Giáo án lớp 12a môn Đại số - Cực trị của hàm số

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -41- CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Khái niệm cực trị hàm số : Giả sử hàm số f xác ñịnh trên tập hợp ( )D D ⊂ ℝ và 0x D∈ 0 )a x ñược gọi là một ñiểm cực ñại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( );a b chứa ñiểm 0x sao cho ( );a b D⊂ và ( ) ( )0f x f x< với mọi ( ) { }0; \x a b x∈ . Khi ñó ( )0f x ñược gọi là giá trị cực ñại của hàm số f . 0 )b x ñược gọi là một ñiểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( );a b chứa ñiểm 0x sao cho ( );a b D⊂ và ( ) ( )0f x f x> với mọi ( ) { }0; \x a b x∈ . Khi ñó ( )0f x ñược gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f . Giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu ñược gọi chung là cực trị Nếu 0 x là một ñiểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f ñạt cực trị tại ñiểm 0 x . Như vậy : ñiểm cực trị phải là một ñiểm trong của tập hợp ( )D D ⊂ ℝ 2. ðiều kiện cần ñể hàm số ñạt cực trị: ðịnh lý 1: Giả sử hàm số f ñạt cực trị tại ñiểm 0 x . Khi ñó , nếu f có ñạo hàm tại ñiểm 0 x thì ( )0' 0f x = Chú ý : • ðạo hàm 'f có thể bằng 0 tại ñiểm 0 x nhưng hàm số f không ñạt cực trị tại ñiểm 0 x . • Hàm số có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó hàm số không có ñạo hàm . • Hàm số chỉ có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó ñạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại ñó hàm số không có ñạo hàm . 3. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñạt cực trị: ðịnh lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng ( );a b chứa ñiểm 0x và có ñạo hàm trên các khoảng ( )0;a x và ( )0;x b . Khi ñó : )a Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' 0, ; ' 0, ; f x x a x f x x x b  < ∈  > ∈ thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 0 x . Nói một cách khác , nếu ( )'f x ñổi dấu từ âm sang dương khi x qua ñiểm 0 x thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 0 x . x a 0 x b ( )'f x − + ( )f x ( )f a ( )f b ( )0f x )b Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' 0, ; ' 0, ; f x x a x f x x x b  > ∈  < ∈ thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 0 x . Nói một cách khác , nếu ( )'f x ñổi dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm 0 x thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 0 x . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -42- x a 0 x b ( )'f x + − ( )f x ( )0f x ( )f a ( )f b ðịnh lý 3: Giả sử hàm số f có ñạo hàm cấp một trên khoảng ( );a b chứa ñiểm 0x , ( )0' 0f x = và f có ñạo hàm cấp hai khác 0 tại ñiểm 0 x . )a Nếu ( )0'' 0f x < thì hàm số f ñạt cực ñại tại ñiểm 0x . )b Nếu ( )0'' 0f x > thì hàm số f ñạt cực tiểu tại ñiểm 0x . 4. Quy tắc tìm cực trị: Quy tắc 1: Áp dụng ñịnh lý 2 • Tìm ( )'f x • Tìm các ñiểm ( )1,2, 3...ix i = tại ñó ñạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có ñạo hàm. • Xét dấu của ( )'f x . Nếu ( )'f x ñổi dấu khi x qua ñiểm 0x thì hàm số có cực trị tại ñiểm 0x . Quy tắc 2: Áp dụng ñịnh lý 3 • Tìm ( )'f x • Tìm các nghiệm ( )1,2, 3...ix i = của phương trình ( )' 0f x = . • Với mỗi i x tính ( )'' .if x − Nếu ( )'' 0if x < thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ix . − Nếu ( )'' 0if x > thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ix . Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số : ( ) 3 21 5) 3 3 3 a f x x x x= − − + ( ) ( )) 2b f x x x= + ( ) ( )) 3c f x x x= − ( ))d f x x= Giải : ( ) 3 21 5) 3 3 3 a f x x x x= − − + Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) ( )2' 2 3 ' 0 1, 3f x x x f x x x= − − = ⇔ = − = Cách 1. Bảng biến thiên x −∞ 1− 3 +∞ ( )'f x + 0 − 0 + ( )f x 10 3 +∞ −∞ 22 3 − Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -43- Vậy hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ( ) 101, 1 3 x f= − − = , hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ( ) 223, 3 3 x f= = − Cách 2 : ( )'' 2 2f x x= − Vì ( )'' 1 4 0f − = − < nên hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ( ) 101, 1 3 x f= − − = . Vì ( )'' 3 4 0f = > hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ( ) 223, 3 3 x f= = − . ( ) ( ) ( )( ) 2 0 ) 2 2 0 x x khi x b f x x x x x khi x  + ≥ = + =  − + < Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . Ta có ( ) ( ) 2 2 0 0 ' ' 0 1 2 2 0 x khi x f x f x x x khi x  + > > = = ⇔ = −− − < Hàm số liên tục tại 0x = , không có ñạo hàm tại 0x = . Bảng biến thiên x −∞ 1− 0 +∞ ( )'f x + 0 − + ( )f x 1 +∞ −∞ 0 Vậy hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ( )1, 1 1x f= − − = , hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ( )0, 0 0x f= = ( ) ( )) 3c f x x x= − Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . ( ) ( )( ) 3 0 3 0 x x khi x f x x x khi x  − ≥ =  − − < . Ta có ( ) ( ) ( ) 3 1 0 2' ' 0 1 3 0 0 2 x khi x xf x f x x x x khi x x  −  >  = = ⇔ = − − > <  − + x −∞ 0 1 +∞ ( )'f x + − 0 + ( )f x 0 +∞ −∞ 2− Hàm số ñạt ñiểm cực ñại tại ñiểm ( )0, 0 0x f= = , hàm số ñạt ñiểm cực tiểu tại ñiểm ( )1, 1 2x f= = − ( ))d f x x= Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -44- Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . ( ) 0 0 x khi x f x x khi x  ≥ = − < . Ta có ( ) 1 0 ' 1 0 khi x f x khi x  > = − < Bảng biến thiên x −∞ 0 +∞ ( )'f x − + ( )f x +∞ +∞ 0 Hàm số ñạt ñiểm cực ñại tại ñiểm ( )0, 0 0x f= = Ví dụ 2 : Tìm cực trị của các hàm số sau : ( ) 2) 4a f x x x= − ( )) 3 2 cos cos2b f x x x= − − ( )) 2 sin2 3c f x x= − ( )) sin2 2d f x x x= − + Giải : ( ) 2) 4a f x x x= − Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn 2;2 −  Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 ) ' , 2;2 ' 0 2, 2 4 x a f x x f x x x x − = ∈ − = ⇔ = − = − ( )'f x ñổi dấu từ âm sang dương khi x qua ñiểm 2− thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 2,x = − ( )2 2f − = − ( )'f x ñổi dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm 2 thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 2,x = ( )2 2f = Hoặc dùng bảng biến thiên hàm số ñể kết luận: x 2− 2− 2 2 ( )'f x − 0 + 0 − ( )f x 0 2 2− 0 ( )) 3 2 cos cos2b f x x x= − − Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -45- Ta có ( ) ( )' 2 sin 2 s in2 2 sin 1 2 cosf x x x x x= + = + ( ) sin 