Giáo án lớp 12 môn Toán - Ứng dụng của đạo hàm

ứng dụng của đạo hàm 1. Dùng định lý lagrăng để chứng minh bất đẳng thức hoặc chứng minh phương trình có nghiệm . Định lý : Nếu hàm số f(x) liên tục trên , có đạo hàm trong khoảng ( a; b) thì tồn tại ít nhất một số sao cho : Như vậy : Nếu f(a) = f(b) thì phương trình f’(x)= 0 có nghiệm : x=c Ví dụ 1 : CMR nếu 2a +3b +6c =0 thì phương trình có nghiệm thuộc . Xét hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Ta có : . Theo định lý lagrăng thì tồn tại số sao cho : (*). Với và Do đó từ (*) suy ra : = . Suy ra : là nghiệm của phương trình . Ví dụ 2 : Cho thoã mãn : . CMR phương trình : có nghiệm thuộc . Xét hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Ta có : . Theo định lý lagrăng thì tồn tại số sao cho : (*). Với và Do đó từ (*) suy ra : = . Suy ra : là nghiệm của phương trình . Ví dụ 3: Cho thoã mãn : CMR : có ít nhất một nghiệm . HD :Xét hàm số : Khi đó : liên tục trên R. Theo định lý Lagrăng thì   sao cho : =0. Ví dụ 4: CMR : (*) BĐT (*) . Xét hàm số có Hàm số f(x) thoã mãn đk của định lý lagrăng trên nên ta có : với . Suy ra : Vì x>0 ; c>0 . Suy ra : Ví dụ 5: CMR (*) BĐT (*) . Xét hàm số : f(x) = sinx với và Theo định lý lagrăng thì tồn tại csao cho : suy ra . Vì 2. Dùng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh BĐT . Để chứng minh BĐT ta làm như sau : ? Chuyển BĐT đã cho về dạng : ? Tìm miền xác định của hàm số ? Tính đạo hàm . Giải phương trình p’(x) =0 . suy ra nghiệm . ? Lập bảng biến thiên . xét dấu p’(x) rồi suy ra chiều biến thiên của p(x) . ? Từ đó suy ra BĐT được chứng minh . Chú ý : 1. Nếu phương trình p’(x) = 0 không giải được thì ta tính đến đạo hàm cấp 2 ; 3 đến khi nào có thể xét dấu của p’(x) được thì dừng . 2. Nếu bài toán có nhiều ẩn ta phải sử dụng tính bị chặn ẩn hoặc tách ra thành hạng tử để xét hàm số chỉ chứa một ẩn số . Ví dụ1 b. d. e. HD : b.Xét hàm số . Ta có : BBT : 1 + 0 -2 Từ BBT suy ra : . Do đó : d. . xét hàm số : ta có : . Suy ra hàm số tăng e. Xét hàm số : = Ta có : =- Cho BBT - 0 + 0 - 1 Từ BBT suy ra : . Do đó : Ví dụ 5 : Cho CMR : HD : Xét hàm số Ta có : ; Cho BBT : x 0 f’(x) + - Từ BBT suy ra : . Do đó (*) . Thay x bởi A; B; C vào (*) và cộng vế với vế ta được : Ví dụ 6 : Cho là tam giác nhọn . CMR HD : Xét hàm số : Ta có : . Cho BBT: x 0 - 0 + Từ BBT suy ra : (*) Thay x bởi A; B; C vào (*) và cộng vế với vế ta được: Tính đơn điệu của hàm số A. Tóm tắt lý thuyết Y = f(x) đồng biến/(a, b) x1 < x2 (a, b) ta có f(x1) < f(x2) Y = f(x) nghịch biến/(a, b) x1 < x2 (a, b) ta có f(x1) < f(x2) Điều kiện cần và đủ để y = f(x) đồng biến/(a, b) f’(x) 0 x (a, b) đồng thời f’(x) = 0 chỉ xảy ra tại 1 số hữu hạn điểm (a, b) Nếu y = f(x) đồng biến/[a, b] thì = f(a) ; = f(b) Nếu y = f(x) nghịch biến/[a, b] thì = f(b) ; = f(a) B. Các dạng bài tập tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu ví dụ 1. Tìm m để y = nghịch biến / [1, +) Cách 1: phương pháp tam thức bậc 2 Hàm số nghịch biến / [1, +) y’ = 0 x 1 g(x) = mx2 + 4mx + 14 0 x 1. Xét các