Giáo án lớp 12 môn Toán - Tính đơn điệu của hàm số (tiết 2)

___________________________________________________________________________ Biên soạn: Quách Thị Nhuần – Đại học sư phạm Hà Nội. Mobile: 0983602566/0947737226 Email: quachnhuan252@gmail.com. Facebook: https://www.facebook.com/quachnhuan TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến Giả sử hàm số  y f x xác định trên khoảng (đoạn) .K  Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( ).x x K x x f x f x      Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( ).x x K x x f x f x     2. Định lí (điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng .K Nếu '( ) 0f x  với mọi x K thì hàm số f đồng biến trên khoảng .K Nếu '( ) 0f x  với mọi x K thì hàm số f nghịch biến trên khoảng .K Nếu '( ) 0f x  vơi mọi x K thì hàm số f không đổi trên khoảng .K B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ VÍ DỤ MẪU Dạng 1. Xét tình đồng biến, nghịch biến của hàm số Phương pháp - Tìm tập xác định của hàm số. - Tính đạo hàm '.y - Tìm x để ' 0y  hoặc 'y không xác định. - Xét dấu của đạo hàm và lập bảng biến thiên. - Dựa vào bảng biến thiên kết luận tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. Ví dụ 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 3 26 9 3y x x x    b) 2 3 1    x y x c) 2 2 3.y x x   Giải: a) 3 26 9 3y x x x    Tập xác định .D R 2 1 1 ' 3 12 9; ' 0 3 3 x y y x x y x y               Bảng biến thiên x  1 3  'y  0  0  y 1   3 ___________________________________________________________________________ Biên soạn: Quách Thị Nhuần – Đại học sư phạm Hà Nội. Mobile: 0983602566/0947737226 Email: quachnhuan252@gmail.com. Facebook: https://www.facebook.com/quachnhuan Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1) và (3; ), nghịch biến trên khoảng (1;3). b) 2 3 1    x y x Tập xác định \{1}.D R 2 1 ' 0 . ( 1) y x D x      Bảng biến thiên: x  1  'y y  2 2  Hàm số đồng biến trên  ;1 và  1; . c) 2 2 3.y x x   Tập xác định ( ; 1) (3; ).D      2 1 ' , ( ; 1) (3; ). 2 3 x y x x x           ' 0 1y x   (loại) Bảng biến thiên x  -1 1 3  'y   y Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 1),  nghịch biến trên khoảng (3; ). Dạng 2. Chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng K Phương pháp - Tìm tập xác định của hàm số. - Tính đạo hàm '.y - Chứng minh ' 0y  (hoặc ' 0)y  với mọi .x K - Kết luận điều cần chứng minh. ___________________________________________________________________________ Biên soạn: Quách Thị Nhuần – Đại học sư phạm Hà Nội. Mobile: 0983602566/0947737226 Email: quachnhuan252@gmail.com. Facebook: https://www.facebook.com/quachnhuan Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số 2 ( 2) 2 4m x m m y x m       luôn đồng biến trên các khoảng xác định. Giải: Tập xác định \{ }.D R m 2 2 2 ( 2)( ) [( 2) 2 4] 4 ' 0 ( ) ( ) m x m m x m m y x D x m x m               Vậy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định. Ví dụ 3. Chứng minh rằng hàm số 1 5y x x    luôn nghịch biến trên đoạn [3;5]. Giải: Ta có hàm số đã cho liên tục trên [3;5]. (1) 1 1 5 1 ' 2 1 2 5 2 1 5 x x y x x x x           ' 0 3.y x   Với (3;5)x thì ' 0y  nên hàm số nghịch biến trong (3;5). (2) Từ (1) và (2) suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn [3;5]. Dạng 3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên K Phương pháp - Tìm tập xác định của hàm số. - Tính đạo hàm '.y - Đặt điều kiện cho bài toán: hàm số đồng biến (nghịch biến) trên ' 0K y  (hoặc ' 0)y  với mọi .x K - Từ điều kiện trên sử dụng kiến thức về nhị thức, tam thức hoặc sử dụng chính tính đồng biến nghịch biến để suy ra giá trị tham số cần tìm. Ví dụ 4. Cho hàm số 2 (3 2) 1 2 , 2 x m x m y m x       là tham số. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Giải: Tập xác định \{ 2}.D R  Ta có 2 2 2 2 (2 3 2)( 2) ( (3 2) 1 2 4 8 5 ' . ( 2) ( 2) x m x x m x m x x m y x x                Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó điều kiện cần và đủ là 2 2 9 8 0 4 8 5 0 4 8 5 0 9 ' 0 2 .7 88 7 02 4.2 8 5 0 8 m x x m m y x m m mm                                   Vậy với 9 8 m  thì hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. ___________________________________________________________________________ Biên soạn: Quách Thị Nhuần – Đại học sư phạm Hà Nội. Mobile: 0983602566/0947737226 Email: quachnhuan252@gmail.com. Facebook: https://www.facebook.com/quachnhuan Ví dụ 5. Tìm m để hàm số 3 2 1 2 4 2 3 y x mx mx    đồng biến trên khoảng ( ;0). Giải: Tập xác định .D R 2 ' 4 4y x mx m   Hàm số đồng biến trên 2( ;0) ' 4 4 0, ( ;0).y x mx m x         Ta có 2' 4 4 .m m    Trường hợp 1. ' 0 0 1m     . Khi đó ' 0,y x R   nên ' 0, ( ;0) 0 1y x m       thỏa mãn yêu cầu của bài toán.  Trường hợp 2. 0 0m    hay 1.m  Khi đó ' 0y  có hai nghiệm phân biệt giả sử 1 2 .x x Ta có bảng xét dấu ' :y x  1 x 2 x  'y  0  0  Do đó yêu cầu của bài toán 1 2 ' 0 0 1 0 4 0 0 1. 4 0 0 m hay m x x S m m m P m m                        Vậy với 0m  hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ;0). C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số a) 3 22 9 12 1.y x x x Đáp số: đồng biến trên ;1 , 2; , nghịch biến trên 1;2 . b) 4 212 3.y x x Đáp số: đồng biến 6;0 , 6; , nghịch biến ; 6 , 0; 6 . c) 3 1 1 x y . x    Đáp số: đồng biến trên  1;  và  1;  d) 3 3 5y x . x    Đáp số: đồng biến trên    1 1; , ; ,   nghịch biến trên 1;0 , 0;1 . e) 24y x x .  Đáp số: đồng biến trên  0 2; , nghịch biến trên  2 4; . f) 5 2cos , ; . 6 6 y x x x          Đáp số: nghịch biến trên 5 ; . 6 6        Bài 2. Tìm m để hàm số a) x m y x m    nghịch biến trên khoảng  1; . Đáp số: 0 1.m  ___________________________________________________________________________ Biên soạn: Quách Thị Nhuần – Đại học sư phạm Hà Nội. Mobile: 0983602566/0947737226 Email: quachnhuan252@gmail.com. Facebook: https://www.facebook.com/quachnhuan b) 2 25 6 3 x x m y x      đồng biến trên khoảng (1; ). Đáp số: 4 4.m   c) 3 2 1 2(2 ) 2(2 ) 5 3 m y x m x m x            nghịch biến trên .R Đáp số: 6.m  d) 2 2 1 1 mx x y x     nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đáp số: .m Bài 3: Tìm m để hàm số 3sin 4cos 1y x x mx    đồng biến trên toàn trục số. Đáp số: 5.m  