Giáo án lớp 12 môn Toán - Tâm đối xứng và tính đối xứng qua 1 điểm

Tâm đối xứng và tính đối xứng qua 1 điểm I Định nghĩa tâm đối xứng + Điểm I(x0, y0) là tâm đối xứng của (C) : y = f(x) điểm M (C) luôn tồn tại M’ (C) sao cho M, M’ đối xứng nhau qua I(x0, y0) f(x0 – x) + f(x0 + x) = 2y0 x + Nếu y0 = f(x0) thì tâm đối xứng I(x0, y0) Đồ thị (C) + Nếu y0 f(x0) thì tâm đối xứng I(x0, y0) Đồ thị (C) : y = f(x). Như vậy tâm đối xứng có thể nằm trên Đồ thị hoặc nằm ngoài Đồ thị II Dấu hiệu nhận biết tâm đối xứng 1) Đồ thị hàm lẻ (C) : y = f(x) nhận gốc toạ độ O(0, 0) làm tâm đối xứng 2) Đồ thị hàm bậc 3 : (C) : y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0 ) nhận điểm uốn là tâm đối xứng 3) Đồ thị các hàm hypecbol : (C) : y = f(x) = ; y = nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng 4) Định lý tổng quát Cho Đồ thị (C2n+1): y = f(x) = a2n+1x2n+1 + + a1x + a0 (a2n+1 0) điều kiện cần và đủ để (C2n+1) có tâm đối xứng là tất cả các đạo hàm cấp chẵn của hàm f(x) cùng triệt tiêu tại 1 điểm x = x0 . Đồng thời khi đó (C2n+1) có tâm đối xứng là điểm I(x0, f(x0)) III Các bài toán cơ bản về đối xứng 1) Bài toán 1 : CMR : Điểm I(x0, y0) là đối xứng của (C) : y = f(x) phương pháp : Đặt hay khi đó y = f(x) Y + y0 = f(X + x0) Y = F(X) Chứng minh : Y = F(X) là hàm lẻ F(-X) = -F(X) x 2) Bài toán 2: CMR : Đồ thị (C) : y = f(x) có tâm đối xứng phương pháp Bước 1: Sử dụng dấu hiệu nhận biết tâm đối xứng của các dạng hàm số ở II để dự đoán tâm đối xứng I(x0, y0) Bước 2: Đặt vấn đề : ta sẽ chứng minh I(x0, y0) làm tâm đối xứng của Đồ thị (C) : y = f(x) Bước 3: Đặt hay khi đó y = f(x) Y + y0 = f(X + x0) Y = F(X) Chứng minh : Y = F(X) là hàm lẻ F(-X) = -F(X) x 3) Bài toán 3: Tìm tâm đối xứng của (C) : y = f(x) phương pháp 1: Giả sử I(x0, y0) là tâm đối xứng của y = f(x). Khi đó f(x0 – x) + f(x0 + x) = 2y0 x Ràng buộc điều kiện này ta tìm được tâm đối xứng (C) : y = f(x) Phương pháp 2 : Giả sử I(x0, y0) là tâm đối xứng của y = f(x) Đặt hay khi đó y = f(x) Y + y0 = f(X + x0) Y = F(X) Ta có I(x0, y0) là tâm đối xứng của (C) : y = f(x) Y = F(X) x các hệ số bậc chẵn đều bằng 0 Ràng buộc điều kiện này suy ra I(x0, y0) 4) Bài toán 4 : Cho Đồ thị (C) : y = f(x) và điểm J(x1, y1) cho trước. Tìm Đồ thị (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm J(x1, y1) Phương pháp 1: giải phương trình : f(x1-x) + f(x1+x) = 2y1 Nếu x = a là nghiệm thì 1 cặp điểm đối xứng qua J(x1, y1) là phương pháp 2: Đường thẳng (D) đi qua J(x1, y1) với hệ số góc k có phương trình : y = k(x – x1) + y1. Hoành độ giao điểm của (D) với Đồ thị (C) là nghiệm của pt f(x) = k(x – x1) + y1 Nói chung g(x) = u(k)x2 + v(k)x + w(k) = 0 Ràng buộc điều kiện g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn tính chất : x2 + x3 = 2x1 suy ra giá trị k -> giá trị x2, x3 Cặp điểm đối xứng nhau qua J là IV Bài tập