Giáo án lớp 12 môn Toán - Phương trình và bất phương trình đại số bậc cao trong r

GV Hồng Cơng Nhật CHUYÊN TỐN LÝ HĨA : 331, Đường Thống Nhất , P.16 , Q.Gị Vấp - Phone : 01 222 644 410 , 01 226 904 442 - 39 963 507 EMail : hcnhat@hotmail.com ;nhathoangcong@gmail.com 1 ĐẠI SỐ 1. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO TRONG R Gv Hoàng Công Nhật .. 1 . Biện luận phương trình bậc nhất Ax = B ( A, B là các biểu thức chứa hoặc không chứá tham số m )  A = 0  m = ? : Thay m vào phương trình ta có 0x const VN : S 0.x 0 x R : S R             A  0  m  ? : Chia hai vế cho A ta có nghiệm : x = B A Tập hợp nghiệm là S = B A        Tự suy ra điều kiện có nghiệm và vô nghiệm của phương trình bậc nhất 2 . Biện luận phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c là các biểu thức chứa hoặc không chứá tham số m ) 1 Xét a = 0  m = ? Thay trực tiếp vào (1 )  x = ? 2  Xét a  0 . Ta tính  = b2 – 4.a.c Lập bảng xét dấu  theo m và biện luận 3  Nhìn vào bảng xét dấu  biện luận ba trường hợp   < 0: phương trình vô nghiệm   = 0: phương trình có nghiệm số kép : x1 = x2 = b 2a    > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1, 2 = b 2a   3 . ĐỊNH LÝ VIETE cho phương trình bậc hai Xét phương trình a.x2 + b.x + c = 0 (1)  Điều kiện (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 :      0 0a  Nếu a.c < 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm và 2 nghiệm trái dấu ĐL Viete thuận : Nếu phương trình bậc hai (1) có 2 nghiệm thì tổng số S ; tích số P của hai nghiệm là 1 2 1 2 bx x S a cx .x P a           ĐL Viete đảo : Nếu 2 số có tổng S và tích số là P thì chúng là hai nghiệm của phương trình : X2  S.X + P = 0 GV Hồng Cơng Nhật CHUYÊN TỐN LÝ HĨA : 331, Đường Thống Nhất , P.16 , Q.Gị Vấp - Phone : 01 222 644 410 , 01 226 904 442 - 39 963 507 EMail : hcnhat@hotmail.com ;nhathoangcong@gmail.com 2 Một số hệ thư ùc nghiệm cần chu ù ý :  2 2 21 2 1 2 1 2x x (x x ) 2x x    ;  3 3 31 2 1 2 1 2 1 2x x (x x ) 3x x (x x )      1 2x x a    4 . ĐIỀU KIỆN phương trình bậc hai CÓ NGHIỆM ÂM, NGHIỆM DƯƠNG Xét phương trình : a.x2 + b.x + c = 0  Phương trình có hai nghiệm trái dấu : x1 < 0 < x2  P < 0 * Nếu thêm điều kiện nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn S < 0 * Nếu thêm điều kiện nghiệm dương có trị tuyệt đối lớn hơn S > 0  Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt : x1 < x2 < 0  0 P 0 S 0        Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt : 0 < x1 < x2  0 P 0 S 0        Phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau : có hai trường hợp 1 2 1 2 x x x x 0       a 0 0 P 0 S 0           5 . Biện luận SỐ NGHIỆM CỦA phương trình bậc ba Xét phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) . Ta nhẩm một nghiệm thực x0 chia vế trái của (1) cho x - x0 ta có : (x - x0).(Ax2 + Bx + C) = 0  02 x x 0 Ax Bx C 0 (2)         Tính  = B2 - 4A.C  Nếu (2) có 2 nghiệm x1 ; x2 (  x0) thì (1) có ba nghiệm : x0 ; x1 ; x2 .  Nếu (2) có nghiệm kép x1 = x2 (  x0) thì (1) có hai nghiệm : x0 ; x1 = x2.  Nếu (2) có nghiệm kép x1 = x2 = x0 thì (1) có một nghiệm kép : x0 .  