Giáo án lớp 12 môn Toán - Tiết 33, 34: Hàm số mũ – hàm số logarit

NS : ND: Tiết 33 - 34 HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT MỤC TIÊU Về kiến thức : Nắm vững định nghĩa, công thức tính đạo hàm và các tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit . Nắm được các dạng đồ thị của hàm số mũ , hàm số lôgarit . Về kỹ năng : Rèn kỹ năng vẽ đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit , từ đó suy ra được các tính chất của số mũ và hàm số lôgarit và ngược lại . Về tư duy : Vận dụng được các tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải toán . Về thái độ : Hiểu được toán học có gắn liền với cuộc sống qua các bài toán ví dụ về hàm số mũ . TRỌNG TÂM : Nắm vững định nghĩa, công thức tính đạo hàm, các tính chất và đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit PHƯƠNG PHÁP : Phát vấn thông qua các hoạt động để phát huy tính tích cực của học sinh. CHUẨN BỊ : Thực tiễn : Học sinh đã học luỹ thừa và lôgarit ở các bài trước . Phương tiện : Bài soạn, các hình vẽ minh hoạ đồ thị của hàm số mũ và lôgarit . TIẾN TRÌNH LÊN LỚP : Bài cũ : Tìm điều kiện của a và b để logab > 0 ; logab < 0 ? Bài mới : Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên I. HÀM SỐ MŨ Ví dụ 1 : (Bài toán lãi kép) Giải : Giả sử n 2 Sau năm thứ nhất : Số tiền lãi là : L1 = T.r Vốn tích luỹ : T1 = T + L1 = T + T.r = T(1+r) Sau năm thứ hai : Số tiền lãi là : L2 = T1r Vốn tích luỹ : T2 = T1 + L2 = T1 + T1r = T1(1+r) = T(1+r)2 Tương tự, vốn tích luỹ sau n năm là Tn = T(1+r)n = 1(1+0,07)n = 1,07n Ví dụ 2 :Sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức : m(t) = m0 Định nghĩa : ĐN : Cho a là số thực dương, khác 1. Hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a VD : ; ; ; Đạo hàm của hàm số mũ Bổ đề : Định lý 1 : Hàm số y = ex có đạo hàm tại mọi x và C/m : Giả sử x là số gia của x, ta có : y = . Vậy y’ = ex Chú ý : (Với u = u(x)) Định lý 2 : Hàm số y = ax có đạo hàm tại mọi x và C/m : Ta có ax = Chú ý : (Với u = u(x)) Ví dụ : Tìm đạo hàm của hàm số Khảo sát hàm số mũ a. Tập xác định : D = R b. Sự biến thiên + Đạo hàm : y’= ax.lna Nếu a > 1 y’ > 0 nên hs đồng biến Nếu 0 < a < 1 y’ < 0 nên hs nghịch biến + Tiệm cận : Khi a > 1 Khi 0 < a < 1 T/c ngang là Ox T/c ngang là Ox + Bảng biến thiên : a > 1 0 < a < 1 x - + x - + y’ + y’ - y= 0 + y= + 0 c) Đồ thị : Luôn đi qua các điểm (0;1) và (1;a) Và nằm phía trên trục hoành II. HÀM SỐ LÔGARIT 1) Định nghĩa : ĐN : Cho a là số thực dương, khác 1. Hàm số y = loga x được gọi là hàm số lôgarit cơ số a VD : y = ; y = ; y = ; y = lnx 2) Đạo hàm của hàm số lôgarit ĐL :Hàm số y = loga x có đạo hàm tại mọi x > 0 và Đặc biệt : C/m : Giả sử x > 0 và x là số gia của x sao cho x+x > 0 . Ta có = = Vậy Chú ý : Ví dụ : Tính đạo hàm của hs y = log2(2x+1) 3) Khảo sát hàm số lôgarit a. Tập xác định : D = (0;+) b. Sự biến thiên + Đạo hàm : y’= Nếu a > 1 y’ > 0 nên hs đồng biến Nếu 0 < a < 1 y’ < 0 nên hs nghịch biến + Tiệm cận : Khi a > 1 Khi 0 < a < 1 T/c đứng là Oy T/c đứng là Oy + Bảng biến thiên : a > 1 0 < a < 1 x 0 + x 0 + y’ + y’ - y=logax - + y=logax + - c) Đồ thị : Luôn đi qua các điểm (1;0) và (a;1) Và nằm phía bên phải trục tung . 6 : Học sinh xem hình trong sgk và nêu nhận xét về đồ thị của các cặp hàm số tương ứng : Đồ thị của 2 hàm số đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất của hệ trục toạ độ Một người gửi số tiền T = 1 triệu đồng vào một ngân hàng có lãi suất r = 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Hỏi người đó được lĩnh bao nhiêu triệu đồng sau n năm (nN*), nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi ? Tìm số tiền người đó lĩnh được sau 8 năm? 10 năm ? Cho biết chất Iôt phóng xạ dùng trong y tế có chu kỳ bán rã 8 ngày đêm. Hãy tính xem, sau 8 tuần lễ 100g chất này còn lại bao nhiêu ? Những bài toán thực tế như trên thường đưa đến việc khảo sát các hàm số có dạng y = ax Gv nêu bổ đề (được thừa nhận) Gv nêu định lý . Hướng dẫn học sinh chứng minh Nhắc lại phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa ? Cho học sinh áp dụng vào hàm số y = ex Aùp dụng bổ đề , = ? Đạo hàm của hàm hợp y = eu ? Gv nêu định lý và hướng dẫn hs c/m Viết ax dưới dạng luỹ thừa với cơ số e ? . Tính đạo hàm của exlna ? Đạo hàm của hàm hợp y = au ? Nêu các bước khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ? Tập xác định của hàm số mũ y = ax ? Tính y’ ? Với a > 0 thì ax mang dấu gì ? Từ đó kết luận gì về dấu của y’ và dấu của lna ? lna > 0 khi nào ? lna < 0 khi nào? Từ đó xét dấu y’ ? Hướng dẫn học sinh tính các giới hạn để tìm tiệm cận . Từ đó kết luận về tiệm cận của hàm số ? Gọi hs lên bảng vẽ bảng biến thiên trong 2 t/h a > 1 và 0 < a < 1 ? Cho học sinh làm 4 Gv nêu định nghĩa . Gv nêu định lý . Đặc biệt : ? Hướng dẫn học sinh chứng minh Nhắc lại phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa ? Cho học sinh áp dụng vào hàm số y = logax Hướng dẫn học sinh biến đổi để áp dụng bổ đề . Aùp dụng bổ đề= ? = ? Đạo hàm của hàm hợp y = logax ? Nêu các bước khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ? Tập xác định của hàm số mũ y = logax ? Tính y’ ? Từ đó kết luận gì về dấu của y’ và dấu của lna ? lna > 0 khi nào ? lna < 0 khi nào? Từ đó xét dấu y’ ? Hướng dẫn học sinh tính các giới hạn để tìm tiệm cận . Từ đó kết luận về tiệm cận của hàm số ? Gọi hs lên bảng vẽ bảng biến thiên trong 2 t/h a > 1 và 0 < a < 1 ? Đồ thị : sgk Cho học sinh xem hình trong sgk và nêu nhận xét về đồ thị của các cặp hàm số tương ứng . Chú ý : đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit chỉ đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất của hệ trục toạ độ khi có cùng cơ số . Củng cố : Nhắc lại bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = ax Tập xác định R Đạo hàm y’ = axlna Chiều biến thiên a > 1 : Hàm số luôn đồng biến 0 < a < 1 : Hàm số luôn nhịch biến Tiệm cận Tiệm cận ngang là Ox Đồ thị Luôn đi qua các điểm (0;1) , (1;a) và nằm phía trên trục hoành (vì ax > 0, xR) Nhắc lại bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lôgarit y = logax Tập xác định (0;+) Đạo hàm Chiều biến thiên a > 1 : Hàm số luôn đồng biến 0 < a < 1 : Hàm số luôn nhịch biến Tiệm cận Tiệm cận đứng là Oy Đồ thị Luôn đi qua các điểm (1;0) , (a;1) và nằm phía bên phải trục tung (vì D = (0;+)) Dặn dò : Làm bài tập trong sgk . Rút kinh nghiệm :