Giáo án lớp 12 môn Toán - Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình, giải bất phương trình, giải hệ bất phương trình, giải hệ phương trình

Sử dụng tính đơn điệu để GPT, GBPT, GHBPT, GHPT Dạng I: ứng dụng đạo hàm để Giảiphương trình – hệ phương trình . Phương pháp : để Giải phương trình f(x) = g(x) ta dùng phương pháp đạo hàm để chứng minh hai miền giá trị của hai hàm số f(x) và g(x) chỉ có chung đúng một phần tử x0 .Từ đó kết luận x0 là nghiệm của phương trình . Tức là : */ Ta đI chứng minh f(x) g(x) hoặc f(x) g(x) hoặc f(x) A hoặc g(x) A và ngược lại . */ Xét dấu đẳng thức xảy ra . Chú ý : */ Nếu hàm số f(x) tăng và g(x) giảm ( Hoặc ngược lại ) trên cùng một miền xác định thì đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=g(x) nếu cắt nhau thì cắt nhau tại một điểm duy nhất hoặc vô nghiệm */ Nếu f(t) là hàm số tăng hoặc giảm trên D thì f(x) = f(y) x = y. Dạng II : ứng dụng đạo hàm trong bài toán chứa tham của phương trình- bất phương trình – hệ pt . 1/ Tóm tắt lý thuyết : Cho hàm số f(x) là hàm số liên tục trên miền xác định D . */ Mệnh đề 1 : phương trình f(x) = g(m) có nghiệm xD . */ Mệnh đề 2 : - Bất phương trình f(x) g(m) có nghiệm x D . - Bất phương trình f(x) g(m) nghiệm đúng x D . Mệnh đề 3 : - Bất phương trình f(x) g(m) có nghiệm x D . - Bất phương trình f(x) g(m) nghiệm đúng x D . Mệnh đề 4 : Với và là hàm tăng hoặc giảm trên D thì x=y. 2. phương pháp Giải: +/ Đưa phương trình , Bất phương trình về dạng : f(x) = g(x)(m) hoặc f(x) g(m) hoặc f(x) g(m). +/ Tìm miền xác định D của hàm số f(x) . +/ Tình đạo hàm f’(x) . +/ Giảiphương trình f’(x) = 0 . Suy ra nghiệm của f’(x). +/ Lập bảng biến thiên , xét dấu f’(x) . +/ Dựa vào bảng biến thiên và một trong các mệnh đề trên để ta kết luận . Ví dụ 1: Giảicác phương trình : a/ 2x4 + (1-2x)4 = . b/ cosx = 1- với 0 x < ĐS : x = 0 c/ lg(x2-6x+5)= lg(x-1)+6-x ĐS : x= 6 d/ với x 0 ĐS x= 0 Hướng dẫn : a/ xét hàm số f(x) = 2x4 + (1-2x)4 . Ta có f’(x) = 8x3-8(1-2x)3 . Do đó : f’(x) = 0 x = . Lập bảng xét dấu f’(x) ta được : Từ bảng biến thiên suy ra : f(x) f() R. x - y’ - 0 + y Suy ra : 2x4 + (1-2x)4 . Đẳng thức xãy ra x = . Ví dụ 2:: Giảiphương trình : + = 2 Giải: Đặt f(x) = + với 2 x 4 x 2 3 4 f’(x) + 0 - f(x) 2 Ta có f’(x) = = 0 = x = 3 Nhìn bảng biến thiên suy ra : f(x) = 2 = f(3) x = 3 Ví dụ 3: GPT x5 + x3 - + 4 = 0 Giải: điều kiện x . Đặt f(x) = x5 + x3 - + 4 Ta có f’(x) = 5x4 + 3x2 + 0 f(x) đồng biến / . Mặt khác , f(-1) = 0 nên phương trình f(x) = 0 cónghiệm duy nhất x = -1. Ví dụ 4 : Giảiphương trình : = 3x -2 + Giải: Phương trình f(x) = 3x -2 + - = 0 (*) Nếu x thì f(x) < 0 phương trình (*) vô nghiệm Nếu x thì f’(x) = 3 + x[] 0 với x Ví dụ 5 :: Giảiphương trình : 3x + 5x = 6x + 2 Giải: Biến đổi phương trònh f(x) = 3x + 5x - 6x - 2 = 0 x - x0 + f’(x) - 0 + f(x) CT Ta có f’(x) = 3xln3 + 5xln5 - 6 f”(x) = 3x.