0 ' 0 ,1 2 2 cos cos 2 2 3 3 x x k f x k x x k π π π π  = =  = ⇔ ⇔ ∈  = − = = ± +    ℤ . ( )'' 2 cos 4 cos2f x x x= + 2 2 '' 2 6 cos 3 0 3 3 f k π π π   ± + = = − <    . Hàm số ñạt cực ñại tại 2 2 3 x k π π= ± + , 2 1 2 4 3 2 f k π π   ± + =    ( )'' 2 cos 4 0,f k k kπ π= + > ∀ ∈ ℤ . Hàm số ñạt cực tiểu tại ( ) ( ), 2 1 cosx k f k kπ π π= = − ( )) 2 sin2 3c f x x= − Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . Ta có ( ) ( )' 4 cos2 , ' 0 cos2 0 , 4 2 f x x f x x x k k π π = = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ ( ) 8 2 '' 8 sin2 , '' 8 sin 8 2 14 2 2 khi k n f x x f k k khi k n π π π π − =     = − + = − + =     = +     Vậy hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm ; 1 4 4 x n f n π π π π   = + + = −    và ñạt cực ñại tại ( ) ( )2 1 ; 2 1 5 4 2 4 2 x n f n π π π π  = + + + + = −    ( )) sin2 2d f x x x= − + Tương tự trên hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm , 6 x k k π π= − + ∈ ℤ và ñạt cực tiểu tại các ñiểm , 6 x k k π π= + ∈ ℤ . Ví dụ 3 : 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , hàm số ( ) ( ) 3 31 1 , x m m x m y f x m x m − + + + = = − luôn có cực ñại và cực tiểu . 2 . Với giá trị nào của m ,hàm số ( ) ( ) 3 2, 2 3y f x m m x x mx m= = + + + + có cực ñại , cực tiểu . 3 . Với giá trị nào của m ,hàm số ( ) 2 , mx x m y f x m x m + + = = + không có cực ñại , cực tiểu . 4 . Xác ñịnh các giá trị của tham số k ñể ñồ thị của hàm số ( ) ( )4 2, 1 1 2y f x k kx k x k= = + − + − chỉ có một ñiểm cực trị. 5 . Xác ñịnh m ñể ñồ thị của hàm số ( ) 4 21 3, 2 2 y f x m y x mx= = = − + có cực tiểu mà không có cực ñại. Giải : Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -46- Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= ℝ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 ' , , 2 1 g xx mx m y x m g x x mx m x m x m − + − = = ≠ = − + − − − Dấu của ( )g x cũng là dấu của 'y và ( )2 2' 1 1 0 ,g m m m∆ = − − = > ∀ . Do ñó m∀ thì ( ) 0g x = luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2 1, 1x m x m= − = + thuộc tập xác ñịnh . x −∞ 1m − m 1m + +∞ ( )'f x + 0 − − 0 + ( )f x +∞ +∞ −∞ −∞ 'y ñổi dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm 1 1x m= − thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 1 1x m= − 'y ñổi dấu từ âm sang dương khi x qua ñiểm 2 1x m= + thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 2 1x m= + 2 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) 2' 3 2 6y m x x m= + + + Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi phương trình ' 0y = có hai nghiệm phân biệt hay ( ) ( )2 22 0 2 3 1' 9 3 2 0 3 2 3 0 mm m mm m m m  ≠ − + ≠ ≠ −   ⇔ ⇔ ⇔  − − − + >     Vậy giá trị m cần tìm là 3 1, 2m m− < < ≠ − . 3 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= −ℝ và có ñạo hàm ( ) 2 2 2 2 ' mx m x y x m + = + Hàm số không có cực ñại , cực tiểu khi ' 0y = không ñổi dấu qua nghiệm , khi ñó phương trình ( ) ( )2 22 0,g x mx m x x m= + = ≠ − vô nghiệm hoặc có nghiệm kép • Xét 0 ' 0, 0m y x m m= ⇒ = ∀ ≠ − ⇒ = thoả . • Xét 0m ≠ . Khi ñó 4' m∆ = Vì ( )4' 0, 0 0m m g x∆ = > ∀ ≠ ⇒ = có hai nghiệm phân biệt nên không có giá trị tham số m ñể ( ) ( )2 22 0,g x mx m x x m= + = ≠ − vô nghiệm hoặc có nghiệm kép Vậy 0m = thoả mãn yêu cầu bài toán . 