A. Chứng minh rằng các Đồ thị sau có tâm đối xứng 1) (C1) : y = f(x) = 2) (C2) : y = f(x) = 3) (C3) : y = f(x) = 4) (C4) : y = f(x) = 5x3 – 4x + 3tgx – 7sinx 7) (C7) : y = f(x) = phương pháp Chứng minh y = f(x) là hàm lẻ . Khi đó O(0, 0) là tâm đối xứng B . chứng minh rằng các Đồ thị sau có tâm đối xứng 8) (C8) : y = f(x) = x3 – 3x2 + 5x – 14 9) (C9) : y = f(x) = 2x3 + 12x2 – 7x +5 10) (C10) : y = f(x) = 11) (C11) : y = f(x) = 12) (C12) : y = f(x) = 13) (C13) : y = f(x) = 14) (C14) : y = f(x) = 15) (C15) : y = f(x) = x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 6x – 2 16) (C16) : y = f(x) = x5 – 10x4 + 41x3 – 86x2 + 93x – 45 phương pháp Bước 1 : Dự đoán tâm đối xứng theo các dấu hiệu nhận biết ở II suy ra dự đoán I(x0, y0) là tâm đối xứng c. Bài tập Bài 1: Tìm m để (C) : y = f(x) = + 3mx2 – 2 nhận điểm I(1, 0) làm tâm đối xứng Cách 1 : Đặt hay khi đó : Y = + 3m(X + 1)2 – 2 Y = F(X) = + 3X2 + 3X + 3m – 2 - Điểm I(1, 0) là tâm đối xứng của (C) : y = f(x) Y = F(X) là hàm lẻ F(-X) = -F(X) X m = 1 Cách 2: + 6mx + 6m f”(x) = 0 x = m2 Điểm uốn với m 0 Do hàm số bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng duy nhất nên I(1, 0) là tâm đối xứng của (C) I m = 1 Bài 2 : Cho (C) : y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d 1) Với a 0 hãy tìm tâm đối xứng cảu Đồ thị (C) 2) Tìm điều kiện a, b, c, d để (C) có vô số tâm đối xứng Giải Giả sử (C) có tâm đối xứng là I(x0, y0) Đặt khi đó : y = f(x) Y + y0 = a(X + x0)3 + b(X + x0)2 + c(X + x0) + d Y = F(X) = aX3 + (3ax0 + b)X2 + (3ax02 + 2bx0 + c)X + Ta có I(x0, y0) là tâm đối xứng của (C) : y = f(x) Y = F(X) là hàm lẻ F(-X) = -F(X) x Các hệ số bấc chẵn của F(X) bằng 0 (*) 1) Với a 0 thì (*) tâm đối xứng I 2) (C) có vô số tâm đối xứng Hệ (*) có vô số nghiệm 3ax0 + b = 0 có vô số nghiệm a = b = 0. Lúc đó (C) : y = f(x) = cx + d tức là đường thẳng có vô số tâm đối xứng Bài 3 : Tìm m để (C) : y = có 2 điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ Giải Giả sử A(x1, y1) và B(-x1, -y1) đối xứng nhau qua gốc toạ độ và cùng thuộc Đồ thị (C). Khi đó : (*) (*) có nghiệm Bài 4 : Cho (Cm) : y = x3 + mx2 + 9x + 4. Tìm m để trên (Cm) có 1 cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ Giải Giả sử A(x1, y1) và B(-x1, -y1) đối xứng nhau qua gốc toạ độ và cùng thuộc Đồ thị (C). Khi đó Lấy (1) cộng với (2) mx12 + 4 = 0 mx12 = -4 m < 0 Bài 5 Tìm trên (C) : y = các cặp điểm đối xứng nhau qua I(1, 1) Giải Xét đường thẳng đi qua I(1, 1) là (D) : y = k(x – 1) + 1 với phương trình tương giao k(x – 1) + 1 = [kx – (k – 1)](2x – 1) = 3x + 4 g(x) = 2kx2 – (3k + 1)x + k = 0 Giả sử A(x1, y1) và B(-x1, -y1) đối xứng nhau I(1, 1) và cùng thuộc (C) khi đó g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1 + x2 = 2 = 2 k = 1 Với k = 1 g(x) = 2x2 – 4x – 4 = 0 x2 – 2x – 2 = 0 Bài 6: Tìm trên (C) : y = các cặp điểm đối xứng nhua qua điểm I(0, ) Giải Xét đường thẳng đi qua I là (D) : y = kx + với phương trình tương giao kx + = (x – 1) = x2 + x + 2 g(x) = (k – 1)x2 - x - = 0 Giả sử A(x1, y1) và B(-x1, -y1) đối xứng nhau qua I và cùng thuộc (C) khi đó g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1 + x2 = 0 . Với k = thì g(x) = = 0 Bài 7: Cho Đồ thị (C) : y = . Tìm Đồ thị (C’) : y = g(x) đối xứng với Đồ thị (C) qua điểm I(1, 1) Giải : lấy bất kỳ A(x1, y1) (C) thì y1 = (1) Lấy điểm B(x2, y2) đối xứng với A(x1, y1) thì (2) Thế (2) vào (1) 2 – y2 = y2 = + 2 y2 = Vậy Đồ thị (C’) cần tìm là y = Bài 8 Cho Đồ thị (C) : y = 2x3 + 3x2 + 5x + 1. Tìm Đồ thị (C’) : y = g(x) đối xứng với Đồ thị (C) qua điểm I(1, 2) Giải Lấy bất kỳ A(x1, y1) (C) y1 = 2x13 + 3x12 + 5x1 + 1 Lấy điểm B(x2, y2) đối xứng với A(x1, y1) thì 4 – y2 = 2(2 – x2)3 + 3(2 – x2)2 + 5(2 – x2) + 1 4 – y2 = -2x23 + 15x22 – 41x2 +39 y2 = 2x23 – 15x22 + 41x2 – 35 Vậy (C’) : y = 2x3 – 15x2 + 41x – 35 đối xứng với (C) qua I(1, 2) Bài 9 : Các cặp điểm đố xứng nhau qua đường thẳng cho trước . Chú ý : Cho hàm số(C) : y = f(x) và đường thẳng d : y= ax+b . để tìm 2 điểm A, B trên (C) đối xứng nhau qua d : Lập pt đường thẳng D qua A,B . D: y= với Gọi . Hoành độ xI là nghiệm của phương trình : ax+b= Lập pt hoành độ giao điểm của (C) và D: f(x) = (*) Vì I là trung điểm của AB nên ta có : với xM ; xN là nghiệm của phương trình (*) . Từ đó suy ra kết quả . Ví dụ : Cho hàm số : y= (C) . Tìm trên (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng :x-2y-6=0. ĐS : M(1;-5); N(-1;-1) Ví Dụ 2 : Cho hàm số y=(C) . Tìm trên (C) 2 điểm M; N đối xứng nhau qua đường thẳng y=x-1 . ĐS : M; N. Trục đối xứng và tính đối xứng qua đường thẳng I Định nghĩa trục đối xứng đường thẳng (d) là trục đối xứng của Đồ thị (C) : y = f(x) điểm M (C) luôn M’ (C) sao cho M, M’ đối xứng nhau qua (d) II Dấu hiệu nhận biết trục đối xứng 1) Đồ thị (C) : y = f(x) là hàm chẵn nhận trục Oy (x = 0) làm trục đối xứng 2) Đồ thị (C) : y = f(x) = ax4 + bx2 + c (a 0) nhận Oy làm trục đối xứng 3) Đồ thị (C) : y = f(x) = ax2 + bx + c (a 0) nhận x = -b/2a làm trục đối xứng 4) Đồ thị (C) : y = f(x) = với nhận đường thẳng (d) : x = làm trục đối xứng 5) Đồ thị (C) : y = f(x) = với nhận 2 đường phân giác của góc tạo bới 2 tiệm cận làm trục đối xứng 6) Đồ thị (C) : y = f(x) = với nhận 2 đường phân giác của góc tạo bởi 2 tiệm cận làm trục đối xứng 7) Định lý tổng quát Cho Đồ thị (C2n): y = f(x) = a2nx2n + a2n-1x2n-1 + + a1x + a0 (a2n 0) điều kiện cần và đủ để (C2n) có trục đối xứng là tất cả các đạo hàm cấp lẻ của f(x) cùng triệt tiêu tai 1 điểm x = x0 Đồ ng thời khi đó x = x0 là trục đối xứng 8) Hệ quả : Cho Đồ thị (C4) : y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e (a 0) điều kiện cần và đủ để (C4) có trục đối xứng là = 0 Đồ ng thời khi đó x = là trục đối xứng của (C4) III Các bài toán về trục đối xứng 1) Bài toán 1: CMR Đồ thị (C) : y = f(x) nhận x = a làm trục đối xứng phương pháp : Đặt khi đó y = f(x) Y = f(X + a) Y = F(X) Chứng minh : Y = F(X) là hàm chẵn F(-X) = F(X) x 2) Bài toán 2: CMR : Đồ thị (C) : y = f(x) có trục đối xứng ( thẳng đứng ) phương pháp : Bước 1 : Từ dấu hiệ nhận biết dự đoán x = x0 là trục đối xứng Bước 2: Đặt khi đó y = f(x) Y = f(X + x0) Y = F(X) Chứng minh : Y =F(X) là hàm chẵn F(-X) = F(X) x 3) Bài toán 3: Cho (C) : y = f(x). Tìm trục đối xứng (thẳng đứng) của (C). phương pháp : Giả sử x = là trục đối xứng Đặt khi đó y = f(x) Y = f(X + ) Y = F(X) Ràng buộc điều kiện Y = F(X) là hàm chẵn F(-X) = F(X) x Các hệ số lẻ của F(X) bằng 0 Các giá trị tham số 4) Bài toán 4: CMR : (C1) y = f(x) = ; (C2) : y = g(x) = có 2 trục đối xứng Phương pháp Bước 1: Xác định 2 tiệm cận và viết phương trình 2 đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường tiệm cận Bước 2: Chứng minh đại diện 1 đường phân giác là trục đối xứng 5) Bài toán 5: Cho (C) : y = f(x) và đường thẳng . Tìm trên (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua . Phương pháp : IV Bài tập Bài 1: CMR : Đồ thị (C) : y = f(x) = x4 – 4x3 + 9x2 – 10x + 7 nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng Giải : Đặt Ta có y = f(x) Y = (X + 1)4 – 4(X + 1)3 + 9(X + 1)2 – 10(X + 1) + 7 Y = F(X) = x4 + 3x2 + 3. Ta có F(-X) = F(X) x Y = F(X) là hàm chẵn X = 0 hay x = 1 là trục đối xứng của (C) Bài 2: CMR : Đồ thị (C) : y = f(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 9 có trục đối xứng Giải Bước 1: f’(x) = 4x3 + 12x2 + 10x + 2 = f’(-1) = -4 + 12 – 10 + 2 = 0 dự đoán x = -1 là trục đối xứng Bước 2: Đặt y = f(x) Y = (X – 1)4 + 4(X – 1)3 + 5(X – 1)2 + 2(X – 1) + 9 Y = F(X) = X4 – X2 + 9. Ta có F(-X) = F(X) x Y = F(X) à hàm chẵn X = 0 hay x = -1 là trục đối xứng của (C) Bài 3: a) Tìm trục đối xứng của (C) : y = x4 – 4x3 – 2x2 + 12x - 1 b) Giải phương trình : x4 - 4x3 – 2x2 + 12x – 1 = 0 Giải : a) Giả sử đường thẳng x = a là trục đối xứng của Đồ thị (C) : y = f(x) Đặt y = f(x) Y = (X + a)4 - 4(X + a)3 - 2(X + a)2 + 12(X + a) - 1 Y = F(X) = X4 + 4(a – 1)X3 + BX2 + 4(a3 – 3a2 – a + 3)X + D Ta có đường x = a là trục đối xứng của Đồ thị (C) : y = f(x) Y = F(X) là hàm chẵn F(-X) = F(X) x các hệ số bậc lẻ của F(X) bằng 0 a = 1 Đường x = 1 là trục đối xứng b) Đặt x = X + 1 thì f(x) = 0 F(X) = X4 – 8X2 + 6 = 0 X2 = 4 X = x = 1 Bài 4: Tìm m để (Cm): y = f(x) = x4 + 4mx3 – 2x2 - 12mx có trục đối xứng // Oy Giải : Cách 1: Giả sử x = a là trục đối xứng của (Cm) : y = f(x) Đặt y = f(x) Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 - 2(X + a)2 + 12m(X + a) Y = F(X) = X4 + 4(a + m)X3 + BX2 + 4(a3 + 3ma2 – a - 3m)X + D Ta có đường x = a là trục đối xứng của Đồ thị (C) : y = f(x) Y = F(X) là hàm chẵn F(-X) = F(X) X các hệ số bậc lẻ của F(X) bằng 