Giáo án lớp 12 môn Toán - Sự tiếp xúc

Sự tiếp xúc I. Định nghĩa sự tiếp xúc tiếp xúc nhau tại điểm A(x0, y0) II. Điều kiện tiếp xúc 1) Điều kiện định nghĩa tiếp xúc nhau Hệ phương trình có nghiệm 2) Điều kiện nghiệm bội a) Định nghĩa nghiệm bội P(x) = 0 có x = là nghiệm bội k b) Điều kiện tiếp xúc Giả sử : có phương trình : f(x) = g(x) Đa thức P(x) = 0 Khi đó (C1), (C2) tiếp xúc nhau tại x0 (C) : y = P(x) tiếp xúc với Ox tại x0 Theo định nghĩa tiếp xúc ta có : Vì P(x) là hàm đa thức và có P(x0) = 0 nên theo định lý Bơzu suy ra P(x) = (x – x0).Q(x) P’(x) = Q(x) + (x – x0).Q’(x). Do P’(x0) = 0 nên Q(x0) = 0 Q(x) = (x – x0).R(x) P(x) = (x – x0)2.R(x) x0 là 1 nghiệm bội của P(x) Ngược lại nếu x0 là nghiệm bội k của P(x) thì P(x) = (x – x0)k.Q(x) với 2 Z P’(x) = k(x – x0)k-1.Q(x) + (x – x0)k.Q’(x) P’(x) = 0 x = x0 là nghiệm của hệ Kết luận: Nếu có f(x) = g(x) Đa thức P(x) = 0 thì (C1), (C2) tiếp xúc nhau P(x) = 0 có nghiệm bội III. họ đường cong tiếp xúc với 1 đường cố định 1. Bài toán : CMR : Họ (Cm) : y = f(x, m) luôn tiếp xúc với 1 đường cố định 2. Biểu diễn hình học sự tiếp xúc với 1 đường cố định 3. Các phương pháp tìm đường cố định tiếp xúc a) phương pháp Điều kiện nghiệm bội ( nghiệm kép ) Giả sử (Cm) : y = f(x, m) tiếp xúc với đường cố định (L) : y = g(x), khi đó f(x, m) = g(x) Đa thức P(x) = 0 có nghiệm bội m Nói chung : u(m)x2 + v(m).x + w(m) = 0 có nghiệm kép m u(m) 0 và = v2(m) – 4u(m).w(m) = 0 m u(m) 0 và = g(m) = ak.mk + ak-1.mk-1 + + a1.m + a0 = 0 m u(m) 0 và ak = ak-1 = = a1 = a0 = 0 Giải hệ Điều kiện này suy ra các giá trị của tham số được giả định trong y = g(x). Vậy họ (Cm) : y = f(x, m) luôn tiếp xúc với (L) : y = g(x) b) phương pháp tiếp tuyến cố định Bước 1: Tìm điểm cố định nếu có của (Cm) : y = f(x, m) A(x0, y0) cố định Bước 2 : Chứng minh f’(x0, m) = k không đổi Bước 3 : Kết luận (Cm) luôn tiếp xúc với đường thẳng là tiếp tuyến cố định của họ (Cm) tại A(x0, y0) với phương trình : y = k(x – x0) + y0 c) phương pháp tách bộ phận kép Bước 1: Biểu diễn f(x, m) = + g(x) với 2 k Z và g(x) không chứa m Bước 2: Xét f(x, m) = g(x) = 0 có nghiệm bội là x = - Bước 3: Kết luận (Cm) luôn tiếp xúc với (L) : y = g(x) cố định d) phương pháp tìm đường biên của 1 hình lồi Bước 1: Tìm tập hợp điểm M(x, y) mà không có đường cong nào của (Cm) đi qua Giả sử tập hợp các điểm này có đường biên là (L) : y = g(x) Bước 2: Chứng minh f(x, m) = g(x) có nghiệm kép (Cm) luôn tiếp xúc (L) e) Bình luận các phương pháp 1. phương pháp 1 : ( thường sử dụng trong bộ đề toán ) là phương pháp tư duy theo lối kinh điển tức là : “Nói đến sự tiếp