Giáo án lớp 12 môn Toán - Tương giao đồ thị hàm phân thức hữu tỷ

Tương giao đồ thị hàm phân thức hữu tỷ I Các ví dụ minh hoạ Bài 1: Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) : y = tại 2 điểm A, B phân biệt sao cho OA OB Giải : Xét phương trình : = m Đường thẳng y = m cắt (C) tại A, B phân biệt Ta có OA OB kOA.kOB = = -1 m2 + m – 1 = 0 m = thoả mãn Bài 2. Tìm m để đường thẳng (D) : y = mx – 1 cắt (C) : y = tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng 1 nhánh của đồ thị (C) Giải : Xét phương trình = mx – 1 g(x) = (m – 1)x2 + 2(m -1) – 1 = 0 Do (C) có tiệm cận đứng là x = -2 nên (D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng 1 nhánh của (C) m < 0 Bài 3 : Cho (C) : y = . Tìm m để trên (C) có 2 điểm A, B phân biệt thoả mãn . CMR : khi đó A, B cùng thuộc 1 nhánh đồ thị của (C) Giải : Do nên A, B cùng thuộc đường thẳng (D) : x + y = m hay y = -x + m Xét phương trình : = -x + m g(x) = 2x2 – (m + 3)x + m + 2 = 0 (D) cắt (C) tại A, B phân biệt (*) Do x = 1 là tiệm cận đứng của (C) và a.g(1) = 2.1 = 2 > 0 nên với m thoả mãn điều kiện (*) thì A, B cùng 1 nhánh của đồ thị (C) Bài 4: Tìm m để (D) : y = 2mx – m cắt (C) : y = tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) Giải : Xét phương trình : = 2mx – m g(x) = 2(m – 1)x2 + (3 – 5m)x +2m = 0 Yêu cầu bài toán (m – 1).g(2) = (m – 1).(-2) 1 Bài 5 : Tìm a để (D) : y = a(x + 1) + 1 cắt (C) : y = tại 2 điểm phân biệt có hoành độ trái dấu Giải : Xét phương trình : = a(x + 1) + 1 g(x) = (a – 1)x2 + (3a – 2)x + (2a – 1) = 0 Yêu cầu bài toán (D) cắt đồ thị (C) tại 2 điểm có hoành độ x1, x2 với < a < 1 bài 6 : Cho đồ thị (C) : y = và điểm A(-2, 5). Xác định đường thẳng (D) cắt (C) tại 2 điểm B, C sao cho ABC đều Giải : y = phân giác của góc tạo bởi 2 tiệm cận (l) : y = -x + 3 < 0 hàm số nghịch biến đồ thị (C) có dạng như hình vẽ Do A(-2, 5) (l) : y = -x + 3 là trục đối xứng của (C) nên đường thẳng (D) cần tìm phải (l) và (D) có phương trình : y = x + m Xét phương trình = x + m g(x) = x2 + (m – 3)x – (m + 1) = 0 Ta có : = (m – 3)2 + 4(m + 1) = (m – 1)2 + 12 > 0 nên (D) luôn cắt (C) tại B, C phân biệt và do tính đối xứng suy ra ABC cân tại A Giả sử (D)(l) = I I AI2 = 2 Gọi BC2 = 2(x1 – x2)2 = 2 BC2 = 2[(m – 3)2 + 4(m + 1)] = 2(m2 – 2m + 13). Ta có ABC đều BC2 = AI2 3(m2 – 2m + 13) = (7 – m)2 m2 + 4m – 5 = 0 Bài 7 : Cho (C1) : y = và (C2) : y = . Tìm m để đường thẳng đi qua 2 giao điểm của (C1), (C2) // y = x + 5 Giải : (C1): y = x – 1 + ; (C2) : y = x + m + Hoành độ giao điểm của (C1), (C2) là nghiệm của phương trình x – 1 + = x + m + m + 1 = - (*) Đặt m +1 = ta có (*)g(x) = x2 + (2k + 3)x + 5k + 2 = 0 Giả sử (C1), (C2) cắt nhau tại A(x1, y1); B(x2, y2) khi đó y1 – y2 = y1 – y2 = (x1 – x2) Yêu cầu bài toán = 1 - = k = -3 m +1 = - m = - ( chú ý : k = -3 thì g > 0 ) Chuyên đề 74 Các dạng toán tương giao của hàm số bậc 3 I. Đặt vấn đề Một dạng toán cơ bản liên quan đến phương trình bậc 3 hoặc đồ thị của hàm bậc 3 là : biện luận số giao điểm và vị trí các giao điểm của 1 đường cong bậc 3: (C1) : y = với (C2) : y = g(x) trong đó bậc g(x) 3 Do hoành độ các giao điểm của (C1), (C2) là nghiệm của phương trình - g(x) = 0 f(x) = 0 trong đó nói chung bậc f(x) = 3 nên có thể đưa các bài toán về bài toán cơ bản sau đây : Bài toán tổng quát : Biện luận số giao điểm và vị trí giao điểm của hàm bậc 3 (C) : y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ( a 0) với trục hoành Ox : y = 0 tức là biện luận số nghiệm và vị trí nghiệm của phương trình bậc 3 ax3 + bx2 + cx + d = 0 ( a 0) Phương pháp chung: Có 3 phương pháp cơ bản để giải quyết các dạng toán này 1. phương pháp nhẩm nghiệm : Nói chung là nhẩm nghiệm hữu tỷ 2. phương pháp đồ thị : Dựa vào hình dạng đồ thị và cực trị hàm bậc 3 3. phương pháp hàm số : Chuyển về bài toán tương giao mới xét các dạng toán cơ bản sau đây II Các bài tập mẫu minh hoạ Bài 1: Cho (Cm) : y = x3 – (m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ > 1 Giải : Xét phương trình : x3 – 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1) = 0 (x – 2)[x2 – (3m + 1)x +2m(m + 1)] = 0 (x – 2)(x – 2m)[x – (m + 1)] = 0 x = 2; x = 2m; x = m + 1. Yêu cầu bài toán < m 1 Bài 2: Cho (Cm) : y = x3 – 2mx2 + (2m2 – 1)x + m(1 – m2). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ > 0 Giải : Xét phương trình : x3 – 2mx2 + (2m2 – 1)x =m(1 – m2) = 0 (x – m)[x2 – mx + m2 – 1] x = m g(x) = x2 – mx + m2 – 1 = 0 Yêu cầu bài toán m > 0 và phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt khác m 1 < m < Bài 3: Cho (C) : y = (x + a)3 + (x + b)3 – x3. CMR : đồ thị (C) luôn cắt Ox tại đúng 1 điểm a, b R Giải : y = f(x) = x3 + 3(a + b)x2 + 3(a2 + b2)x + (a3 + b3) y’ = f’(x) = 3[x2 + 2(a + b)x + (a2 + b2)] = 0 g(x) = x2 + 2(a + b)x + a2 + b2 = 2ab Nếu ab 0 thì y = f(x) không có cực trị nên (C) cắt Ox tại 1 điểm Nếu ab > 0 thì g(x) = 0 hay f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 đồng thời hàm số đạt cực trị tại x1, x2. Thực hiện phép chia f(x) cho g(x) ta có f(x) = g(x).[x + (a + b)] – ab[4x + (a + b)] Do nên khi đó fCĐ.fCT = f(x1).f(x2) = (ab)2.[4x1 + (a + b)] [4x2 + (a + b)] fCĐ.fCT = (ab)2.[16x1x2 + 4(a + b)(x1+x2) + (a +b)2] fCĐ.fCT = (ab)2.[16(a2 + b2) – 8(a + b)2 + (a + b)2] fCĐ.fCT = (ab)2.[9(a2 + b2) – 14ab] = (ab)2[9(a – b)2 + 4ab] > 0 ab > 0 Do fCĐ.fCT = > 0 nên (C) : y = f(x) cắt Ox tại đúng 1 điểm Kết luận : từ 2 khả năng : ab 0; ab > 0 ta có (C) luôn cắt Ox tại 1 điểm Bài 4 : Cho (Cm) : y = f(x) = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – (m2 – 1). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ > 0 Giải : Yêu cầu bài toán đồ thị (Cm) có dạng như hình vẽ sau : Xét (1) : f’(x) = 3[x2 – 2mx + (m2 – 1)] = 0 g(x) = x2 – 2mx + (m2 – 1) = 0 = m – 1 < m + 1 = Xét (2) : Thực hiện phép chia f(x) cho g(x) ta có f(x) = g(x).(x – m) – 2x + (m2 – 1)(m – 1) Do nên Suy ra: fCĐ.fCT = = (m2 – 1)(m 2 – 3)(m2 – 2m – 1) Xét (3) : > 0 m > 1 Xét (4) : f(0) = 1 – m2 0 Hệ điều kiện < m < 1 + Bài 5 : Tìm điều kiện p, q để (C) : y = x3 + px + q cắt trục hoành Ox tại 3 điểm phân biệt Giải : Đặt f(x) = x3 + px + q f’(x) = 3x2 + p Nếu p 0 thì f’(x) 0 x y = f(x) không có cực trị nên đồ thị (C) : y = f(x) chỉ cắt Ox tại đúng 1 điểm ( loại) Nếu p < 0 thì f’(x) = 0 x1 = - ; x2 = suy ra f(x1) = + q ; f(x2) = + q Ta có (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Bài 6 : Cho (Cm) : y = f(x) = x3 – 3x2 + 3(1 – m)x + 1 + 3m. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 1 điểm; 2 điểm phân biệt Giải : Xét phương trình : x3 – 3x2 + 3(1 – m)x + 1 + 3m = 0 x3 – 3x2 + 3(1 – m)x +1 + 3m = 0 g(x) = = 3m Ta có = 0 x = 2 BBT Nghiệm của phương trình cũng là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 3m với (L) : y = g(x). Nhìn bẳng biến thiên ta có : Nếu m < 1 thì phương trình có 1 nghiệm Nếu m = 1 thì phương trình có 2 nghiệm Nếu m > 1 thì phương trình có 3 nghiệm Bài 7: Cho (Cm) : y = f(x) = x3 – x2 + 18mx – 2m. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thoả mãn x1 < 0 < x2 < x3 Giải : Xét phương trình : x3 – x2 + 18mx – 2m = 0 2m(9x – 1) = -x3 + x2 g(x) = = 2m. Ta có BBT Nghiệm của f(x) = 0 cũng là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2m với đồ thị (L) : y = g(x). Nhìn BBT suy ra f(x) = 0 có nghiệm thoả mãn x1 < 0 < x2 2m < 0 m < 0 III Các dạng bài tập dành cho bạn đọc tựh giải Bài 8 : Cho (Cm) : y = f(x) = x3 – (m + 1)x2 – (2m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt Bài 9 : Cho (Cm) : y = f(x) = x3 – (2m + 1)x2 + (3m + 1)x – (m + 1). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt Bài 10: Cho (Cm) : y = f(x) = x3 + (m + )x2 – 4x – 4(m + ). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với Ox Bài 11: Cho (Cm) : y = f(x) = 2x3 – (4m + 1)x2 + 4(m2 – m + 1)x – 2m2 + 3m – 2. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt : < x1 < x2 < x3 Bài 12 : Cho (Cm) : y = f(x) = x3 + 2(1 – 1m)x2 + (5 – 7m)x + 2(m + 5). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt với : x1 < x2 < x3 < 1 Bài 13 : Cho (Cm) : y = f(x) = x3 – 2mx2 + (2m2 – 1)x – m(m2 – 1). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt với x1 < x2 < 1 < x3 Bài 14 : Cho (Cm) : y = f(x) = x3 – (5m + 6)x2 + 2m(4m + 5)x – 4m2(m + 1). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt với 1 < x1 < x2 < x3 Bài 15 : Cho (Cm) : y = f(x) = mx3 – x2 + 2x – 8m. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệ với 1 < x1 < x2 < x3 Bài 16 : Cho (Cm) : y = f(x) = x3 - x2 + 4x + m + . Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt với 0 < x1 < x2 < x3 Bài 17 : Cho (D) : y = m + và (C) : y = + - 2x. Tìm m để (D) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ < 0 Bài 18 : Cho (Cm) : y = f(x) = -2x3 + x2 + m. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 khi đó tính : S = Bài 19: Cho (Cm) : y = f(x) = x3 + 3mx2 – 3x – 3m + 2. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 sao cho S = đạt nhỏ nhất Bài 20 : Cho (D) : y = kx + k + 1 và (Cm) y = x2(m – x) – m. Tìm k theo m để (D) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt Bài 21 : Cho (D) : y = m(x + 1) + 2 và (C) : y = x3 – 3x. Tìm m để (D) cắt (C) tại A, B, C phân biệt trong đó A là 1 điểm cố định còn tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau Bài 22 : Tìm m để (Cm) : y = x3 + (1 – m)x2 – m2 cắt Ox tại 0 < x1 < x2 < x3 Bài 23 : Cho (Cm) : y = f(x) = x3 + mx2 – 1 1) CMR : Phương trình f(x) = 0 luôn có 1 nghiệm dương 2) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại đúng 1 điểm Bài 24 : Cho (Cm) : y = f(x) = x3 + mx + 2. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại đúng 1 điểm Bài 25 : Tìm m để x3 – mx + 2 = 0 có nghiệm x (0, 1) Bài 26 : Tìm m để (Cm) : y = -x3 + mx2 – m cắt Ox tại 3 điểm thoả mãn x1 < x2 < 2 < x3 Bài 27 : Tìm m để x3 – 3x = có 3 nghiệm phân biệt Bài 28 : Tìm m để (Cm) : y = f(x) = x3 + 3x2 – 9x + m cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Bài 29 : Cho (Cm) : y = x3 – 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x – (m3 + 1). Tìm m để (Cm) cắt ox tại đúng 1 điểm Bài 30 : Cho (Cm) : y = f(x) = x3 – x + m.Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Bài 31 : Cho (Cm) : y = f(x) = x3 – 9(1 – m)x2 + 27m2x + 27m3 1) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 2) Giả sử (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ x1, x2, x3. Tìm m để S = x1 + x2 + x3 dạt Max Bài 32 : Cho (Cm) : y = f(x) = x3 – (m + 1)x2 + (2m2 + m – 8)x - m3 – 3m2 + 11m + . Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Bài 34 : Cho (Cm) : y = f(x) = x3 + m(x2 – 1). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Bài 35 : Cho (Cm) : y = f(x) = x3 + (2m + 1)x – m – 2. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thoả mãn 0 < x1 < x2 < x3 ------------------o0o------------------