4 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( )3' 4 2 1y kx k x= − − ( )2 0 ' 0 2 1 0 * x y kx k  = = ⇔  + − = Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -47- Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình ' 0y = có một nghiệm duy nhất và 'y ñổi dấu khi x ñi qua nghiệm ñó .Khi ñó phương trình ( )22 1 0 *kx k+ − = vô nghiệm hay có nghiệm kép 0x = ( ) 0 0 0 0 0 1 1 ' 2 1 0 k k k k k k k k k  =  = ≤  ≠⇔ ⇔ ⇔  < ∨ ≥ ≥    ∆ = − − ≤ Vậy 0 1k k≤ ∨ ≥ là giá trị cần tìm . 5 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) 3 2 0 ' 2 2 ' 0 * x y x mx y x m  = = − = ⇔  = Hàm số có cực tiểu mà không có cực ñại khi phương trình ' 0y = có một nghiệm duy nhất và 'y ñổi dấu khi x ñi qua nghiệm ñó Khi ñó phương trình ( )2 *x m= vô nghiệm hay có nghiệm kép 0x = 0m⇔ ≤ Vậy 0m ≤ là giá trị cần tìm. Ví dụ 4 : 1. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) 2 1x mx y f x x m + + = = + ñạt cực ñại tại 2.x = 2. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) ( )3 23 1y f x x m x m= = + + + − ñạt cực ñại tại 1.x = − 3. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) ( )3 26 3 2 6y f x x x m x m= = − + + − − ñạt cực ñại và cực tiểu ñồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu. 4. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) 2 2 1 x mx y f x x + + = = − có ñiểm cực tiểu nằm trên Parabol ( ) 2: 4P y x x= + − Giải : 1. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= −ℝ và có ñạo hàm ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ' , x mx m f x x m x m + + − = ≠ − + Nếu hàm số ñạt cực ñại tại 2x = thì ( ) 2 3 ' 2 0 4 3 0 1 m f m m m  = − = ⇔ + + = ⇔  = − 3m = − , ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 26 8 ' , 3 ' 0 43 xx x f x x f x x x  =− + = ≠ = ⇔  =−  Bảng biến thiên : x −∞ 2 3 4 +∞ ( )'f x + 0 − − 0 + ( )f x 1 +∞ +∞ Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -48- −∞ −∞ 5 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số ñạt cực ñại tại 2x = , do ñó 3m = − thoả mãn . Tương tự với 1m = − Cách 2 : Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= −ℝ và có ñạo hàm ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ' , x mx m f x x m x m + + − = ≠ − + ( )3 2 '' ,y x m x m = ≠ − + Hàm số ñạt cực ñại tại 2x = khi ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 1 0 4 3 0 ' 2 0 1 32 2 3 2 2'' 2 0 0 2 2 m m y m mm m m my m m  − =  + + = = = − ∨ = −+   ⇔ ⇔ ≠ − ⇔ ⇔ = −    < −<     < < − + Vậy 3m = − là giá trị cần tìm. 2. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 0 ' 3 2 3 3 2 6 ' 0 2 6 3 x f x x m x x x m f x m x  = = + + = + + ⇒ = ⇔ + = −  x −∞ 2 6 3 m + − 0 +∞ ( )'f x + 0 − 0 + ( )f x Hàm số ñạt cực ñại tại 2 6 3 1 1 . 3 2 m x m + = − ⇔ − = − ⇔ = − 3. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có : ( )2' 3 12 3 2y x x m= − + + . Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi ' 0y = có hai nghiệm phân biệt ( )' 36 9 2 0m⇔ ∆ = − + > 2 0 2m m⇔ − > ⇔ < ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 12 . 