Giáo án lớp 12a môn Hình học - Bài tập : Thể tích khối đa diện

BÀI TẬP :THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN B.Bài tập Bµi 1:Khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách hai đường thẳng AB và A1D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5. a)Hạ AK A1D (K A1D ).CMR AK =2 b)T ính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 Bµi 2:Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu SABC cã ®­êng cao SO = 1 vµ ®¸y ABC cã canh b»ng 2.§iÓm M,N lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC,AB t­¬ng øng.TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SAMN Bài 3:Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1 với AB=a;BC= b;AA1 a)Tính diện tích tam giác ACD1 theo a,b,c b)Giả sử M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích của tứ diện D1DMN theo a,b,c Bài 4:Cho hình chóp SABC đỉnh S, đáy là tam giác cân AB=AC=3a,BC=2a. biết rằng các mặt bên (SAB),(SBC),(SCA) đều hợp với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 60o.Kẻ đường cao SH của hình chóp. a)Chứng tỏ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và SABC b)Tính thể tích của khôi chóp Bài 5:Cho hình chóp đều SABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a.Cạnh bên SA = a.Một mặt phẳng (P) đi qua A,B và vuông góc với mf(SCD),(P) lần lượt cát SC,SD tại C1 và D1. Tính diện tích của tứ giác ABC1D1 Tính thể tích của khối đa diện ABCDD1C1 Bài 6:Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB =60o.Tính thể tích hình chóp SABCD theo a Bài 7:Cho tam giác đều ABC cạnh a.Trên đường thẳng d vuông góc với mf(ABC) tại Alấy điểm M.Gọi H là trực tâm của tam giấcBC,K là trực tâm của tam giác BCM a) CMR MC (BHK) ; HK (BMC) b)Khi M thay đổi trên d,tìm GTLN của thẻ tích tứ diện KABC Bài 8: Trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB = 2R, lÊy ®iÓm C tuú ý. KÎ CH vu«ng gãc víi AB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña CH. Trªn nöa ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) t¹i I, lÊy ®iÓm S sao cho gãc ASB = 900. a) Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (SAB) t¹o víi mÆt ph¼ng (ABC) gãc 600. b) Cho AH = x. TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn SABC theo R vµ x. T×m vÞ trÝ cña C ®Ó thÓ tÝch ®ã lín nhÊt. Bài 9: Cho ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB = 2R trong mÆt ph¼ng (P) vµ mét ®iÓm M n»m trªn ®­êng trßn ®ã sao cho gãc MAB b»ng 300. Trªn ®­êng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) t¹i A, lÊy ®iÓm S sao cho SA = 2R. Gäi H vµ K lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SM, SB. a) Chøng minh r»ng SB vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (KHA). b) TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn SKHA. Bµi 10. Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’ cã c¹nh b»ng a. Gäi K lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC vµ I lµ t©m cña mÆt bªn CC’D’D. a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh lËp ph­¬ng víi mÆt ph¼ng (AIK). b) TÝnh thÓ tÝch cña c¸c h×nh ®a diÖn do mÆt ph¼ng (AIK) chia ra trªn h×nh lËp ph­¬ng. Bµi 11. Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD. Gäi M, N, P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AD, AB, SC. a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (MNP). b) So s¸nh thÓ tÝch cña hai khèi ®a diÖn do mÆt ph¼ng (MNP) chia ra trªn h×nh chãp. Bµi 12. Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu cã chiÒu cao h vµ c¹nh ®¸y a. TÝnh thÓ tÝch cña khèi lËp ph­¬ng cã mét mÆt n»m trªn ®¸y cña h×nh chãp vµ 4 ®Ønh n»m trªn 4 c¹nh bªn cña h×mh chãp ®ã. Bµi 13. Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ®Òu ABC.A1B1C1. Trªn tia A1B1 lÊy ®iÓm M sao cho B1M = A1B1. Qua M vµ c¸c trung ®iÓm cña A1C1 vµ B1B dùng mét mÆt ph¼ng. TÝnh tØ sè thÓ tÝch hai phÇn cña khèi l¨ng trô do mÆt ph¼ng nµy chia ra. Bµi 14. Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD. Qua A, B vµ trung ®iÓm cña SC dùng mét mÆt ph¼ng. Tinh tØ sè thÓ tÝch hai phÇn cña khèi chãp do mÆt ph¼ng nµy chia ra. Bµi 15. Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Mét ®iÓm M thay ®æi trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) t¹i A (M kh«ng trïng víi A). Gäi O vµ H theo thø tù lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC vµ MBC. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch khèi tø diÖn OHBC ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi16. Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’. ThiÕt diÖn cña h×nh lËp ph­¬ng t¹o bëi mÆt ph¼ng ®i qua ®Ønh A, trung ®iÓm cña c¹nh BC vµ t©m cña mÆt DCC’D’ chia khèi lËp ph­¬ng thµnh hai phÇn. TÝnh tØ sè thÓ tÝch cña hai phÇn ®ã. Bµi 17. Cho h×nh tø diÖn ABCD cã BC = CD = DB, AB = AC = AD. Gäi H lµ ch©n cña ®­êng cao h×nh tø diÖn xuÊt ph¸t tõ A, K lµ ch©n cña ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ H xuèng AD. §Æt AH = a, HK = b. TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ABCD theo a vµ b. Bµi 18. Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y lµ tam gi¸c c©n víi AB = AC = a vµ gãc BAC b»ng α. C¹nh SA = h cña h×nh chãp vu«ng gãc víi ®¸y. LÊy trung ®iÓm P cña BC vµ c¸c ®iÓm M, N lÇn l­ît trªn AB, AC sao cho AM = AN = AP. TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp S.AMPN. Bµi 19. Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC = a), BB’ = CC’ = a lµ hai ®o¹n th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) vÒ cïng mét phÝa víi mÆt ph¼ng ®ã. TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp A.BCC’B’. Bµi 20. Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD, ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA = SB = SC = SD = a. a) TÝnh ®­êng cao vµ thÓ tÝch khèi chãp theo a. b) Gäi M, N, P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, AD, SC. MÆt ph¼ng (MNP) c¾t SB, SD lÇn l­ît t¹i Q, R. So s¸nh c¸c ®o¹n th¼ng QB, RD víi SB. c) Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (MNP) chia khèi chãp thµnh hai phÇn cã thÓ tÝch b»ng nhau. Bµi 21. Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh thoi ABCD víi AB = , BD = . Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (P) vµ ®i qua giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo h×nh thoi, lÊy ®iÓm S sao cho SB = . a) Chøng minh r»ng tam gi¸c ASC lµ tam gi¸c vu«ng. b) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABCD Bµi 22. Cho h×nh tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh . Gäi A’, B’, C’, D’ theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, AC, CD, BD. a) Chøng minh r»ng A’B’C’D’ lµ h×nh vu«ng. b) TÝnh thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn DAA’B’C’D’ theo . c) TÝnh thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn DAA’B’C’D’ theo nÕu A’, B’, C’, D’ theo thø tù lµ ®iÓm n»m trªn c¹nh AB, AC, CD, BD sao cho AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = Bµi 23. Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, c¹nh bªn SA = 2a vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC). Gäi M vµ N lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn c¸c ®­êng th¼ng SB vµ SC. TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp A.BCMN. Bµi 24.Cho khèi chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã chiÒu cao b»ng h vµ gãc ASB b»ng 2. H·y tÝnh thÓ tÝch khèi chãp Bµi 25.BiÕt thÓ tÝch khèi hép ABCDA1B1C1D1 b»ng V. tÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ACB1D1 Bµi 26.Cho tø diÖn ®Òu SABC cã c¹nh lµ a. Dùng ®­êng cao SH Chøng minh SA BC TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp SABC Bµi 27.Cho h×nh chãp SABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c c©n AB=AC= a.mf(SBC) vu«ng gãc víi mf(ABC) vµ SA=SB =A. a)CMR tam gi¸c SBC lµ tam gi¸c vu«ng b)Cho SC = x.TÝnh thÓ tÝch khèi chãp theo a vµ x Bµi 28.Cho mét h×nh chãp cã ®¸y lµ mét tam gi¸c vu«ng c©n cã c¹nh gãc vu«ng b»ng a.MÆt bªn qua c¹nh huyÒn vu«ng gãc víi ®¸y,hai mÆt bªn cßn l¹i ®Òu t¹o víi ®¸y gãc 45o a)CMR h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®Ønh h×nh chãp xuèng ®¸y lµ trung ®iÓm c¹nh huyÒn cña ®¸y b)TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp Bµi 29.Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCDcã c¹nh bªn t¹o víi ®¸y mét gãc 60o vµ c¹nh ®¸y b»ng a.TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp Bµi 30.Cho l¨ng trô ®Òu ABCA1B1C1.Tam giac ABC1 cã diÖn tÝch lµ S vµ hîp víi mÆt ®¸y gãc a)TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô b)S kh«ng ®æi,cho thay ®æi.TÝnh ®Ó thÓ tÝch l¨ng trô lín nhÊt Bµi 31:Cho l¨ng trô ®Òu ABCDA1B1C1D1 c¹nh ®¸y a.Gãc gi÷a ®õ¬ng chÐo AC1 vµ ®¸y lµ 60o .TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô Bµi 32.Cho l¨ng trô ®øng ABCA1B1C1,®¸y ABC c©n ®Ønh A.Gãc gi÷a AA1 vµ BC1 lµ 30o vµ kho¶ng c¸ch gi÷a chóng lµ a.Gãc gi÷a hai mÆt bªn qua AA1 lµ 60o.TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô Bµi 33. Cho l¨ng trô ABCA1B1C1 ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a.H×nh chiÕu c¶u A1 lªn m¨t ph¼ng (ABC) trïng víi t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC.BiÕt gãc BAA1 = 45o .TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô Bµi 34. Cho h×nh hép ABCDA1B1C1D! cã ®¸y lµ h×nh thoi ABCD c¹nh a,gãc A b»ng 60o.Ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ B1 xuèng ®¸y ABCD trïng víi giao ®iÓm hai ®­êng chÐo cña ®¸y.BiÕt BB1 =a a)TÝnh gãc gi÷a c¹nh bªn vµ ®¸y b)TÝnh thª tÝch cña khèi hép Bµi 35.Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a,SA(ABCD) vµ SA = a.Trªn c¹nh ®¸y AD lÊy ®iÓm M thay ®æi,®Æt gãc ACM = .H¹ SNCM .Chøng minh N lu«n thuéc mét ®­êng trßn cè ®Þnh vµ tÝnh thÓ tÝch tø diÖn SACN theo a vµ Bµi 36.Cho lăng trụ tam giác ABCA1B1C1 c đáy ABC là một tam giác đêï c¹nh a,®iÓm A1 c¸ch ®Òu c¸c ®iÓm A,B,C.C¹nh AA1 t¹o víi mÆt ph¼ng ®¸y mét gãc 60o a)TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô b)Chøng minh mÆt bªn BCC1B1 lµ mét h×nh ch÷ nhËt Bµi 37.H×nh l¨ng trô ®øng ABCA1B1C1®¸y ABC lµ mét tam gi¸c vu«ng t¹i A,AC=b,gãc C =60o.§­êng chÐo BC1 t¹o víi mf(A A1C1C) mét gãc 30o. a)TÝnh ®é dµi AC1 b)TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô Bµi 38.Cho h×nh chãp SABC .Trªn c¸c tia SA,SB,SC lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm A’ ,B’,C’ . CMR Bµi 39.Cho h×nh chãp tam gi¸c SABC cã SA = x;BC= y;c¸c c¹nh cßn l¹i ®Òu b»ng 1. a)TÝnh thÓ tÝch khèi chãp theo x,y b)Víi x,y b»ng bao nhiªu th× thÓ tÝch khèi chãp lín nhÊt? Bµi 40. Trong không gian cho đoạn OO1 = H và hai nửa đường thẳng Od,O1d1 cùng vuông góc với OO1 và vuông góc với nhau. Điểm M chạy trên Od, điểm N chạy trên O1d1 sao cho ta luôn có OM2+O1N2 =k2(k cho trước) a)Chứng minh đoạn MN có độ dài không đổi b)Xác định vị trí M trên Od và N trên O1d1 sao cho tứ diện OO1MN có thể tích lớn nhất.