(ln3)2 + 5x(ln5)2 > 0 x R f’(x) đồng biến.Mà f’(x) liên tục / R và f’(0) 0 f’(0).f(1) < 0 nên phương trình f’(x) = 0 có đúng 1 nghiệm x0 BBT của hàm số có dạng như hình vẽ. Từ BBT suy ra f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm. Mà f(0) = f(1) = 0 nên phương trình đã cho chỉ có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1 Ví dụ 6 : Xác định m để phương trình : 2(sin4x+cos4x) – 4(sin6x+cos6x) = m + sin24x (1) Có nghiệm x . (1) cos44x- cos4x-2 = m (2) . đặt t = cos4x , Do x nên t. Khi đó (2) t2-t – 2 = m (3) . Xét hàm số : f(t) = t2-t – 2 với t. Ta có : f’(t) = 2t -1 ; f’(t) =0 t = . Lập bảng xét dấu f’(t) ta được : t 0 1 f’(t) - 0 + f(t) -2 -2 Để phương trình (1) có nghiệm x Thì phương trình (3) có nghiệm t. Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình (3) có nghiệm t m -2 . Vậy với m -2 phương trình (1) có nghiệm x . Ví dụ 7 : : Tìm m để : 2 + 2sin2x = m(1 + cosx)2 có nghiệm x Giải: Do cosx = -1 không là nghiệm của phương trình nên phương trình đã cho tương đương với = m = m (*) t -1 1 - 1 f’(t) 0 - 0 + f(t) 1 0 1 Đặt t = tg [-1, 1] x sinx = , cosx = Khi đó (*) f(t) = t4 – 4t3 + 2t2 + 4t + 1 = 2m với t [-1, 1] Ta có f’(t) = 4(t-1)(t2 – 2t – 1) = 0 t = 1, t = 1 - BBT Nhìn BBT suy ra Min f(t) = 0 và Max f(t) = 1.Phương trình f(t) = 2m có nghiệm : Min f(x) 2m Max f(t) 0 2m 1 0 m Ví dụ 8 :: Tìm nghiệm x của phưong trình x - x3 = Giải: Đặt f(x) = x - x3 và g(x) = với x . Ta có f’(x) = - 16x2 = 0 x = x 0 - f’(x) + 0 - f(x) Nhìn BBT Maxf(x) = f() = Mặt khác g(x) = x f(x) g(x). Từ đó suy ra phương trình f(x) = g(x) có đúng 1 nghiệm x = . Ví dụ 9: . Tìm x, y ( 0, ) thoả mãn hệ Giải: Hệ . Xét f(t) = t – cotgt với t ( 0, ) Ta có f’(t) = 1 + > 0 f(t) đồng biến / ( 0, ). Do đó hệ đã cho x = y = Ví dụ 10 ::Tìma0để hệ có nghiệm Giải: Hệ (1) Xét f(a) = a3 – 12a + 17 với a 0 f’(a) = 3.(a2 – 4) = 0 a = 2 > 0 Nhìn BBT f(a) f(2) = 1. Do sin(x + y) [-1, 1] nên để (1) có nghiệm thì a = 2, khi đó (1) luôn có nghiệm Đáp số a = 2 Ví dụ 11: [ ĐH Luật 1996] Giảihệ : Giải: Xét hàm đặc trưng: f(t) = t3 + t2 + t với t R Ta có f’(t) = 3t2 + 2t + 1 = 2t2 + (t+1)2 > 0 f(t) đồng biến Giả sử : x y z f(x) f(y) f(z) 2z + 1 2x + 1 2y + 1 z x y x = y = z Hệ đã cho Ví dụ 12 :: Tìm m để BPT : mx4 – 4x + m 0 x R x - - + f’(x) - 0 + 0 - f(x) 0 - 0 Giải: BPT m(x4 + 1) 4x f(x) = m f’(x) = = 0 x = BBT ta có f(x) m x R Max f(x) = m Ví dụ 13 : Tìm a để BPT : a < x + a đúng x R Giải: BPT a[ - 1] < x a < = f(x) x - -6 6 + f’(x) - 0 + 0 - f(x) - Ta có f’(x) = = 0 x2 = 36 x = 6 = = = Nhìn bảng biến thiên suy ra BPT f(x) > a x R. = f(-6) = > a Ví dụ 14 :: Tìm a để BPT : x 1 Giải: Biến đổi BPT ( - x)(x – a.2x) > 0 (1) Do điều kiện bài toán suy ra chỉ cần xét nghiệm x (1, 2] Khi đó = < 1 x (1, 2] x 1 log2e 2 g’(x) + 