Giáo án lớp 12 môn Toán - Tính đơn điệu của hàm số (tiếp)

Tính đơn điệu của hàm số A. Tóm tắt lý thuyết Y = f(x) đồng biến/(a, b) x1 < x2 (a, b) ta có f(x1) < f(x2) Y = f(x) nghịch biến/(a, b) x1 < x2 (a, b) ta có f(x1) < f(x2) Điều kiện cần và đủ để y = f(x) đồng biến/(a, b) f’(x) 0 x (a, b) đồng thời f’(x) = 0 chỉ xảy ra tại 1 số hữu hạn điểm (a, b) Nếu y = f(x) đồng biến/[a, b] thì = f(a) ; = f(b) Nếu y = f(x) nghịch biến/[a, b] thì = f(b) ; = f(a) Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu Bài 1Tìm m để y = nghịch biến / [1, +) Cách 1: phương pháp tam thức bậc 2 Hàm số nghịch biến / [1, +) y’ = 0 x 1 g(x) = mx2 + 4mx + 14 0 x 1. Xét các khả năng sau : a) xét m = 0 : g(x) = 0x2 + 0x + 14 0 x : loại b) Xét m > 0. Cách 1 : Đồ thị y = g(x) là 1 parabol quay bề lõm lên trên nên miền nghiệm của BPT g(x) 0 có độ dài hữu hạn và do đó [1, +) loại Cách 2: = + g(x) liên tục / [1, +) nên [1, +) sao cho g() > 0 loại c) Xét m 0 m < 0 suy ra g(x) = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 BPT g(x) 0 có sơ đồ miền nghiệm G là G + G x ]///////////////[ Ta có g(x) 0 đúng x [1, +) - x1 x2 1 - [1, +) G m Cách 2 : phương pháp hàm số Hàm số nghịch biến / [1, +) y’ = 0 x 1 mx2 + 4mx + 14 0 m(x2 + 4x) -14 x 1 u(x) = m x 1 m Ta có u’(x) = > 0 x 1 u(x) đồng biến / [1, +) = u(1) = m Bài 2: [79I+108I] Tìm m để y = -x3 + (m-1)x2 + (m+3)x – 4 đồng biến trên khoảng (0, 3) Giải : Hàm số đồng biến / (0, 3) y’ = -x2 + 2(m-1)x + (m+3) 0 x (0, 3) Do y’(x) liên tục tại x = 0 và x = 3 nên BPT : y’ x (0, 3) y’ 0 x [0, 3] m(2x+1) x2 + 2x – 3 x [0, 3] g(x) = m x [0, 3] m. Ta có g’(x) = > 0 x [0, 3] g(x) đồng biến / [0, 3] = g(3) = m Bài 3 : Tìm m để hàm số y = mx3 – (m-1)x2 + 3(m-2)x + đồng biến trên khoảng [2, +). Giải Hàm số đồng biến/[2, +) y’ = mx2 – 2(m-1)x + 3(m-2) 0 x 2 m(x2 – 2x +3) -2x + 6 x 2 g(x) = m x 2 m. Ta có g’(x) = = 0 = = 0 BBT của hàm số y = g(x) x - 3 - 2 3 + + g’(x) + 0 - 0 + g(x) 0 CĐ CT 0 Nhìn bảng biến thiên suy ra = g(2) = m Bài 4: Tìm m để y = đồng biến / (1, +) Cách 1: phương pháp tam thức bậc 2: Hàm số đồng biến / (1, +) y’ = 0 x > 1 Với m 1, xét BPT : g(x) = 2x2 – 4mx + m2 – 2m -1 0 x > 1 Ta có ’ = 2(m+1)2 0 g(x) = 0 có 2 nghiệm x1 x2 BPT : g(x) 0 có sơ đồ nghịêm G là : G + G x ]///////////////[ - x1 x2 1 - Ta có g(x) 0 x > 1 (1, +) G x1 x2 1 Cách 2:phương pháp hàm số Hàm số đồng biến / (1, +) y’ = 0 x > 1 Ta có g’(x) = 4(x-m) 0 x > 1 g(x) đồng biến / (1, +) Do đó