Giáo án lớp 12 môn Toán - Phương pháp giải toán hình học

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ( CHỦ ĐỀ 4 +5) VẤN ĐỀ 1: CÁC ĐƯỜNG CÔNIC * Dạng 1: Tìm các yếu tố của Cônic Đưa phương trình đã cho về đúng dạng chính tắc Aùp dụng đúng công thức trả lời các yêu cầu của đề : Đỉnh , Tiêu điểm ,Tâm sai , Phương trình đường chuẩn, Trục lớn , Trục nhỏ, Trục thực , Tham số tiêu . . . * Dạng 2 : Tìm m để đường thẳng (d) :y = f(x) cắt đường tròn ( C) , ( E ), (H), (P) Lập hệ gồm 2 phương trình : phương trình ĐT và phương trình đường Cônic Thu gọn thành PT bậc hai (d) cắt ( C) [ (E) , (H) , (P) ] Þ phương trình có nghiệm Þ Giải bất phương trình tìm m Þ Trả lời * Dạng 3 : Lập phương trình chính tắc của Cônic Elíp Hypebol Dạng : Từ điều kiện đề bài tìm 2 phương trình với ẩn số là a và b Giải hệ tìm a , b Þ PTCT * NHỚ : a2 = b2 + c2 Dạng : Từ điều kiện đề bài tìm 2 phương trình với ẩn số là a và b Giải hệ tìm a , b Þ PTCT * NHỚ : c2 = a2 + b2 Parabol Viết pt của (P) khi biết tiêu điểm F( 4 ; 0) Ta có : Þ p = 8 Vậy (P): y2 = 2px = 16x Viết pt của (P) khi biết đường chuẩn y = 3 Đường chuẩn: Þ p = 6 Vậy (P): x2 = -2py = -12y Viết pt của (P) đỉnh O nhận Oy làm trục đối xúng và qua A(3;-5) Oy là trục đx của (P) , nên có dạng: x2 = 2py hoặc x2 = - 2py Mà A( 3; -5)Ỵ(P): có y = -5 <0 Ta chọn: x2 = -2py A( 3; -5)Ỵ(P) Þ9 = -2p(-5) Þ p =9/10 Vậy (P) : x2 = - 9/5y * Dạng 4 : Viết phương trình tiếp tuyến với Coníc Loại 1 : Viết PTTT TẠI điểm thuộc Cônic ‘’ SỬ DỤNG PP PHÂN ĐÔI TOẠ ĐỘ’’ PTTT của (E) tại M (x0 ; y0 ) là PTTT của (H) tại M (x0 ; y0 ) là PTTT của (P) : y2 = 2px tại M (x0 ; y0 ) là (D) : y0y = p (xo + x) PTTT của đường tròn (C ) tại M (x0 ; y0 ) là (D) : (xo - a)(x – a) +(yo - b)(y – b) = R2 Hoặc (D) :xo x + yo y + A(xo + x)+ B(xo + x) + C = 0 CÁCH khác : Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm I (a ;b) của đường tròn và có VTPT Loại 2 : Viết PTTT đi qua A(xA ; yA) Thay toạ độ của A vào pt (C ). Có 2 trường hợp: * Nếu 2 vế =:Þ có 1tt Làm như loại 1 * Nếu 2 vế ¹:Þ có 2tt - Viết pt đường thẳng (D) đi qua A và có hệ số góc k (D): y – yA= k(x – xA) . Đưa về dạng tổng quát ( chuyển y qua) - ĐKTX: d(I, D) = R - Giải pt này tìm k Þ thế vào (D) Thay toạ độ của A vào pt (E ). Có 2 trường hợp: * Nếu 2 vế =:Þ có 1tt Làm như loại 1 * Nếu 2 vế ¹:Þ có 2tt - Viết pt đường thẳng (D) đi qua A và có hệ số góc k (D): y – yA= k(x – xA) Đưa về dạng tổng quát ( chuyển y qua) ĐKTX:A2a2 +B2b2=C2 - Giải pt này tìm k Þ thế vào (D) Thay toạ độ của A vào pt (H). Có 2 trường hợp: * Nếu 2 vế =:Þ có 1tt Làm như loại 1 * Nếu 2 vế ¹:Þ có 2tt - Viết pt đường thẳng (D) đi qua A và có hệ số góc k . (D): y – yA= k(x – xA) Đưa về dạng tổng quát ( chuyển y qua) ĐKTX: A2a2-B2b2=C2 - Giải pt này tìm k Þ thế vào (D) Thay toạ độ của A vào pt (P ). Có 2 trường hợp: * Nếu 2 vế =:Þ có 1tt Làm như loại 1 * Nếu 2 vế ¹:Þ có 2tt - Viết pt đường thẳng (D) đi qua A và có hệ số góc k . (D): y – yA= k(x – xA) Đưa về dạng tổng quát ( chuyển y qua) - ĐKTX: B2p = 2AC - Giải pt này tìm k Þ thế vào (D) * CHÚ Ý: Nếu chỉ tìm được 1 tiếp tuyến , ta xét thêm đường thẳng (D’): x = xA và đường thẳng này thoả ĐKTX , thì đây là tiếp tuyến thứ 2 Loại 3 : Viết PTTT song song ( vuông góc ) với đường thẳng (D): Ax + By + C = 0 Đường tròn Elíp Hypebol Parabol Từ (D) Þ (D’) ĐKTX :d(I, D) = R Giải pt Þ C Þ (D) Từ (D) Þ (D’) ĐKTX : A2a2 + B2b2 = C2 Giải pt Þ C Þ (D) Từ (D) Þ (D’) ĐKTX : A2a2 - B2b2 = C2 Giải pt Þ C Þ (D) Từ (D) Þ (D’) ĐKTX : B2p = 2AC Giải pt Þ C Þ (D) VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ Trong mp Oxy Trong không gian Cho 3 điểm A,B,C * Chứng minh ABC là 1 tam giác @ Tìm toạ độ: @ Nhận xét toạ độ của 2 véc tơ này Þ 2 vec tơ này không cùng phương @ ABC là tam giác Cho 3 điểm A,B,C * Chứng minh ABC là 1 tam giác @ Tìm toạ độ: @ Nhận xét toạ độ của 2 véc tơ này Þ 2 vec tơ này không cùng phương @ ABC là tam giác * Chứng minh ABC là tam giác vuông @ Tìm toạ độ: @ Tính tích vô hướng: Nếu : = 0 ÞD vuông tại A Nếu : ¹ 0 : TÍnh thêm vec tơ @ Tính tích vô hướng: Hoặc tích vô hướng: Nếu : = 0 ÞD vuông * Chứng minh ABC là tam giác vuông @ Tìm toạ độ: @ Tính tích vô hướng: Nếu : = 0 ÞD vuông tại A Nếu : ¹ 0 : TÍnh thêm vec tơ @ Tính tích vô hướng: Hoặc tích vô hướng: Nếu : = 0 ÞD vuông * Tìm toạ độ của điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành @ ABCD là hbh Û @Tính: AB ; DC . Giả sử =(a; b), =(c;d) @ Từ (1) Giải hệ tìm được toạ độ của D * Tìm toạ độ của điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành @ ABCD là hbh Þ @Tính: AB ; DC . Giả sử =(a; b;c) =(a’; b’;c’) @ Từ (1) Giải hệ tìm được toạ độ của D * Tìm toạ độ trực tâm tam giác Trực tâm H là giao điểm 2 đường cao Ta có : Tìm 4 véctơ : Tính 2 tích vô hướng ,giải hệ pt . Tìm được H * Chứng minh 4 điểmA,B,C,D không đồng phẳng (hay A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện) Tìm 3 véctơ : Tính tích có hướng : Tính tíchhỗn hợp : ¹ 0Þ A,B,C,D không đông phẳng *Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC: I(x,y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp Û Tìm 3 độ dài IA, IB, IC Giải hệ tìm x, y Þ I (x, y) * Tính thể tích tứ diện ABCD : Tìm 3 véctơ : T ính : VABCD = ïï * THỂ TÍCH HÌNH HỘP: V = ïï VẤN ĐỀ 3: ĐƯỜNG THẲNG Đường thẳng trong mp Oxy Đường thẳng trong không gian Oxyz Phương trình các đường thẳng đặc biệt @ Trục Ox: y = 0 @ Trục Oy : x = 0 @ Đường phân giác thứ nhất : y = x @ Đường phân giác thứ hai : x = y Phương trình các đường thẳng đặc biệt Phương trình tham số của đường thẳng Phương trình tham số của đường thẳng Phương trình chính tắc của đường thẳng Phương trình chính tắc của đường thẳng Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) : Ax + By + C = 0 ( A2 + B2 ¹ 0 ) VTPT : VTCP : Phương trình tổng quát của đường thẳng Chuyển từ pthsÞ ptct Þ pttq Þ pttq (d) : Ax + By + C = 0 (nhân chéo) Chuyển từ pthsÞ ptct Þ pttq Þ pttq : (nhân chéo) Chuyển từ pttsÞ pttq và ptct @ Từ pttq (d) : Ax + By + C = 0 Þ Þ @ Cho x = ? Þ y =?? Þ M(x,y) @ Sử dụng điểm M và , Viết ptts và ptct Chuyển từ pttsÞ pttq và ptct @Từ pt @ cho x = 0 Þ x, y, z Þ M(x,y,z) @ Sử dụng điểm M và , Viết ptts và ptct Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn Nếu đt (d) cắt trục Ox tại A(a,0) và cắt trục Oy tại B(0,b) thí pt theo đoạn chắn của (d) là A O B Phương trình đường thẳng qua A và // với (d) Ta có : Dùng điểm A và , Viết ptts ( có thể chuyển qua ptct , pttq tuỳ theo yêu cầu của bài toán) Phương trình 2 đường thẳng song song : d : Ax + By + C = 0 d’ // d Þ d’: Ax + By + C’ = 0 Phương trình 2 đường thẳng vuông góc : d : Ax + By + C = 0 d’’ ^d Þ d’’: Bx -Ay + C’’ = 0 Phương trình đường thẳng qua A và ^ (µ) Ta có : Dùng điểm A và , Viết ptts ( có thể chuyển qua ptct , pttq tuỳ theo yêu cầu của bài toán) Viết pt đường thẳng qua 2 điểm A(xA,yA) và B(xB,yB) Cách 1 : Cách 2: Ta có : xB – xA; yB – yA) Dùng điểm A và Viết ptts Viết pt đường thẳng qua hai điểm A(xA,yA) và B(xB,yB) Cách 1: Cách 2 : Ta có : xB – xA; yB – yA ;zB-zA ) Dùng điểm A và Viết ptts Viết pt đường trung trực của đoạn thẳng AB: Tìm trung điểm I của AB Dạng : d : Ax + By + C = 0 Vì d ^ (AB) :VTPT I Ỵd Þ C Phương trình hình chiếu (g) của đường thẳng (d) trên mp (µ) : Ta có : (g) = (µ) Ç (µ’) Viết ptmp (µ’) chứa (d) và vuông góc với (µ) Với : Tìm điểm M tuỳ ý trên (d) Þ MỴ (µ) Đường thẳng (g) là hệ 2 pt : (µ) và (µ’) Viết pt đường cao kẻ từ A của DABC Dạng : d : Ax + By + C = 0 Vì d ^ (BC) :VTPT A Ỵd Þ C Viết pt đường vuông góc chung của d và d’ Tính Đường vuông góc chung D = (µ) Ç (µ’) Với (µ) là mp có VTPT Với (µ) là mp có VTPT Viết pt trung tuyến kẻ từ A của DABC Tìm trung điểm M của BC Viết ptđt qua 2 diểm A,M ĐẶC BIÊT : d ^ d’ Thì (µ) là mp qua d và vuông góc với d’ (µ’) là mp qua d, và vuông góc với d VẤN ĐỀ 4 : PHƯƠNG TRÌNH MP TRONG KHÔNG GIAN : Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Nếu mp (µ) cắt trục Ox tại A(a,0,0) ,cắt trục Oy tại B(0,b,0) và cắt trục Oz tại C(0,0,c) thí pt theo đoạn chắn của (µ) : C O B A Phương trình 2 mp song song (µ): Ax + By + Cz + D = 0 (µ’) // (µ)Þ(µ’): Ax + By + Cz + D’ = 0 @ Phương trình các mp Toạ độ: Oxy : z =0 ; Oyz : x = 0 ; Ozx : y = 0 Viết pt mp trung trực củađoạnthẳng AB: Tìm trung điểm I của AB Dạng : (µ) : Ax + By + Cz + D = 0 Vì d ^ (AB) :VTPT I Ỵd Þ C Viết pt mặt phẳng qua 3 diểm A,B,C Dạng : (µ): Ax + By + Cz + D = 0 A,B,C Ỵ(µ)= A Ỵ(µ): Þ D Viết pt mặt phẳng qua M và vuông góc với đt (d) : Dạng : (µ): Ax + By + Cz + D = 0 VTPT = MỴ(µ): Þ D Phương trình đường thẳng qua M đồng thời qua giao tuyến của 2mp (µ) và (µ’) : k((Ax + By + Cz +D) +l (A’x + B’y+ C’+D’)= 0 Þ Dạng Tổng quát MỴ mp Þ pt 2 ẩn k và l ( chọn k = số đứng trước l và l = số đúng trước k) Þ Thay vào pt Viết pt mặt phẳng qua M // (µ’) Dạng : (µ): Ax + By + Cz + D = 0 Ta có := MỴ(µ): Þ D Viết pt mặt phẳng qua A và ^ với AB :  Dạng : (µ): Ax + By + Cz + D = 0 VTPT = AỴ(µ): Þ D Viết pt mặt phẳng qua (d) và // (d’) Dạng : (µ): Ax + By + Cz + D = 0 Ta có : Tìm điểm M Ỵ (d) Þ MỴ (µ)Þ D Viết pt mặt phẳng qua (d) và (d’) Dạng : (µ): Ax + By + Cz + D = 0 Ta có : Tìm điểm M Ỵ (d) Þ MỴ (µ)Þ D Viết pt mặt phẳng song song với (d) và (d’) Dạng : (µ): Ax + By + Cz + D = 0 Ta có : Tìm điểm M Ỵ (d) Þ MỴ (µ)Þ D Viết pt mặt phẳng qua A,B và ^ (µ’) : Dạng : (µ): Ax + By + Cz + D = 0 Ta có : AỴ (µ)Þ D Viết pt mặt phẳng qua A,B và // với (d) : Dạng : (µ): Ax + By + Cz + D = 0 Ta có : AỴ (µ)Þ D Viết pt mặt phẳng qua (d) va ø ^ (µ’) Dạng : (µ): Ax + By + Cz + D = 0 Ta có : Tìm điểm M Ỵ (d) Þ MỴ (µ)Þ D` Viết pt mặt phẳng qua M và ^ 2 mp (P); (Q): Dạng : (µ): Ax + By + Cz + D = 0 Ta có : MỴ (µ)Þ D Viết pt mặt phẳng qua (d) va ø ^ (d’) Dạng : (µ): Ax + By + Cz + D = 0 Ta có : (µ)^ (d’) Þ Tìm điểm M Ỵ (d) Þ MỴ (µ)Þ D` VẤN ĐỀ 5 : GÓC, KHOẢNG CÁCH ,HÌNH CHIẾU Trong mp Oxy Trong không gian Góc giữa 2 véctơ Góc giữa 2 véctơ * Góc giữa 2 đường thẳng : * Góc giữa 2 đường thẳng : * Góc giữa 2 đường thẳng : * Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : * Các góc của tam giác ABC : cosA = cos Tương tự cho góc B và góc C * CHÚ Ý : 2 Véctơ phải có cùng điểm gốc * Góc giữa 2 mặt phẳng : * Khoảng cách từ điểm M(xM; yM) đến đường thẳng (D) : Ax + By + C = 0 : d(M, D) = * Khoảng cách từ điểm