0 Cách 2 : (Cm) có trục đối xứng = f’(-m) = 8m(m2 – 1) = 0 m Bài 5: CMR : Đồ thị (C) : y = f(x) = có trục đối xứng Giải y = f(x) = Đặt thì y = f(x) Y = 3 - = F(X). Ta có F(-X) = F(X) x nên Y = F(X) là hàm chẵn X = 0 hay x = -1 là trục đối xứng của (C) Bài 6: CMR : Đồ thị (C) : y = f(x) = có trục đối xứng Giải : y = f(x) = x + Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 tiệm cận là : Ta sẽ chứng minh đại diện (d2) : y = x - là trục đối xứng của Đồ thị (C) : y = f(x) Xét đường thẳng bất kỳ (d2) cắt Đồ thị (C) tại M, N, ta phải chứng minh M, N đối xứng nhau qua (d2) Do (d2) nên có phương trình : y = x + m Xét phương trình tương giao của với (C) : x + m = g(x) = x2 - x + (m + 1) = 0. Gọi K là trung điểm của MN. M, N đối xứng nhau qua (d2) (d2) là một trục đối xứng của (C). Chứng minh tương tự ta có (d1) cũng là trục đối xứng của (C) Vậy (C) có 2 trục đối xứng là (d1), (d2) Bài 7: a) Khảo sát và vẽ Đồ thị (C) : y = f(x) = b) CMR : Đồ thị (C) có 2 trục đối xứng Giải: a) Bạn đọc tự làm b) phân giác Ta sẽ chứng minh đại diện (d2) : y = -x + 3 là trục đối xứng của (C) : y = f(x) Xét đường thẳng bất kỳ (d2) cắt (C) tại M, N ta phải chứng minh M, N đối xứng nhau qua (d2) Do (d2) nên có phương trình : y = x + m. Xét x + m = g(x) = x2 + (m – 3)x – (m – 1) = 0 . gọi K là trung điểm MN K (d2) M, N đối xứng nhau qua (d2) (d2) là một trục đối xứng của (C). Chứng minh tương tự ta có (d1) cũng là trục đối xứng của (C) Vậy (C) có 2 trục đối xứng là (d1), (d2) Bài 8: Tìm 2 điểm A, B (C) : y = đối xứng nhau qua y = x - 1 Giải : Do A, B đối xứng nhau qua y = x – 1 nên A, B nằm trên : y = -x + m Xét = -x + m g(x) = 2x2 – (m + 1)x + m = 0 . Gọi K là trung điểm AB K Mà K (d) : y = x – 1 nên - 1 m = -1 Với m = -1 thì g(x) = 2x2 – 1 A; B Bài 9 : Cho Đồ thị (C) : y = . Viết phương trình Đồ thị (C’) đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 2 Giải : Lấy bất kỳ M1(x1, y1) (C) và gọi M2(x2, y2) đối xứng M1(x1, y1) qua y = 2 Suy ra : y1= ; x1 = x2; = 2 y1 = 4 – y2 4 – y2 = y2 = Vậy (C’) đối xứng với (C) có phương trình : y = Bài 10 : Viết phương trình Đồ thị (C’) đối xứng với (C) : y = qua đường x = 2 Giải Lấy bất kỳ M1(x1, y1) (C) và gọi M2(x2, y2) đối xứng M1(x1, y1) qua x = 2 Suy ra : y1= ; y1 = y2; = 2 x1 = 4 – x2 y2 = y2 = Vậy (C’) đối xứng với (C) có phương trình : y = Bài 11: Cho Đồ thị (C) : y = -2x4 + 5x3 – 3x2 + 8x – 7. Tìm Đồ thị (C’) đối xứng với Đồ thị (C) qua đường thẳng x = -2 Giải Lấy bất kỳ M1(x1, y1) (C) và gọi M2(x2, y2) đối xứng M1(x1, y1) qua x = -2 y1 = -2x14 + 5x13 – 3x12 + 8x1 – 7 y1 = y2 ; x1 + x2 = -4 x1 = -4 – x2. Khi đó y2 = -2(-4 – x2)4 + 5(-4 – x2)3 – 3(-4 – x2)2 + 8(-4 – x2) - 7 y2 = -2(x2 + 4)4 – 5(x2 + 4)3 – 3(x2 + 4)2 – 8(x2 + 4) – 7 y2 = -2x24 -37x23 – 255x22 - 784x1 – 912 Vậy Đồ thị (C’) cần tìm là : y = = -2x4 -37x3 – 255x2 - 784x – 912