : 1/ (C1) : y = 2/ (C2) : y = 3/ (C3) : y = 4/ = f(x) 5/ y = u(x). hoặc y = B phương pháp 1) Từ (C) : y = f(x) vẽ (C1) : y = Ta có = Vẽ (C1) theo quy tắc + Giữ nguyên phần đồ thị (Ca) của (C) ở phía trên trục Ox + Lấy (C’b) đối xứng qua Ox với phần đồ thị (Cb) của (C) nằm dưới Ox. Khi đó (C1) = (Ca) (C’b) 2) Từ (C) : y = f(x) và (C2) : y = ta có x nên y = là hàm chẵn đồ thị (C2) nhận Oy làm trục đối xứng Mặt khác = f(x) x 0 nên vẽ (C2) theo quy tắc + Giữ nguyên phần đồ thị (Cp) của đồ thị (C) ứng với x 0 + Lấy (C’p) đối xứng với (Cp) qua trục Oy. Khi đó (C2) = (Cp) (C’p) 3) Từ (C) : y = f(x) vẽ (C3) : y = Bước 1: Từ (C): y = f(x) vẽ (C2): y = Bước 2: Sử dụng quy tắc vẽ (C1) cho (C2) (C3) : y = 4) Từ (C) : y = f(x) vẽ (C4) : = f(x). Để ý rằng nếu (x0, y0) (C1) thì (x0 ,-y0) cũng (C4) nên đồ thị (C4) nhận Ox làm trục đối xứng. Với y 0 thì = f(x) y = f(x) nên vẽ (C4) theo quy tắc + Giữ nguyên phần đồ thị (CT) của (C) nằm ở phía trên Ox + Lấy (C’T) đối xứng với (CT) qua trục Ox khi đó (C4) = (CT) (CT’) Bài 1: 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = f(x) = x3 – 3x2 - 6 2) Biện luận theo a số nghiệm phương trình : = a Giải : 1) Khảo sát nhanh : y = f(x) = x3 – 3x2 - 6 f’(x) = 3x(x – 2) = 0 f”(x) = 6(x – 1) = 0 Điểm uốn (1, -8) 2) Vẽ (C’) : y = = Nghiệm của = a là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = a với đồ thị (C’) : y = . Nhìn vào đồ thị ta có Nếu a < 0 thì phương trình vô nghiệm Nếu a = 0 thì phương trình có 1 nghiệm Nếu 0 < a < 6 thì phương trình có 2 nghiệm Nếu a = 6 thì phương trình có 3 nghiệm Nếu 6 < a < 10 thì phương trình có 4 nghiệm Nếu a = 10 thì phương trình có 3 nghiệm Nếu a > 10 thì phương trình có 3 nghịêm Bài 2: 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = f(x) = 2) Từ đồ thị (C) hãy vẽ (C’) : y = = Giải : Bài 3: 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = - 3x2 + 2) Tìm m để = m2 – 2m có 8 nghiệm phân biệt Giải: 1) y’ = 2x(x2 – 3) = 0 x = 0, x = CT( , -2); CĐ y” = 6(x2 – 1)(x2 – 5) = 0 x =1, x = 2) Gọi (C’) : y = = Nghiệm của phương trình đã cho là hàm số giao điểm của đường thẳng y = m2 – 2m với đồ thị (C”) : y = . Nhìn vào đồ thị ta có phương trình 8 nghiệm phâm biệt 0 < m2 – 2m < 2 Bài 4 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = f(x) = 2) Tìm a để phương trình : = ax – a + 1 có nghiệm 3) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : = log2m Giải : 1) = 0 2) f(x) = = a(x – 1) + 1 (1) Nghiệm của (1) là hoành độ giao điểm của (D) : y = a(x – 1) + 1 với (C) : y = f(x). Do (D) luôn đi qua điểm cố định I(1, 1) nên (1) có nghiệm (D) nằm trong góc nhọn tạo bởi 2 tiệm cận a > 1 3) Do y = là hàm chẵn nên đồ thị (C’) nhận Oy làm trục đối xứng và được vẽ từ (C) theo quy tắc : Giữ nguyên phần đồ thị của (C) ứng với x 0 rồi lấy đối xứng phần này qua Oy. Xét tương giao của y = log2m với (C’) ta có : Nếu log2m < -2 0 < m < thì phương trình có 2 nghiệm Nếu log2m = -2 m = thì phương trình có 1 nghiệm Nếu -2 < log2m < 1 + < m < thì phương trình vô nghiệm Nếu log2m = 1 + m = thì phương trình có 2 nghiệm kép Nếu log2m > 1 + 2 m > thì phương trình có 4 nghiệm Bài 5 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) : y = f(x) = 2) Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị của các hàm số sau đây (C1) : y = = Bài 6 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = f(x) = 2) Biện luận số nghiệm phương trình : x2 + 4x + Giải : 1) Xét g(x) = = x – 2 + = 0 x1 = -9; x2 = -3. TCĐ : x = -6; TCX : y = x – 2 Do y = f(x) = . Từ BBT của y = g(x) BBT y = f(x) 2) Biến đổi phương trình f(x) = = Nếu 214 thì phương trình có 4 nghiệm Nếu = -14 m = 214 thì phương trình có 3 nghiệm Nếu -14 < < 2 < m < 214 thì phương trình có 2 nghiệm Nếu = 2 m = thì phương trình có 1 nghiệm Nếu > 2 0 < m < thì phương trình vô nghiệm Bài 7 Cho (Cm) : y = x3 – 3mx2 – 6mx 1) Khảo sát và vẽ khi m = 2) Biện luận số nghiệm : 4 - 3x2 – 6 - 4a = 0 3) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại đúng 1 điểm có hoành độ dương Giải : 1) Với m = thì (C) : y = x3 - x2 - x 2) Biến đổi phương trình = a. Nhìn vào đồ thị ta có Nếu a < thì phương trình vô nghiệm Nếu a < thì phương trình có 2 nghiệm kép Nếu a = 0 thì phương trình có 3 nghiệm Nếu a > 0 thì phương trình có 2 nghiệm Nếu < a < 0 thì phương trình có 4 nghiệm đơn 3) f(x) = 0 x(x2 – 3mx – 6m) = 0 x = 0 g(x) = x2 – 3mx – 6m = 0 Yêu cầu bài toán m > 0 Bài 8 : 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = f(x) = 2) Biện luận theo a số nghiệm âm của phương trình = a(x – 2) + 2 Bài 9 : 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = f(x) = 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :x2 – 6x + 5 = .log2m Bài 10 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) : y = Bài 12 1) Tìm điểm cố định của (C) : y = 2) Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu 3) Khảo sát và vẽ với m= 0 4) Biện luận số nghiệm phương trình : = k Bài 13 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = f(x) = 2) Từ (C) -> (C1) : y = Bài 14 : 1) Khảo sát và vẽ : y = f(x) = 2) Từ đó suy ra y = Bài 15 1) Khảo sát và vẽ : y = f(x) = 2) Từ (C) suy ra đồ thị y = . Biện luận theo m số nghiệm phương trình : | 4t – 5.2t + 5 | = m(2t – 1) Bài 16 : 1) Khảo sát và vẽ : y = 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : = m Bài 17: Cho (C) : y = 1) Với m = 1, khảo sát và vẽ đồ thị Biện luận nghiệm của phương trình : x2 – x = k + 1 = 0 2) Tìm m để cực đại , cực tiểu nằm ở 2 phía của Ox Bài 18 1) Khảo sát và vẽ : y = f(x) = 2) Giải và biện luận : x2 + 3x + 2k = 0 Bài 19 1) Khảo sát và vẽ : y = f(x) = 2) Biện luận số nghiệm phương trình : = m Bài 20 1) Khảo sát và vẽ : y = x + 1 + 2) Từ (1) vẽ đồ thị y = 3) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt : = m Bài 21 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) (d) : y = kx + 2 (C) = M, N. Tìm k để M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN 3) Tìm số nghiệm phương trình : = a Bài 22 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = khi m = 1. từ đó suy ra đồ thị y = 2) Tìm x0 để , tiếp tuyến (Cm) tại điểm có x = x0 // 1 đường thẳng cố định. Tìm hệ số góc đường thẳng đó Bài 23 Cho (C) : y = 1) khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1. Từ đó suy ra đồ thị y = 2) Tìm m để (C) đông biến trên Bài 24 : 1) Tìm m để (C) : y = có cực trị 2) Vẽ đồ thị khi m = 1, từ đó suy ra đồ thị y = và biện luận số nghiệm phương trình : = a Bài 25 : 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) Từ (C) vẽ (C’) : y = 3) Tìm các điểm Ox từ đó có thể kẻ đến (C) 2 tiếp tuyến phân biệt Bài 26 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) Từ (C) vẽ (C’) : y = Bài 27 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) Biện luận số nghiệm phương trình: x2 – 6x + 5 = k Bài 28 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = , từ đó nêu cách vẽ và vẽ đồ thị (C’): y = 2) Từ O(0, 0) có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C) ? tìm toạ độ các tiếp điểm ( nếu có ) Bài 29 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) Từ (C) và (C1) : y = Bài 30 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) Biện luận số nghiệm của phương trình: x2 – (4 + m) + 5 + 2m = 0 Bài 31 : 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = từ đó suy ra đồ thị của hàm số y = 2) Tìm m để phương trình có nghiệm : x2 – (m + 1)x + m + 1 = 0 3) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt [-3, 0] (t2 + 2t)2 – (m + 1)(t2 + 2t) + m + 1 = 0 Bài 32 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = từ đó suy ra (C1) : y = 2) Tìm những điểm (C) để tiếp tuyến tại đó vuông góc với y = x Bài 33 1) Tìm m để y = đồng biến x > 1 2) Khảo sát và vẽ khi m = 1 3) Biện luận số nghiệm = a Bài 34 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) Gọi (C’) đối xứng (C) qua TCĐ của (C). Hỏi (C’) là đồ thị hàm số nào ? Viết phương trình TCX của (C’) 3) Tìm a, b, c, d để đồ thị y = có TCĐ : x = 1; TCX : y = 2x +1 và điểm cực đại có tubg độ p là số cho trước Bài 35 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) Biện luận theo a số nghiệm phương trình: = a Bài 36 Cho (Cm) : y = x3 – (2m + 1)x2 + (6m – 5)x – 3 1) CMR : (Cm) luôn có 2 điểm cố định 2) Tìm m để (Cm) tiếp xúc Ox 3) Khảo sát và vẽ với m = 2 4) Biện luận số nghiệm : = a Bài 37 : Cho y = + ax2 + (3a – 2)x 1) Tìm a để hàm số luôn đồng biến 2) Tìm a để đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 3) Khảo sát và vẽ với a = , từ đó suy ra = Bài 38 : Cho y = x3 – 3mx2 + (m - 1)x + 2 1) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; khảo sát, vé đồ thị khi đó 2) Sử dụng đồ thị trên để biện luận số nghiệm : x2 – 2x – 2 = Bài 39 : 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = -x3 + 3x và từ đó suy ra (C’) : y = - 2) tìm m để x3 – 3x = có 3 nghiệm phân biệt Bài 40 : Khảo sát và vẽ (C) : y = 3x – 4x3. Từ đó suy ra đồ thị (C’): y = (3 – 4x2) Bài 41: Cho y = x3 + ax2 + bx + c 1) Tìm a, b, c để đồ thị có tâm đối xứng là I(0, 1) và đạt cực trị tại x = 1 2) Khảo sát và vẽ khi a = 0, b = -3, c = 1. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình = 0 Bài 42 : 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với x + 4y – 1 = 0 3) Biện luận theo m số nghiệm = m Bài 43 1) Khảo sát và vẽ : y = 2) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(3, 0) đến đồ thị Bài 44: Khảo sát và vẽ (C) : y = Bài 45 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) Tìm tập hợp các điểm N(x, y) thoả mãn 3) Biện luận theo m số nghiệm x của phương trình cos2x – (m – 1)cosx + m + 2 = 0 Bài 46 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = x + 3 + 2) Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị (C’) : y = Bài 47 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = x3 – 6x2 + 9x 2) Biện luận theo m số nghiệm - 6x2 + 9 - 3 + m = 0 Bài 48 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) Từ (C) nêu cách vẽ (C’) : y = Bài 49 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) Từ (C) nêu cách vẽ (C’): y = Bài 50 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) Biện luận theo k số nghiệm âm của phương trình = k(x – 2) + 2 ------------------------o0o------------