khả năng sau : a) xét m = 0 : g(x) = 0x2 + 0x + 14 0 x : loại b) Xét m > 0. TH 1 : Đồ thị y = g(x) là 1 parabol quay bề lõm lên trên nên miền nghiệm của BPT g(x) 0 có độ dài hữu hạn và do đó [1, +) loại TH 2: = + g(x) liên tục / [1, +) nên [1, +) sao cho g() > 0 loại c) Xét m 0 m < 0 suy ra g(x) = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 BPT g(x) 0 có sơ đồ miền nghiệm G là G + G x ]///////////////[ Ta có g(x) 0 đúng x [1, +) - x1 x2 1 - [1, +) G m Cách 2 : phương pháp hàm số Hàm số nghịch biến / [1, +) y’ = 0 x 1 mx2 + 4mx + 14 0 m(x2 + 4x) -14 x 1 u(x) = m x 1 m Ta có u’(x) = > 0 x 1 u(x) đồng biến / [1, +) = u(1) = m Ví dụ 2: Tìm m để y = -x3 + (m-1)x2 + (m+3)x – 4 đồng biến trên khoảng (0, 3) Giải : Hàm số đồng biến / (0, 3) y’ = -x2 + 2(m-1)x + (m+3) 0 x (0, 3) Do y’(x) liên tục tại x = 0 và x = 3 nên BPT : y’ x (0, 3) y’ 0 x [0, 3] m(2x+1) x2 + 2x – 3 x [0, 3] g(x) = m x [0, 3] m. Ta có g’(x) = > 0 x [0, 3] g(x) đồng biến / [0, 3] = g(3) = m Ví dụ 3 : Tìm m để hàm số y = mx3 – (m-1)x2 + 3(m-2)x + đồng biến trên khoảng [2, +). Giải Hàm số đồng biến/[2, +) y’ = mx2 – 2(m-1)x + 3(m-2) 0 x 2 m(x2 – 2x +3) -2x + 6 x 2 g(x) = m x 2 m. Ta có g’(x) = = 0 = = 0 BBT của hàm số y = g(x) x - 3 - 2 3 + + g’(x) + 0 - 0 + g(x) 0 CĐ CT 0 Nhìn bảng biến thiên suy ra = g(2) = m Ví dụ 4: Tìm m để y = đồng biến / (1, +) Cách 1: phương pháp tam thức bậc 2: Hàm số đồng biến / (1, +) y’ = 0 x > 1 Với m 1, xét BPT : g(x) = 2x2 – 4mx + m2 – 2m -1 0 x > 1 Ta có ’ = 2(m+1)2 0 g(x) = 0 có 2 nghiệm x1 x2 BPT : g(x) 0 có sơ đồ nghịêm G là : G + G x ]///////////////[ - x1 x2 1 - Ta có g(x) 0 x > 1 (1, +) G x1 x2 1 Cách 2: phương pháp hàm số Hàm số đồng biến / (1, +) y’ = 0 x > 1 Ta có g’(x) = 4(x-m) 0 x > 1 g(x) đồng biến / (1, +) Do đó Bài 5 : xác định m để hàm số : nghịch biến trên Bài 6 : xác định m để hàm số : đồng biến trên R Bài 7 :Tìm m để y = nghịch biến / (, +) Bài 8 :Tìm m để y = đồg biến / Sử dụng tính đơn điệu để GPT, GBPT, GHBPT, GHPT Dạng I: ứng dụng đạo hàm để giảI phương trình – hệ phương trình . Phương pháp : để giảI phương trình f(x) = g(x) ta dùng phương pháp đạo hàm để chứng minh hai miền giá trị của hai hàm số f(x) và g(x) chỉ có chung đúng một phần tử x0 .Từ đó kết luận x0 là nghiệm của phương trình . Tức là : */ Ta đI chứng minh f(x) g(x) hoặc f(x) g(x) hoặc f(x) A hoặc g(x) A và ngược lại . */ Xét dấu đẳng thức xảy ra . Chú ý : */ Nếu hàm số f(x) tăng và g(x) giảm ( Hoặc ngược lại ) trên cùng một miền xác định thì đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=g(x) nếu cắt nhau thì cắt nhau tại một điểm duy nhất hoặc vô nghiệm */ Nếu f(t) là hàm số tăng hoặc giảm trên D thì f(x) = f(y) x = y. Dạng II : ứng dụng đạo hàm trong bài toán chứa tham của phương trình- bất phương trình – hệ pt . 