3 12 3 2 2 2 2 2 . ' 2 2 2 3 3 y x x x m m x m x y m x m = − − + + + − + − = − + − + −  Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì 1 2,x x là nghiệm của phương trình ( ) ( )23 12 3 2 0g x x x m= − + + = . Trong ñó : Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -49- ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 2 . ' 2 2 2 2 2 23 ' 0 y x y x m x m y m x m y x  = − + − + − ⇒ = − + −  = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 2 2 2 1 2 . ' 2 2 2 2 2 23 ' 0 y x y x m x m y m x m y x  = − + − + − ⇒ = − + −  = Theo ñịnh lý Vi-ét , ta có : 1 2 1 2 4, 2x x x x m+ = = + Theo bài toán : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 2 1 2 1 2. 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 1 0y y m x m m x m m x x   > ⇔ − + − − + − > ⇔ − + + >    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 4 2 1 0 2 4 2 1 0 2 4 17 0m x x x x m x x x x m m   ⇔ − + + + > ⇔ − + + + > ⇔ − + >    17 4 2 m m  > − ⇔   ≠ So với ñiều kiện bài toán , vậy 17 2 4 m− < < là giá trị cần tìm . 4. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 1D = ℝ Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ' , 1 2 2 1 x x m y x g x x x m x − − − = ≠ = − − − − Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi phương trình ( ) 0, 1g x x= ≠ có hai nghiệm phân biệt khác 1 ( ) ( ) ' 1 2 0 3 0 3 31 3 0 m m m mg m  ∆ = − − − > + >  ⇔ ⇔ > −  ≠ −= − − ≠   Khi ñó 1 1 2 2 3 1 3 1 3 1 2 2 3 3' 0 3 1 3 1 3 1 2 2 3 3 m x m y m m m m my m x m y m m m m m  + = − + ⇒ = − + + + + = + − + − += ⇔ + = + + ⇒ = + + + + + = + + + + Bảng biến thiên : x −∞ 1 x 1 2 x +∞ ( )'f x + 0 − − 0 + ( )f x 1y +∞ +∞ −∞ −∞ 2 y Dựa vào bàng biến thiên suy ra ( )1 3; 2 2 3A m m m+ + + + + là ñiểm cực tiểu của hàm số . ( ) ( ) 2 2 2 3 1 3 1 3 4 3 1A P m m m m m∈ ⇔ + + + = + + + + + − ⇔ + = Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -50- ( ) ( ) 2 2 2 3 1 3 1 3 4 3 1 2A P m m m m m m∈ ⇔ + + + = + + + + + − ⇔ + = ⇔ = − So với ñiều kiện bài toán ,vậy 2m = − là giá trị cần tìm. Ví dụ 5 : 1. Tìm các hệ số , , ,a b c d sao cho hàm số ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + + ñạt cực tiểu tại ñiểm 0,x = ( )0 0f = và ñạt cực ñại tại ñiểm ( )1, 1 1x f= = 2. Tìm các hệ số , ,a b c sao cho hàm số ( ) 3 2f x x ax bx c= + + + ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm 2x = − và ñồ thị của hàm số ñi qua ñiểm ( )1;0A . 3. Tìm các hệ số ,a b sao cho hàm số ( ) 2ax bx ab f x ax b + + = + ñạt cực trị tại ñiểm 0x = và 4x = . Giải : 1. Tìm các hệ số , , ,a b c d sao cho hàm số ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + + ñạt cực tiểu tại ñiểm ( )0, 0 0x f= = và ñạt cực ñại tại ñiểm ( )1, 1 1x f= = Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) ( )2' 3 2 , '' 6 2f x ax bx c f x ax b= + + = + Hàm số ( )f x ñạt cực tiểu tại 0x = khi và chỉ khi ( )( ) ( ) ' 0 0 0 0 1 2 0 0'' 0 0 f c c b bf   = = =   ⇔ ⇔  > >>     Hàm số ( )f x ñạt cực ñại tại 1x = khi và chỉ khi ( )( ) ( ) ' 1 0 3 2 0 2 6 2 0'' 1 0 f a b c a bf  = + + =  ⇔  + <<   ( ) ( ) ( )0 0 0 , 1 1 1 1 0 3f d f a b c d hay a b c do d= ⇒ = = ⇒ + + + = + + = = Từ ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 suy ra 2, 3, 0, 0a b c d= − = = = Ta kiểm tra lại ( ) 3 22 3f x x x= − + Ta có ( ) ( )2' 6 6 , '' 12 6f x x x f x x= − + = − + ( )'' 0 6 0f = > . Hàm số ñạt cực tiểu tại 0x = ( )'' 1 6 0f = − < . Hàm số ñạt cực ñại tại 1x = Vậy : 2, 3, 0, 0a b c d= − = = = 2. Tìm các hệ số , ,a b c sao cho hàm số ( ) 3 2f x x ax bx c= + + + ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm 2x = − và ñồ thị của hàm số ñi qua ñiểm ( )1;0A . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) 2' 3 2f x x ax b= + + Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -51- Hàm số ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm 2x = − khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ' 2 0 4 12 1 4 2 82 0 f a b a b cf  − = − =  ⇔  − + =− =   ðồ thị của hàm số ñi qua ñiểm ( )1;0A khi và chỉ khi ( ) ( )1 0 1 0 2f a b c= ⇔ + + + = Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra 3, 0, 4a b c= = = − . 3. Hàm số ñã cho xác ñịnh khi 0ax b+ ≠ và có ñạo hàm ( ) 2 2 2 2 2 2 ' a x abx b a b y ax b + + − = + • ðiều kiện cần : Hàm số ñạt cực trị tại ñiểm 0x = và 4x = khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 0 00 ' 0 0 0 2 8 2 016 8 416 8 0' 4 0 0 4 0 4 4 0 b a bb a b b a y b ab a aa ab b a b ba ab b a by a a a b a b  − =−  = >=  = ≠ = −    ⇔ ⇔ ⇔ + = ⇔    + + − =+ + − == =      + ≠ + + ≠  • ðiều kiện ñủ : ( ) 2 2 2 04 ' ' 0 4 42 a xx x y y b x x  = − =− ⇒ = = ⇔  = = − +  Bảng biến thiên x −∞ 0 2 4 +∞ ( )'f x + 0 − − 0 + ( )f x Cð +∞ +∞ −∞ −∞ CT Từ bảng biến thiên :hàm số ñạt cực trị tại ñiểm 0x = và 4x = . Vậy 2, 4a b= − = là giá trị cần tìm. Ví dụ 6: 1. Cho hàm số ( ) ( )3 23 2y f x x x C= = − + . Hãy xác ñịnh tất cả các giá trị của a ñể ñiểm cực ñại và ñiểm cực tiểu của ñồ thị ( )C ở về hai phía khác nhau của ñường tròn (phía trong và phía ngoài): ( ) 2 2 2: 2 4 5 1 0aC x y ax ay a+ − − + − = 2. Cho hàm số ( ) 2 2 22 5 3x m x m m y f x x + + − + = = . Tìm 0m > ñể hàm số ñạt cực tiểu tại ( )0;2x m∈ 3. 3 2 2( ) 3 .y f x x x m x m= = − + + có cực ñại , cực tiểu và hai ñiểm ñó ñối xứng nhau qua Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -52- ñường thẳng 1 5 2 2 y x= − 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số ( )2 21 4 2 ( ) . 1 x m x m m y f x x − + − + − = − có cực trị ñồng thời tích các giá trị cực ñại và cực tiểu ñạt giá trị nhỏ nhất. 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số ( )2 2 3 2 ( ) 1 x m x m y f x x + + + + = = + có giá trị cực trị , ñồng thời 2 2 1 2CT y y+ >CÑ . Giải : 1. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm 2 0 2 ' 3 6 ' 0 2 2 x y y x x y x y  = ⇒ = = − = ⇔  = ⇒ = − ðồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị ( ) ( )0;2 , 2; 2A B − . Hai ñiểm ( ) ( )0;2 , 2; 2A B − ở về hai phía của hai ñường tròn ( )aC khi ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2/ / 3 . 