Giáo án lớp 12a môn Đại số - Công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 1 Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn Với n là số nguyên không âm, ta có   n k n k k n k n 0 a b C a b     . Loại 1. Các bài toán về tổng A. Nội dung phương pháp Đối với loại toán này, ngoài việc chứng minh những đẳng thức nhận được từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn bằng cách cho a , b những giá trị cụ thể, ta cần quan tâm đến một số biến đổi sau đây : +)           n 1 !k k 1n! n n 1k ! n k ! k 1 ! n 1 k 1 ! kC k n. nC             . Tương tự :    k k 2n n 2k k 1 C n n 1 C    , . +)           k 1k Cn 1 !C n!n 1 1 n 1 k 1 k 1 n 1 n 1k ! n k ! k 1 ! n 1 k 1 ! .                . Tương tự :       k 2k CCn n 2 k 1 k 2 n 1 n 2        , . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 2 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau: 1) 0 1 2 n1 n n n nS C C C ... C     ,   n0 1 2 n 2 n n n nS C C C ... 1 C      . 2) 0 2 4 2n3 2n 2n 2n 2nS C C C ... C     , 1 3 5 2n 1 4 2n 2n 2n 2nS C C C ... C      . 3) 0 1 2 n5 2n 2n 2n 2nS C C C ... C     . Giải 1) Ta có   n n nk k n k k n 1 n n k 0 k 0 S C C 1 1 1 1 2         .       n n nk kk k n k n 2 n n k 0 k 0 S 1 C C 1 1 1 1 0 0               . 2) Ta có   2n 2n 2nk k 2n k k 2n 3 4 2n 2n k 0 k 0 S S C C 1 1 1 1 2           1 .       2n 2n 2nk kk k 2n k 2n 3 4 2n 2n k 0 k 0 S S 1 C C 1 1 1 1 0 0                .  3 4S S  2 . Từ  1 ,  2 suy ra 2n 2n 12 3 4 2S S 2    . 3) Áp dụng công thức k n kn nC C  ( 0 k n  , k , n ) ta có : 2n 2n 1 2n 2 n n n 1 n 2 2n 5 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nS C C C ... C C C C ... C                 2n 2n 2nk k 2n k k 2n 5 2n 2n k 0 k 0 2S C C 1 1 1 1 2          2n 2n 12 5 2S 2   . Ví dụ 2. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau: 1)  n0 1 2 2 n n1 n n n nS C 2C 2 C ... 1 2 C      . 2)   2 n0 1 2 n n1 2 2 2 n n n nn n 1 n 23 3 3 S C C C ... 1 2 C         . Giải 1)         n n nk k nk k n k 1 n n k 0 k 0 S 2 C C 1 2 1 2 1               . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 3 2)             n n k n nnk nk 5 51 1 2 n 3 3 3 3 k 0 S C 2 2 1              . Ví dụ 3. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau: 1)   2 3 nn0 1 2 3 n2 2 2 1 n n n n n3 4 n 1S C C C C ... 1 C       . 2)    n2 3 4 n1.2 2.3 3.42 n n n nn 2 n 3 n 43 3 3 S C C C ... 1 n 1 nC           . Giải 1)   kn 2 k 1 nk 1k 0 S C      . Với mọi k 0 , 1 , 2 , , n , ta có           n 1 !k k 1n!1 1 1 1 n n 1k 1 k 1 n 1 n 1k ! n k ! k 1 ! n 1 k 1 ! C . . C                .  1S    n k k 11 n 1n 1 k 0 2 C       n 1 h 1 h1 n 1n 1 h 1 2 C      ( h k 1  )    n 1 h h1 n 1n 1 h 1 2 C         n 1 hh n 1 h1 n 1n 1 h 0 C 1 2 1                      n 11 2 1 n 1           n1 1 n 1    . Vậy   n1 1 1 n 1S     . 2)     kn 1 k k 1 k 2 nn k3k 2 S C       . Với mọi k 2 , 3 , 4 , , n ta có:                  n 2 !k k 2n!n n 2k ! n k ! k 2 ! n 2 n k !k k 1 C k k 1 . n n 1 . n n 1 C                 . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 4 C. Bài tập Bài 1. Giải phương trình: x 1 x 2 x 3 x 8 x 9 x 10x x x x x xC C C C C C 1023            . Bài 2. Đặt  52 3 2 150 1 2 151 x x x a a x a x a x       .Tính tổng 0 1 15S a a a   . ĐS: 1024 . Bài 3. Tính 1) 0 2009 1 2008 k 2009 k 2009 02010 2010 2010 2009 2010 2010 k 2010 1S C C C C C C C C      . 2)  k2010 0 2009 1 2008 2 2010 k k 20102010 2010 2005 2010 2010S 4 .C 4 .C 4 .C 1 4 C C.        . 3) [ĐHB2003] 2 2 20 1 2 n2 1 2 1 2 1 n n n n2 3 n 1C C C C        . Bài 4. Với n là số nguyên dương, rút gọn 1)  1 2 n 1 nn n n nS C 2C n 1 C nC     . 2)  n 1 nn n n n0 1S C 2C nC n 1 C     . 3)    n2 3 nn n nS 2.1C 3.2C n n 1 1 C     . 4)     nn n n0 1S 3.2C .3C n4 n 3 2 C    . 5) 1 2 n 0 n n n n C C CS C 2 3 n 1      . 6) 1 2 n n 0 n 1 n 2n n n n C C CS 2 C 2 2 2 3 n 1       . 7)      r r 1 nr r r r 1 r nr n r 1 n n nS 1 C C 1 C C 1 C C         (r là số nguyên không âm, r n ). Bài 5. Chứng minh 1) 0 2001 1 2000 k 2001 k 2001 0 20022002 2002 2002 2001 2002 2002 k 2002 1C C C C C C C C 1001.2      . 2) 2004 0 2 2 4 4 2002 2002 2004 2004 2004 2004 2004 2004 2004 3 1C 2 C 2 C 2 C 2 C 2       . 3) 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n n 1n n n nC 3 2C 3 3C 3 nC n4        (n nguyên dương). THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 5 4) 1 3 5 2n 1 0 2 4 2n2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC C C C C C C C        (n nguyên dương). 5)  2n 2n 2n 2n 2n0 1 2 3 2n3 4 .C 2C C C .. 2n 0C1      (n nguyên dương). 6) [ĐHA07] 1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n 2nC C C C 2 1... 2 4 6 2n 2n 1         (n nguyên dương). 7) 0 1 2 n 2n 1 2n 2n 2n 2nC C C C 2 1... 3 6 9 3n 3 3n 3          (n nguyên dương). Bài 6. Tìm số nguyên dương n sao cho 1) [ĐHA05]  1 2 2 3 3 4 2n 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2.2C 3.2 C 4.2 C ... 2n 1 .2 C 2005           . ĐS: 1002 . 2) 1 3 5 2n 12n 2n 2n 2nC C C C 2048     . Bài 7. Rút gọn 1) n 0 n 2 2 n 4 4 nn n n nS 2 C 2 C 2 C C      (n là số nguyên dương chẵn). 2) n 1 n 3 n 3n n 3 n n 5 n 1S 2 C 2 C 2 C C      (n là số nguyên dương lẻ). THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 6 Loại 2. Các bài toán về hệ số của lũy thừa trong khai triển A. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD04] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 7 3 1 4 x x     , với x 0 . Giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có   7 k 28 7k7 77 kk k3 31 1 127 74 4x xk 0 k 0 x C x C x                              .  hệ số của 28 7k 12x  trong khai triển là k7C . Ta có 28 7k12 0    k 4  số hạng không chứa x trong khai triển là 47C 35 . Ví dụ 2. [ĐHA12] Cho n là số nguyên dương thỏa mãn n 1 3n n5C C   . Tìm số hạng chứa 5x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của n2nx 1 14 x      , x 0 . Giải * Ta có n 1 3n n5C C      n n 1 n 2 65n       n 1 n 2 65    (do n nguyên dương)  2n 3n 28 0        thoûa maõn loaïi n 7 n 4      . * n 7      7 k7 k k7 77 k 1 C2 2k 3k 7x 1 x 1 7 72 x 2 x k2k 0 k 0 C x                                .  hệ số của 3k 7x  trong khai triển là  7 k k1 C7 k2  . Ta 3k 7 5   k 4  hệ số của 5x trong khai triển là  3 41 C 357 4 162    . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 7 Tìm số hạng chứa 5x trong khai triển là 53516 x . Ví dụ 3. [ĐHD07] Tìm hệ số của 5x trong khai triển thành đa thức của    5 102P x 1 2x x 1 3x    . Giải Hệ số của 5x trong khai triển thành đa thức của P là tổng các hệ số của 5x trong các khai triển  51P x 1 2x  và   102 2P x 1 3x  . Hệ số của 5x trong khai triển 1P là hệ số của 4x trong khai triển  51 2x . Hệ số của 5x trong khai triển 2P là hệ số của 3x trong khai triển  101 3x . Áp dung công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có :       k k5 k kk 5 k k k 5 5 k 0 k 0 1 2x C 1 2x 2 C x                   hệ số của 4x trong khai triển này là  4 452 C 80   1 .       10 1010 kk 5 k k k k 5 10 k 0 k 0 1 3x C 1 3x 3 C x           hệ số của 3x trong khai triển này là 3 3103 C 3240  1 . Từ  1 ,  2 suy ra hệ số của 5x trong khai triển P là 80 3240 3320  . Ví dụ 4. [ĐHA04] Tìm hệ số của 8x trong khai triển thành đa thức của   821 x 1 x    . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 8 Giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có       8 8k 8 k k 8 8 k 0 8 k k2 2 2k k 0 1 x 1 x x 1 x x 1 xC 1 C                           1 . Trong khai triển  k2kkP x 1 x  lũy thừa bậc thấp nhất và bậc cao nhất lần lượt là 2kx và 3kx . Do đó muốn trong khai triển kP có chứa 8x thì 2k 8 3k   83 k 4    k 3;4 . +)    3 2 3 6 76 8 963P x 1 x x 1 3x 3x x x 3x 3x x           hệ số của 8x trong khai triển 3P là 3 . +)    4 2 3 4 8 9 10 114 8 128P x 1 x x 1 4x 6x 4x x x 4x 6x 4x x            .  hệ số của 8x trong khai triển 4P là 1 . Vậy hệ số của 8x trong khai triển ban đầu là 3 48 83C C 238  . Ví dụ 5. Tìm lũy thừa có hệ số lớn nhất của đa thức  93x 2 . Giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có       9 99 kk 9 k k 9 k k k 9 9 k 0 k 0 3x 2 C 3x 2 3 .2 .C x           .  hệ số của kx trong khai triển là k 9 k kk 9a 3 .2 .C  (k 0,1, ...,9 ). Với mọi k 0,1, ...,8 , xét tỷ số ak 1ak T  . Ta có           k 1 8 k k 13 .2 .C k ! 9 k ! 3 9 k9 3 9! k 9 k k 2 9!k 1 ! 8 k ! 2 k 13 .2 .C9 T . .             . T 1     3 9 k 2 k 1 1     k 5   k 0;1;2;3;4;5 , dấu bằng xảy ra  k 5 . Từ đó suy ra: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9a a a a a a a a a a         . Vậy các lũy thừa số hệ số lớn nhất trong khai triển là 5x và 6x . Ví dụ 6. Tìm n để đa thức  nx 2 chỉ có một lũy thừa hệ có hệ số lớn nhất là 10x . Giải THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 9 Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có       n nn k k n k n k k k n n k 0 k 0 x 2 C x 2 2 C x        .  hệ số của kx trong khai triển là n k kk na 2 C  (k 0,1, ...,n ). Với mọi k 0,1,...,n 1  , xét tỷ số ak 1k ak T  . Ta có         n k 1 k 1 k ! n k !2 C n!n 1 n k k n k k 2 n!k 1 ! n k 1 ! 2 k 12 Cn T . .              . Lũy thừa có hệ số cao nhất là 10x nên 9 10 11a a a   a10 a9 a11 a10 1 1        9 10 T 1 T 1     n 9 20 n 10 22 1 1        n 29 n 32     n 30 n 31    . Thử lại ta thấy cả hai giá trị tìm được của n đều thỏa mãn yêu cầu bài toán. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 10 B. Bài tập Bài 1. [CĐAB08] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 18 5 12x x       , với x 0 . Bài 2. [ĐHB07] Tìm hệ số của số hạng chứa 10x trong đa thức  n2 x , biết  nn 0 n 1 1 n 2 n2 nn n n3 C 3 C 3 C 1 C 2048      . Bài 3. [ĐHA03] Tìm hệ số của số hạng chứa 8x trong khai triển n 5 3 1 x x       biết rằng  n 1 nn 4 n 3C C 7 n 3    . Bài 4. [ĐHA06] Tìm hệ số của số hạng chứa 26x trong khai triển n 7 4 1 x x       , biết rằng 1 2 n 20 2n 1 2n 1 2n 1C C C 2 1      . Bài 5. Tìm hệ số của 15x trong đa thức        2 3 201 x 2 1 x 3 1 x ... 20 1 x        . Bài 6. [ĐHA08] Giả sử  n 2 n0 1 2 n1 2x a a x a x ... a x      . Biết rằng 121 2 n 0 2 n a a aa ... 2 2 2 2      . Tìm số lớn nhất trong các số 0a , 1a , 2a , ..., na . Bài 7. [ĐHD03] Gọi 3n 3a  là hệ số của 3n 3x  trong khai triển thành đa thức của    n2 nx 1 x 2  . Tìm n để 3n 3a 26n  . Bài 8. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong đa thức  n1 x có hai lũy thừa liên tiếp có tỷ số các hệ số bằng 7 5 . Bài 9. Khai triển biểu thức  n1 2x ta được đa thức có dạng 2 n0 1 2 na a x a x a x   . Tìm hệ số của 5x biết 0 1 2a a a 71   . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 11 C. Đáp số Bài 1 6528 . Bài 2 22 . Bài 3 495 . Bài 4 210 . Bài 5 400995 . Bài 6 8a . Bài 7 5 . Bài 8 21 . Bài 9 672 .