xúc là phải nghĩ ngay đến Điều kiện nghiệm bội, nghiệm kép” Đây là phương pháp giải cơ bản cho các bài toán khi biết trước dạng của đường cố định (L) Tuy nhiên cách giải này dài, tính toán phức tạp dễ nhầm lẫn và đặc biệt nó không thích hợp với các bài toán không cho biết trước dạng của đường cố định (L) 2. phương pháp 2 chỉ sử dụng khi họ (Cm) chứa đựng yếu tố : “Luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định”. Nếu sử dụng được thì việc tính toán sẽ đơn giản hơn so với phương pháp 1 3. phương pháp 3 cho cách giải rất ngắn gọn và độc đáo. Điểm khác biệt cơ bản so với 2 phương pháp trên là phương pháp 3 giải quyết được lớp các bài toán mà không cần biết trước dạng của đường cố định (L) Muốn sử dụng tôt phương pháp này cần phải nắm được kỹ thuật biến đổi : y = f(x, m) = + g(x) với (*) Để có (*) cần phải dự đoán bộ phận nghiệm bội theo 2 cách Cách 1: Dự đoán bộ phận nghiệm bội bằng trực quan toán học Cách 2: Lấy đạo hàm theo m ta có = 0 = 0 x0 = ( chú ý : k 2 k -1 1 các bước làm nháp : Bước 1 : lấy đạo hàm theo m và GPT : = 0 x = p Bước 2 : Biến đổi f(x, m) theo bộ phận nghiệm bội (x – p)k 4. phương pháp 4 thường được sử dụng khi đường biên của tập hợp các điểm M(x, y) mà không có đồ thị thị nào của (Cm) đi qua là một đường cong có tính chất của 1 hình lồi phương pháp này có dấu hiệu nhận dạng đặc trưng là tham số m có bậc cao nhất bằng 2 trong biểu thức y = f(x, m) IV Bài tập về Điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị A. Các bài tập sử dụng Điều kiện nghiệm bội, nghiệm kép Bài 1 : Tìm m để (Cm) : y = mx3 + (m + 1)x2 – (4m – 3)x + 6m tiếp xúc với Ox Giải : Xét phương trình : mx3 + (m + 1)x2 – (4m – 3)x + 6m = 0 (x + 3)[mx2 – (2m – 1)x + 2m] = (x + 3).g(x) = 0 (Cm) tiếp xúc với Ox (x + 3).g(x) = 0 có nghiệm bội Bài 2 : Tìm m để (Cm) : y = tiếp xúc với đường thẳng y = m Giải : Xét phương trình : = m mx2 + 3mx + 2m + 1 = m(x + 2) g(x) = mx2 + 2mx + 1 = 0. Ta có (Cm) tiếp xúc với y = m g(x) = 0 có nghiệm kép m 0 và = m(m – 1) = 0 m = 1 B. Các bài tập sử dụng Điều kiện định nghĩa ( Điều kiện đạo hàm ) Bài 1: Tìm m để (Cm) : y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx – 8 tiếp xúc với Ox Giải : (Cm) : y = f(x) tiếp xúc với Ox có nghiệm có nghiệm Ta có (2) x2 – (m + 3)x + 3m = 0 x = 3 hoặc x = m + Thế x = 3 vào (1) 27m – 35 = 0 m = 35/27 + Thế x = m vào (1) -m3 + 9m2 – 8 = 0 m = 1; m = 4 Bài 2 : Tìm m để tiếp xúc nhau Giải : tiếp xúc nhau có nghiệm Ta có (2) 4x3 – 18x2 + 24x – 14 = 6x2 – 20x + 10 4x3 – 24x2 + 44x – 24 = 0 x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0 x = 1; x = 2; x = 