1/ Tóm tắt lý thuyết : Cho hàm số f(x) là hàm số liên tục trên miền xác định D . */ Mệnh đề 1 : phương trình f(x) = g(m) có nghiệm xD . */ Mệnh đề 2 : - Bất phương trình f(x) g(m) có nghiệm x D . - Bất phương trình f(x) g(m) nghiệm đúng x D . Mệnh đề 3 : - Bất phương trình f(x) g(m) có nghiệm x D . - Bất phương trình f(x) g(m) nghiệm đúng x D . Mệnh đề 4 : Với và là hàm tăng hoặc giảm trên D thì x=y. 2. phương pháp giải : +/ Đưa phương trình , Bất phương trình về dạng : f(x) = g(x)(m) hoặc f(x) g(m) hoặc f(x) g(m). +/ Tìm miền xác định D của hàm số f(x) . +/ Tình đạo hàm f’(x) . +/ Giải phương trình f’(x) = 0 . Suy ra nghiệm của f’(x). +/ Lập bảng biến thiên , xét dấu f’(x) . +/ Dựa vào bảng biến thiên và một trong các mệnh đề trên để ta kết luận . Bài 1: a.GPT x5 + x3 - + 4 = 0 Giải : điều kiện x . Đặt f(x) = x5 + x3 - + 4 Ta có f’(x) = 5x4 + 3x2 + 0 f(x) đồng biến / . Mặt khác , f(-1) = 0 nên phương trình f(x) = 0 cónghiệm duy nhất x = -1. b. HD : ĐK . đặt Ta có . Suy ra hàm số f(x) tăng trên Lại có : f(1) = 3 + nên đồ thị hàm số f(x) cắt đồ thị hàm số hằng tại một điểm duy nhất x=1 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . c. Giải phương trình : = 3x -2 + Giải : Phương trình f(x) = 3x -2 + - = 0 (*) Nếu x thì f(x) < 0 phương trình (*) vô nghiệm Nếu x thì f’(x) = 3 + x[] 0 với x f(x) đồng biến / mà f(1) = 0 nên (*) có đúng 1 nghiệm x = 1 d. GBPT : + + + < 8 Giải : điều kiện x . Xét f(x) = + + + Ta có f’(x) = + + > 0 f(x) đồng biến / .Mặt khác f(3) = 8 nên BPT f(x) < 8 f(x) < f(3) x < 3 giải phương trình : + = 2 Giải : Đặt f(x) = + với 2 x 4 x 2 3 4 f’(x) + 0 - f(x) 2 Ta có f’(x) = = 0 = x = 3 Nhìn bảng biến thiên suy ra : f(x) = 2 = f(3) x = 3 Bài 2: . a.Tìm x, y ( 0, ) thoả mãn hệ Giải : Hệ . Xét f(t) = t – cotgt với t ( 0, ) Ta có f’(t) = 1 + > 0 f(t) đồng biến / ( 0, ). Do đó hệ đã cho x = y = b. GiảI hệ phương trình : (*) Hệ phương trình (*) Xét hàm số : với . Ta có Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên . Do đó thế vào (1) ta được . Bài 3 : GiảI phương trình : ĐK : . Phương trình (*) (**) ; Đặt Khi đó phương trình (**) . Xét hàm số : với ; Ta có : Suy ra hàm ằng(t) tăng trên ; Lại có f(1) = 2 nên pt (***) có một nghiệm duy nhất t=1 Bài 4: a) Tìm m để phương trình : x + = m có nghiệm b) Tìm m để bất phương trình : x + > m x R Giải : Đặt f(x) = x + f’(x) = 1 + = 0 = -2x x < 0 x - + f’(x) - 0 + f(x) + + và 2x2 + 1 = 4x2 x = a) Phương trình f(x) = m có nghiệm m b) Bất phương trình f(x) < m có nghiệm Minf(x) = f() = > m Bài 7: Tìm m để BPT : mx4 – 4x + m 0 x R x - - + f’(x) - 0 + 0 - f(x) 0 - 0 Giải : BPT m(x4 + 1) 4x f(x) = m f’(x) = = 0 x = BBT ta có f(x) m x R Max f(x) = m Bài 9: Tìm a 0 để hệ có nghiệm Giải : Hệ a 0 2 + f’(a) - 0 + f(a) 1 (1) Xét f(a) = a3 – 12a + 17 với a 0 f’(a) = 3.(a2 – 4) = 0 a = 2 > 0 Nhìn BBT f(a) f(2) = 1. Do sin(x + y) [-1, 1] nên để (1) có nghiệm thì a = 2, khi đó (1) luôn có nghiệm Đáp số a = 2 Bài 10 : Tìm m để hệ BPT : có nghiệm x 0 2/3 2 3 f’(x) - 0 + + f(x) 0 CT 21 Giải: BPT có nghiệm m2 – 4m Ta có f(x) = Nhìn BBT 21 m2 – 4m m2 – 4m 0 -3 m 7 Ví dụ 3 : Cho phương trình sau : 4(cosx - sinx) + sin2x = m (1) a. Giải phương trình với m = 1 b. Tìm m để phương trình vô nghiệm. Giải Biến đổi phương trình về dạng 4(cosx - sinx) + 2sinx.cosx = m Đặt sinx - cosx = t, điều kiện | t | sinx.cosx = Khi đó phương trình có dạng : 4t + 1 – t2 = m -t2 + 4t + 1 – m = 0 (2) a. Với m = 1, ta được -t2 + 4t = 0 sinx - cosx = 0 tgx = 1 x = +k , k. Vậy phương trình có một họ nghiệm b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau : Cách 2: Viết lại (2) dưới dạng : -t2 + 4t + 1 = m Vậy phương trình vô nghiệm đường thẳng y = m không cắt phần đồ thị hàm số y = -t2 + 4t + 1trên [-,] Xét hàm số y = -t2 + 4t + 1trên [-,] Đạo hàm y’ = -2t + 4 > 0 , t[-,] , do đó hàm số đồng biến trên [-,]. Từ đó, ta được điều kiện là : |m| > + 1 Vậy phương trình vô nghiệm khi |m| > + 1 Ví dụ 2: Cho phương trình : tg2x + cotg2x + m(tgx + cotgx) + 2m = 0 (1) a. Giải phương trình với m = - b. Tìm m để phương trình có nghiệm Giải Điều kiện x # , k. Đặt tgx + cotgx = t, điều kiện | t | 2 tg2x + cotg2x = t2 – 2 Khi đó phương trình có dạng : t2 – 2 + mt + 2m = 0 f(t) = t2 + mt + 2m – 2 = 0 (2) a. Với m = -, ta được: t2 -t – 3 = 0 tgx + cotgx = 2 tgx = 1 x = + k , k. Vậy với m = - phương trình có một họ nghiệm b. Để tìm m sao cho phương trình có nghiệm ta lựa chọn 1 trong 2 cách sau : Cách 2: Vì t = -2 không phải là nghiệm của phương trình , nên viết lại (2) dưới dạng : = m Vậy, phương trình (1) có nghiệm đường thẳng y = m cắt phần đồ thị y = trên (-, -2] [2, +) Đạo hàm : y’ = , y’ = 0 -t2 – 4t -2 = 0 t = -2 Bảng biến thiên: t - -2- -2 2 + y’ - 0 + - y + 4 + 2 4+ -1/2 - Dựa vào bẳng biến thiên, ta được điều kiện là : m - hoặc m 4 + 2 Ví dụ 3: Cho phương trình : 2tgx + tg2x + tg3x + 2cotgx + cotg2x + cotg3x = m (1) a. Giải phương trình với m = 8 b. Tìm m để phương trình có nghiệm Giải Điều kiện x # , k. Đặt tgx + cotgx = t, điều kiện | t | 2, Suy ra: tg2x + cotg2x = t2 – 2 tg3x + cotg3x = (tgx + cotgx)3 – 3tgx.cotgx(tgx + cotgx) = t3 – 3t Khi đó phương trình có dạng : 2t + t2 – 2 + t3 – 3t = m t3 + t2 – t – 2 = m (2) a. Với m = 8, ta được: t3 + t2 – t – 10 = 0 (t - 2)(t2 + 3t + 5) = 0 t = 2 tgx + cotgx = 2 tgx = 1 x = + k , k. Vậy với m = 10 phương trình có một họ nghiệm b. phương trình (1) có nghiệm đường thẳng y = m cắt phần đồ thị hàm số y = t3 + t2 – t – 2 trên D = (-, -2] [2, +). Đạo hàm y’ = 3t2 + 2t – 1 > 0, t D hàm số đồng biến trên D. Bảng biến thiên: x - -2 2 + y’ - + y - -4 8 + Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là : m -4 hặc m 8 Ví dụ 5: Với giá trị nào của m thì phương trình sauđây có nghiệm: + 3tg2x + m(tgx + cotgx) – 1 = 0 Giải Điều kiện x # , k. Biến đổi phương trình về dạng: 3(1 + cotg2x) + 3tg2x + m(tgx + cotgx) - 1 = 0 3(cotg2x + tg2x) + m(tgx + cotgx) + 2 = 0 Đặt tgx + cotgx = t, điều kiện | t | 2 tg2x + cotg2x = t2 – 2 Khi đó phương trình (2) có dạng : 3(t2 – 2) + mt + 2 = 0 f(t) = 3t2 + mt – 4 = 0 (2) Để tìm m sao cho phương trình có nghiệm ta lựa chọn 1 trong 2 cách sau: Cách 2: Viết lại phương trình (2) dưới dạng = m Vậy phương trình (1) có nghiệm đường thẳng y = m cắt phần đồ thị hàm số y = trên D = (-, -2] [2, +) Xét hàm số y = trên D = (-, -2] [2, +) Đạo hàm