0 5 8 3 5 4 7 0 5 8 3 0 1 5a aA C B C P P a a a a a a a⇔ < ⇔ − + + + < ⇔ − + < ⇔ < < Cách 2 : ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2: 2 4 5 1 0 : 2 1a aC x y ax ay a C x a y a+ − − + − = ⇔ − + − = ( )aC có tâm ( );2I a a và bán kính 1R = Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 36 62 2 2 5 4 8 5 1 5 5 5 IB a a a a a R   = − + + = + + = + + ≥ > = ⇒    ñiểm B nằm ngoài ( )aC , do ñó ñiểm A nằm trong ñường tròn ( ) ( )22 2 31 2 2 1 5 8 3 0 1 5a C IA a a a a a⇔ < ⇔ + − < ⇔ − + < ⇔ < < 2. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 0D = ℝ và có ñạo hàm ( )2 2 2 2 2 5 3 ' , 0 g xx m m y x x x − + − = = ≠ Với ( ) 2 22 5 3g x x m m= − + − Hàm số ñạt cực tiểu tại ( ) ( )0;2 0x m g x∈ ⇔ = có hai nghiệm phân biệt ( )1 2 1 2,x x x x< thoả ( ) ( ) 2 1 2 2 0 10 0 1 1 20 2 1. 0 0 2 5 3 0 3 3 2 5 3 01. 2 0 2 2 3 1 2 m m m m m x x m g m m m mm mg m m m    >   > >     >+ − >>       < −   >  Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -53- Vậy giá trị m cần tìm là 1 3 1 2 2 m m . 3. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm 2 2' 3 6y x x m= − + . Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi phương trình ' 0y = có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x 2' 9 3 0m⇔ ∆ = − > 3 3m⇔ − < < .Vi-ét, ta có 2 1 2 1 2 2 , . 3 m x x x x+ = = . Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số và I là trung ñiểm của ñoạn AB . ðường thẳng AB có hệ số góc ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 22 1 2 1 2 1 22 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 3 3 AB x x x x m x xy y k x x x x x x m x x x x − − − + −− = = = + − − + + − − 2 2 2 2 64 6 3 3AB m m k m − = − − + = ðường thẳng ( )1 5 2 2 y x= − ∆ có hệ số góc 1 2 k = Hai ñiểm ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y ñối xứng nhau qua ñường thẳng ( )∆ khi và chỉ khi AB I  ⊥ ∆  ∈ ∆ 21 2 6 . 1 . 1 0 2 3AB m AB k k m  − • ⊥ ∆ ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =    ( ) ( ) ( ) 1 12 2 2 0 0 0;0 0 ' 3 6 ' 0 1; 2 2 4 2; 4 x y A m y x x y I x y B  = ⇒ = ⇒ • = ⇒ = − = ⇔ ⇒ − = ⇒ = − ⇒ − Dễ thấy ( )1; 2I − ∈ ∆ Vậy 0m = thoả mãn yêu cầu bài toán . 4. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 1D = ℝ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 ' , 1 2 3 3 1 1 g xx x m m y x g x x x m m x x − + − + = = ≠ = − + − + − − Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi phương trình ( ) 0, 1g x x= ≠ có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x khác 1 . ( ) 2 2 ' 0 3 2 0 1 2 1 0 3 2 0 m m m g m m ∆ > − + − >  ⇔ ⇔ ⇔ < < ≠ − + ≠   Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì 1 2,x x là nghiệm của phương trình ( ) 0, 1g x x= ≠ . Khi ñó 2 2 1 1 2 2 2 2 1 3 2 1 2 3 2 ' 0 1 3 2 1 2 3 2 x m m y m m m y x m m y m m m  = − − + − ⇒ = − + − + − = ⇔  = + − + − ⇒ = − − − + − ( ) ( ) ( ) ( )22 2 21 2. 1 2 3 2 1 2 3 2 1 4 3 2y y m m m m m m m m m= − + − + − − − − + − = − − − + − Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -54- 2 2 1 2 1 2 7 4 4 4 7 . 5 14 9 5 min . 5 5 5 5 5 y y m m m y y khi m   = − + = − − ≥ − ⇒ = − =    So với ñiều kiện , vậy 7 5 m = là giá trị cần tìm . 5. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 1D = −ℝ . Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ' , 1 2 2 1 1 g xx x m y x g x x x m x x + − = = ≠ − = + − + + Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi phương trình ( ) 0, 1g x x= ≠ − có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x khác ( ) ' 0 2 1 0 1 1 2 1 01 0 2 m m mg  ∆ > + >  − ⇔ ⇔ ⇔ > − − − ≠− ≠   Gọi ( ) ( )1 1 1 2 2 2; 2 2 , ; 2 2A x y x m B x y x m= + + = + + là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì 1 2,x x là nghiệm của phương trình ( ) 0, 1g x x= ≠ − Theo ñịnh lý Vi- ét 1 2 1 2 2, . 2x x x x m+ = − = − Theo bài toán : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 4 4 2 2 2CTy y y y x m x m x x m x x m+ = + = + + + + + = + + + + + +CÑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 21 2 1 2 1 2 1 24 2 4 2 2 2 4 4 4 8 2 2 2y y x x x x m x x m m m m + = + − + + + + + = + − + + +   2 2 2 1 2 2 16 8y y m m+ = + + Xét ( ) ( )2 1 12 16 8, ' 4 16 0, 2 2 f m m m m f m m m= + + > − = + > ∀ > − Do ñó hàm số ( )f m ñồng biến trên khoảng 1 ; 2 m   ∈ − +∞    và ( ) 1 1 1, ; 2 2 2 f m f m     > − = ∈ − +∞        Vậy 2 2 1 1 , ; 2 2CT y y m   + > ∈ − +∞    CÑ Ví dụ 7: 1. Với giá trị nào của m thì ñồ thị của hàm số ( ) ( )3 21 11 3 2 3 3 y mx m x m x= − − + − + có cực ñại , cực tiểu ñồng thời hoành ñộ cực ñại cực tiểu 1 2 ,x x thỏa 1 2 2 1x x+ = 2. Với giá trị nào của m thì ñồ thị của hàm số ( )2 2 31 4mx m x m m y x m + + + + = + tương ứng có một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )II và một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )IV của mặt phẳng tọa ñộ . Giải : 1. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 -55- Ta có ( ) ( )2' 2 1 3 2y mx m x m= − − + − Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi 'y ñổi dấu hai lần qua nghiệm x , tức là phương trình ( ) ( )2 2 1 3 2 0mx m x m− − + − = có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x ( ) ( )2 2 00 0 2 6 2 62 4 1 0' 1 3 2 0 2 2 mm m m mm m m m  ≠ ≠  ≠   ⇔ ⇔   − +− + + >∆ = − − − > < <   Theo ñịnh lý Vi – ét và yêu cầu bài toán, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 4 2 1 22 1 2 3 8 4 0 0 3 2 3 2 3 23 4 2 . m x x gt x m m m m x x x m m m m m m m mm m x x m m m m  −+ = =   −  − = + = ⇔ = ⇔ − + = ≠ ⇔    =− −     − − = =         So với ñiều kiện bài toán , vậy 2 2 3 m m= ∨ = là giá trị cần tìm . 2. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= −ℝ và ( ) 34 1 0 m y mx m x m = + + ≠ + Ta có : ( ) 2 2 3 2 2 3 ' , mx m x m y x m x m + − = ≠ − + Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì ( )1 2 1 2,x x x x< là nghiệm của phương trình ( ) 2 2 32 3 0,g x mx m x m x m= + − = ≠ − ðồ thị của hàm số có một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )II và một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( )IV của mặt phẳng tọa ñộ khi ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 0 1 0 2 x x A y y B • < <    ⇔ ⇔ • < <    • thuoäc goùc phaàn tö thö ù (II) thuoäc goùc phaàn tö thö ù (IV) He äsoá goùc cuûa tieäm caän xieân nhoû hôn 0 3 ( ) ( ) ( )41 . 0 0 3 0 0m g m m a⇔ < ⇔ − < ⇔ ≠ ( )2 ⇔ðồ thị của hàm số không cắt trục ( ) ( )2 2 31 4 0Ox mx m x m m x m⇔ + + + + = ≠ − vô nghiệm ( ) ( ) ( )2 4 2 22 3 1 00 0 5 1 115 2 1 01 4 4 0 5 5 mmm m b m m mm m m m m  ∆ = + − +   