Giáo án lớp 12 môn Toán - Phương pháp đạo hàm

PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM. I. Định lí Lagrange và ứng dụng: Định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại (a;b) sao cho f’(c) = . Bài tập 1: Cho n > 1 và b > a > 0. Chứng minh rằng: nan-1(b-a) < bn – an < nbn-1(b-a). Bài tập 2: Cho 0 < a < b < . Chứng minh rằng: Bài tập 3: Cho a < b < c. Chứng minh rằng: Bài tập 4: Cho x > y > 1. Chứng minh rằng : 5y4(x-y) < x5 – y5 <5x4(x-y) Bài tập 5: Cho 1 y < x, p Î Z, p 2, chứng minh: 5yp-1(x-y) < xp – yp <5xp-1(x-y) Hệ quả: (Định lý Rolle): Nếu f(x) xác định và liên tục trên [a;b], có đạo hàm trên (a;b), f(a) = f(b) thì tồn tại (a;b) sao cho f’(c) = 0. Bài tập 6: CMR phương trình asin7x + bcos5x +csin3x + dcosx = 0 luôn có nghiệm với mọi a, b, c, dÎR. Giải: Xét F(x) = - cos7x + sin5x - cos3x + dsinx, với x Î [0;2]. Ta có F(x) liên tục trên [0;2], có đạo hàm trên (0;2). Mặt khác, ta có F(2) = F(0) = --. Do đó theo định lý Lagrange, ta có: Î(0;2) sao cho :F’(x0) = asin7x0 + bcos5x0 +csin3x0 + dcosx0 = 0 Suy ra phương trình: asin7x + bcos5x +csin3x + dcosx = 0 luôn có nghiệm. Bài tập 7: Cho m >0 và . Chứng minh rằng: ax2 + bx + c =0 có nghiệm Î (0;1). II. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải PT, HPT, BPT: Nếu f(x) là hàm số liên tục trên tập K và đơn diệu trên K thì PT f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên K. cho hệ pt:; Nếu f(x) đơn điệu trên tập K thì x = y =z trên K. Chứng minh:* f(x) đồng biến trên K, Với x, y, z Giả sử x = y =z. Các bài toán: Bài tập 1: Giảicác phương trình: a) b) Bài tập 2: Giải bất phương trình: . Bài tập 3: Giải phương trình: (2x+1) + 3x = 0. II. Ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số trong các bài toán PT, BPT, HPT HBPT: Bài toán 1: Tìm m để phương trình F(x,m) = 0 (1) có nghiệm trong khoảng K. Phương pháp giải bằng cách sử dụng tập giá trị của hàm số: Biến đổi PT(1) f(x) = g(m) (Trên K) Xét hàm số f(x) Lập bảng biến thiên của f(x). (tìm ). Từ đó suy ra tập giá trị của f(x) trên K là Y (1) có nghiệm g(m) Y. Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình F(x,m) > 0 ( F(x,m)0 ) (1) có nghiệm trong khoảng K. Phương pháp giải bằng cách sử dụng tập giá trị của hàm số: Biến đổi BPT(1) f(x) > g(m) (f(x) g(m)) (Trên K) Xét hàm số f(x) Lập bảng biến thiên của f(x). (tìm ). Từ đó suy ra tập giá trị của f(x) trên K là Y (1) có nghiệm (g(m);+) YÆ ( [g(m);+) YÆ) Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình F(x,m) > 0 ( F(x,m)0 ) (1) có nghiệm với K. Phương pháp giải bằng cách sử dụng tập giá trị của hàm số: Biến đổi BPT(1) f(x) > g(m) (f(x) g(m)) (Trên K) Xét hàm số f(x) Lập bảng biến thiên của f(x). (tìm ). Từ đó suy ra tập giá trị của f(x) trên K là Y (1) có nghiệm Y (g(m);+).( Y [g(m);+).) Bài 1: Tìm m để bất phương trình: có nghiệm với R. Bài 2: Tìm m để bất phương trình: có nghiệm với R. Bài 3: Tìm m để bất phương trình: đúng với . Bài 4: Tìm m để bất phương trình có nghiệm. Bài 5 : Tìm m để bất phương trình có nghiệm với R. Bài 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: . Bài 7: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sau có một số lẻ nghiệm thực: . Bài 8: Với giá trị nào của a thì bất phương trình sau: có nghiệm. Bài 9: a. Cho hàm số chứng minh rằng < 0 với . b. Tìm mọi giá trị của tham số a để phương trình ax2 + 2cosx = 2 có đúng hai nghiệm trong đoạn Bài 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: Bài 11: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:. Bài 12: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:    . Bài 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: