Giáo án lớp 12 môn Toán - Tiết 4, 5: Cực trị của hàm số

NS : ND: Tiết 4 - 5 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ MỤC TIÊU Về kiến thức : Qua bài dạy Gv giúp cho học sinh hiểu định nghĩa cực đại và cực tiểu của hàm so á. Đồng thời làm cho học sinh nắm vững hai quy tắc để tìm cực trị của hàm số . Về kỹ năng : Rèn kỹ năng dùng quy tắc thứ nhất để tìm cực trị của hàm số . Về tư duy : Hiểu được các định lý về điều kiện đủ để hàm số có cực trị từ đó nêu được 2 quy tắc. Về thái độ : Tính chuyên cần và tinh thần ham học . TRỌNG TÂM : Định nghĩa cực đại, cực tiểu và 2 quy tắc tìm cực trị của hàm số PHƯƠNG PHÁP : Mở vấn đáp thông qua các hoạt động để điều khiển tư duy của học sinh. CHUẨN BỊ : Thực tiễn : Học sinh đã biết lập bảng xét dấu của đạo hàm . Phương tiện : TIẾN TRÌNH LÊN LỚP : Bài cũ : Xét tính đơn điệu của hàm số Bài mới : Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên 1. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI – CỰC TIỂU Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a,b) (có thể a= -,b=+) và điểm x0(a,b) . Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) < f(x0) x(x0-h ; x0+h) và x x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại địa phương tại x0 . Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) > f(x0) x(x0-h ; x0+h) và x x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x0 . Chú ý : Cực đại, cực tiểu địa phương gọi tắt là cực đại, cực tiểu . x0 : điểm CĐ (điểm CT) của hàm số f(x0) : giá trị CĐ (giá trị CT) của hs, Kh là fCĐ (fCT) M0(x0;f(x0)) : điểm CĐ (CT) của đồ thị hsố Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số . Các giá trị cực đại, cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số . 2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Định lý 1 : Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (x0-h ; x0+h) và có đạo hàm trên khoảng đó (có thể trừ điểm) x0 là một điểm cực đại của hàm số f (x). x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f (x). Nói vắn tắt : Nếu khi x đi qua đạo hàm đổi dấu thì điểm là một điểm cực trị. Quy tắc 1 : Tìm cực trị của hàm số Tính f’(x) Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định ; Lập bảng xét dấu của đạo hàm ; Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. VD : Tìm các điểm cực trị của hàm số f= x(x2-3) Giải : Hàm số xác định trên f’(x) = 3x2-3= 3(x2-1) f’(x)= 0 Ta có bảng xét dấu x - -1 1 + f’(x) + 0 - 0 + f(x) 2 -2 KL : Hsố đạt cực đại tại x= -1, fCĐ = 2 đạt cực tiểu tại x = 1, fCT = -2 Trên đồ thị (hình 7), điểm cực đại là A(-1;2) ; điểm cực tiểu là B(1;-2) Định lý 2 : cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (x0-h ; x0+h) và f’(x0) = 0 , f’’(x0) 0 thì là điểm cực trị của hàm số Hơn nữa : Nếu thì là điểm cực tiểu Nếu thì là điểm cực đại Quy tắc 2 : tìm cực trị của hàm số Tính f’(x) . Giải phương trình f’(x) = 0. Gọi xi (i=1,2) là các nghiệm. Tính f”(x). Từ dấu f”(xi) suy ra cực trị của điểm xi theo dấu hiệu 2 VD2 : Tìm các điểm cực trị của hàm số f(x) = Giải : Hàm số xác định với mọi xR f’(x) = x3-4x = x(x2-4) f’(x) = 0  f’’(x) = 3x2 – 4 Ta có f’’(-2) = 8 > 0 x = -2 là điểm CT f’’(2) = 8 > 0 x = 2 là điểm CT f’’(0) = -4 < 0 x = 0 là điểm CĐ KL : f(x) đạt CT tại x = 2 ; fCT = f(2) = 2 f(x) đạt CĐ tại x = 0 ; fCĐ = f(0) = 6 VD3 :Tìm các điểm cực trị của hs f(x) = sin2x Giải : Hàm số xác định với mọi x R f’(x) = 2sinxcosx = sin2x f’(x) = 0 2x = k x = k (k Z) f’’(x) = 2cos2x f’’(k) = 2coskx = Kết luận: x= (m + ), ( m Z ) là các điểm CĐ x= m , (m Z) là điểm CT của hàm số. Quan sát đồ thị của 2 hàm số trong sgk . Hãy chỉ ra điểm cao nhất, điểm thấp nhất của đồ thị hàm số so với những điểm xung quanh ? x O y x0+h x0-h f(x) x Giáo viên phát biểu và chứng minh định lý dấu hiệu đủ thứ nhất để hàm số có cực trị. Lập bảng thể hiện tính chất của cực trị: x x0-h x0 x0+h f’(x) + - f(x) CĐ x x0-h x0 x0+h f’(x) - + f(x) CĐ Từ định lý 1 , Gv cho hs phát biểu quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số . Học sinh lên bảng tìm đạo hàm và lập bảng xét dấu kết luận Gv minh hoạ bằng đồ thị : Từ định lý 1 ta thấy, nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số f(x) . Nêu ví dụ để chứng tỏ điều ngược lại là không đúng ? (Hàm số y= đạt CT tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó) Gv nêu định lý 2. Từ đó hs rút ra quy tắc 2 để tìm cực trị của hàm số . Hướng dẫn hs viết bằng kí hiệu : x0 là điểm CT x0 là điểm CĐ Học sinh lên bảng giải Gv minh hoạ bằng đồ thị Học sinh lên bảng giải Gv minh hoạ bằng đồ thị Củng cố : Giáo viên phân biệt và hướng dẫn cách ghi nhớ hai dấu hiệu nhận biết cực trị của hàm số Dặn dò : Làm bài tập trong sgk . NS : ND: Tiết 6 BÀI TẬP CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. MỤC TIÊU Về kiến thức : Qua tiết dạy giáo viên luyện cho học sinh giải các dạng toán sau : Aùp dụng dấu hiệu thứ nhất tìm cực trị của hàm số . Aùp dụng dấu hiệu thứ hai tìm cực trị của hàm số . Tìm tham số m để hàm số có cực trị . Về kỹ năng : Rèn kỹ năng tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm, dùng quy tắc thứ nhất để tìm cực trị của hàm số . Về tư duy : Biết áp dụng các định lý về điều kiện đủ để hàm số có cực trị để làm bài tập . Về thái độ : Tính chuyên cần và tinh thần ham học . TRỌNG TÂM : Áp dụng 2 quy tắc để tìm cực trị của hàm số . PHƯƠNG PHÁP : Mở vấn đáp thông qua các hoạt động để điều khiển tư duy của học sinh. CHUẨN BỊ : Thực tiễn : Phương tiện : TIẾN TRÌNH LÊN LỚP : Bài cũ : Tìm cực trị của hàm số ; y = Bài mới : Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Bài 1 : Áp dụng qui tắc 1 để tìm các điểm cực trị của các hàm số sau : y = y = y = y = y = y = biết rằng Giải : c) y = Txđ D = R\{0} y’ = 1 - = y’ = 0 x2 – 1 = 0 x = 1 Ta có bảng xét dấu x - -1 0 1 + f’(x) + 0 - - 0 + f(x) - -2 - + 2 + KL : Hsố đạt cực đại tại x= -1, fCĐ = -2 đạt cực tiểu tại x = 1, fCT = 2 Bài 2 : Aùp dụng dấu hiệu 2 để tìm cực trị của các hàm số sau : y = y = sin2x – x y = sin2x + cos2x y = y = cosx + cos2x Bài 3 : Chứng minh rằng hàm số y = - không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực đại tại điểm đó . Bài 4 : Xác định m để hàm số y = đạt cực đại tại x = 2 Giải : Txđ D = R\{-m} Hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi Ta có y’ = y’’= Hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi m = -3 Bài 5 : Chứng minh rằng hàm số y= luôn có một cực đại và một cực tiểu . Bài 6 : Tìm a và b để các cực trị của hàm số y= đều là những số dương và x0 = là điểm cực đại . Giải : * Nếu a = 0 : y = -9x+b : Không có cực trị . * Nếu a 0 : y’ = 5a2x2 + 4ax – 9 , y’ = 0 +Với a < 0 thì x1 < x2 : ta có Bxd : x - + f’(x) + 0 - 0 + f(x) CĐ CT x0 = là điểm CĐ a= fCT là một số dương f>0 (Vì fCĐ > fCT) b > +Với a > 0 thì x1 > x2 : ta có Bxd : x - + f’(x) + 0 - 0 + f(x) CĐ CT x0 = là điểm CĐ a= fCT là một số dương f > 0 (Vì fCĐ > fCT) b > Gv cho hs nhắc lại quy tắc I tìm cực trị của hàm số : Quy tắc 1 : Tìm cực trị của hàm số Tính f’(x) Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định ; Lập bảng xét dấu của đạo hàm ; Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Giáo viên gợi ý, gọi học sinh lên bảng và hướng dẫn học sinh giải. Giáo viên gợi ý, gọi học sinh lên bảng và hướng dẫn học sinh giải. Qua bài tập này, Gv lưu ý với học sinh rằng không phải lúc nào cực đại cũng lớn hơn cực tiểu . Gv cho hs nhắc lại quy tắc II tìm cực trị của hàm số : Quy tắc 2 : tìm cực trị của hàm số Tính f’(x) . Giải phương trình f’(x)=0. Gọi xi (i=1,2) là các nghiệm. Tính f”(x). Từ dấu f”(xi) suy ra cực trị của điểm xi theo dấu hiệu 2 Hướng dẫn hs khử dấu giá trị tuyệt đối và từ đó c/m hàm số không có đạo hàm tại x = 0 Hướng dẫn học sinh đặt điều kiện dựa vào dấu hiệu 2 : Hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi Gọi học sinh lên bảng tính y’ và y’’ rồi giải . ĐS : m = -3 Hướng dẫn : Xét dấu y’ Hướng dẫn : Đây là hàm số bậc mấy? Xét 2 t/h : a = 0 và a 0 Nếu a 0 : tính y’ = 5a2x2 + 4ax – 9 y’ = 0 So sánh x1 và x2 để lập bảng xét dấu ? Hd : Lập hiệu x1 – x2 ? Suy ra x1 < x2 khi a < 0 x1 > x2 khi a > 0 Hs lập bảng xét dấu điểm cực đại? a ? Tương tự trường hợp a < 0 : hs làm tiếp . Cách 2 : Dùng dấu hiệu 2 : Hàm số nhận x0 = là điểm cực đại và cực trị đều là những số dương và Củng cố : Gợi ý , hướng dẫn học sinh giải các bài còn lại trong SGK và hướng dẫn học sinh cách lựa chọn dấu hiệu khi giải toán. Dặn dò : Chuẩn bị bài mới : Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .