Giáo án lớp 12 môn Toán - Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình không mẫu mực

ứng Dụng đạo hàm để giảI phương trình không mẫu mực Để giảI phương trình f(x) = g(x) ta ding phương pháp đạo hàm để chứng minh hai miền giá trị của hai hàm f(x) và g(x) chỉ có chung Ví dụ : GiảI phương trình : 1. 2. ĐS x=2 3. 4. HD : ĐK . đặt Ta có . Suy ra hàm số f(x) tăng trên Lại có : f(1) = 3 + nên đồ thị hàm số f(x) cắt đồ thị hàm số hằng tại một điểm duy nhất x=1 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . 3. (*) ĐK : x>0 phương trình (*) Đặt Sử dụng tính đơn điệu để GPT, GBPT, GHBPT, GHPT Bài 1: GPT x5 + x3 - + 4 = 0 Giải : điều kiện x . Đặt f(x) = x5 + x3 - + 4 Ta có f’(x) = 5x4 + 3x2 + 0 f(x) đồng biến / . Mặt khác , f(-1) = 0 nên phương trình f(x) = 0 cónghiệm duy nhất x = -1. Bài 2 : ( ĐH Ngoại thương TP. HCM – 1997) Giải phương trình : = 3x -2 + Giải : Phương trình f(x) = 3x -2 + - = 0 (*) Nếu x thì f(x) < 0 phương trình (*) vô nghiệm Nếu x thì f’(x) = 3 + x[] 0 với x f(x) đồng biến / mà f(1) = 0 nên (*) có đúng 1 nghiệm x = 1 Bài 3: GBPT : + + + < 8 Giải : điều kiện x . Xét f(x) = + + + Ta có f’(x) = + + > 0 f(x) đồng biến / .Mặt khác f(3) = 8 nên BPT f(x) < 8 f(x) < f(3) x < 3 Bài 4: GBPT : 2x + + + 2 < 35 Giải : điều kiện x > 0 . Đặt f(x) = 2x + + + 2 Ta có f’(x) = 2 + + + > 0, = 35 nên f(x) đồng biến và do đó f(x) < 35 = 0 < x < Bài 5: GPT : 5x + 4x + 3x + 2x = + + - 2x3 + 5x2 – 7x + 17 Giải : PT = Ta có f(x) đồng biến và g’(x) = -6x2 + 10x – 7 < 0 x g(x) nghịch biến. Nghiệm của f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của . Do f(x) đồng biến và g(x) nghịch biến đồng thời f(1) = g(1) = 13 nên phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = 1 Bài 6: Tìm m Max để BPT : m + + 2 x Giải : Đặt t = t2 = ()2 = 1 + t > 0 và 1 t2 = 1 + 2 = t2 – 1 và 1 t Khi đó BPT m(t+1) t2 + t + 1 t f(t) = m t [1, ] Ta có f’(t) = > 0 f(t) đồng biến / [1, ] = f(1) = m Vậy Max m = Bài 7: [108II] . Tìm x, y ( 0, ) thoả mãn hệ Giải : Hệ . Xét f(t) = t – cotgt với t ( 0, ) Ta có f’(t) = 1 + > 0 f(t) đồng biến / ( 0, ). Do đó hệ đã cho x = y = Bài 8: [ ĐH Luật 1996] Giải hệ : Giải : Xét hàm đặc trưng: f(t) = t3 + t2 + t với t R Ta có f’(t) = 3t2 + 2t + 1 = 2t2 + (t+1)2 > 0 f(t) đồng biến Giả sử : x y z f(x) f(y) f(z) 2z + 1 2x + 1 2y + 1 z x y x = y = z Hệ đã cho Bài 1: giải phương trình : + = 2 Giải : Đặt f(x) = + với 2 x 4 x 2 3 4 f’(x) + 0 - f(x) 2 Ta có f’(x) = = 0 = x = 3 Nhìn bảng biến thiên suy ra : f(x) = 2 = f(3) x = 3 Bài 2: [ĐHSP 2001] : giải phương trình : 3x + 5x = 6x + 2 Giải : Biến đổi phương trònh f(x) = 3x + 5x - 6x - 2 = 0 x - x0 + f’(x) - 0 + f(x) CT Ta có f’(x) = 3xln3 + 5xln5 - 6 f”(x) = 3x.(ln3)2 + 5x(ln5)2 > 0 x R f’(x) đồng biến.Mà f’(x) liên tục / R và f’(0) 0 f’(0).f(1) < 0 nên phương trình f’(x) = 0 có đúng 1 nghiệm x0 BBT của hàm số có dạng như hình vẽ. Từ BBT suy ra f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm. Mà f(0) = f(1) = 0 nên phương trình đã cho chỉ có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1 Bài 3: a) Tìm m để phương trình : x + = m có nghiệm b) Tìm m để bất phương trình : x + > m x R Giải : Đặt f(x) = x + f’(x) = 1 + = 0 = -2x x < 0 x - + f’(x) - 0 + f(x) + + và 2x2 + 1 = 4x2 x = a) Phương trình f(x) = m có nghiệm m b) Bất phương trình f(x) < m có nghiệm Minf(x) = f() = > m Bài 4 : Tìm nghiệm x của phưong trình x - x3 = Giải : Đặt f(x) = x - x3 và g(x) = với x x 0 - f’(x) + 0 - f(x) Ta có f’(x) = - 16x2 = 0 x = Nhìn BBT Maxf(x) = f() = Mặt khác g(x) = x f(x) g(x). Từ đó suy ra phương trình f(x) = g(x) có đúng 1 nghiệm x = Bài 5: [ĐHXD 1995] Tìm a để BPT : a < x + a đúng x R Giải : BPT a[ - 1] < x a < = f(x) x - -6 6 + f’(x) - 0 + 0 - f(x) - Ta có f’(x) = = 0 x2 = 36 x = 6 = = = Nhìn bảng biến thiên suy ra BPT f(x) > a x R = f(-6) = > a Bài 6: Tìm a để BPT : x 1 Giải : Biến đổi BPT ( - x)(x – a.2x) > 0 (1) Do điều kiện bài toán suy ra chỉ cần xét nghiệm x (1, 2] Khi đó = < 1 x (1, 2] x 1 log2e 2 g’(x) + 0 - g(x) log2e Suy ra - x < 0 x (1, 2]. Vì thế (1) x – a.2x < 0 g(x) = a Ta có g’(x) = = 0 1 = x.ln2 x = log2e Nhìn bảng biến thiên suy ra = log2e > a Bài 7: Tìm m để BPT : mx4 – 4x + m 0 x R x - - + f’(x) - 0 + 0 - f(x) 0 - 0 Giải : BPT m(x4 + 1) 4x f(x) = m f’(x) = = 0 x = BBT ta có f(x) m x R Max f(x) = m Bài 8 : Tìm m để : 2 + 2sin2x = m(1 + cosx)2 có nghiệm x Giải : Do cosx = -1 không là nghiệm của phương trình nên phương trình đã cho tương đương với = m = m (*) t -1 1 - 1 f’(t) 0 - 0 + f(t) 1 0 1 Đặt t = tg [-1, 1] x sinx = , cosx = Khi đó (*) f(t) = t4 – 4t3 + 2t2 + 4t + 1 = 2m với t [-1, 1] Ta có f’(t) = 4(t-1)(t2 – 2t – 1) = 0 t = 1, t = 1 - BBT Nhìn BBT suy ra Min f(t) = 0 và Max f(t) = 1.Phương trình f(t) = 2m có nghiệm : Min f(x) 2m Max f(t) 0 2m 1 0 m Bài 9: Tìm a 0 để hệ có nghiệm Giải : Hệ a 0 2 + f’(a) - 0 + f(a) 1 (1) Xét f(a) = a3 – 12a + 17 với a 0 f’(a) = 3.(a2 – 4) = 0 a = 2 > 0 Nhìn BBT f(a) f(2) = 1. Do sin(x + y) [-1, 1] nên để (1) có nghiệm thì a = 2, khi đó (1) luôn có nghiệm Đáp số a = 2 Bài 10 : Tìm m để hệ BPT : có nghiệm x 0 2/3 2 3 f’(x) - 0 + + f(x) 0 CT 21 Giải: BPT có nghiệm m2 – 4m Ta có f(x) = Nhìn BBT 21 m2 – 4m m2 – 4m 0 -3 m 7 ------------------------o0o-------------------------- -------------------------------o0o-------------------------------