M(xM; yM; zM ) đến mặt phẳng (µ) : Ax + By + Cz + D = 0 : d(M, (µ)) = * Khoảng cách giữa 2 đường thẳng // : D và D’ Tìm 1 điểm M tuỳ ý trên (D) Tính : d(M, D) KL : d(D,D’) = d(M, D) * Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng // :(µ) và (µ’) Tìm 1 điểm M tuỳ ý trên (µ) Tính : d(M, (µ)) KL : d(µ,µ) = d(M, (µ)) * Vị trí tương đối của 2 đt trong mp Oxy : (D) : Ax + By + C = 0 : (D’) : A’x + B’y + C’ = 0 : * Khoảng cách từ điểm M(xM; yM) đến đường thẳng (D) trong R3 Từ (D) Þ M0 và VTCP Tìm : véctơ Tính tích có hướng : d(M, D) = * Chùm dường thẳng : Cho 2 đường thẳng (D) : Ax + By + C = 0 : (D’) : A’x + B’y + C’ = 0 : Đường thẳng (d) đi qua giao điểm của 2 đường thẳng (D) và (D’) có dạng : (d): k (Ax + By + C) + l (A’x + B’y + C’) = 0 Từ điều kiện bài toán Þ k và l * Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau Từ (D) Þ M0 và VTCP Từ (D) Þ và VTCP Tính tích có hướng: d(D,D’) = * Tìm hình chiếu của của điểm M trên đt (d) Gọi H là hình chiếu của M trên (d) Viết phương trình đường thẳng (d’) qua M và vuông góc với (d) Giải hệ 2 phương trình : (d) và (d’) Þ H *Tìm hình chiếu của của điểm M trên mp(µ) Gọi H là hình chiếu của M trên (µ) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc với (µ) Giải hệ 2 phương trình : (µ) và (d) Þ H * Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (d) : Gọi H là hình chiếu của M trên (d) Tìm toạ độ diểm H M’ đx với M qua (d) Û H là trung điểm của MM’ : áp dụng công thức toạ độ trung điểm của 1 đoạn thẳng Þ M’ * Tìm hình chiếu của của điểm M trên đt (d) Gọi H là hình chiếu của M trên (d) Viết phương trình mặt phẳng (µ) qua M và vuông góc với (d) Giải hệ 2 phương trình : (d) và (µ) Þ H @ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI của 2 MP , củaĐT với MP , của 2 ĐT trong KHÔNG GIAN: Của 2 MP Của ĐT(d)với MP(µ) Của 2 ĐT (d) và (d’) (µ): Ax + By + C z + D = 0 (µ’) :A’x + B’y + C’z + D’ = 0 ĐẶC BIỆT : (µ) ^ (µ’) Û Từ (d)Þ vtcp và điểm M( x0; y0; z0) Từ (µ)Þ vtpt Từ (d)Þ vtcp và điểm M( x0; y0; z0) Từ (d’)Þ vtcp và điểm M’( x0; y0; z0) + Nếu 3 véctơ cùng phương Þ dº d’ + Nếu VẤN ĐỀ 6 : ĐƯỜNG TRÒN VÀ MẶT CẦU Đường tròn trong mp Oxy Mặt cầu trong không gian *Viết pt đường tròn có tâm I bán kính R : Dạng:(x – a)2 + (y – b)2 = R2 Tâm : I( a; b) Bán kính: R Kết luận : *Viết pt mặt cầu có tâm I bán kính R : Dạng:(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 Tâm : I( a; b; c) Bán kính: R Kết luận : * Viết pt đường tròn đường kính AB : Dạng:(x – a)2 + (y – b)2 = R2 Tâm : I( a; b) là trung điểm của A Bán kính: R = AB Kết luận * Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt cầu : + Viết ptđt dưới dạng tham số + Thay ptđt vào pt mặt cầu , ta được pt bậc 2 theo tham số t . Giải pt bậc 2 này ta tìm được 2 giá trị t Þ thay giá trị t vào pt đt ta có 2 giao điểm. * Viết pt đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng A,B.C ( hay ngoại tiếp D ABC) : + Dạng: ( C) :(x – a)2 + (y – b)2 = R2 + A, B, C Ỵ ( C) thay vào pt của ( C) ta được hệ gồm 3 pt Þ giải hệ này ta tìm được a, b, R + Kết luận * Viết pt mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng A,B,C, D( hay ngoại tiếp tứ diện ABCD) + Dạng: ( S) :(x – a)2 + (y – b)2 +(z – c)2 = R2 + A, B, C, DỴ ( S) thay vào pt của ( S) ta được hệ gồm 4 pt Þ giải hệ này ta tìm được a, b,c, R + Kết luận *Viết pt đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đt(D) :Ax + By + C = 0 : + Dạng:(x – a)2 + (y – b)2 = R2 + Tâm : I( a; b) + Bán kính :R = d(I. D) = + Kết luận : *Viết pt mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mp (µ):Ax + By + Cz + D = 0 : + Dạng:(x – a)2 + (y – b)2 +(z – c)2 = R2 + Tâm : I( a; b; c) + Bán kính :R = d(I. µ) = + Kết luận : * Tìm tâm và bán kính của đường tròn ( C ) :x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 : -2a = ? Þ a -2b = ? Þ b + Kết luận :tâm I( a; b) bán kính :R = * Tìm tâm và bán kính của mặt cầu ( S ) :x2 + y2 + z2 – 2ax - 2by - cz - d = 0 : -2a = ? Þ a -2b = ? Þ b ; -2c = ? Þ c Kết luận :tâm I( a; b; c) bán kính : R = * Xét vị trí tương đối của đường thẳng (D) với đường tròn (C): + Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) + Tính : d(I. D) = + Kết luận : d(I. D) < R : D cắt (C) d(I. D) = R : D tiếp xúc (C) tạiH d(I. D) > R : D và (C) không có điểm chung Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (µ) với mặt cầu (S): + Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S ) + Tính : d(I, µ) = + Kết luận : d(I. D) < R : (µ) cắt (S) d(I. D) = R : (µ) tiếp xúc (S) tại H d(I. D) > R : (µ) và (S) không có điểm chung * CHÚ Ý :@ Khi d(I. D) < R : (µ) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H là hình chiếu của I trên mp(µ) và bàn kính r = .Phương trình đường tròn (C) là :(C) : @ Phương pháp tìm tâmH và bán kính r của đường tròn giao tuyến của mp và mặt cầu cắt nhau : % Tìm tâm H : + Gọi H là hình chiếu của của I trên mp(µ) . Ta có H = (µ) Ç (D) + Viết ptts của đt (D) : qua I và vuông góc với (µ) , vớiđt (D) có VTCP là VTPT của mp(µ) + Giải hệ gồm 2 phương trình : (D)  và (µ) bằng cách thay pt (D) vào pt của mp(µ) % Tìm bán kính r : bằng công thức r = .