y’ = < 0, t D, do đó hàm số nghịch biến trên D Từ đó ta được điều kiện là : Vậy phương trình có nghiệm khi | m | 4 Ví dụ 4: Cho phương trình Cos6x + sin6x = m.sin2x a. Giải phương trình với m = 1 b. Tìm m để phương trình có nghiệm Giải Ta có : Sin6x + cos6x = (sin2x + cos2x)3 – 3(sin2x + cos2x).sin2x.cos2x = 1 - sin22x Do đó phương trình biến đổi về dạng : 1 - sin22x = msin2x 3sin22x + 4m.sin2x – 4 = 0 Đặt t = sin2x, điều kiện | t | 1 Khi đó phương trình có dạng: 3t2 + 4mt – 4 = 0 (2) a.Với m = 1, ta được 3t2 + 4t – 4 = 0 sin2x = = sin2 , k. Vậy , phương trình có hai họ nghiệm b. Ta lựa chọn 1 trong 2 cách sau: Cách 2: Vì t = 0 không phải là nghiệm của (2) nên phương trình được viết lại : = 4m Phương trình (1) có nghiệm đường thẳng y = 4m cắt đồ thị hàm số y = trên đoạn [-1, 1] Xét hàm số y = trên đoạn [-1, 1] Đạo hàm y’ = < 0 hàm số nghịch biến trên [-1, 1] Bảng biến thiên t - -1 0 1 + y’ - - y -1 4- + 1 Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là : | m | Vậy với | m | phương trình có nghiệm Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 4(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) – sin24x = m (1) Giải Ta cóSin6x + cos6x = 1 - sin22x Sin4x + cos4x = 1 - sin22x Sin24x = 4sin22x.cos22x = 4sin22x(1- sin22x) = 4sin22x – 4sin42x Do đó phương trình biến đổi được về dạng: 4(1 - sin22x) – 4(1 - sin22x) – 4(sin22x – sin42x) = m 4sin42x - 3 sin22x = m Đặt t = sin22x, điều kiện 0 t 1Khi đó phương trình có dạng :4t2 – 3t = m (2) Cách 2: phương trình (1) có nghiệm đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = 4t2 – 3t trên đoạn [0, 1]Xét đồ thị hàm số y = 4t2 – 3t trên đoạn [0, 1]Đạo hàm y’ = 8t – 3 , y’ = 0 t = Bảng biến thiên t - 0 3/8 1 + y’ - - y 0 -9/16 1 Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là Vậy với phương trình có nghiệm Ví dụ 5: Cho phương trình Sinx + cosx + = m (1) a. Giải phương trình với m = 3 b. Tìm m để phương trình có nghiệm Giải điều kiện : sinx + cosx # 0 (*) Đặt t = 3cosx + 4sinx, điều kiện | t | 2, kết hợp với (*) ta được t [-2, 2]\{0} Khi đó phương trình có dạng :t + = m (2) a. Với m = 3, ta được:t + = 3 t2 – 3t + 2 = 0 Sinx + cosx = 2 sinx + cosx = 1 sin(x + ) = 1 x + = + 2k x = + 2k , k Z Vậy phương trình có một họ nghiệm b. phương trình (1) có nghiệm đường thẳng y = m cắt phần đồ thị hàm số y = t + trên [-2, 2]\{0} Xét hàm số y = t + trên D = [-2, 2]\{0} Đạo hàm : y’ = 1 - 0, t D hàm số nghịch biến trên D Bảng biến thiên: t - 2 0 2 + y’ - y -3 - + 3 Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là | m | 3 Bài 36 Cho phương trình : (*) a. Giải phương trình khi m =-2 b.Xác định m để phương trình (*) có 2 nghiệm ĐS : HD : (*)(**) ĐK : Khi m= -2 thay vào (**) b. Đặt suy ra nên Khi đó (**) trở thành : (***); xét hàm số với Ta có : với 1 + Dựa vào Bảng biến thiên ta thấy phương trình (*) có nghiệm phương trình (***) có nghiệm Bài 42: xác định m để BPT : (*) nghiệm đúng ĐS : m HD : Đăt ; Lập Bảng biến thiên suy ra : Khi đó bất phương trình (*) trở thành : (**) Xét hàm số : ; 0 - 0 + 2 Dựa vào Bảng biến thiên suy ra bất phương trình (*) đúng (**) đúng m Bài 43 : xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất : Đs : Bài 56 : xác định m để hệ sau có nghiệm : Đs :m HD : bất phương trình (1) ; bất phương trình (2) xét hàm số ; Ta có 1 2 + 4 Dựa vào Bảng biến thiên ta thấy : hệ bất phương trình có nghiệm bất phương trình (2) có nghiệm Bài 45 : Cho BPT a. Giải BPT khi m=6 ĐS : b. Xác định m để BPT nghiệm đúng ĐS : HD : ĐK ; Đặt . Suy ra -2 1 4 + 0 - 0 3 0 Từ Bảng biến thiên suy ra . Khi đó (*) trở thành : Xét hàm số Bảng biến thiên : 0 2 3 - 0 + 10 6 7 Từ Bảng biến thiên ta thấy bất phương trình (*) dúng bất phương trình (**) đúng Bài 57 : Cho BPT . Xá định m để BPT nghiệm đúng ĐS : HD : Đặt ta có : 0 1 + 0 Từ Bảng biến thiên suy ra : . Do đó bất phương trình (*) trở thành (**). Đặt t = 6x . Khi đó bất phương trình (**) trở thành : Ta có : . 1` 2 6 + 0 - 0 + Dựa vào Bảng biến thiên ta thấy bất phương trình (*) nghiệm đúng Bài 32 : xác định m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc (*) HD : (*) Đặt . Khi đó ta được : Xét hàm số : ; Ta có . Suy ra f(t) là hàm số tăng trên R.Do đó Xét hàm số : x 0 1 + 0 Dựa vào Bảng biến thiên : phương trình đã cho có nghiệm Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số Cho hàm số y = f(x) xác định trên D + Nếu thì = M (GTLN) + Nếu thì = m (GTNN) 2. Phương pháp : Có một số phương pháp khá thông dụng để tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất : Dạng 1 : Phương pháp miền giá trị . Xem y = f(x) là phương trình ẩn x và y là tham số . Tìm điều kiện của y để y = f(x) có nghiệm Từ điều kiện có nghiệm ta suy ra Miny và Maxy . Dạng 2 : Dùng các bất đẳng thức . Dùng các bất đẳng thức côsi, schwartz để chứng minh f(x) M ( hay f(x) m ) . PhảI chỉ ra được để f(x0) = M ( hoặc để f(x0) = m) . Dạng 3 : Dùng phương pháp đạo hàm . Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) . Dựa vào bảng biến thiên để kết luận về Miny và Maxy . Chú ý : Khi đặt ẩn phụ t = g(x) rồi khảo sát hàm số theo t , ta phải hạn chế t thuộc miền giá trị hàm t = g(x) . Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của y = sin20x + cos20x Cách 1: Do sin20 + cos20 = cos20x + sin20x nên hàm số y = sin20x + cos20x tuần hoàn với chu kỳ T = do đó ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của hàm số trên 1 chu kỳ [0, ] x 0 y’ 0 - 0 + 0 y 1 1 Ta có y’ = 20sinx.cosx(sin18x – cos18x) y’ = 0 Nhìn bảng biến thiên suy ra Min y = = ; Max y = 1 Cách 2: y = (sin2x)10 + (cos2x)10 sin2x + cos2x = 1 Max y = y(0) = 1 Sử dung bất đẳng thức Cosi cho các bộ 10 số hạng ta có sin20x + cos20x + (sin2x + cos2x) = y = sin20x + cos20x = Miny = y() = Bài 3: Cho y = 24x – cos12x – 3sin8x. Tìm Max y, Min y với x [-, ] Giải : y’ = 24 + 12sin12x – 24cos8x = 24 + 1293sin4x – 4sin34x) – 24(1 – 2sin24x) Y’ = 12sin4x(-4sin24x + 4sin4x + 3) = 0 Kết hợp với x [-, ] suy ra x - - 0 y’ + 0 - 0 + y -4 - - 1 - - -1 4 + - 1 y’ = 0 BBT Nhìn bảng biến thiên suy ra Min y = -4 - - 1 Max y = 4 + - 1 Bài 4: Tìm