Giáo án lớp 12 môn Toán - Tính chất biến thiên của hàm số

Tính chất biến thiên của hàm số I. Các định lý cơ bản 1.Định lý 1: (Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên khoảng (a;b)_Dùng để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số) Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). _ Nếu f ’(x) >0 với mọi x (a; b) thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. _ Nếu f ’(x) <0 với mọi x (a; b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó. 2.Định lý 2:(Dùng trong các bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng (a; b)). Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu f ’(x) 0 (f ’(x) 0) với mọi x (a; b) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng đó. II. Các dạng toán cơ bản Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số (Tự ôn tập theo các quy tắc cơ bản). Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng (a; b). *** Ph­¬ng ph¸p : -Tìm TXĐ. -Tính y’ - Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) (Giải quyết điều kiện (*) theo bài toán so sánh nghiệm hoặc phương pháp hàm số) *** Vi dô mÞnh häa. Ví dụ 1 Cho hàm số . Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-2 ;0). Bài làm -TXĐ D= - -Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0) ( Cô lập m về một vế, sử dụng min, max để giải quyết) Ví dụ 2 Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên (-3; 5). Bài làm -TXĐ D= - -Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;5) (Sử dụng phương pháp hàm số) Ta có , . Xét hàm số g(x)= ta có bảng biến thiên sau x -3 1 5 g’(x) - 0 + g(x) 15 15 -1 Dựa vào BBT ta có , -14-m2 . Ví dụ 3 Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1 ; Bài làm -TXĐ D= - -Hàm số đồng biến trên khoảng (1 ; (Sử dụng phương pháp hàm số) và . Ta có g’(x)=4x-4m>0, nên hàm số g(x) là đồng biến trên khoảng (1 ; . Từ đó ta có g(x) g(x) , Vậy C .Áp dụng tính đơn điệu của hàm số trong chứng minh BĐT *** Ph­¬ng ph¸p : - Nếu hàm số f(x) đồng biến trên (a; b) và xác định với mọi x thuộc [a; b] thì . - Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên (a; b) và xác định với mọi x thuộc [a; b] thì . *) Trường hợp 1: Biến đổi BĐT đã cho về dạng f(x)>f(a) hoặc f(x)<f(a) từ đó xét tính chất biến thiên của hàm số f(x) trên khoảng đã cho và rút ra kết luận. *)Trường hợp 2: Biến đổi BĐT đã cho về dạng f(a)>f(b), với a>b(a<b) . Xét tính chất biến thiên của hàm sô f(x) trên khoảng (a, b) từ đó rút ra kết luận. *** Vi dô mÞnh häa. Ví dụ 1 CMR ex>x+1 với mọi x>0. Bài làm BĐT cần chứng minh ex-x-1>0, mọi x>0. Xét hàm số f(x)=ex-x-1 trên khoảng (0 ; ta có f ’(x)=ex-1 . Vì f ’(x)>0với mọi x>0 nên hàm số đồng biến trên (0 ; .Vậy f(x)>f(0) với mọi x thuộc (0 ; Đpcm. Ví dụ 2 CMR asina-bsinb>2( cosb-cosa), với mọi a, b thoả mãn . BĐT cần chứng minh asina+2cosa<bsinb+2cosb, với mọi a, b thoả mãn . Xét hàm số f(x)=xsinx+2cosx trên khoảng . Ta có f ’(x)=sinx+xcosx+2sinx >0 với mọi x thuộc nên hàm số đồng biến trên . Vậy với mọi a, b thoả mãn thì f(a)<f(b).Ta có điều phải chứng minh D.Áp dụng tính đơn điệu trong giải phương trình và bất phương trình (Phương pháp nghiệm duy nhất) *** Ph­¬ng ph¸p : Tính chất 1 : Nếu hàm số f(x) tăng hoặc giảm trên khoảng (a; b) thì phương trình (x)=0 có đúng một nghiệm x . Tính chất 2 :Nếu hàm số tăng hoặc giảm trên khoảng (a; b) thì f(u)=f(v) với mọi u,v thuộc (a; b). Tính chất 3 : Cho phương trình f(x)=g(x). Nếu hàm số f(x) và g(x) có tính chất biến thiên đối lập nhau trên khoảng (a; b) thì phương trình f(x)=g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. *** Ví dô mÞnh häa. Ví dụ 1 Giải phương trình (1) TXĐ: D=[-3; 2]. Trê TXĐ, phương trình . Đặt t= - (x+x2).PT trở thành (2) CM hàm số tăng trên (-3; 2) và hàm số g(t)= giảm trên (-3; 2), từ đó chứng minh phương trình (2) có duy nhất một nghiệm t=1. Phương trình (1) có nghiệm Ví dụ 2 Tìm các giá trị của m để BPT có nghiệm. Bài làm Xét hàm số . Ta có hàm số nghịch biến trên . Vì nên BPT có nghiệm khi và chỉ khi . B. Cực trị của hàm số I. Các định lý cơ bản 1.