0 - g(x) log2e Suy ra - x < 0 x (1, 2]. Vì thế (1) x – a.2x < 0 g(x) = aTa có g’(x) = = 0 1 = x.ln2 x = log2e Nhìn bảng biến thiên suy ra = log2e > a Dùng phương pháp ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán Bài 1 : Xác định m để phương trình sau có nghiệm : a/ b/ x+ c/ Bài 2 : Xác định m để phương trình : 2(sin4 x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) = m + sin22x có nghiệm x Bài 3 : Cho phương trình : cos4x = cos23x + msin2x (1) a/ Giải phương trình khi m =1. b/ xác định m để phương trình có nghiệm x . Bài 4 : Xác định m để phương trình : có nghiệm x Bài 5 :Cho phương trình : sin4x+cos4x = msin2x- (1) a/ Giải phương trình khi m= 1 . b/ Xác định m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm x. Bài 6 : Xác định m để phương trình có nghiệm x Bài 7: Tìm a để BPT : x 1 Bài 8: Tìma0để hệ có nghiệm Bài 9 : Tìm m để y = -x3 + (m-1)x2 + (m+3)x – 4 đồng biến trên khoảng (0, 3) Bài 10 :Tìm m để hàm số y = mx3 – (m-1)x2 + 3(m-2)x + đồng biến trên khoảng [2, +). Bài 11: Tìm m để y = đồng biến / (1, +) Bài 12: GBPT : 2x + + + 2 < 35. Bài 13: a) Tìm m để phương trình : x + = m có nghiệm b) Tìm m để bất phương trình : x + > m x R Bài tập lớp 11A2 Bài 1. Cho (Cm) : y = Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của (Cm) Bài 2: Tìm a, b để y = đạt cực tiểu tại x = 0 và cực đại tại x = 4 Bài 3: Cho hàm số (Cm) : y = . Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu và tìm quỹ tích 2 điểm này Bài 4: Cho họ (Cm) : y = . Chứng minh rằng trên mặt phẳng toạ độ tồn tại duy nhất 1 điểm vừa là điểm cực đại của đồ thị ứng với m nào đó, vừa là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với giá trị khác của m Bài 5: Tìm m để hàm số y = có = 4 Bài 6: Tìm m để hàm số y = có < 12 Bài 7 : Cho (Cm): y = . Tìm m để hàm số có cực trị. Tìm m để (yCĐ.yCT) nhỏ nhất Bài 8: Cho hàm số y = . Chứng minh rằng m hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa 2 cực trị là không đổi Bài 9: Tìm m để hàm số y = có cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía của trục Ox Bài 10: Tìm m để y = có cực đại,cực tiểu nằm về 2 phía của đường thẳng : y = 2x Bài 11: Cho (Cm) : y = . Tìm m để hàm số có cực trị góc phần tư thứ (II) và 1 cực trị góc phần tư thíư (IV) trên mặt phẳng toạ độ Oxy Bài 12 : Tìm m để y = có cực đại , cực tiểu cùng thuộc góc phần tư (I) trên mặt phẳng toạ độ Oxy Bài 13 : Tìm m để hàm số : y = x3 + mx2 + (m+6)x – (2m+1) có cực đại và cực tiểu Bài 14: Tìm m để hàm số : y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx – 5 có cực đại và cực tiểu Bài 15: CMRm hàm số y = 2x3 – 3(2m+1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 luôn đạt cực trị tại x1, x2 với x2 – x1 không phụ thuộc vào m Bài 16: Tìm m để hàm số y = x3 – (m – 2)x2 + (5m + 4)x + m2 + 1 đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 < -1 < x2 Bài 17 : Tìm m để hàm số y = x3 + (m + 3)x2 + 4(m + 3)x + (x2 – m) đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn -1 < x1 < x2 Bài 18: Chứng minh rằng : m < n < p hàm số y = (x – m)(x – n)(x – p) đạt cực trị tại x1, x2 với m < x1 < n < x2 < p Bài 19. tìm m để hàm số y = x3 + (m2 – m + 2)x2 + (3m2 + 1)x + m -5 đạt cực tiểu Bài 20 : Cho f(x) = + 2x + 1 ; g(x) = + x2 + 3ax + a Tìm a để mỗi hàm số có 2 cực trị đồng thời giữa hai hoành độ cực trị của hàm này có 1 hoành độ cực trị của hàm kia Bài 21: Tìm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số f(x) = x3 – 3x2 – 6x + 8 Bài 22: Tìm m để hàm số f(x) = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 có đường thẳng đi qua cực đại ,cực tiểu song song với đường thẳng y = ax + b Bài 23: Tìm m để f(x) = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6m(1 – 2m)x có cực đại ,cực tiểu nằm trên đường thẳng y = -4x Bài 24 : Tìm m để f(x) = x3 + mx2 + 7x + 3 có đường thẳng đi qua cực đại , cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7 Bài 25: Tìm m để f(x) = x3 – 3(m – 1)x2 + (2m2 – 3m + 2)x – m(m – 1) có đường thẳng đi qua CĐ, CT tạo với y = x +5 một góc 450 Bài 26: Tìm m để hàm số f(x) = x3 – 3x2 + m2x + m có cực đại , cực tiểu đối xứng nhau qua : y = x - Bài 27: Cho f(x) = x3 + (cosa – 3sina)x2 – 8(1 + cos2a)x + 1 1) Chứng minh rằng : Hàm số luôn có cực đại , cực tiểu 2) Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1, x2. Chứng minh rằng : Bài 28 : Cho hàm số f(x) = x3 + (m +1)x2 + (m2 + 4m + 3)x 1) Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu 2) Tìm m để hàm số đạ cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1 3) Gọi các điểm cực trị là x1, x2. Tìm max của A = Bài 29 Tìm m để hàm số f(x) = x3 – mx2 – x + m + 1 có khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất Bài 30: Tìm m để hàm số f(x) = mx3 – (m – 1)x2 + 3(m – 2)x + đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 + 2x2 = 1 Bài 31 : Tìm m để hàm số f(x) = x3 – mx2 + mx – 1 đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn Bài 32: Tìm m để hàm số f(x) = x3 + 2(m – 1)x2 + (m2 – 4m + 1)x – 2(m2 + 1) đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn Bài 33: Tìm m để f(x) = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại Bài 34: Cho hàm số y = f(x) = x4 + (m + 3)x3 + 2(m + 1)x2 Chứng minh rằng : m -1 hàm số luôn có cực đại đồng thời xCĐ 0 Bài 35 : Tìm m để f(x) = x4 – 2mx2 + 2m + m4cosCĐ,CT lập thành tam giác đều Bài 36: chứng minh rằng : hàm số f(x) = x4 + mx3 + mx2 + mx + 1 không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu m R Bài 37: chứng minh rằng : f(x) = x4 + px3 + q 0 x R 256q 27p4 Bài 38: chứng minh rằng : hàm số f(x) = x4 – 6x2 + 4x + 6 luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 cực trị