Min của f(x) = với 0 0) Giải : Ta có f’(x) = = 0 x = a > 0. Xét 2 khả năng : x 0 a f’ - 0 + f + a + 1 a) Nếu 0 < x < 0 < a < 1 Nhìn bảng biến thiên suy ra Min f(x) = f(a) = a + 1 b) Nếu a a > 1 Nhìn bảng biến thiên suy ra Min f(x) = f() = x 0 a f’ - f + - - (a – 1) + Bài 5 : Tìm Max, Min của f(x) = + Giải : f2(x) = 6 + 4(cosx + sinx) + 2 Đặt t = cosx + sinx t2 = 1 + sin2x, khi đó f2(x) = g(t) = 2( + 2t + 3) với t . Ta có g(t) = t - 0 g’ - + 0 - + g 4(-1)2 4-2 8 4+2 4(+1)2 Nhìn bảng biến thiên suy ra MGT của g(t) là Do f(x) > 0 nên Min f(x) = - 1 và Max f(x) = 2( + 1) Bài 6 : Cho x2 + y2 = 1. Tìm Max của A = x + y Max A: A = Với x = y = thì A = Min A : a) Nếu x.y 0 với MinA = -1 b) Nếu x.y < 0 thì đặt t = x + y -1 < t < 1 và x.y = < 0 Sử dụng x2 + y2 = 1 2A2 = f(t) = ( + 1)t3 + t2 - ( + 1)t + 2 - Ta có t -1 t1 t2 1 f’ + 0 - 0 + f 2 CĐ CT 2 f’(t) = 0 BBT Maxf(t) = f(1) = f(t) = f’(t) - t + 2 - + Suy ra: f(t1) = | A | MinA =- ( nhơ hơn (-1) ) Kết luận : MaxA= , MinA = - Chuyên đề 33 Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số Trong PT, BPT, HPT, HBPT Bài 1: giải phương trình : + = 2 Giải : Đặt f(x) = + với 2 x 4 x 2 3 4 f’(x) + 0 - f(x) 2 Ta có f’(x) = = 0 = x = 3 Nhìn bảng biến thiên suy ra : f(x) = 2 = f(3) x = 3 Bài 2: [ĐHSP 2001] : giải phương trình : 3x + 5x = 6x + 2 Giải : Biến đổi phương trònh f(x) = 3x + 5x - 6x - 2 = 0 x - x0 + f’(x) - 0 + f(x) CT Ta có f’(x) = 3xln3 + 5xln5 - 6 f”(x) = 3x.(ln3)2 + 5x(ln5)2 > 0 x R f’(x) đồng biến.Mà f’(x) liên tục / R và f’(0) 0 f’(0).f(1) < 0 nên phương trình f’(x) = 0 có đúng 1 nghiệm x0 BBT của hàm số có dạng như hình vẽ. Từ BBT suy ra f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm. Mà f(0) = f(1) = 0 nên phương trình đã cho chỉ có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1 Bài 3: a) Tìm m để phương trình : x + = m có nghiệm b) Tìm m để bất phương trình : x + > m x R Giải : Đặt f(x) = x + f’(x) = 1 + = 0 = -2x x < 0 x - + f’(x) - 0 + f(x) + + và 2x2 + 1 = 4x2 x = a) Phương trình f(x) = m có nghiệm m b) Bất phương trình f(x) < m có nghiệm Minf(x) = f() = > m Bài 4 : Tìm nghiệm x của phưong trình x - x3 = x 0 - f’(x) + 0 - f(x) Giải : Đặt f(x) = x - x3 và g(x) = với x Ta có f’(x) = - 16x2 = 0 x = Nhìn BBT Maxf(x) = f() = Mặt khác g(x) = x f(x) g(x). Từ đó suy ra phương trình f(x) = g(x) có đúng 1 nghiệm x = Bài 5: [ĐHXD 1995] Tìm a để BPT : a < x + a đúng x R Giải : BPT a[ - 1] < x a < = f(x) x - -6 6 + f’(x) - 0 + 0 - f(x) - Ta có f’(x) = = 0 x2 = 36 x = 6 = = = Nhìn bảng biến thiên suy ra BPT f(x) > a x R = f(-6) = > a Bài 6: Tìm a để BPT : x 1 Giải : Biến đổi BPT ( - x)(x – a.2x) > 0 (1) Do điều kiện bài toán suy ra chỉ cần xét nghiệm x (1, 2] Khi đó = < 1 x (1, 2] x 1 log2e 2 g’(x) + 0 - g(x) log2e Suy ra - x < 0 x (1, 2]. Vì thế (1) x – a.2x < 0 g(x) = a Ta có g’(x) = = 0 1 = x.ln2 x = log2e Nhìn bảng biến thiên suy ra = log2e > a Bài 7: Tìm m để BPT : mx4 – 4x + m 0 x R x - - + f’(x) - 0 + 0 - f(x) 0 - 0 Giải : BPT m(x4 + 1) 4x f(x) = m f’(x) = = 0 x = BBT ta có f(x) m x R Max f(x) = m Bài 8 : Tìm m để : 2 + 2sin2x = m(1 + cosx)2 có nghiệm x Giải : Do cosx = -1 không là nghiệm của phương trình nên phương trình đã cho tương đương với = m = m (*) t -1 1 - 1 f’(t) 0 - 0 + f(t) 1 0 1 Đặt t = tg [-1, 1] x sinx = , cosx = Khi đó (*) f(t) = t4 – 4t3 + 2t2 + 4t + 1 = 2m với t [-1, 1] Ta có f’(t) = 4(t-1)(t2 – 2t – 1) = 0 t = 1, t = 1 - BBT Nhìn BBT suy ra Min f(t) = 0 và Max f(t) = 1.Phương trình f(t) = 2m có nghiệm : Min f(x) 2m Max f(t) 0 2m 1 0 m Bài 9: Tìm a 0 để hệ có nghiệm Giải : Hệ (1) Xét f(a) = a3 – 12a + 17 với a 0 f’(a) = 3.(a2 – 4) = 0 a = 2 > 0 Nhìn BBT f(a) f(2) = 1. Do sin(x + y) [-1, 1] nên để (1) có nghiệm thì a = 2, khi đó (1) luôn có nghiệm Đáp số a = 2 Bài 10 : Tìm m để hệ BPT : Mặt phẳng trong không gian I. Tóm tắt lý thuyết : 1. cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng : Định nghĩa : Hai vectơ gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cộng tuyến và các đường thẳng chứa chúng đều song song hoặc nằm trên (P) . Chú ý : * Mỗi mặt phẳng có vô số cặp vectơ chỉ phương . * hai mặt phẳng phân biệt có cùng cặp vectơ chỉ phương thì song song với nhau . * Một mặt phẳng (P) được hoàn toàn xác định khi biết điểm M0 mà nó đi qua và cặp vectơ chỉ phương . 2. vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Định nghĩa : * Nếu là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) Chú ý : - Nếu là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì vectơ với đều là vectơ pháp tuyến của (P) . - Nếu là vectơ pháp tuyến và là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) thì : với 3. Trong không gian Oxyz Phương trình mặt phẳng có dạng : với Nếu (P) là mặt phẳng có Phương trình tổng quát : thì vectơ pháp tuyến của (P)là Mặt phẳng (P) đi qua điểm Mvà có vectơ pháp tuyến có Phương trình tổng quát : . Chú ý : Nếu D=0 mặt phẳng (P) đi qua gốc toạ độ . Nếu A = 0 ; mặt phẳng (P) có dạng : By +Cz +D =0 sẽ chứa hoặc song song với ox. Nếu B = 0 ; mặt phẳng (P) có dạng : Ax +Cz +D =0 sẽ chứa hoặc song song với oy. Nếu C = 0 ; mặt phẳng (P) có dạng : By +Cz +D =0 sẽ chứa hoặc song song với ox. Lập phương trình mặt phẳng I. Phương pháp : Để lập phương trình của mặt phẳng (p) ta làm như sau : Xác định một điểm . Xác định vectơ chỉ phương của (P) Khi đó mặt phẳng (P) có dạng : . CHú ý : 1. mặt phẳng (P) đi qua có dạng : Khi đó ta đi xác định : A;B;C 2. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến có dạng : Để xác định (P) ta cần đi xác định D 3. mặt phẳng (P) //(Q) : có dạng : Để xác định (P) ta cần đi xác định E 4. phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn là mặt phẳng (P) đi qua ba điểm : có dạng : II Ví dụ : Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (P), biết : a. (P) đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vtpt b. (P) đi qua điểm B(2, -1, 1) và có cặp vtcp , Giải a. Mặt phẳng (P) được cho bởi : (P) : b. Gọi là vtpt của mặt phẳng (P, ta có : Mặt phẳng (P) được cho bởi : (P) : Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2,