Định lý 1: (Định lý Fecma) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm xo và đạt cực trị tại điểm đó thì f(xo)=0. ***ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ 2.Chú ý 2: Nếu hàm số y=f(x) có f ’(xo)=0 hoặc f ’(xo) không xác định, với xo thuộc khoảng (a;b) +) Nếu qua xo đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì xo gọi là điểm cực tiểu của hàm số. +) Nếu qua xo đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì xo gọi là điểm cực đại của hàm số. 3.Chú ý 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm lên tục tới cấp hai tại xo thuộc khoảng (a; b) và f ’(xo)=0, f ’’(xo)0 +) Nếu f ’’(xo)>0 thì xo là điểm cực tiểu của hàm số. +) Nếu f ’’(xo)<0 thì xo là điểm cực đại của hàm số. 4.Hàm số nhận xo là điểm cực đại(Cực tiểu). Dùng điều kiện cần và đủ_Định lý Fecma. Bước 1: Nếu hàm số nhận xo là CĐ ( CT) thì f ’(xo)=0 ..suy ra giá trị của tham số. Bước 2: Với các giá trị tham số tìm được thay vào hàm số đã cho để kiểm tra. I.Cực trị của hàm số bậc 3 * TXĐ D= * y’= 3ax2+2bx+c 1.Điều kiện để hàm số có cực trị(CĐ và CT). Hàm số có cực trị y’ đổi dấu PT y’=0 có hai nghiệm phân biệt. 2.Điều kiện để cực đại, cực tiểu thoả mãn một điều kiện cho trước. Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu. Bước 2:Ta có xCĐ, xCT là hai nghiệm của phương trình y’=0 nên ta quy về bài toán có liên quan đến nghiệm của một phương trình bậc hai. Bước 3: Đối chiếu điều kiện và kết luận. 3.Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu(Cách tính yCĐ, yCT) Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu. Bước 2:Ta có xCĐ, xCT là hai nghiệm của phương trình y’=0 nên y’(xCĐ)=y’(xCT)=0 Thực hiện phép chia y cho y’ ta có y=y’.(mx+n)+ex+k. 4. Ví dụ minh hoạ Bài 1 Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=2. Bài làm Tacó *) Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x =-2 y’(-2)=0 *) -) Nếu m=1 thì y’’(-2)=0 nên hàm số không đạt cực tiểu tại x=-2. -) Nếu m=3 thì y’’(-2)=12<0 nên ta có xCT=-2. Vậy m=3 là giá trị phải tìm. Bài 2 Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y=3x-7. Bài làm *)TXĐ D=. *) y’= 3x2+2mx+7. *) Hàm số có CĐ, CT khi và chỉ khi y’ đổi dấu PT y’=0 có hai nghiệmphân biệt xCĐ, xCT >0 *) Ta có . Vì xCĐ, xCT là hai nghiệm của phương trình y’=0 nên Đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y=3x-7 Bài 3 Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm CĐ, CT của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. Bài làm *)TXĐ D=. *) y’= x2-2mx-1. *) Hàm số có CĐ, CT khi và chỉ khi y’ đổi dấu PT y’=0 có hai nghiệmphân biệt xCĐ, xCT >0m2+1>0 (luôn đúng). *) Ta có . Vì xCĐ, xCT là hai nghiệm của phương trình y’=0 nên Gọi A(xCĐ ; yCĐ), B(xCT, ;yCT). Đặt t=m2+1, t.Khi đó . Khảo sát hàm số f(t)= suy ra GTNN của hàm số là . Vậy Min AB=. II.Cực trị của hàm bậc2/bậc nhất 1.TXĐ 2. Đạo hàm 3. Điều kiện tồn tại cực trị. Hàm số có cực trịHàm số có CĐ, CTPT y’=0 có hai nghiệm phân biệt PT g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt khác (-n/m) 4. Phương pháp tính nhanh yCĐ, yCT ****Xét bài toán tổng quát sau : Nếu cho hàm số có thì Áp dụng bài toán trên cho hàm số bậc hai/bậc nhất ta có **Hệ quả: Đường thẳng đi qua hai điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số là . 5.Các ví dụ minh hoạ Bài1 Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x=2. Bài làm *) TXĐ *) Đạo hàm *) -) Nếu hàm số đạt cực đại tại x=2 thì y’(2)=0 -) Kiểm tra với m=-1 ta có . Ta có bảng xét dấu của đạo hàm x 0 1 2 y’ + 0 - - 0 + Vậy hàm số đạt CT tại x=2 (loại) -) Tương tự kiểm tra với m=-3 ta suy ra hàm số đạt CĐ tại x=2. Bài 2 Tìm m để hàm số có yCĐ.yCT>0 Bài làm *) TXĐ *) Đạo hàm Hàm số có cực đại, cực tiểu y’ đổi dấu PT y’=0 có hai nghiệm phân biệt xCĐ, xCT PT (*) có hai nghiệm phân biệt xCĐ, xCT, khác m mọi giá trị của m. Áp dụng định lý Viet với PT (*) ta có *) Theo bài toán cơ bản ta có Suy ra yCĐ.yCT>0 Vậy với thì hàm số có yCĐ.yCT>0. Bài 3: Tìm m để hàm số có yCĐ.yCT đạt giá trị nhỏ nhất? Bài làm *) TXĐ *) Đạo hàm Hàm số có cực đại, cực tiểu y’ đổi dấu PT y’=0 có hai nghiệm phân biệt xCĐ, xCT PT (*) có hai nghiệm phân biệt xCĐ, xCT, khác 1 1<m<2. *) Theo bài toán cơ bản ta có Suy ra yCĐ.yCT= *) Xét hàm số g(m)= 5m2-14m+9 trên khoảng (1;2) ta có GTNN của hàm số là *) Kết luận:.. Một số câu hỏi có liên quan đến vị trí tương đối cuả hai điểm CĐ, CT với các đường thẳng. -) CĐ, CT nằm về hai phía của trục Ox, Oy, đường thẳng (D): Ax+By+C=0 (A2+B20). -) CĐ, CT đối xứng nhau qua đường thẳng (D). C.GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG I. Lý thuyết 1. GTNN, GTLN của hàm số trên (a; b) Lập BBT của hàm số trên khoảng (a;b), từ BBT suy ra GTLN, GTNN. Chú ý: Nếu trong khoảng (a;b) hàm số chỉ có một CĐ, CT thì giá trị cực trị đó là GTLN (GTNN) 2. GTNN, GTLN của hàm số trên [a;b] Cách 1 Lập BBT của hàm số trên [a;b], từ đó suy ra GTLN, GTNN Cách 2 -) Tìm các điểm tới hạn thuộc [a; b] của hàm số là x1; x2; x3xn -) Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x2).f(xn). -) GTLN, GTNN của hàm số là GTLN(GTNN) trong các giá trị f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x2)f(xn). Chú ý: .Với các hàm số lượng giác tuần hoàn ta chỉ cần xét trên một chu kỳ của hàm số và suy ra kết quả . Có thể tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp gián tiếp (đạt ẩn phụ) +) Đặt t=h(x) suy ra hàm số trở thành y=g(t) +) Khi x D, tìm điều kiện của ẩn phụ t (tT) +) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=g(t), với tT +)Kết luận Ngoài ra có thể vận dụng phương pháp BĐT để tìm cực trị trong những trường hợp thích hợp 3.Áp dụng GTLN, GTNN trong các bài toán phương trình và bất phương trình *) Phương trình f(x)=g(m) có nghiệm x D Min f(x) g(m) Max f(x) xD xD *) Bất phương trình f(x) g(m) nghiệm đúng với mọi x D g(m) Max f(x) xD *) Bất phương trình f(x) g(m) nghiệm đúng với mọi x D g(m) Min f(x) xD *) Bất phương trình f(x) g(m) có nghiệm x D g(m) Min f(x) xD *) Bất phương trình f(x) g(m) có nghiệm x D g(m) Max f(x) xD *) Đặc biệt chú ý với các bài toán đặt ẩn phụ phải tuân thủ đúng theo các thao tác như đã nêu trên. *) Khi cô lập m về một vế cần xét đủ các khả năng xảy ra. II. Các ví dụ minh họa Bài tập 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau y=x3-3x+1, x[0; 3] y= x+ y=sin2x-x, x y= Bài làm Làm theo cách 1 hoặc 2 Cách 1 Xét hàm số y= x+, x [- ;] ta có PT y’=0 Khi đó . Vậy GTLN = x=, GTNN=-x=-. Cách 2(Áp dụng BĐT Bunhia) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki với bộ số (1;1), (x, ) Vậy GTLN = x=, GTNN=-x=-. Xét hàm số y=sin2x-x, x ta có y’=2cos2x-1 Phương trình y’=0 cos2x=1/2 . Khi đó .Vậy GTLN= x=.. , GTNN= x= TXĐ x>0 Đặt t=lg2x, t 0. Khi đó hàm số trở thành Ta có >0, t0. Vậy GTNN = 1/2 t =0x= 1 Bài tập 2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm? Tìm m để BPT nghiệm đúng với mọi x[-1/2;3] Bài làm Đặt t =. Khi x[-2;4] thì t[0;3]. {Tìm bằng phương pháp lập BBT hoặc BĐT} Phương trình trở thành 8-t2 + 4t + m - 18=0t2- 4t = m-10 (2) Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t[0;3]. Xét hàm số f(t) = t2- 4t , t[0;3] ta có BBT sau t 0 2 3 f’(t) - 0 + f(t) 0 -3 -4 Dựa vào BBT của hàm số ta thấy phương trình (2) có nghiệm t[0;3] -4 m-1006m10. Vậy với m[6;10] thì phương trình (1) có nghiệm. 2. Làm tương tự D. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. Dấu hiệu nhận biết tính lồi , lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số f’’ đổi dấu khi x đi qua xo thuộc khoảng (a ;b) I(xo ; f(xo)) là điểm uốn của đồ thị hàm số II . Chứng minh đồ thị hàm số có ba điểm uốn thẳng hàng Bước 1: Chứng minh phương trình f ’’(x)=0 có ba nghiệm phân biệt ( Giải phương trình bậc 3 hoặc chứng minh bằng tính liên tục của hàm số hoặc khảo sát hàm bậc 3 suy ra yCĐ.yCT <0). Bước 2: Chứng minh ba điểm uốn thẳng hàng Cách 1: Tìm tọa độ ba điểm uốn và chứng minh bằng phương pháp tọa độ. Cách 2 : Giả sử ba điểm uốn nằm trên đường thẳng y= ax+b Khi đó hoành độ điểm uốn là nghiệm của phương trình , (2). Mặt khác hoành độ điểm uốn là nghiệm của phương trình f ’’(x)=0 , (1) Phương trình (1) và (2) có cùng tập nghiệm nên suy ra mối quan hệ tương ứng giữa các hệ số.Giải và tìm a, b. Cách 3. Toạ độ điểm uốn là nghiệm của hệ phương trình . Biến đổi hệ để thu được biểu thức y=ax+b. Đó chính là đường thẳng chứa ba điểm uốn. IV. Ví dụ minh họa Bài 1 Tìm m để Đồ thị hàm số y=f(x)= nhận điểm I(1;0) làm điểm uốn. Đồ thị hàm số y=f(x)= nhận điểm M(-1;2) làm điểm uốn. Bài làm Ta có . Với m 0 thì đồ thị hàm số có điểm uốn duy nhất K(m2, 2m5-2). Để đồ thị hàm số nhận I(1;0) làm điểm uốn thì 2) Ta có Nếu đồ thị hàm số nhận M(-1;2) làm điểm uốn thì . Thử lại với m=2 Vậyvới m=2 thì đồ thị hàm số nhận M(-1;2) làm điểm uốn. Bài 2 CMR đồ thị hàm số có ba điểm uốn thẳng hàng. Bài làm TXĐ D=R. Ta có đạo hàm cấp 1, cấp 2 của hàm số là Xét PT f ’’(x)=0 . Nên đồ thị hàm số có ba điểm uốn M1, M2, M3. *** CM ba điểm uốn thẳng hàng Cách 1 : Học sinh tự làm. Cách 2 : Giả sử ba điểm uốn thuộc đường thẳng (d) :y= ax+b. Khi đó hoành độ điểm uốn là nghiệm của PT ax+b=(2). PT (1) và PT(2) có tập nghiệm trùng nhau nên . Vậy ba điểm uốn thẳng hàng vì cùng nằm trên đường thẳng (d) : y= . Cách 3 Tọa độ điểm uốn là nghiệm của hệ PT . (Lấy VT của PT (1) chia cho MS của PT (2) ta được) Vậy ba điểm uốn thẳng hàng vì cùng nằm trên đường thẳng (d) : y= . E. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ Bài 1) Tìm tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Bài 2) Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận. Bài 3) Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm A(2;0). Bài 4) Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8. Bài 5) Cho hàm số .Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận luôn không đổi. Bài 6) Cho hàm số . Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận luôn không đổi. Tìm M thuộc đồ thị hàm số để tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đạt GTNN. Bài 7) Cho hàm số .Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao hai đường tiệm cận đạt GTNN. Bài 8) Tìm a, b, c để hàm số đạt cực trị bằng 1 tại x=1 và có tiệm cận xiên vuông góc với đường thẳng (d): x+2y+1=0. Bài 9) Cho hàm số và.CMR tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định.