3 + Thế x = 1 vào (1): m = -5/2 ; m = 2 + Thế x = 2 vào (1) : m = + Thế x = 3 vào (1) : m = -5/2; m = 2 Bài 3 : Tìm m để tiếp xúc nhau Giải : tiếp xúc nhau có nghiệm có nghiệm Ta có (2) x2 – 2x = 2x(x – 1)2 x(2x2 – 5x + 4) = 0 x = 0 Thế x = 0 vào (1) m = -1 Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến chung Giải : Giả sử (D) : y = ax + b tiếp xúc với (P) và (C) tại x1, x2 khi đó Từ (2) và (4) 2x1 – 5 = 3x22 + 3 x1 = (5) Từ (1) và (2) x12 – 5x1 + 6 – (2x1 – 5)x1 = -x12 + 6 (6) Từ (3), (4), (5), (6) x23 + 3x2 – 10 = (3x22 + 3)x2 - + 6 8x23 – 9x24 – 48x22 = 0 x22(9x22 – 8x2 + 48) = 0 x2 = 0 Từ (4) a = 3. Từ (5) x1 = 4 . Từ (6) b = -10 Vậy (P), (C) có tiếp tuyến chung duy nhất : y = 3x – 10 Bài 5: CMR : y = f(x) = luôn tiếp xúc với y = e Giải : Xét hệ x = e Vậy (C) tiếp xúc với đường thẳng y = e tại A(e, e) Bài 6 : Cho (C1) : y = f(x) = 3x(3x – m + 2) + m2 – 3m. Tìm m để (C1) tiếp xúc với đồ thị (C2) : y = 3x + 1 = g(x) Giải : (C1), (C2) tiếp xúc nhau có nghiệm Ta có (2) 2.3x + (2 – m) = 1 3x = > 0 m > 1 Thế 3x = vào (1) 3m2 – 10m – 5 = 0 m = V Bài tập về họ đường cong tiếp xúc với đường cố định Bài 1 : CMR : họ (Cm) : y = luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định Giải : Cách 1: Phương pháp Điều kiện nghiệm kép Giả sử (Cm) luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định (d) : y = ax + b Khi đó phương trình ax + b = có nghiệm kép (ax + b)(x – m) = 2x2 + (1 – m)x + (1 + m) có nghiệm kép (a – 2)x2 – [(a – 1)m – (b – 1)]x – [(b + 1)m + 1] = 0 có nghiệm kép a2 và = [(a – 1)m – (b – 1)]2 – 4(a – 2)[(b + 1)m + 1] = 0 a2 và = g(m) = (a – 1)m2 – 2[(a – 1)(b – 1) – 2(a – 2)(b + 1)]m + (b + 1)2 + 4(a – 2) = 0 Kết luận : họ (Cm) luôn tiếp xúc (d) : y = x – 1 Cách 2: phương pháp tiếp tuyến cố định Bước 1 : Tìm điểm cố định của (Cm) : giả sử A(x0, y0) là điểm cố định của (Cm), khi đó : y0 = y0(x0 – m) = 2x02 + (1 – m)x0 + (1 + m) 0 = m[y0 – x0 + 1] + [2x02 + x0 + 1 – x0y0] Điểm cố định A(-1, -2) Bước 2: Đạo hàm: y’(x0) = y’(-1) = Họ (Cm) luôn tiếp xúc với đường thẳng là tiếp tuyến cố định tại điểm A(-1, -2) có phương trình : y = y’(x0)(x – x0) + y0 (d) : y = 1(x + 1) – 2 = x – 1 Cách 3: phương pháp tách bộ nghiệm kép Bước 1: Bước 2: f(x. m) = f(x, m) = + x – 1 Xét phương trình tương giao của (Cm) : y = f(x, m) với đường y = x – 1 Do phương trình f(x, m) = x – 1 = 0 có nghiệm kép x = -1 nên họ (Cm) luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định (d) : y = x – 1 Bài 2: CMR : họ (Cm) : y = luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định Giải: Bước 1: Bước 2: f(x, m) = + (x+ 1) Do phương trình tương giao f(x, m) = x + 1 = 0 có nghiệm kép x = 0 nên họ (Cm) luôn tiếp xúc (d) : y = x + 1 cố định tại A(0, 1) Bài 3 : CMR họ (Cm) : y = luôn tiếp xúc 1 đường thẳng cố định Giải: Bước 1: = Do các phương trình tương giao f(x, m) = x + 1 và f(x, m) = 9x + 1 đều có các nghiệm kép tương ứng x = m và x = nên họ (Cm) luôn tiếp xúc 2 đường thẳng cố định là y = (x + 1) và y = 9x + 1 Bài 6: CMR : , TCX của (Cm) : y = luôn tiếp xúc với 1 Parabol cố định Giải : y = (m + 1)x + (m2 – m) + Do = 0 TCX : y = (m + 1)x + (m2 – m) Cách 1: phương pháp nghiệm kép Giả sử họ TCX (Dm) luôn tiếp xúc 1 Parabol cố định (P) : y = ax2 + bx + c. Khi đó phươg trình : ax2 + bx + c = (m + 1)x + (m2 – m) có nghiệm kép m ax2 + [(b – 1) – m]x + [c + (m – m2)] = 0 có nghiệm kép a0 và = [(b – 1) – m]2 – 4a[c + (m – m2)] = 0 a0 và = g(m) = (1 + 4a)m2 – 2[(b – 1) + 2a]m + (b – 1)2 – 4ac = 0 Kết luận : họ (Dm) luôn tiếp xúc với (P) : y = x2 + x - Cách 2: phương pháp tách bộ phận nghiệm kép Bước 1: (Dm) : y = (m + 1)x + (m2 – m) x + 2m – 1 = 0 x = 1 – 2m m = Thế m = vào (Dm) Dự đoán : (P) : y = (P) : y = x2 + x - Cách 3: Tìm đường biên của tập hợp điểm (Cm) không đi qua Bước 1: (Dm) : y = (m + 1)x + m2 – m (Dm) : m2 + (x – 1)m + (x – y) = 0 Xét = (x – 1)2 – 4(x – y) = 0 x2 – 6x + 1 = -4y y = x2 + x - Bước 2: (Dm) : y = (m + 1)x + m2 – m y = g(x, m) = y = g(x, m) = Do phương trình tương giao g(x, m) = x2 + x - có nghiệm kép x = 2m – 1 nên TCX (Dm, x) luôn tiếp xúc Parabol (P) : y = x2 + x - Bài 7 :CMR họ đường thẳng D: xcos + ysin + 2cos + 1 = 0 luôn tiếp xúc với 1 đường cong cố định Giải : Cách 1: phương pháp tách bộ phận nghiệm kép Bước 1: Hệ cos = và sin = = 1 (x + 2)2 + y2 = 1 Dự đoán đường cố định là đường tròn (x + 2)2 + y2 = 1 Cách 2: Tìm đường biên của tập hợp điểm không đi qua Bước 1: Điểm M(x, y) họ xcos + ysin + 2cos + 1 = 0 hay (x+2)cos+ysin = -1 vô nghiệm (x + 2)2 = y2 < (-1)2 = 1 dự đoán là đường tròn (x + 2)2 + y2 = 1 Bước 2: Chứng minh Điều dự đoán Gọi I(-2, 0) là tâm đường tròn (x + 2)2 + y2 = 1 ta có : D(I, ) = = 1 Vậy họ luôn tiếp xúc với đường tròn (x + 2)2 + y2 = 1 Bài 8 :CMR : họ (Cm) : y = x5 – 4x4 + 3x3 – 5x2 + mx + luôn tiếp xúc với 1 đường cong cố định Giải : Bước 1: = x - = 0 m = 2x Thế m = 2x voà biểu thức của hàm số y = x5 – 4x4 + 3x3 – 4x2 + là đường cong cố định dự đoán Bước 2: Xét phương trình : x5 – 4x4 + 3x3 – 5x2 + mx + = x5 – 4x4 + 3x3 – 4x2 + x2 – mx + = = 0 có nghiệm kép Vậy họ đường cong đã cho luôn tiếp xúc với đường cong y = x5 – 4x4 + 3x3 – 4x2 + VI các bài toán tiếp tuyến, tiếp xúc không dùng phương pháp nghiệm kép