Nếu (2) vô nghiệm thì (1) có một nghiệm đơn: x0 6 . Cách giải một số phương trình đa thức quy về phương trình bậc hai trong R Dạng 1: 4 2ax bx c 0 (a 0)    đặt 2t x 0  at2 + bt + c = 0  Vì t = x2  x =  t cho nên ta có các kết quả sau : GV Hồng Cơng Nhật CHUYÊN TỐN LÝ HĨA : 331, Đường Thống Nhất , P.16 , Q.Gị Vấp - Phone : 01 222 644 410 , 01 226 904 442 - 39 963 507 EMail : hcnhat@hotmail.com ;nhathoangcong@gmail.com 3 pt có 4 nghiệm  0 P 0 S 0        ; pt có 3 nghiệm  P 0 S 0     pt có 2 nghiệm  P 0 0 S / 2 0         ; pt có 1 nghiệm  P 0 S 0 0 S / 2 0           pt VN   < 0  0 P 0 S 0          < 0  S 0 P 0     pt có 4 nghiệm lập thành CSC  1 2 2 1 0 t t t 3 t       kết hợp định lý viet giải hệ pt Dạng 2: (x a)(x b)(x c)(x d) k     với a b c d   Đặt t (x a)(x b)   Dạng 3: 4 4(x a) (x b) k    đặt a bt x 2    Dạng 4: 4 3 2ax bx cx bx a 0     (a 0) Chia 2 vế cho x2 (vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình ). Phương trình trở thành : 2 2 1 1a(x ) b(x ) c 0 xx      . Đặt 1t x x   ĐK | t |  2 BÀI TẬP ÔN 1. Giải các phương trình và bất phương trình a)12x3 + 4x2  17x + 6 = 0 ĐS: 1 2 ; 2 3 ; 3 2  b) 4x3 – 10x2 + 6x – 1 = 0 ĐS: 1 2 ; 2 2 2  c) x3 – 2x2 – x + 2 > 0 ĐS: –1 2 d) x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = 0 ĐS: 1;  2; 3 e) x4 – 3x3 – x + 3 < 0 ĐS 1< x < 3 g) x4 – 8x3 + 7x2 + 36x – 36 < 0 ĐS : – 2< x < 1 ; 3 < x < 6 2. Giải các phương trình a)(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12 ĐS: 1 ; - 2 b)(x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4 ĐS: – 6 ; -6 5 c) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 ĐS:– 5 ; - 3 d) (x + 4)4 + (x + 6)4 = 82 ĐS : – 3 ; – 7 e) 4 4 4(3 x) (2 x) (5 2x)     ĐS: u4 + v4 = (u + v)4  u4 + v4 = u4 + v4 + 4u.v(u2 + v2) + 6u2v2  2u.v[2(u2 + v2) + 3u.v] = 0  u = 0  v = 0  2u2 + 2v2 + 3uv = 0 ta đưa về tích số x = 2 ; x = 3 3. Cho phương trình: 2x 2x 4 mx 2 2m x 2       .Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ĐS: m > 1 4. Cho phương trình: 2x (m 1)x 3m 5 0     .Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt ? ĐS: 5 m 3 m 7 3     GV Hồng Cơng Nhật CHUYÊN TỐN LÝ HĨA : 331, Đường Thống Nhất , P.16 , Q.Gị Vấp - Phone : 01 222 644 410 , 01 226 904 442 - 39 963 507 EMail : hcnhat@hotmail.com ;nhathoangcong@gmail.com 4 5. Cho phương trình: 2mx x m 0 x 1     .Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ? ĐS: 1 m 0 2    6. Cho phương trình: . 4 2x mx m 1 0    .Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt ? ĐS: m 1 m 2   7. Cho phương trình: 2(x 1)(x mx m) 0    .Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt ? 1ĐS : m 0 m 4 m 2       8. Cho phương trình: 3 2 3 2x 3x k 3k 0     .Tìm k để phương trình có 3 nghiệm phân biệt ? ĐS : 1 k 3 k 0;2     9. Cho phương trình : 2mx (m 1)x 3(m 1) 0     . Với giá trị nào của m thì pt có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 2 2 1 2 1 1 7 9x x   ? 1ĐS : m 2  10.Cho phương trình x4 – 2ax2 – x + a2 – a = 0. Định tham số a để a)Phương trình có 4 nghiệm ? b) có 3 nghiệm ? c) có 2 nghiệm ? d) có 1 nghiệm ? e) vô nghiệm ? ĐS: a) a > 4 3 b) a = 4 3 c) – 4 1 < a < 4 3 d) a = – 4 1 e) a < – 4 1 11.Cho phương trình 2x4 – 17x3 + 51x2 – (36 + k)x + k = 0 (1) a)Chứng minh phương trình có một nghiệm không phụ thuộc vào k ? b) Biện luận theo k số nghiệm phương trình (1) ĐS: a) x = 1 b) 27 < k < 28 : 4 nghiệm 12.Cho phương trình x4 – 4x3 + 8x = k. a) Giải phương trình khi k = 5 ? b) Định tham số k để phương trình có 4 nghiệm phân biệt ? ĐS: a) 1 ; 1  6 b) –4 < k < 5 13. Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm : 5 2x x 2x 1 0    14. Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành CSC ? a)x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 1 = 0 . b)x4 - 2m.x2 - 1 + 2m = 0. ĐS:a) m = 4; S ={-3; - 1; 1; 3} ; m = - 4 3 S= {-1; - 3 1 ; 3 1 ;1} b)m = - 3 7 ; m = 3 15. Tìm a để phương trình 2n 2 n 2 2x x x a 0 2n 2 n 2 2         có nghiệm ? ĐS: a  0 16.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n chẵn và a > 3 thì phương trình n 2 n 1 n 2(n 1)x 3(n 2)x a 0       vô nghiệm ? 17. Tìm m để phương trình 4 3 2x mx (m 1)x 2x 1 0      không có nghiệm ? ĐS: t = x2/(x – 1) đk t  m